PARAMETRIZACIÓN DE LEYES POTENCIALES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN LA VERTICAL EN EL RÍO PARANÁ RESUMEN

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1 PARAMETRIZACIÓN DE LEYES POTENCIALES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN LA VERTICAL EN EL RÍO PARANÁ i) Pedro A. Basile (), (), Marina L. Garcia (), () y Gerardo A. Riccardi (), (), () () Departaento de Hidrálica Escela de Ingeniería Civil (FCEIA UNR) () Centro Universitario Rosario de Investigaciones Hidroabientales (FCEIA UNR) () Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Rosario (CIUNR) Riobaba bis. () Rosario. Sta Fe. Argentina E-ail: pbasile@fceia.nr.ed.ar RESUMEN En este trabajo se presenta el análisis de 7 perfiles de velocidad, edidos a la altra del trao K 99 de la rta de navegación del río Paraná. Para el conjnto de ediciones, la profndidad h varió entre. y., ientras qe, la velocidad edia en vertical U varió entre. /s y. /s. Las distribciones de velocidades observadas en cada vertical se copararon con la ley logarítica y con la ley potencial. En prier lgar, la velocidad de corte ( * ) y la altra de rgosidad eqivalente de Nikradse (k s ) feron estiadas ajstando a los datos edidos la ley logarítica: (z)=a log z + b, ediante regresiones lineales. El núero de Reynolds del contorno, varió aproxiadaente entre Re * = y Re * =. Scesivaente, para cada vertical, se estiaron los paráetros c y de la ley de distribción potencial: (z)/ * =c(z/z ), iniizando na fnción objetivo, definida ediante la sa del valor absolto de los desvíos entre velocidad calclada y observada, y planteando coo restricción la condición de total siilitd entre la ley logarítica y la ley potencial. El coeficiente c estiado, para cada vertical, varió entre. y.99, asiiso, el exponente varió entre / y /9 aproxiadaente. Los resltados indican qe tanto la ley logarítica coo la ley potencial representan satisfactoriaente la distribción vertical de la velocidad para la totalidad de la profndidad de fljo. Para estiar na distribción de velocidades a partir de conocer la velocidad edia en vertical, la profndidad y la rgosidad global, es ás práctico paraetrizar la ley potencial: (z)/u=(+) (z/h), expresando al exponente en fnción de algún coeficiente de rgosidad global. Por lo tanto, a partir de los resltados obtenidos, se desarrollaron tres relaciones fncionales qe vinclaron el exponente con: (i) el coeficiente de Chezy adiensional, (ii) el coeficiente de rgosidad de Manning y (iii) el factor de fricción de Darcy-Weisbach. Los coeficientes de deterinación obtenidos en las tres regresiones son todos speriores a. y, en los tres casos, ás del 9% de los datos están coprendidos entre ± % de variación de la ecación de ejor ajste. Palabras Clave: Distribción de velocidades, Ley logarítica, Ley potencial, Río Paraná. 9

2 INTRODUCCIÓN La ley logarítica de distribción de la velocidad en vertical es apliaente aceptada debido a qe pede ser jstificada con ciertos argentos teóricos, coo por ejeplo, la hipótesis de longitd de ezcla de Prandtl, el razonaiento diensional de von Karan o el análisis asintótico de Millikan (Cheng, 7). Nez y Nakagawa (99) sostienen qe la ley logarítica es válida sólo en la región de la pared o capa interna y qe las desviaciones a dicha ley deben ser tenidas en centa considerando na fnción de estela, tal coo la propesta por Coles (9). Algnos atores establecen qe el espesor de la capa interna esta coprendido entre el % y el % de la profndidad de fljo (Bathrst, 9; Nez y Nakawaga, 99), otros estdios le otorgan n espesor ayor, específicaente del orden del % de la profndidad de fljo (Fergson y Ashworth, 99; Wilcock, 99). Es necesario notar qe, nerosos datos experientales y de capo han evidenciado la validez de la ley logarítica para la totalidad de la profndidad de fljo y, por lo tanto, en la ayoría de las aplicaciones prácticas sige siendo útil sponer qe dicha ley describe la distribción de la velocidad en toda la profndidad de fljo h (González et al., 99). Por otra parte, aún cando la ley potencial sea considerada epírica, nerosas aplicaciones prácticas han deostrado qe los perfiles de velocidad edidos en canales abiertos anchos son adecadaente representados por la ley potencial (Hinze, 97; González et al., 99; Bergstro et al., ). Es necesario señalar qe, tanto la ley logarítica coo la potencial no reprodcen correctaente el perfil de velocidades en canales estrechos, con relación ancho/profndidad<, donde las corrientes secndarias hacen qe la velocidad áxia se verifiqe por debajo de la sperficie libre (Nez y Rodi, 9). El objetivo del presente trabajo es evalar la capacidad de la ley logarítica de distribción de velocidades en vertical para representar ediciones realizadas en el río Paraná y, adeás, paraetrizar la ley potencial tilizando dichas ediciones. Asiiso, se plantea coo objetivo desarrollar relaciones fncionales entre el exponente de la ley potencial y distintos coeficientes de resistencia al escrriiento, tales coo, el coeficiente de Chezy adiensional, el coeficiente de rgosidad de Manning y el factor de fricción de Darcy-Weisbach. Tales relaciones fncionales, en conjnción con la ley potencial, peden ser tilizadas para obtener expeditivaente inforación sobre la distribción vertical de la velocidad a partir de conocer la velocidad edia (o eventalente la velocidad áxia), la profndidad de fljo y el coeficiente de rgosidad. Esta inforación reslta necesaria, en estdios de hidrálica flvial para estiar, por ejeplo, perfiles de concentración de sedientos en sspensión, procesos de erosión/sedientación, transporte de sstancias containantes, etc.. FUNDAMENTOS TEÓRICOS La distribción vertical de la velocidad en fljos trblentos en canales abiertos es y copleja. Para fljo trblento nifore en n canal abierto ancho e hidrálicaente liso han sido identificadas tres regiones (Nakagawa et al., 97). Indicando con z la coordenada vertical (z= coincide con el fondo) y con h la profndidad de fljo, tales regiones son:

3 ) La región de la pared: z/h., conocida coo la capa interna en la teoría de capa líite, donde las escalas de longitd y de velocidad son ν/ * y *, respectivaente, donde ν es la viscosidad cineática del flido y * es la velocidad de corte, definida coo * =(τ b /ρ) /, siendo τ b la tensión de corte sobre el fondo y ρ la densidad del flido; esta es la región ás iportante para la prodcción de trblencia de pared. ) La región de la sperficie libre:. z/h, en esta región, correspondiente a la capa externa, las escalas de longitd y de velocidad son la profndidad de fljo h y la velocidad áxia áx respectivaente; esta región se encentra inflenciada sstancialente por los procesos de la sperficie libre y en ella es válida la ley de defecto de la velocidad. ) La región interedia:. <z/h<., dentro de la capa externa, qe no se encentra ferteente inflenciada por calqiera de las propiedades de la pared o de la sperficie libre. En esta zona, la prodcción de energía trblenta y la disipación son aproxiadaente igales, siendo z la escala de longitd y * la escala de velocidad. Dentro de la región de la pared o capa interna, pede definirse na delgada sbcapa (prácticaente inexistente en canales natrales) denoinada sbcapa viscosa, es decir, aproxiadaente para z< ν/ *, donde la distribción de velocidades se describe ediante la ley lineal: (z) z = ν * * () ientras qe, en la región ν/ * < z <. h, la distribción de la velocidad pede ser descripta ediante la ley logarítica: (z) z ln +. = κ ν () * * donde κ es la constante de von Karan (κ=.). En canales con contornos hidrálicaente rgosos (trblencia copletaente desarrollada), dentro de la capa interna la escala de longitd es representada por la altra de rgosidad eqivalente de Nikradse k s y la escala de velocidad por *. En general, k s es fnción de la fora, altra y ancho de los eleentos de rgosidad, así coo de s distribción espacial. Las observaciones experientales sgieren qe canto ás nifores son y ás niforeente distribidos están los eleentos de rgosidad en el lecho del canal, ás se acerca k s a la altra real de las protberancias (Schlichting, 9). En este caso, la distribción de velocidades pede ser descripta ediante la ley logarítica: (z) z = ln +. * k () κ s Los líites de coportaiento del régien de fljo trblento en canales abiertos peden clasificarse en fnción del núero de Reynolds del contorno: Re * = * k s /ν, coo hidrálicaente liso, transicional o hidrálicaente rgoso. Para Re * < el régien es hidrálicaente liso, para

4 Re * >7 es hidrálicaente rgoso y para el rango interedio es transicional. Una expresión general, qe sintetiza la ley de distribción logarítica es: (z) z =.7 log + B * k () s donde la fnción de rgosidad B=f(Re * ) es igal a: B=.+.7 log Re * para el régien trblento hidrálicaente liso y B=. para régien trblento rgoso. En este últio caso, se dedce qe z, es decir la altra desde el fondo donde =, es igal a: z =. k s. La ley potencial es n odelo alternativo para representar la distribción vertical de la velocidad en canales abiertos. Chen (99) presentó n odelo potencial generalizado de distribción de velocidades en canales abiertos y analizó los rangos de aplicación de diferentes exponentes. En general, la ley potencial se expresa coo: (z) z = c * z () donde c y son n coeficiente y n exponente, respectivaente. Sobre la base de consideraciones teóricas, Chen (99) deestra qe, para qe exista n acerdo perfecto entre la ley potencial y la ley logarítica, el prodcto de κ,, c y e (donde e es la base de los logaritos natrales) debe ser igal a. A partir de esta condición, sstityendo los valores de e y κ, se obtiene la sigiente expresión: c=.997. En la literatra se reporta qe el exponente varía entre / y / para diferentes contornos y, en el caso de adoptar la forlación de Manning, el exponente es igal a / (Chen, 99; Yen,, Cheng, 7). MEDICIONES DE CAMPO EN EL RÍO PARANÁ Los datos tilizados en el presente estdio se corresponden con el relevaiento en el cace principal del río Paraná, a la altra del trao K 9 - de la rta de navegación (Figra ), realizado por la epresa EVARSA (FCEIA-UNR, 997). El relevaiento batiétrico se realizó a partir de n ojón principal bicado sobre argen derecha, donde fe instalado n GPS de referencia para el trabajo en odo diferencial. El otro eqipo GPS se bicó a bordo de la ebarcación, qe navegaba recorriendo los perfiles transversales relevados con na orientación predeterinada (con n acit fijo), orientada ediante n GPS navegador. La edición de profndidad de fljo se realizó con na ecosonda graficadora y las posiciones de la ebarcación, a deterinados tiepos, se arcaron sobre la faja de la ecógrafa. Siltáneaente se toaron las coordenadas de dichos pntos con el GPS navegador, generándose de esta fora n archivo conteniendo las coordenadas geográficas y la hora de posición en cada pnto. Estas posiciones en odo absolto feron lego convertidas, tilizando n prograa del eqipo y otro desarrollado por EVARSA qe vincla abos archivos a través de la hora y extrae las coordenadas a tilizar en el cálclo de conversión.

5 La conversión se efectó de coordenadas geográficas del Sistea WGS a Capo Inchaspe, y lego se obtvieron las planas Gass-Krger, el prier elipsoide es el qe tiliza el GPS. Las ediciones se realizaron con los sigientes eqipos: GPS Geodésico onofrecencia ASHTECH - DIMENSION, ediante el étodo estático diferencial, GPS navegador GARMIN, y Ecosonda RAYTHEON DE 79 B. Se realizaron ediciones de velocidades en catro secciones transversales dentro del trao (ver Figra ). En las catro secciones transversales se idieron perfiles de velocidades en n total de 7 verticales. En cada vertical se idieron velocidades en pntos de la profndidad de fljo h a saber: cerca de la sperficie,. h,. h,. h y cerca del fondo (profndidades edidas desde la sperficie libre) ás n pnto interpolado a. h. A tales fines se tilizó n correntóetro arca OTT, con contrapeso. Las ediciones se realizaron drante intervalos de s, dos veces en cada pnto. El tiepo de estreo se encentra coprendido dentro del rango óptio (Bffin-Bélanger y Roy, ). En caso de diferencias ayores a n % se realizó na tercera edición, y lego el valor adoptado fe la edia aritética. Los núeros de velta de la hélice se registraron ediante n contador electrónico. Las profndidades totales en cada vertical se idieron con n cable condctor gradado, desde la sperficie de aga hasta la base del contrapeso, na vez qe éste tocó el fondo. Las profndidades parciales de cada pnto de edición en cada vertical se deterinaron con el iso cable condctor gradado, coo la distancia desde la sperficie de aga hasta el eje del correntóetro. Para el conjnto de ediciones, la profndidad de fljo h varió entre. y., ientras qe, la velocidad edia en vertical U varió entre. /s y. /s (ver Tabla ). Las ediciones se efectaron desde na ebarcación anclada, bicada sobre la alineación de cada sección de aforos. Las isas feron aterializadas con jalones en abas árgenes. Las distancias desde la costa hasta cada vertical, donde se idieron los perfiles de velocidad se deterinaron ediante na estación total electrónica PENTAX PTS. Adeás, en algnas verticales, se realizaron estreos del sediento del lecho y del sediento en sspensión. METODOLOGÍA DE CÁLCULO IMPLEMENTADA Existen varios étodos para estiar *, el ás siple, para fljo nifore (S b =S w =S f ), consiste en estiar * coo * = (ghs b )., donde g es la aceleración de la gravedad y S b es la pendiente del fondo del canal. Si el fljo no es nifore S b es reeplazada por la pendiente de fricción S f o eventalente por la pendiente de la sperficie libre S w. La correcta evalación de las pendientes locales, es decir, en las proxiidades de la sección edida no es siepre factible; por lo tanto, * es generalente estiada con otros étodos. Un étodo alternativo, coúnente sado para deterinar los valores locales de * conjntaente con k s se basa en el ajste de la distribción de la velocidad edia teporal edida a la ley logarítica, este étodo, denoinado tabién étodo de na ecación, debe ser sado cando se centa solaente con valores de velocidad edia teporal en cada posición a lo largo de la profndidad. Sin ebargo, cando se encentran disponibles ediciones de las coponentes flctantes de la velocidad, para deterinar * y k s es ás adecado aplicar el étodo de las dos ecaciones (Dancey y Diplas, ). En nestro caso solo se centa con velocidades edias teporales, por lo tanto, a los pares de valores (,z) de cada perfil se le ajstó, ediante na regresión lineal, na ecación del tipo:

6 (z) = a logz + b () Consecenteente, de () y () se obtiene: a * =,.7 b log k s =. (7a) y (7b).7 * El cálclo de los paráetros c y de la ley potencial se realizó con la fnción Solver de Excel iniizando la fnción objetivo, definida coo la sa del valor absolto de los desvíos entre la velocidad calclada y la observada, es decir: N SDU = cal () k=. obs. y considerando la restricción para la total siilitd entre la ley logarítica y la ley potencial: c =.997 (9) donde N es el núero total de velocidades observadas en cada vertical. Los paráetros ajstados de la ley potencial peden ser de tilidad para estiar na distribción de velocidades a partir de conocer la velocidad edia en vertical, la profndidad y el coeficiente de rgosidad. En efecto, en odelos hidrodináicos casi-d o DH copletos, pede ser necesario conocer la distribción vertical de la velocidad a los efectos de estdiar expeditivaente otros procesos, coo por ejeplo, la distribción vertical de sedientos en sspensión en la colna de aga. En estos casos, es ás práctico paraetrizar la ley potencial expresada en fnción de U y h. A partir de () es posible deterinar el valor de z para el cal (z)=u, donde U es la velocidad edia en la vertical. Integrando y operando algebraicaente se obtiene: h z = () ( + ) Por lo tanto, reeplazando () en (), la velocidad edia qeda expresada coo: U * z c h = ( ) () + Consecenteente, de () y () se obtiene: (z) z = ( + ) () U h Es decir, el perfil de velocidades qeda expresado en fnción de la velocidad edia en vertical y la profndidad de fljo. En el caso de los odelos hidrodináicos casi-d o DH copletos dichas variables se calclan, en cada pnto de la grilla coptacional, a partir de

7 especificar n coeficiente de rgosidad. Por lo tanto, a los efectos de estiar el perfil, se desarrollaron relaciones fncionales qe vinclaron el exponente con el coeficiente de Chezy adiensional (C f ), con el coeficiente de rgosidad de Manning (n) y con el factor de fricción de Darcy-Weisbach (f): C U C f = =, g * h n =, C g f f g n f = = (a), (b) y (c) C h Las relaciones fncionales se desarrollaron realizando regresiones entre los valores ajstados del exponente de la ley potencial y los valores de los coeficientes de rgosidad y condcción calclados ediante las ecaciones (). Finalente, otra anera de expresar la ley potencial es en fnción de áx y h. Teniendo en centa qe la velocidad áxia se observa para z=h, de () se obtiene: áx * h = c z () Por lo tanto, de () y () se deriva la ley potencial, expresada en fnción de áx y h, de la sigiente anera: (z) áx z = () h Coparando () y () se dedce qe áx =(+) U. ANÁLISIS DE RESULTADOS En la Tabla se presentan, para el conjnto de ediciones consideradas en el presente estdio, los valores de los coeficientes a y b deterinados a partir del proceso de ajste de la ley logarítica a los datos de velocidad observados en cada vertical y los correspondientes valores estiados de la velocidad de corte * y de la altra de rgosidad eqivalente de Nikradse k s. Si bien el núero de Reynolds asociado a la velocidad de corte no se reporta en la Tabla, el iso varia aproxiadaente entre R e* = y R e* =, es decir, el régien pde efectivaente tipificarse coo hidrálicaente rgoso. Asiiso, en la Tabla, se presentan los valores de los paráetros de la ley potencial de distribción de velocidades en vertical. El coeficiente c estiado de la ley potencial, para cada vertical, varió entre. y.99, ientras qe, el exponente varió entre / y /9 aproxiadaente. Es decir, el rango de variación del exponente se bastante estrecho y se bica dentro de los valores líites, físicaente plasibles, reportados en la literatra. En efecto, na ecación de resistencia al fljo pede ser derivada a partir de na expresión de la velocidad edia y el iso exponente pede ser tilizado para representar la resistencia al fljo en la fora de na fnción potencial de distribción de la velocidad. Por ejeplo, la conocida ecación de Manning iplica qe la velocidad edia es proporcional a la potencia / de la profndidad de fljo y el iso exponente pede ser tilizado en na fnción potencial de distribción de velocidades. El valor de =/ es recoendado por Chen (99) para la ayoría de las sitaciones prácticas. Por

8 otra parte, otros valores de variando entre / y / han sido reportados en la literatra (Chen, 99). En condiciones de rgosidades elevadas del lecho, tales coo cantos rodados grandes, el valor de pede increentarse hasta / o / (Bray y Davar, 97; Sart et al., ). En la Figra se observa la variación del exponente con Re * para el conjnto de datos tilizados. En la Figra se presentan algnos de los perfiles de velocidad calclados con la ley logarítica y con la ley potencial, conjntaente con los valores de velocidad edidos en las diferentes profndidades. Los resltados indican qe tanto la ley logarítica coo la ley potencial representan satisfactoriaente la distribción vertical de la velocidad para la totalidad de la profndidad de fljo. Particlarente, la capacidad de la ley potencial para representar el perfil de velocidades en canales natrales en toda la profndidad de fljo ha sido pesta de anifiesto entre otros por Bergstro et al. (). En las Figras, y se observa la dependencia del exponente del coeficiente de Chezy adiensional, del coeficiente de rgosidad de Manning y del factor de fricción de Darcy-Weisbach, respectivaente. En dichas Figras se presentan, adeás, las respectivas crvas de regresión y los líites de confianza de ± %. Las relaciones fncionales obtenidas a partir de tales regresiones se expresan coo:.7 =. C f (R =.9) ().9 =.97 n (R =.) (7).7 =. f (R =.9) () Es necesario señalar qe los coeficientes de deterinación obtenidos en las tres regresiones son todos speriores a. y, en todos los casos, ás del 9% de los datos están coprendidos entre ±% de variación de la ecación de ejor ajste. Corroborando la validez de las relaciones fncionales derivadas, es necesario notar qe, Hinze (97) propso na expresión donde se relaciona epíricaente el exponente con el factor de fricción f de Darcy-Weisbach, ya sea para régien hidrálicaente liso o rgoso, ediante: =α f., con α=. -. La isa relación, pero con α=., ha sido precedenteente tilizada por Zierann y Kennedy (97) para estiar el perfil de velocidades en traos de eandros. CONCLUSIONES Se ha realizado el análisis de 7 perfiles verticales de velocidad edidos a la altra del trao K 9 de la rta de navegación del río Paraná. Los valores locales estiados de velocidad de corte y altra de rgosidad eqivalente, ediante el étodo de na ecación, resltan satisfactorios. Los resltados indican qe tanto la ley logarítica coo la ley potencial representan adecadaente la distribción vertical de la velocidad para la totalidad de la profndidad de fljo. Asiiso, los valores deterinados de los paráetros de la ley potencial de distribción de la velocidad en la vertical, c y, se bican dentro de los valores líites, físicaente plasibles, reportados en la literatra. En particlar, el rango de variación del exponente es bastante estrecho, los valores estiados varían aproxiadaente entre / - /9. Tales valores peden vinclarse con la ecación de resistencia al fljo de Manning, donde la velocidad edia es proporcional a la potencia / de la profndidad de fljo.

9 Los valores estiados de los coeficientes C f, n y f parecen consistentes con las condiciones orfológicas, sedientológicas e hidrálicas locales reinantes en cada vertical. Las ecaciones de regresión entre el exponente y los coeficientes encionados precedenteente, exhiben coeficientes de deterinación speriores a. y, en todos los casos, ás del 9% de los datos están coprendidos entre ±% de variación de la ecación de ejor ajste. Dichas relaciones fncionales, en conjnción con la ley potencial, peden ser tilizadas para obtener expeditivaente inforación sobre la distribción vertical de la velocidad a partir de conocer la velocidad edia (o eventalente la velocidad áxia), la profndidad de fljo y el coeficiente de rgosidad. BIBLIOGRAFÍA Bathrst, R. (9). Theoretical aspects of flow resistance. Dynaics of Gravel-Bed Rivers. R.D. Hey, J.C. Bathrst y C.R.Thorne (Eds). Wiley, -. Bergstro, D.J.; M.F. Tachie y R. Balachandar (). Application of power laws to low Reynolds nber bondary layers on sooth and rogh srfaces. Phys. Flids, (), 77-. Bffin-Bélanger, T. y A.G. Roy (). ín in the life of a river: selecting the optial record length for the easreent of trblence in flvial bondary layers. Geoorphology,, Bray, D.I. y K.S. Davar (97). Resistance to flow in gravel-bed rivers. Canadian Jornal of Civil Engineering, (), 77-. Coles, D. (9). The law of the wake in the trblent bondary layer. Jornal of Flid Mechanics, (), 9-. Chen, C.L. (99). Unified theory on power laws for flow resistance. Jornal of Hydralic Engineering, ASCE, 7(), 7-9. Cheng, N.S. (7). Power-law index for velocity profiles in open channel flows. Advances in Water Resorces,, Dancey, C.L. y P. Diplas (). Statistical ncertainty and the estiation of log law paraeters. Jornal of Hydralic Engineering, ASCE, (9), -. FCEIA-UNR (997). Estdio y proyecto de la obra de dragado de acceso al perto de PASA S.A. Infore final, Facltad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agriensra, Universidad Nacional de Rosario. Fergson, R. y P.J. Ashworth (99). Spatial patterns of bed load transport and channel change in braided and nearbraided rivers. Dynaics of Gravel-Bed Rivers. P.Billi, R.Hey, C.R.Thorne y P.Tacconi (Eds). Wiley, González, J.A.; C.S. Melching y K.A. Oberg (99). Analysis of open-channel velocity easreents collected with an Acostic Doppler Crrent Profiler. Proc. First International Conference on New Eerging Concepts for Rivers. Chicago, Illinois, USA. Hinze, J.O. (97). Trblence. McGraw Hill Series in Mechanical Engineering, New York. Nakagawa, H.; I. Nez y H. Ueda (97). Trblence of open channel flow over sooth and rogh beds. Proc. Japan Society of Civil Engineering (JSCE),, -. Nez, I. y H. Nakagawa (99). Trblence in open channel flows. Balkea pblishers, Rotterda, Holanda. Nez, I. y H. Rodi (9). Open channel flow easreents with a Laser Doppler aneoeter. Jornal of Hydralic Engineering, ASCE, (), -. Schlichting, H. (99). Bondary layer theory. McGraw Hill Book Co. Ed., N.York. Sart, G.M.; M.J. Dncan y J.M. Walsh (). Relatively rogh flow resistance eqations. Jornal of Hydralic Engineering, ASCE, (), -7. Wilcock, P. (99). Estiating local bed shear stress fro velocity observations. Water Resorces Research, (), -. Yen, B.C. (). Open channel flow resistance. Jornal of Hydralic Engineering, ASCE, (), -9. Zierann, C. y J.F. Kennedy (97). Transverse bed slopes in crved allvial streas. Jornal Engineering Mech., ASCE, (HY), -. 7

10 Tabla. Resen de paráetros hidrálicos y coeficientes obtenidos en las diferentes verticales. Vert. U h a b * k s C f c n f Nº (/s) () (/s) () ( - ) ( - ) ( - ) (s/ / ) ( - ) S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S

11 K D.C. N K S S S S K 9 Figra. Secciones de edición en el trao K 9- del río Paraná Re *. Figra. Variación de en fnción de Re* para el conjnto de datos tilizados en el estdio. 9

12 S... S S S..... S S S S S S.... S S..... Figra. Coparación entre leyes de distribción de velocidades calcladas (ley logarítica y ley potencial) y velocidades observadas a diferentes profndidades en algnas verticales.

13 C f =C/g. Figra. Relación entre el exponente y el coeficiente de Chezy adiensional C f. =. C f -.7, R = n (s/ / ) Figra. Relación entre el exponente y el coeficiente de rgosidad de Manning n. =.97 n.9, R = f Figra. Relación entre el exponente y el factor de fricción de Darcy-Weisbach f. =. f.7, R =.9.