MATRICES. Modificar el segundo miembro de esas identidades para obtener fórmulas., sabiendo que. B y., la matriz X que satisface la ecuación

Transcripción

1 lgebra Lineal Teoría Maricial MTRICES. Comrueba que las idenidades algebraicas ) ( ) ).( ( no son cieras ara las marices - Modificar el segundo miembro de esas idenidades ara obener fórmulas válidas ara odas las marices cuadradas.. Calcule la raza de ) (a ij ) (b ij marices de orden n definidas or: j, i a ij j i si j j i si j i b ij. Encuenre el valor de: w 7 z x, sabiendo que v x x v z x. Dadas marices, C, deermine la mariz Y en la ecuación )C ( Y, la mariz X que saisface la ecuación C X) (. finalmene, la raza de Y X. Considere las marices D, 6 C,, z E Sabiendo que C deermine la mariz X en érminos de sí:

2 lgebra Lineal Teoría Maricial E D X z z 6. Considerando las marices:, deermine: a) Los valores de a, b c de modo que c b a. b) Usando los valores de a, b, c calculados aneriormene, obenga la mariz X que saisface: I X c a b ; donde I es la mariz idenidad. 7. Suonga que es una mariz simérica cualquiera que es una mariz al que esá definida. Demosrar que es simérica. 8. Suonga que nxn M, conmuan son ales que es simérica es anisimérica. Demuesre que es anisimérica. 9. Si es una mariz anisimérica, demuesre que es simérica. Si es una mariz simérica, qué uede decir de?. Demuesre que nxn M, la mariz ) ( es simérica la mariz ) ( es anisimérica. Use esos resulados ara demosrar que oda mariz cuadrada se uede escribir como la suma de una mariz simérica una anisimérica.. Encuenre la forma caracerísica que ienen odas las marices que conmuan con la mariz.. Si 7, 8 C, resuelva ara X la ecuación X = C.

3 lgebra Lineal Teoría Maricial. Sea =. Deermine odas las marices ales que = I. cos sen cos - sen. Prueba que las marices conmuan, sen cos sen cos es decir, =. -. Para las marices, efecúe las oeraciones necesarias - ara esablecer la verdad o falsedad de las siguienes afirmaciones: a) ( + ) = + b) () = c) () = 6. Considere la mariz M a) Deermina, con IN M. b) Deermina n S n M. 7. Considere la mariz a) Deermina, IN n S. b) Deermina n 8. Demuesre que a, la mariz a a a a es inverible que.

4 lgebra Lineal Teoría Maricial 9. Se dice que Mnxn es involuiva si In, que es idemoene si que es orogonal si In. Cuáles de las siguienes afirmaciones son verdaderas? (Jusifica u resuesa) a) Si es involuiva orogonal, enonces es simérica b) Si es simérica e involuiva, enonces es orogonal c) Si es simérica orogonal, enonces es involuiva d) Si es idemoene, enonces In es involuiva. Si Mnxn es una mariz idemoene, demuesre que I es inverible que su inversa es ella misma. Sean. Exise una mariz C al que C? Si exise, deermínela.. Sean,, C Mnxn ales que C conmuan, C = + C. Demuesre que n n a) C C, n IN n n b) ( (n )C), n IN. Encuenre odos los valores de de modo que el rango de la mariz M sea, si M. nalice el rango de la mariz ara a. a. Encuenre odos los valores de de modo que las marices engan un rango mínimo.

5 lgebra Lineal Teoría Maricial = 7 7 = Deermine las condiciones que debe cumlir h ara que el rango de la mariz sea dos, si h 7. Calcule la inversa de las siguienes marices usando ara cada uno res méodos diferenes: Oeraciones elemenales, Pares, Faddevva a) b) c) d) 8. Inverir las siguienes marices or cualquier méodo a). b) cos cos senx x x senx c) (*) 7 d) (*) La mariz esa en base ocal

6 lgebra Lineal Teoría Maricial 9. Para cuáles valores de la mariz es inverible?. Calcule la inversa de la mariz (aij), de orden, definida or: ara a, a ij a si si si i j j i oros. Resuelva ara X la ecuación maricial Resuelva ara X la ecuación (X ), donde. X si. Mediane un modelo maemáico el dearameno de adquisiciones conrola el soc H de res arículos. El rocedimieno consise en ingresar diariamene las canidades vendidas, las canidades coizadas or los clienes el número de arículos defecuosos (acualización). Sabiendo que en ciero día la mariz de acualización es (I )H C, en donde = 8 C I., calcule el soc H mediane la ecuación. Considere las marices X al que X. Es inverible? ara obener la mariz

7 lgebra Lineal Teoría Maricial. Resuelva ara X e Y el sisema X Y X Y si, M n ( ). 6. Sea X ; deermine si la mariz idemoene. Cuál es el rango de? I X(X X) X es 7. Para, se define inverible calcule. demás demuesre que. Demuesre que, es,q,. q q 8. Un mueblero fabrica sillas mesas, que deben asar or un roceso de armado uno de acabado. Los iemos necesarios ara esos rocesos esán dados (en horas) or la mariz. El fabricane iene una lana en Cochabamba ora en Sana Cruz. Las arifas or hora de cada roceso esán dadas (en dólares) or la mariz. Qué le dicen al fabricane las enradas del roduco de marices? rmado cabado Sillas Mesas rmado 9 cabado Cochabamba Sana Cruz 9. Un fabricane elabora los roducos P Q, en las lanas M N. Durane la fabricación, se roducen los conaminanes: bióxido de azufre, óxido nírico arículas susendidas. Las canidades de cada conaminane esán dadas (en ilogramos) or la mariz. Los reglamenos esaales federales exigen la eliminación de esos conaminanes. El coso diario or deshacerse de cada ilogramo de conaminane esa dado (en dólares) or la mariz. Qué le dicen al fabricane las enradas del roduco? ióxidode azufre Oxido nírico Parículassusendidas Produco P Produco Q

8 lgebra Lineal Teoría Maricial PlanaM PlanaN 8 ióxidode azufre 7 9 Oxido nírico Parículas susendidas. Un roeco de invesigación nuricional comrende adulos niños de ambos sexos. La comosición de los aricianes esá dada or la mariz. El número de gramos diarios de roeínas, grasa carbohidraos que consume cada niño adulo esá dado or la mariz. dulos 8 Niños Hombres Mujeres Proeínas Grasa Carbohidraos dulo Niño a) Cuános gramos de roeínas ingieren diariamene odos los hombres del roeco? b) Cuános gramos de grasas consumen a diario odas las mujeres?. Una emresa de foografía iene una ienda en cada una de las siguienes ciudades: La Paz, Cochabamba Sana Cruz. Ciera marca de cámara esá disonible en los modelos auomáico, semiauomáico manual. demás, cada una iene una unidad de flash corresondiene, la cual se vende or lo general juno con la cámara. Los recios de vena de las cámaras de las unidades de flash esán dados (en dólares) or la mariz. El número de equios (cámara unidad de flash) disonibles en cada ienda esá dado or la mariz. uomáico Semiauomáico Manual Cámara Unidad de flash La Paz Cochabamba 8 Sana Cruz uomáico Semiauomáico Manual c) Cuál es el valor oal de las cámaras en La Paz? d) Cuál es el valor oal de las unidades de flash en Sana Cruz?

9 lgebra Lineal Teoría Maricial. Una emresa aga a sus ejecuivos un salario además les da acciones de la comañía a manera de graificación anual. El año asado el residene de la comañía recibió $8 acciones, cada uno de los res viceresidenes recibió $ acciones al esorero se le dieron $ acciones. a) Exrese los agos hechos en dinero en acciones a los ejecuivos mediane una mariz x. b) Exrese el número de ejecuivos de cada rango or medio de una mariz columna. c) Uilice la mulilicación maricial a fin de calcular la canidad oal de dinero el número oal de acciones que la comañía agó a esos ejecuivos el año asado.. En la abla que se sigue se indican las venas, las ganancias uniarias bruas los imuesos uniarios or conceo de venas de una cororación mu grande: Produco Mes Venas del arículo I II III Iem Ganancia uniaria uniarios (en cienos de dólares) dólares) Imuesos (e cienos de Enero I.. Febrero 6 9 II.7 Marzo III..6 bril 8. Halle una mariz que muesre las ganancias los imuesos oales en cada uno d los cuaro meses.. Un número de ersonas fue enrevisado acerca de sus convicciones olíicas su ingreso anual. Se obuvo la información siguiene: 7 eran liberales ganaban más de $ al año. eran conservadores ganaban mas de & al año

10 lgebra Lineal Teoría Maricial 89 eran demócraas ganaban más de $ al año. 7 eran liberales ganaban menos de $ al año. 8 eran conservadores ganaban menos de $ al año. 8 eran demócraas ganaban menos de $ al año. Reresene la información anerior en una mariz.. Una emresa de consularía iene oficinas en Jalisco Oaxaca. Esa úlima iene sillas, 7 escriorios máquinas de escribir. La oficina en Jalisco osee sillas, 6 escriorios 8 máquinas de escribir. Si las sillas ienen un coso de $ cada una, las mesas de $ las máquinas de escribir $cada una, exrese las canidades gasadas en ésos arículos en las dos oficinas en érminos de roducos de marices. 6. Una equeña emresa consrucora cobra $6 la hora or cada camión sin conducor, a $ la hora or un racor sin conducor a $ la hora or cada conducor. La emresa uiliza la mariz ara diversos ios de rabajo. Tio de I II rabajo III IV Camión Tracor Conducor a) Si P denoa la mariz de recios que la emresa fija, con P 6, deermine el roduco maricial P e inerree sus elemenos. b) Suonga que en un equeño roeco la emresa uilizó horas de rabajo del io I horas de rabajo del io II. Si S T denoa la mariz ofera, deermine e inerree los elemenos del roduco de marices: S. Evalúe e inerree el roduco de marices. 7. Suonga que un conraisa ha aceado edidos ara cinco casas esilo rúsico, siee esilo moderno doce esilo colonial. demás suonga que las maerias rimas que se uilizan en cada io son acero, madera, vidrio, inura mano de obra esán dados or:

11 lgebra Lineal Teoría Maricial i) Cinco unidades de acero inura se necesian ara la casa rúsico colonial resecivamene; el cuádrulo quínulo de la unidad anerior requiere la casa rúsica colonial del maerial madera resecivamene. unidades se disone de mano de obra ara las casas colonial moderno. ii) Seis unidades de acero se necesia en la casa colonial, mienras que unidad más se necesia en la casa moderna, la misma canidad de la casa anerior se requiere en la rúsica ero esa vez de inura. Una unidad más de ésa se requiere en la casa colonial del maerial vidrio una unidad más se oorga en inura ara la casa moderna. iii) Las unidades de vidrio que se oorgan a la casa moderna equivale al oal de las unidades de acero que se necesian en las casas rúsico moderno. Cuaro unidades más del anerior se necesia de vidrio en la casa rúsica; mienras que unidades más corresonden a la mano de obra madera en las casas rúsico moderno resecivamene. a) El conraisa desea calcular la canidad de cada maeria rima necesaria ara saisfacer odos sus edidos de casas. b) El conraisa ambién esá ineresado en conocer los cosos que endrá que agar or esas maerias rimas; ara lo cual se sabe que cada maeria rima cuesa, 8,, bs. resecivamene. Cuál es el coso oal de la maeria rima ara odas las casas?