Práctica 09 Funciones y Ecuaciones Trigonométricas

Transcripción

1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Matemática General Práctica 09 Funciones y Ecuaciones Trigonométricas I. Exprese en grados las siguientes medidas dadas en radianes 1) ) ) 7π 6 11π 1 1π 90 ) 5) 6) π 7) 15π 8) π 9) 5 II. Exprese en radianes las siguientes medidas dadas en grados 1) 5 ) 15 5) 1 ) 80 ) 7 1 6) 1 III. Sin hacer uso de la calculadora determine el valor numérico de las siguientes expresiones π 5π 7π 1) tan +sen 6) cos 1 π 7) sen ) sen +cos(π) ( 90 )+cos (15 ) 6 7π 5π 8) sen cos (π)+tan 5π ) sen 1 ( ) 5π 9) arccos sen ) cos arctan (1) ( 1π ) 5) tan (π)+ sen 10) arcsen IV. Determine la función trigonométrica indicada para el ángulo cuyas características se dan en cada caso 1) Si el lado terminal de un ángulo en posición normal α pasa por el punto P (, 5), calcule tan (α) ) Si α es un ángulo en posición normal, tal que sen (α) = 1 y su lado terminal se localiza en el IV cuadrante, encuentre cos (α) 0 1

2 ) Si el ángulo β está en posición estándar y el punto P (, ) se encuentra en el lado terminal de β, encuentre sen (β) cos (β) ) Si se sabe que θ es un ángulo en posición estándar que estáeneliicuadranteytan(θ) =x, halle cos (θ) 5) Si sen (θ) =x y θ es un ángulo en posición estándar que está en el segundo cuadrante, encuentre cos (θ) 6) Si tan (α) = 5 ytan(β) =5 +,conαyβ ángulos en posición estándar que pertenecen 5 al primer cuadrante, halle tan (α + β) V. Sea α un ángulo en posición estándar en el III cuadrante, tal que tan (α) = 5. Determine el 1 sen (α) valor exacto de la siguiente expresión: cos (α) VI. Determine cos (α β), si cos (α) = ysec(β) =, donde α y β son ángulos en posición estándar, tales que α está en el III cuadrante y β está enelicuadrante VII. Determine el valor numérico exacto de cos ( 5 )+5 tan (0 ) cot ( 95 ) csc ( 50 ) sec (5 ) VIII. Si α es un ángulo en posición normal, halle el valor de tan (α), sabiendo que arcsen = α 5 IX. Determine el valor de sen (β α) sisesabequeα y β son dos ángulos en posición estándar del tercer cuadrante que satisfacen sen (α) = ycos(β) = 1 5 X. Determine sen (α) como función de x si se sabe que α es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante que satisface que sec (α) = x. Determine, posteriormente, el valor de α como función de x XI. Verifique cada una de las siguientes identidades 1) ) ) ) 5) sen (x)cos(x)+ cos(x)sen(x) cos (x) sen (x) tan (x) sec (x)+1 = 1 cos (x) cos (x) sen (x) 1 cos (x) + 1 cos (x) sen (x) 1+ sen(x) cos (x) + sen (α)+ tan(α) cot (α)+csc(α) =csc(x) cos (x) 1+ sen(x) =sec(x) =sec(α) cos (α) = sen(x)cos(x)+sen (x)cos(x) 1 sen (x)

3 6) 7) 8) 1 sen (α) 1 cos (α) = 1 sen (x) sen (x)cot(x) = 1 sen (α) cos (α)sen(α)+ sen (α)cos(α) cos (x) 1+ sen(x) cos(x) cos (x) sen (x)cos(x) =+tan(x) 9) sec (α) tan (α) = sen (α) sen (α) +cos(α) sen (α)cos(α) cos (α) ( 10) csc (x)cos x + π ) = 1 11) cos (α) sen (α) sen(α)sen ( =cot(α) π α) 1) 1 1+cos(α) 1 1 cos (α) = cot(α)csc(α) 1) cos (θ)cot(θ)+ sen(θ) =csc(θ) 1) sen (α)tan(α)+cos(α) =sec(α) ( ) 15) 1 cos (x) csc (x)+ cot(x) =sen(x) 16) sec (λ)+tan (λ)+1= 17) 18) 19) 0) 1) ) cos (λ) sen (λ)+ cos(λ) cot (λ)+1 = cos (λ) sen (λ) cot (λ) 1 csc (β)+1 csc (β) 1 = 1+sen(β) 1 sen (β) cos (δ) cos (δ)+ sen(δ) = 1 1+cot(δ) = cot (δ) 1+cot(δ) sen (δ) sen (δ)+ cos(δ) cos (ϕ) 1+ sen(ϕ) + 1+ sen(ϕ) cos (ϕ) sen (ϕ) cos (ϕ) 1 cot (ϕ) ) sec (ϕ)+tan(ϕ) = ) sen (δ) 1+cos(δ) =tan(δ) 5) sen (δ) = tan(δ) 1+tan (δ) 6) cos (δ) cos (δ) =sen (ϕ) cos (ϕ) 1 sen (ϕ) =cos(δ) sec (δ) =sec(ϕ)

4 7) ( ) 1+ sen(α) sec (α)+ tan(α) = 1 sen (α) 8) cos (α)cos( α) sen (α) sen( α) =1 9) cos (α + β)cos(α β) =cos (α) sen (β) 0) tan (φ)+cot(φ) = sen (φ) 1) sen (φ) sen (φ) cos (φ) cos (φ) =sec(φ) ) cos (φ) cos (ϕ) = sen (ϕ) sen (φ) ) cos (ϕ) sen (ϕ) = 1 tan (ϕ) 1+tan (ϕ) ( π ) ) cos (α) =cos(α)sen α 5) cos (x + y)cos(y)+ sen(x + y)sen(y) =cos(x) XII. Determine todas las soluciones que pertenecen a [ 0, π] para la ecuación ( )( ) sen(x)+cos(x) cos (x) =0 XIII. Resuelva todas y cada una de las siguientes ecuaciones en IR o en el intervalo que se indique ( 1) sen(α)+ )( ) 1 sen(α) =0 ) tan (x)+sec (x) =,parax [0, π[ ) cos (θ)cos(θ) cos(θ) =0, para θ [0, π] ) tan (x)+sec(x) 1=0 ( ) 5) sen(x) 1 sec (x)+1 =0 6) sen (α) 7cos(α) = 7) sen (x)+tan(x) =0 8) sen (x)tan(x) tan (x) 10 sen (x)+5=0 9) tan (x)+tan (x)+tan(x)+1=0 10) cos (x)+sen(x)+1=0 11) sen (α) =cos(α) 1) 7 cos (α) =cos(α), para α [0, π[ 1) cos (α) sen(α) =0 1) cos (x) = sen(x) 15) cos (x) =sen(x) 16) csc (x) =sec(x) 17) cos (x) = 5sen(x) 18) sen (x) = 19) cos (x)+sen(x) =

5 0) cos (x)tan(x) =1 1) tan (x)+=sec (x) ) cos sen(x) =1 ) sen (x) sen(x) =0 ) sen (x) =cos(x) 5) cos (x)+cos(x)+1=0 6) sen (x) cos (x) = 1 ( 7) sen x π ) = 1 5 8) sen (x)+cos(x) =5 9) sen (x)+cos(x) =1 0) cos (x) = sen(x) 1) cos (x) = 0,7 ) sen (x) = 8 9 ) sen (x) cos (x)+ =sen(x) ) cos (x) sen (x)+1=cos(x) 5) tan (x) =cos(x) 1 sen (x) 6) cos (x) = 7) sen (x)+cos(x) =0 ( π ) 8) cos (x) =cos x 9) cos (x) = sen(6x) 0) sec (x) =cos(x) 1) cos (x)+sen(x)+=0 ) sen (x) =0,7 ) cos (x)+5sen(x) =0 ) cos (x)+ sen(x) =1 5) sen (x) = sen(x)+1 x 6) sen =0 7) sen (x) =cos(x) 8) tan (x)+cot(x) = 9) sen (x)cos(x)+1=0 XIV. Plantee y resuelva los siguientes problemas 1) Un hombre cuya estatura es 1,75 m proyecta una sombra de 1,9 m. Calcule las razones trigonométricas del ángulo δ que forman los rayos del sol con la horizontal. ) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, elángulo en C mide 18 1 ylahipotenusa 19 m. Determine el ángulo en A y la longitud de los otros dos lados de dicho triángulo. ) Desde lo alto de una roca de 75 m sobreelniveldelmar,elángulo de depresión a una boya (cuerpo flotante sobre el mar usado para señalizar) es de 7 15 ; calcule la distancia delarocaalaboya. ) Calcule el área de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide 9,78 cm yelángulo opuesto a dicho cateto mide ) Determine la altura de una torre que se levanta sobre un plano horizontal, si el ángulo de elevación a su parte más alta, desde un punto a 0 m de su base, mide. 6) Un helicóptero está volando a una altura de 71,5m directamente sobre una torre. El piloto mide que el ángulo de depresión hacia una torre que queda al este es de, mientras que el copiloto mide que el ángulo de depresión hacia una torre que queda al oeste es de 56, cuál es la distancia que separa a las dos torres observadas? 7) A qué distancia de un edificio de 18 m de altura debe colocarse un observador con un teodolito (instrumento de precisión para medir ángulos) de 1,5 m, para que el ángulo de elevación a la cúspide del edificio sea de 6 55? 5

6 8) El asta de 8 m de altura de una bandera está situada en lo alto de un edificio. Desde un punto cerca de la base del edificio, los ángulos de elevación al tope y al pie del asta son 8 y0, respectivamente. Determine la altura del edificio. 9) Dos puntos A y B sobre el mismo lado de un río distan 0 m entre sí. Un punto C al otro lado del río está localizado de tal modo que el ángulo CAB mide 75 yelángulo ABC mide 85. Cuál es la anchura del río? 10) Se va a construir un túnel a través de una montaña de un punto A a un punto B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 8,8 m de A y a 555,6 m de B. Determine la longitud que tendrá eltúnel. 11) Un observador de 1, m de altura ve la cúspide de un árbol con un ángulo de elevación de,camina11mhacia el árbol y ve la misma cúspide con un ángulo de 68. Determine la altura del árbol. 1) Un barco sale de un puerto navegando 5 millas en dirección N 0 E y luego 8 millas al este. Determine la distancia del barco al puerto de partida. 1) Desde una ventana de un edificio, una persona ve la base y la cúspide de otro edificio con ángulos de 7 y51 0, respectivamente; si la distancia entre los dos edificios es de 18 m, determine la altura del edificio que observa esta persona. 1) Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden, respectivamente, 7,7 cm y 8, cm, si el ángulo comprendido entre estos lados mide 7 8, determine la longitud de la diagonal mayor. 15) Un barco navega 15 millas en direccin S 0 10 O ydespués 1 millas en dirección N 8 0 O. Encuentre la distancia a la que está el barco del punto de partida junto con su orientación. 16) Al aproximarse un vehículo a un edificio situado en una llanura, su conductora encuentra que desde un cierto lugar el edificio se ve bajo un ángulo de 10 y desde otro lugar, 00 m más cerca del edificio, este se ve bajo un ángulo de 15. Determine la altura del edificio y la distancia de este al segundo lugar de observación. 17) Un jugador de baloncesto de m de altura se encuentra a 7 m de la base del aro. Si el jugador observa el aro con un ángulo de elevación de 10 1, encuentre la altura a la que se encuentra el aro del suelo. 18) Dos barcos salen a la misma hora desde el mismo puerto, con rutas que forman un ángulo de 71 ;depués de cierto tiempo, el segundo barco a viajado una distancia de 15 km yla distancia entre los barcos es de 0 km. Cuánto ha viajado el primer barco? 19) Al aproximarse un vehículo a un edificio en una llanura, encuentra que desde cierto lugar la cúpula del edificio se ve con un ángulo de 10.Luegoviajaenlínea recta 00 m más y la cúpula del edificio se ve con un ángulo de 5 8. Cuál es la altura de la cúpula del edificio y cuál es la distancia desde el segundo lugar de observación a la base del edificio? 0) Una persona ubicada en un punto A debe estar en un plazo de 10 horas en un punto B situado a 5km al este de A. Esta persona decide tomar una lancha para pasar por el puesto C donde realizará unnegocio. SiC queda en dirección N 55 E de A y en dirección N 15 O de B, y la velocidad promedio de viaje es 60 km/h, decuánto tiempo dispone para tratar su negocio en C? 6

7 1) Un crucero zarpa con rumbo N 7 E desde una isla a un puerto en tierra firme que está a 150 millas; después de navegar por aguas de fuertes corrientes, la nave está fuera de curso en una posición P ubicada N E y a 80 millas de la isla. A qué distancia aproximada estará del puerto de destino? ) Desde un avión se observa la base de un edificio con un ángulo de depresión de 0.A1 metros de la base del edificio y desde el suelo una persona observa el aviónconunángulo de elevación de 50. Determine la altura a la que vuela el avión. ) Desde el piso de un cañón se necesitan 6 pies de cuerda para alcanzar la cima de la pared del cañón y 86 pies para alcanzar la cima de la pared opuesta. Si ambas cuerdas forman un ángulo de 1, cuáles la distancia entre la cima de la pared del cañón y la otra cima? ) Desde un punto A, ubicado a una altura de 10 metros, un observador ve la cúspide de un edificio con un ángulo de elevación de 8 y la base del mismo con un ángulo de depresión de 15. Determine la altura del edificio. 5) La diagonal mayor de un corral en forma de paralelogramo mide 10 metros de longitud. Un extremo de esta diagonal forma ángulos de y5 con los lados, respectivamente, del paralelogramo. Determine la longitud del lado mayor del corral. 6) Cuando Ana intentaba alcanzar a Berta en una carrera, observan un globo (al frente de ellas)conunángulo de elevación de 0 y 50, respectivamente. Si la distancia entre estas competidoras es de 5 metros y se supone que Ana, Berta y el globo están sobre el mismo plano horizontal, determine la distancia de Ana al globo. 7) Un terreno se encuentra al lado de un lago (ver figura), determine la medida aproximada del ángulo A. 70 m 100 m A 85 m 8) Un satélite de comunicación está directamente sobre la prolongación de la línea que une las torres de recepción A y B. Se determina por las señales de radio que el ángulo de elevación del satélite desde la torre A es de 8 1 y desde la torre B es de Determine cuál de las dos torres (en línea recta) se encuentra más cerca de dicho satélite? si se sabe que ambas torres se separan por una distancia de 1 90 km. 9) Desde un auto que se acerca a un edificio, una persona observa la cumbre de este con un ángulo de elevación de 5 ; posteriormente, después de recorrer 95 pies hacia el edificio, vuelve a observar la cumbre con un ángulo de elevación de 0. Determine la altura del edificio. 7

8 0) Una ruta comercial entre un puerto y una isla (ruta en línea recta) mide 00 millas. En determinado momento, un náufrago que sale del puerto hacia la isla se da cuenta que está a 80 millas del puerto y que se ha desviado 6 0 desde su salida con respecto de la ruta comercial. A qué distancia de la isla se encuentra el náufrago? 1) Determine la medida de los ángulos de un triángulo isósceles, sabiendo que sen (α) = 1, donde α es el ángulo comprendido entre los dos lados congruentes. XV. Calcule la longitud que debe tener una escalera para que, apoyada en la pared, alcance una altura de,5 metros, al formar con el plano de la base un ángulo de medida π 6. XVI. Considere la siguiente figura y determine la medida de AB, sabiendo que CD = 10 metros, AB CD, m ACD = 115, m ACB =9, m BDC = 15 y m BDA = 100. A B C D XVII. Considere la siguiente figura y determine los valores de B y de C, respectivamente C 6 B XVIII. Considere la siguiente figura. Si λ = 10 y δ =0, determine el valor de y. λ δ y 8

9 XIX. Considere la siguiente figura. Si δ = π y α = π, determine las dimensiones del triángulo ABC 6 y halle el área del cuadrado sombreado. A α δ B δ C XX. Considere la siguiente figura; si R = π 6, BC = BF = 1 ED y, además, CD =cm, determine las dimensiones del rectángulo ACDE y halle las dimensiones del triángulo FBC. A B C E F δ D Respuestas I. 1) 10 II. 1) ) 165 ) 6 50 ) π 5) 0 8 π ) ) 5π 1π π 1 6) 10 7) 700 8) ) ) 5) 6) π 5 5π 7 1π 180 π 9

10 III. 1) 5 ) 6+ ) ) 0 5) IV. 1) tan (α) = 5 ) cos (α) = 1 1 ) sen (β) cos (β) = 1 1 6) 7) 8) 9) 10) 6 7 π π ) cos (θ) = 1 1+x 5) cos (θ) =1 x 6) tan (α + β) = V. VI ( + 1 ) 8 VII. 5 VIII. ( ) IX ( ) x 1 x 1 X. sen (α) = ; α = π arcsen x x XI. Son verificaciones de identidades trigonométricas XII. S = 6 ; 5π 6 ; 7π 6 ; 11π 6 ; π +tan 1,55; π +tan 1 π 11π XIII. 1) S = +πk; πk; k Z ) S = 6 ; 5π 6 ; 7π 6 ; 11π 6 ) S = ; π π ) S = +πk;πk; k Z 10 5,695

11 5) S = 1 π 6) S = 5π +πk; +πk; π +πk; k Z 1 +πk; π +πk; k Z π 7) S = +πk; π +πk;πk; k Z 8) S = tan 1 (5) + πk 1,7 + πk; π6 +πk; 5π6 +πk; k Z π 9) S = + πk; k Z 10) S = + πk; π + πk; k Z 11) S = 9 + π 17π k; 9 + π k; π 6 + π 11π k; 6 + π k; k Z 1) S = 6 ; 5π 6 ; π ; π ; 7π 6 ; 11π ;0,76;,70;,565; 1,718;,81; 5, π 11π 1) S = +πk; 6 6 +πk; k Z 1) S = + πk; k Z 15) S = 0,71 + πk;,715 + πk; k Z 16) S = + πk; k Z 17) S = 0,05 + πk; k Z 18) S = 19) S = +πk;0,65 + πk; k Z 0) S = 6 +πk; 5π 6 +πk; k Z π π 1) S = + πk; + πk; k Z ) S =, πk;0,86 + πk; k Z ) S = 0,797 + πk;πk;,119 + πk; π +πk; k Z ) S = 0,56 + πk; π +πk;, πk; k Z 5) S = +πk; π π π +πk; +πk; +πk; k Z 11

12 6) S = 0,068 + πk;,78 + πk; k Z 7) S = 0,6 + πk;1,997 + πk; k Z 8) S = 0,65 + πk; k Z 9) S = +πk;πk; k Z 0) S = 0,086 + πk;,50 + πk; k Z 1) S = 1,8 + πk; 1,8 + πk; k Z ) S = 1,099 + πk;,65 + πk; k Z ) S = π ++πk;πk; k Z ) S = 0,906 + πk; 0,906 + πk; π π +πk; +πk; k Z 5) S = 0, πk;,57 + πk; k Z 6) S = +πk;0,56 + πk;, πk; k Z 7) S = +πk; π π π +πk; +πk; 6 6 +πk; k Z 8) S = 6 + πk; k Z 9) S = 6 + π k; π 18 + π π k; 6 + π 5π k; 18 + π k; k Z 0) S = πk; k Z 1) π S = +πk; k Z ) S = 0, πk;1,81 + πk; k Z ) S = 0,56 + πk;, πk; k Z ) S = + πk; 0,618 + πk;1,860 + πk; k Z 5) S = +πk; 0,56 + πk;,665 + πk; k Z 6) S = πk; π +πk; k Z 7) S = + πk; π 5π π + πk; + πk; πk; k Z 8) S = + πk;1,90 + πk; k Z 1

13 π 7π 9) S = + πk; πk; k Z XIV. 1) sen (δ) 0,6775; cos (δ) 0,755; tan (δ) 0,911; sec (δ) 1,595; csc (δ) 1,761; cot (δ) 1,0857. ) m A 71 9 ; el lado opuesto al vértice A mide, aproximadamente, 07,86 m y el otro cateto mide, aproximadamente 68,95 m. ) La distancia de la roca a la boya es de, aproximadamente, 57,0 m. ) El área del triángulo es, aproximadamente, 5 658,8 cm. 5) La torre mide, aproximadamente, 155,86 m. 6) Lasdostorresobservadasestán separadas una distancia aproximada de 1 577,8m. 7) El observador con su teodolito debe colocarse a una distancia aproximada de 69, m del edificio. 8) El edificio mide, aproximadamente, 6,98 m. 9) El río tiene una anchura aproximada de 8, m. 10) El túnel tendrá una longitud de 0,9 m, aproximadamente. 11) La altura del árbol es, aproximadamente, 10,9 m. 1) La distancia del barco al puerto de partida es, aproximadamente, 11,85 millas. 1) La altura del edificio observado por la persona es, aproximadamente, 6,06 m. 1) La diagonal mayor del paralelogramo mide, aproximadamente, 5 00,85 cm. 15) El barco está, aproximadamente, a 0,86 millas del punto de partida y en dirección N O. 16) La altura del edificio es, aproximadamente, 10,1 m y la distancia del edificio al segundo lugar de observación es, aproximadamente, 8,9 m. 17) El aro se encuentra a,6 m de altura sobre el suelo. 18) El primer barco ha viajado 18,97 km. 19) La altura de la cúpula del edificio es 6,67 m y la distancia desde el segundo lugar de observación a la base del edificio es 6,71 m. 0) La persona dispone de 1 hora, 7 minutos y 0 segundos para tratar su negocio en el puesto C. 1) El crucero estará, aproximadamente, a 7,9 millas del puerto de destino. ) El avión vuela a una altura aproximada de 5,88 m. ) La distancia entre la cima de la pared del cañón y la otra cima es de 10,57 pies, aproximadamente. ) La altura aproximada del edificio es 9,8 metros. 5) La longitud aproximada del lado mayor del corral es 6, m. 6) La distancia aproximada de Ana al globo es 89,70 m. 1

14 7) A 81,6. 8) La torre B eslaqueseencuentramás cerca; está, aproximadamente, 8,6 km más cerca. 9) La altura aproximada del edificio es 99,7 pies. 0) El náufrago se encuentra, aproximadamente, a 10,81 millas de la isla. 1) La longitud de cada uno de los ángulos congruentes del triángulo es 75 y la longitud del tercer ángulo es 0. XV. La longitud que debe tener la escalera es 9 metros. XVI. AB 0,07 m. XVII. C 9,19 m y m B XVIII. y 9,6 unidades lineales. XIX. Las dimensiones del triángulo ABC son las siguientes: AB =, BC =, AC = 8. El área del cuadrado es 16 8 unidades cuadradas. XX. Las dimensiones del restángulo son cm de ancho por cm de largo. Las dimensiones del triángulo FBC son cm cada uno de los lados congruentes y 9 cm el tercer lado. Créditos: Paulo García Delgado X enia Madrigal García Cristhian Páez Páez Rosalinda Sanabria Monge Marieth Villalobos J iménez (Asistente de la Revista Virtual; colaboró en parte de la edición) 1