Figura 4.1. Representación esquemática del modelo tensión-deformación utilizada en el modelo lineal equivalente

Transcripción

1 Introdcción La respesta sísica del selo frente a n oviiento sísico se ha silado tilizando prograas inforáticos qe tilizan varias hipótesis siplificadoras. Unos de los prieros prograas fe SHAKE [7]. Este prograa analiza la respesta de n sistea roca-selo forado por niveles horizontales y soetidos a na incidencia vertical de ondas sísicas S. Tabién spone qe el coportaiento cíclico del selo pede aproxiarse por edio de n odelo eqivalente lineal. Está basado en las solciones de propagación de la onda de Kanai [8], Roesset y Whitann [9] y Tsai y Hosner []. Existen varias versiones del prograa SHAKE [4], siendo na de las ás recientes el SHAKE. En este capítlo se presentan los fndaentos teóricos de este étodo nérico. Para aplicar este étodo se ha tilizado el software EERA (Eqivalent-linear Earthqake site Response Analyses) qe se desarrolló en el año 998 en lengaje FORTRAN 9 y se basa en los isos conceptos y forlaciones qe SHAKE. El prograa EERA está integrado coo na hoja de cálclo dentro del prograa EXCEL. La descripción copleta de EERA se presenta en el ANEXO II. A odo de ejeplo se presenta n caso de aplicación de EERA ediante n odelo forado por capas, donde se discten los resltados qe pede ofrecer este prograa. 7

2 4.. El odelo de Kelvin-Voigt El odelo D eqivalente lineal representa la respesta tensión deforación del selo basándose en el odelo Kelvin-Voigt (figra 4.). Figra 4.. Representación esqeática del odelo tensión-deforación tilizada en el odelo lineal eqivalente La tensión de corte τ depende de la deforación de corte γ y de s priera derivada ediante la ecación: τ γ + η γ. (4.A) Qe define la ecación constittiva del odelo. Donde es el ódlo de corte y η la viscosidad del aterial. La deforación de corte γ y s derivada teporal se definen coo: ( z, γ z (4.B) γ ( z, ( z, t γ t z t ) (4.C) Donde (z, es el desplazaiento horizontal en na colna de selo. En el caso de oviientos harónicos el desplazaiento, la deforación y la ratio de deforación son: ( z, U ( z) e (4.D) du dz γ ( z, e Γ( z) e (4.E) Donde U(z) y Γ(z) son las aplitdes del desplazaiento y la deforación de corte, respectivaente. Cobinando las ecaciones 4.B, 4.C y 4.D se obtiene: 7

3 (4.F) γ ( z, iωγ ( z, Utilizando las relaciones anteriores, la ecación constittiva para oviientos harónicos es: τ du dz du dz ( z, Λ( z) e ( + iωη) e e γ ( z, (4.) Donde es el ódlo de corte coplejo y Λ (z) es la aplitd de la tensión de corte. El ódlo de corte en fora copleja pede expresarse en fnción de la razón crítica de aortigaiento ξ : Obteniéndose: ωη ξ (4.H) ( + ) + iωη iξ (4.I) La energía disipada drante n ciclo de carga copleto es igal al área encerrada en el lazo histerético de la crva tensión-deforación y se expresa coo: W d (4.J) τdγ En el caso de deforaciones controladas por cargas harónicas la ecación 4.I se transfora en la sigiente expresión: Wd πωηγ c (4.K) Donde γ c es la aplitd de la carga harónica, de ecación: 4.3. La aproxiación lineal eqivalente i t () t ω γ γ (4.L) c e La aproxiación eqivalente lineal consiste en odificar el odelo Kelvin-Voigt para tener en centa algnos tipos de coportaientos no lineales del selo. El ódlo de corte lineal eqivalente se toa igal al ódlo de corte secante qe depende de la aplitd de la deforación de corte γ c según: sec τ c γ c (4.M) En los análisis de respesta de sitio el coportaiento del aterial se especifica estdiando las variaciones del ódlo de corte secante y de la razón de aortigaiento respecto a la deforación de corte. Las crvas sec-γ no peden tener foras arbitrarias ya qe derivan de crvas τ γ. Esto iplica qe calqier restricción en la relaciones τ γ se refleje tabién en restricciones en las relaciones sec-γ. Por ejeplo, existe el fenóeno del reblandeciiento en los 73

4 selos, es decir, la disinción de la tensión de corte con la deforación. El estdio de este tipo de fenóeno reqiere de técnicas néricas especiales y coplicadas porqe s estdio con las técnicas de trabajo habitales en la respesta de sitio da lgar a efectos néricos tales coo qe la solción depende ferteente de la discretización espacial. La exclsión del rebladeciiento iplica qe: dτ dγ Qe a s vez se tradce en: dsec sec ( γ ) + γ dγ (4.N) sec ax sec () γ γ γ ax (4.O) Donde s es la disinción en el valor de s correspondiente a n aento γ en la deforación y ax es el valor áxio del ódlo de corte áxio Análisis D El análisis nidiensional lineal eqivalente de la respesta del selo se representa en la figra 4.. El depósito de selo está forado por N estratos de selo, horizontales e indefinidos, de espesor h i y con nas propiedades características de cada estrato: densidad, ódlo de corte y razón de aortigaiento. Figra 4.. Depósito de selo estratificado para s estdio ediante el étodo nidiensional [7]. La ecación nidiensional del oviiento provocado por la propagación de las ondas de cizalla es: t ρ τ z (4.P) 74

5 Si se spone qe cada estrato se coporta coo n sólido Kelvin-Voigt, la ecación anterior sando las ecaciones 4.A, 4.B y 4.C, se transfora en: t 3 + η z z t ρ (4.Q) Si se expresa la ecación 4.Q en fnción de la expresión del desplazaiento de n oviiento harónico (ecaciones 4.B y 4.C) se obtiene: d U dz ( iωη ) ρω U Qe adite la sigiente solción general: U + (4.R) ik z ik z () x Ee + Fe (4.S) Donde E, F son las aplitdes del desplazaiento y k es el núero de onda coplejo de expresión: k ρω + iωη ρω (4.T) La solción de la ecación 4.P es: Y la tensión de corte correspondiente es: τ ik z ik z ( z, ( Ee + Fe ) e (4.U) ik z ik z iω t ( z, t ) ik ( Ee Fe ) e (4.V) Los desplazaientos en la base (z ) y en el techo (z h ) del estrato son: (, ( E + F ) e (4.W) ik h ik h ( z, ( E e + F e ) e (4.X) Donde E y F son las aplitdes del desplazaiento para n deterinado estrato. Las tensiones de corte en base y techo del estrato son, respectivaente: τ τ (, ik ( E F ) e (4.Y) ik, h ik h ( h, ik ( E e F e ) e (4.Z) En el contacto entre dos estratos scesivos y + los desplazaientos y las tensiones de corte deben ser tabién continos. Esto iplica qe: ( h (, +, (4.AA) 75

6 ( h τ ( τ, +, (4.BB) Usando las ecaciones 4.U a 4.Z se peden relacionar los coeficientes E y F : E E, h h ik ik + + F+ Ee + Fe (4.CC) k ik, h ik h ( Ee Fe ) + F+ (4.DD) k + + De las ecaciones 4.AA y 4.BB se obtienen los sigientes algoritos qe periten obtener las aplitdes del desplazaiento de los estratos speriores, E + y F + en fnción de las aplitdes de los estratos inferiores, E y F : E F ikh ikh ( + ) e + E ( ) e E + α α (4.EE) ikh ikh ( ) e + E ( ) e E + α + α (4.FF) Donde α es la razón de ipedancia en fora copleja en la interfaz de dos estratos y +: K K ρ α (4.) + + ρ + + El algorito anterior se inicia en la sperfície libre donde no existe tensión de corte, es decir: Lo qe iplica qe: (, ik ( E F ) e τ (4.HH) E F (4.II) El algorito obtenido se aplica entonces scesivaente de los estratos a. La fnción de transferencia qe relaciona los desplazaientos de los estratos y n se define coo: A ( ) E + F n ω (4.JJ) n En + Fn La velocidad y la aceleración están relacionados con el desplazaiento a través de:.. ( z, iω ( z, y ( z, ω ( z, t t (4.KK) Y por tanto la fnción de transferencia tabién se pede expresar en fnción de las velocidades y las aceleraciones en los estratos y n: 76

7 E + F n ( ω ) (4.LL) n En + Fn n n A Por lo tanto, la fnción de transferencia copara el desplazaiento, velocidad o aceleración entre base y techo de n estrato. La deforación de corte a na profndidad z y tiepo t se pede obtener a partir de la ecación 4.Q: γ z La tensión de corte correspondiente es: ik z ik z ( z, ik ( Ee Fe ) e (4.MM) ( z, γ ( z, τ (4.NN) Localización y tipo de oviiento En los análisis de respesta de sitio es necesario definir la localización y tipo de oviiento sísico. Así, se distinge entre los sigientes térinos: oviiento en la sperfície libre de n depósito de selo (free srface otion), oviiento en el sstrato rocoso (bedrock otion) y oviiento en n afloraiento de roca (rock otcropping otion). Figra 4.3. Terinología tilizada en análisis de respesta de sitio. El prograa EERA perite distingir tiliza la palabra Otcrop para n oviiento en n afloraiento y la palabra Inside para el resto de casos. Coo se estra en la figra 4.3, la onda incidente S (qe se propaga verticalente hacia arriba a través del sstrato rocoso) tiene na aplitd E N. El oviiento, ya en el sstrato rocoso tiene na aplitd E N+F N, en el techo del sstrato rocoso y jsto debajo de los estratos del selo. Debido a qe en la sperfície libre no existe tensión de corte, sstityendo la ecación 4.II en la ecación 4.JJ se obtiene qe la aplitd del oviiento en n afloraiento es E N. 77

8 Por lo tanto la fnción de transferencia relativa a los oviientos en n afloraiento respecto al sstrato rocoso es: Proceso iterativo A ( ) E N MN ω (4.OO) EN + FN En el odelo lineal eqivalente la hipótesis inicial es la dependencia del ódlo de corte y de la razón de aortigaiento con la deforación de corte. En el prograa (EERA o SHAKE) los valores del ódlo de corte y la razón de aortigaiento se deterinan por edio de iteraciones hasta qe el valor obtenido es consistente con el nivel de deforación indcido en cada estrato. A continación se estra este proceso iterativo (fig. 4.4). Se parte de los valores iniciales de ódlo de corte y razón de aortigaiento y ζ qe corresponden a niveles de deforación peqeña. A continación se calcla la deforación de corte efectiva para cada estrato, según: γ eff Rγ γ ax (4.PP) Donde R γ es na razón qe relaciona la deforación de corte efectiva con la deforación de corte áxia y qe depende de la agnitd del terreoto según la ecación 3.R. A partir del valor de γ eff se calclan los nevos valores i+ y ξ i+ con na neva iteración. Finalente, se repiten los dos pasos anteriores hasta alcanzar convergencia, qe noralente ocrre con cinco iteraciones [7]. Figra 4.4. Proceso de iteración para el valor del ódlo de corte y la razón de aortigaiento en el análisis eqivalente lineal 78

9 4.5. Ejeplo A continación, se presenta n ejeplo de aplicación de este prograa ediante na colna litológica forada por dos capas de selo y soetida a n oviiento sísico en s base de tipo otcrop. La colna está forada, de base a techo, por el sstrato rocoso granítico caracterizado por na velocidad de ondas de corte de 4 /s y de densidad 6 kn/ 3, sobre el qe se sedienta n selo alvial de na potencia de 8, con idéntica densidad y velocidad de ondas de corte de 53 /s. La tercera capa la constitye na arcilla blanda de 4 de potencia, kn/ 3 de densidad y na velocidad de 3 /s. El oviiento sísico tilizado es el prodcido a raíz del terreoto de Loa Prieta drante 989 (fig. 4.5).,,5 Aceleración (g) -,5 -, -, Tiepo (seg) Figra 4.5. Historia de aceleraciones prodcidas drante el terreoto de Loa Prieta de 989 en Diaond Heights (coponente EW) qe se toa coo oviiento de entrada. Este prograa perite la representación de la variación del ódlo de corte, el peso específico y la velocidad de ondas de corte con la profndidad (fig. 4.6). Peso Específico (kn/ 3 ) 3 Profndidad () ax (MPa) Profndidad () Profndidad () Velocidad ondas de corte (/s) (a) (b) (c) Figra 4.6. Para la colna litológica propesta se estran: (a) la variación del ódlo de corte áxio ax con la profndidad, (b) los perfiles de velocidades sísicas de corte y (c) la variación de la densidad en profndidad. 79

10 Tabién se peden obtener los acelerograas, los velocigraas y los desplazaientos relativos a n deterinado estrato qe se desea estdiar qe, en este caso, ha sido la arcilla blanda (fig. 4.7).,,5 Aceleración (g) -,5 -, -, Tiepo (seg),3 (a) Velocidad relativa (/s),5,,5,,5 -,5 -, -, Tiepo (seg) (b),8,6 Desplazaiento relativo (,4, -, -,4 -,6 -, Tiepo (seg) (c) Figra 4.7. Se estra (a) acelerograa, (b) velocigraa y (c) desplazaiento relativo de la arcilla blanda. 8

11 La fnción de transferencia obtenida estra qe la arcilla blanda aplifica el oviiento con na razón sperior al valor 3 respecto al oviiento en el granito se estra en la figra 4.8. Este resltado es interesante porqe perite obtener la frecencia asociada a la áxia aplificación, qe para la arcilla se sitúa entorno a los.8 Hz (ó.5 s). 4 Razón Aplificación Frecencia (Hz) (a) 3,5 3, Razón Aplificación,5,,5,,5,,, Periodo T (s) (b) Figra 4.8. Fnciones de transferencia: (a) en fnción de la frecencia (Hz) y (b) los niveles de aplificación en fnción del período T (s). Indican los niveles de aplificación obtenidos. 8

12 La frecencia fndaental (o período predoinante) da inforación sobre el contenido frecencial del oviiento del selo y se define coo la frecencia asociada al valor áxio en el espectro de Forier de aplitdes: Aplitd de Forier,8,7,6,5,4,3,, Frecencia (Hz) Figra 4.9. Espectro de Forier de aplitdes obtenido,35,3 Aceleración Espectral (g),5,,5,,5,, (a) Periodo (seg) 6 Velocidad Relativa Espectral(c/s 5 4 3,, Período (seg) (b) 8 Desplazaiento Relativo Espectral (c ,, (c) Período (seg) Figra 4.. Espectros de respesta obtenidos (a) de aceleración (b) de velocidades y de (c) desplazaientos 8

13 4.6. Resen y conclsión En este capítlo se ha descrito, analizado y aplicado el prograa de cálclo EERA (Eqivalentlinear Earthqake site Response Analyses). Se trata de n prograa qe aplica el étodo nérico para n odelo de selo nidiensional e hipótesis de coportaiento eqivalente lineal del selo. Para ello se han forlado los fndaentos teóricos del odelo y se ha presentado el desarrollo ateático asociado. Finalente, n ejeplo de aplicación estra los resltados qe peden obtenerse ediante este prograa de cálclo. La conclsión principal es qe EERA es na herraienta útil qe perite estiar razonableente bien los niveles de aplificación del selo y ss períodos predoinantes a partir de la copleta caracterización de la colna litológica. 83