Matemática. Cód P r o f. M a. D e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. N o e m í L a g r e c a

Transcripción

1 Punto - Rect Plno Mtemátic 1º Año Cód P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. N o e m í L g r e c Dpto. de M temátic

2 INTRODUCCIÓN L plr geometrí está formd por dos ríces griegs geo (tierr) y metrón (medid) por lo tnto su significdo etimológico es l medid de l tierr Es un rm de l mtemátic que se ocup de ls propieddes de ls figurs geométrics ; estudi idelizciones del espcio en que vivimos, que son los puntos, ls rects y los plnos, y otros elementos conceptules derivdos de ellos, como polígonos o poliedros entre otros. PUNTO, RECTA Y PLANO Los conceptos de PUNTO, RECTA y PLANO constituyen l se del grn edificio que conform l Geometrí. Se los conoce con el nomre de conceptos primitivos, son ides o strcciones que no podemos definir con términos más sencillos o por otros términos y conocidos. Trjremos con conjuntos no vcíos de puntos en el espcio los que llmremos figurs.algunos ejemplos de ellos son : los puntos, ls rects, los plnos que convenimos en representr y nomrr de l siguiente form: A los puntos los nomrmos con letrs minúsculs y los representmos indistintmente como muestr el ejemplo leemos: punto leemos: punto A ls rects ls nomrmos con letrs myúsculs y ls representmos como muestr l figur A leemos: rect A A los plnos los nomrmos con letrs del lfeto griego y los representmos como en el diujo leemos: plno Alguns letrs del lfeto griego son: lf épsilon et omeg gmm rho delt pi P O L I T E C N I C O 1

3 Punto-Rect-Plno Mtemátic El espcio, es el conjunto de todos los puntos. Utilizmos pr nomrrlo, el símolo R 3 que leemos erre tres. Prolem 1) Confeccion un gráfico que cumpl simultánemente con ls siguientes condiciones: un plno y llámlo un rect R, un rect T un punto p que pertenezc l rect T y no pertenezc l plno Puntos linedos Diremos que dos o más puntos son linedos (o colineles) si pertenecen un mism rect. Ejemplo: c R Como, y c pertenecen R entonces, y c son colineles y recíprocmente. En símolos:,,c R,,c son colineles Punto exterior un rect Dd un rect hy infinitos puntos en R 3 que no pertenecen l mism. A cd uno de ellos se lo denomin punto exterior l rect Ejemplo: R d d es exterior l rect R. En símolos: d R d es exterior R 2 P O L I T E C N I C O

4 Puntos coplnres Diremos que dos o más puntos son coplnres si pertenecen un mismo plno. c Como, y c pertenecen entonces, y c son coplnres y recíprocmente. En símolos:,,c,,c son coplnres Punto exterior un plno En el espcio hy infinitos puntos que no pertenecen un plno. A cd uno de ellos se lo denomin punto exterior l plno Ejemplo: es exterior l plno. En símolos: es exterior Prolems 2) Diuj 4 puntos,,c y d tl que, y c sen colineles y,, c y d no lo sen. 3) El gráfico represent un tetredro Nomr: un tern de puntos coplnres un punto del plno l cul pertenecen los puntos c y d, márclo en el diujo d c P O L I T E C N I C O 3

5 Punto-Rect-Plno Mtemátic 4) De cuerdo con l figur complet, emplendo decudmente los símolos ; ; y s u t C B s...b B... R 3 u... C B... p... R 3 C... p u 5) En el siguiente sistem de coordends hemos uicdo dos puntos y. ) Determin ls coordends de y. ) Uic tres puntos colineles con y y escrie sus coordends c) Uic dos puntos no linedos con y y escrie sus coordends. y 1 Recuerd: En un sistem de coordends cd punto p le corresponde un pr ordendo de números (x ; y) tl que x recie el nomre de scis de p e y ordend del punto p o 1 x POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDEANA Pr poder ir construyendo el edificio de l geometrí demás de los conceptos primitivos se deen tener en cuent los postuldos Qué es un postuldo? Euclides ( C) : geómetr griego, fundó un Escuel de Mtemátic en Alejndrí. Su or monumentl es Elementos, compuest de 13 liros Un POSTULADO es un proposición evidente por sí mism y por lo tnto no necesit demostrción 4 P O L I T E C N I C O

6 Los postuldos en geometrí son muy importntes en el proceso del rzonmiento deductivo. Son comprles con ls regls de un juego. Por un punto psn infinits rects p Existe un rect y solo un que ps por dos puntos distintos Este postuldo suele expresrse: Dos puntos distintos determinn un rect l cul pertenecen En símolos: y leemos rect De lo nterior result que: A un rect pertenecen infinitos puntos, pero sólo stn dos de ellos pr determinrl. Por un rect del espcio psn infinitos plnos R Existe un plno y solo uno que ps por tres puntos no linedos c P O L I T E C N I C O 5

7 Punto-Rect-Plno Mtemátic Este postuldo suele expresrse: Tres puntos no linedos determinn un único plno l cul pertenecen De lo nterior result que: A un plno pertenecen infinitos puntos, pero sólo stn tres de ellos no linedos pr determinrlo. Este postuldo suele expresrse: Tres puntos no linedos determinn un único plno l cul pertenecen Oservciones: Tres puntos siempre son coplnres Un rect y un punto exterior ell determinn un único plno R Dos puntos distintos pertenecientes un plno determinn un rect incluid en él. Dos rects que se intersecn en un punto determinn un plno en el que están incluíds F R Prolems 6) Cuánts rects distints determinn los vértices de un pirámide de se pentgonl? 7) Consider un pirámide de se cudrngulr. Cuántos plnos distintos quedn determindos por sus vértices?.grfícl 8) Cómo uicrís cutro puntos distintos de modo que ls rects determinds por cd pr de ellos sen exctmente cutro? 6 P O L I T E C N I C O

8 9) Diuj un plno,uic en él los puntos m,s y t no linedos, un punto colinel con m y s.además un punto h exterior l plno Determin si ls siguientes firmciones son V(verdders) o F(flss). ),s, m d) th ) h,s y son coplnres e) ms c) mh s f) h y t están linedos POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Dos rects del espcio incluids en un plno se llmn rects coplnres Si ls dos rects tienen un sólo punto en común recien el nomre de rects secntes A p B En símolos: A y B secntes A, B, A B p Si ls dos rects no tienen puntos en común o tienen todos sus puntos en común recien el nomre de rects prlels Ests rects A y B se denominn coincidentes A B A = B Importnte: Tod rect es prlel sí mism En símolos: A // B A, B, A B A B P O L I T E C N I C O 7

9 Punto-Rect-Plno Mtemátic Dos rects que no son coplnres (o se no existe un plno que ls conteng) se llmn rects leds A En símolos: A B A yb A B sonleds B Prolem 10) Complet en cd rectángulo con el nomre que identific l posición reltiv de dos rects según indic su expresión simólic y en cd llmd el gráfico correspondiente Dos rects A y B pueden ser: A, B A B A B A B p A B A B A B B p A 8 P O L I T E C N I C O

10 Alguns Propieddes importntes Pr el cumplimiento de ests propieddes se considern elementos de un mismo conjunto Propiedd Reflexiv: todo elemento est relciondo con sí mismo Propiedd Simétric: si un elemento est relciondo con otro,entonces este est relciondo con el primero. Propiedd Trnsitiv: si un elemento est relciondo con otro y este est relciondo con un tercero, entonces, el primero est relciondo con el tercero Tod relción que se reflexiv, simétric y trnsitiv es un relción de equivlenci Prolems 11) Anliz si el prlelismo de rects es un relción de equivlenci,expréslo coloquil y simólicmente 12) Ls rects A; B y C psn tods por el punto r. ) Pueden ser dos de ells leds? Por qué? ) Si tommos un punto p r trzmos por él un rect S prlel A. L rect S cortrá siempre B? 13) Determin cuáles de ls siguientes proposiciones son V(verdders) o F(flss).Justific ) A B A // B ) A //B A B c) A B y A // B A B d) A y B leds A B P O L I T E C N I C O 9

11 Punto-Rect-Plno Mtemátic DE PLANOS Si dos plnos no tienen ningún punto común o todos sus puntos son comunes recien el nomre de plnos prlelos Estos plnos y β se llmn coincidentes β =β Importnte: Todo plno es prlelo sí mismo En símolos: // Si dos plnos tienen en común sólo un rect recien el nomre de plnos secntes R En símolos β R y β secntes 10 P O L I T E C N I C O

12 Prolems 14) Complet en cd rectángulo con el nomre que identific l posición reltiv de dos plnos según indic su expresión simólic y en cd llmd el gráfico correspondiente Dos plnos y β pueden ser; R 15) Anliz si el prlelismo de plnos es un relción de equivlenci,expréslo coloquil y simólicmente 16) Determin justificndo l respuest e ilustrndo convenientemente l vercidd o flsedd de los siguientes enuncidos: // 2 // Los plnos y no son prlelos entonces β intersección no es vcí 1 // 2 1 // 3 2 // 3 // p P O L I T E C N I C O 11

13 Punto-Rect-Plno Mtemátic ENTRE UNA RECTA Y PLANO Si un rect y un plno no tienen ningún punto común o l rect está incluid en el plno diremos que l rect y el plno son prlelos R R En símolos: R // R R Si un rect y un plno tienen un único punto en común recien el nomre de secntes R p En símolos R p R y secntes Prolems 17) Oserv el gráfico ) Cómo son los dos plnos y por su posición? ) Diuj un rect A que esté incluid en pero no en. Expres simólicmente c) Diuj un rect B que no esté contenid ni en ni en pero que corte mos. Expres simólicmente d) Diuj un rect R prlel Cómo puede ser l rect con respecto?. Qué otrs posiiliddes hy distints l diujd? 12 P O L I T E C N I C O

14 18) Utilizndo el lenguje simólico descrie cd gráfico. ) B ) p A D E C c) F H G 19) Si // β y A y B β Puede ser A // B?.Ilustr tu respuest Puede ser A no prlel B? Ilustr tu respuest. Qué nomre recien en este cso ls rects? Teniendo en cuent los prtdos nteriores.determin si es verdder l siguiente implicnci. // β A A // Bβ B P O L I T E C N I C O 13

15 Punto-Rect-Plno Mtemátic 20) Determin l flsedd o vercidd de ls siguientes implicncis. A // A // B B R A // A // A // R SEMIRRECTA Definición: Dd un rect y un punto perteneciente l mism llmmos semirrect cd uno de los suconjuntos que quedn determindos en l rect por el punto. Dicho punto se lo llm origen de l semirrect En símolos: p Se lee semirrect de origen p que ps por p Semirrects Opuests Ls semirrects que determin un punto sore un rect se denominn semirrects opuests R r p pr y p son semirrects opuests En símolos: pr p p pr pr p R y p son semirrects opuests 14 P O L I T E C N I C O

16 SEGMENTO Definición Dd un rect R y dos puntos y pertenecientes ell, l intersección de ls semirrects y es el conjunto de puntos llmdo segmento. A los puntos y se los llm extremos del segmento. R Pr recordr Convenimos en considerr culquier punto como un segmento y lo llmmos segmento nulo En símolos: Segmentos consecutivos: Definición Dos segmentos que tienen en común únicmente un extremo se llmn segmentos consecutivos. Prolem 21) Complet l siguiente ctividd, prtir de los gráficos ddos: c ) ) p c) c... es el extremo común de y c son segmentos... ph hi......es el extremo.... ph y....son segmentos consecutivos h i o d c d... c y d... consecutivos c P O L I T E C N I C O 15

17 Punto-Rect-Plno Mtemátic POLIGONAL: Definición Es un conjunto finito de segmentos sucesivmente consecutivos, es decir que cd extremo de un segmento es lo sumo extremo de dos Ejemplos: Poligonl iert En el plno e f d c Se nomr: poligonl cdef En el espcio c d e Se nomr: poligonl cde n Poligonl cerrd m s t d c Se nomr: poligonl mntsm Se nomr: poligonl cd Algunos nomres tener en cuent Por ejemplo, en l poligonl cdef representd en el cudro nterior: los segmentos, c, cd, de y ef recien el nomre de ldos de l poligonl los extremos,,c,d, e y f de los segmentos se llmn vértices de l poligonl el vértice y f se llmn extremos de l poligonl 16 P O L I T E C N I C O

18 Prolems 22) Oserv l figur y determin cuáles de ls siguientes proposiciones son V(verdders) o F(flss).Justific ) m,s, ) mh s c) ms d) h, s, son coplnres e) m h f) mh m h g) s poligonl tm t m s h 23) Cuáles de ls siguiente proposiciones son V (verdder ) o F ( fls)?. Justific ls proposiciones flss. ) Dos semirrects coplnres siempre se intersecn ) Dos semirrects siempre son coplnres c) Dos semirrects del mismo origen son coplnres d) Tres semirrects con el mismo origen son coplnres e) Dos semirrects siempre tienen un segmento en común. f) Dos segmentos pueden tener un segmento en común. g) Un semirrect y un segmento tienen siempre un segmento en común. 24) Ddos,, h y d puntos linedos distintos tles que demás un punto t tl que _ h, h d t d,determin nlític y gráficmente: ) hd d) h dh ) _ d _ h e) poligonl thd h c) dh f) poligonl th hd _ y P O L I T E C N I C O 17

19 Punto-Rect-Plno Mtemátic SEMIPLANOS Definición Ddo un plno y un rect incluid en el mismo llmmos semiplno cd uno de los suconjuntos que quedn determindos en el plno por l rect. Dich rect se l llm fronter del semiplno Semiplno de fronter R que contienen p. En símolos: semp ( ) R p p R q Semiplno de fronter R que contienen q. En símolos: semp ( ) R q Semiplnos opuestos Los semiplnos que determin un rect en un plno se denominn semiplnos opuestos En símolos sempr( p) sempr( q) R sempr( p) y sempr( q) son semiplnos opuestos sempr( p) sempr( q) Prolems 25) Ddos R π, π R, π R ) Qué puedes firmr sore y si R? ) Qué puedes firmr sore y si R? 26) En cd prtdo reliz el gráfico de dos semiplnos tles que : ) Tengn l mism fronter y estén incluidos en el mismo plno. ) Tengn l mism fronter y no estén incluidos en el mismo plno. c) Tengn distint fronter y estén incluidos en un mismo plno 18 P O L I T E C N I C O

20 27) Si se se que : A,,c,d, c A e, d A ) Reliz un gráfico que contemple l situción descript según los dtos. ) Emplendo los elementos nomrdos simoliz de tods ls forms posiles los semiplnos determindos en por A c) Nomr el semiplno en el que está incluid ed. d) Puede ser dc A?.Justific tu respuest. SEMIESPACIOS Ddo un plno, llmmos semiespcio cd uno de los suconjuntos que quedn determindos por el plno en el espcio. Dicho plno se lo llm fronter del semiespcio El semiespcio de fronter que contiene l punto, se simoliz semiesp () y el semiespcio de fronter que contiene l punto semiesp () Semiespcios opuestos Decimos que dos semiespcios que determin un plno en el espcio son semiespcios opuestos. En símolos semiesp( ) semiesp( ) semiesp( ) y semiesp( ) son semiespcios opuestos semiesp ( ) semiesp ( ) R 3 P O L I T E C N I C O 19

21 Punto-Rect-Plno Mtemátic Prolem 28) Oserv el gráfico y complet el siguiente texto. En l figur se oservn dos semiespcios opuestos que se llmn y.. l p m L rect pr y el plno tienen..en común t c L rect c determin en dos... opuestos que se nomrn.y r Como l y t, que no pertenecen c mismo semiplno respecto de c,pertenecen un result l t c...,en cmio t m c... l, t,,, c y m son puntos..por pertenecer todos l.. p es.. t es. c. FIGURA CONVEXA Un figur es convex si dos puntos culesquier de ell, son los extremos de un segmento contenido en l figur F G IMPORTANTE Admitiremos que l figur formd por un solo punto es convex F es un figur convex., F result : F G no es un figur convex o G es cóncv ; G / G 20 P O L I T E C N I C O

22 Prolem 29) Oserv el prism representdo en l figur y complet ) L intersección entre el plno que contiene l cr cd y c es un figur.... ) hf f e es un figur... c) El punto... es un figur... d) L poligonl cfedc es un figur... e) d c c d es un figur... f) c c es un figur... g) g g f es un figur... h) L intersección no vcí de dos figurs convexs es un figur... i) L unión de dos figurs convexs veces es un figur... d e g c f h ÁNGULO PLANO Ls semirrects y c, con origen común, determinn dos suconjuntos del plno cd uno de los cules se denomin ángulo ; ls semirrects se llmn ldos de los ángulos y el punto es el vértice de los mismos. Pr nomrrlos utilizremos ls siguientes forms: c o cundo el ángulo es convexo c conc o conc cundo el ángulo es cóncvo c P O L I T E C N I C O 21

23 Punto-Rect-Plno Mtemátic Algunos ángulos especiles Lenguje Coloquil Lenguje gráfico Lenguje simólico Angulo Nulo Es un semirrect Sus ldos son coincidentes N Angulo Pleno Es un plno Sus ldos son coincidentes V Angulo Llno Es un semiplno. Sus ldos son semirrects opuests. L Prolem 30) De cuerdo con este gráfico: Clcul: ) semp ( ) semp ( c) c d ) semp ( ) semp ( c) c c) od od d) odco e) codco d d c c 22 P O L I T E C N I C O

24 Pres de ángulos prticulres Ángulos opuestos por el vértice Es quel pr de ángulos que tienen un vértice en común y sus ldos son semirrects opuests. Gráficmente: En símolos indicmos o o o Luego indicmos oc c od d cod o o y cod son opuestos por el vértice Ángulos dycentes Es quel pr de ángulos que tienen un ldo en común y los otros dos ldos son semirrects opuests. p o c d Gráficmente n m t En símolos indicmos mn mt nt nmp Luego nmp pmt mp y pmt son ángulos dycentes Ángulos Consecutivos Dos ángulos son consecutivos si solo poseen en común un ldo Gráficmente En símolos: c cd c Luego c y cd son ángulos consecutivos d c P O L I T E C N I C O 23

25 Punto-Rect-Plno Mtemátic A continución te dmos lgunos nomres que utilizremos con frecuenci. Si un punto pertenece l ángulo y no sus ldos se dice que es interior dicho ángulo m Si un punto no pertenece l ángulo se dice que es exterior dicho ángulo q c m interior c q exterior c q c Prolems 31) Responde y justific tu respuest: ) Dos ángulos dycentes son consecutivos? ) Dos ángulos consecutivos son dycentes? 32) f o e d c Oserv l figur y responde verddero o flso. ) od vértice yeoc son opuestos por el ) doc y coe son dycentes c) eo y eod son consecutivos dycentes d) of o e) o es un ángulo nulo f) eo es un ángulo llno g) c es exterior l doc conc h) of fod of 24 P O L I T E C N I C O

26 AUTOEVALUACIÓN 1. Oserv l figur y reliz ls ctividdes propuests: I) Nomr : ( no vle gregr letrs ) y explic tu elección ) Dos semirrects no coplnres. ) Dos semirrects opuests c) Un semiplno d) Un semiespcio e) Un pr de ángulos opuestos por el vértice f) Un poligonl cerrd.indic sus elementos II) Coloc verddero ( V ) o flso ( F ) según correspond, justificndo cd respuest: ) op ) hop y qop son ángulos dycentes c) hpr or o ; r d) El ángulo llno hoq es un figur convex e) ph es un ángulo pleno 2. Oservndo el gráfico continución resuelve los ejercicios: I) Anliz si los siguientes enuncidos son verdderos (V) o flsos (F):. Los puntos p, q y n son colineles.. pq y o son coplnres c. m es interior l no cónc. d. poligonl mo on o P O L I T E C N I C O 25

27 Punto-Rect-Plno Mtemátic II) Complet (resuelve):. o o c. p q..... d. m om t n tn semp III) Oserv el gráfico y complet el siguiente texto: Los plnos y son secntes pues Los ángulos o m y. son consecutivos porque.. Ls rects y.. son leds. El ángulo... es un ángulo nulo pues... L poligonl monq es y, sus vértices son....y sus ldos Ls semirrects op y. no son colnres. Ls rects y son prlels. El prlelismo entre rects cumple l propiedd reflexiv porque., cumple l propiedd simétric pues..., y l propiedd trnsitiv porque... Entonces es un relción de y son semiespcios opuestos. 26 P O L I T E C N I C O

28 BIBLIOGRAFIA PREM 7. Buschizzo Filipputti González Lgrec L- Lgrec N Strzziusso. UNR EDITORA - Mrzo 2005-Rosrio - Argentin ESTRUCTURAS MODULARES PARA LA ENSEÑANZA SECUNDARIA ( Aul Tller) Estructur Modulr I GEOMETRÍA MÉTRICA FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTALES B de Gonzlez Beltrán- Hinrichsen - Cttneo L. - Rosrio - Argentin GEOMETRIA. Clemens - O Dffer - Cooney. Editoril Addison Wesley Longmn - Myo 1998 México D.F. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA. Dr.J.A. Bldor. Grupo Editoril PATRIA. Reimpresión 2009 México D.F. GEOMETRIA 2 - S.Selzer - Editoril Kpelusz- Mrzo Buenos Aires- Argentin P O L I T E C N I C O 27