Flujos Isotérmicos/Térmicos, Incompresibles y Viscosos con Formulación Velocidad-Vorticidad

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1 Inforación Tecnológica Fljos Vol. (3) Isotéricos/Téricos (00) Incopresibles y Viscosos con Forlación doi:0.6/inf.tecnol.4304it.09 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación Velocidad-Vorticidad Blanca y Alfredo Nicolás. () Beneérita Universidad Atónoa de Pebla Facltad de Ciencias de la Coptación Pebla-México (e-ail: bbj@solari.cs.bap.x) () Universidad Atónoa Metropolitana Departaento de Mateáticas México D.F.-México (e-ail: anc@xan.a.x) cibido Jn. 009; Aceptado Ago ; Versión Final recibida Ago sen Se presentan resltados néricos en dos diensiones de fljos isotéricos/téricos de flidos incopresibles y viscosos odelados ateáticaente por las ecaciones de Navier-Stokes y por la aproxiación de Bossinesq respectivaente en la forlación velocidad-vorticidad. Los fljos téricos corresponden tanto a convección natral coo a convección ixta. Los resltados se obtienen con n étodo siple el cal se basa en n proceso iterativo de pnto fijo para resolver el sistea elíptico no lineal qe reslta despés de na discretización apropiada en el tiepo. El proceso iterativo lleva a la solción de probleas elípticos lineales siétricos bien condicionados y desacoplados para los cales existen resolvedores eficientes sin iportar la discretizacón espacial. Palabras clave: flidos viscosos velocidad-vorticidad fljo isotérico convección natral discretización. Isotheral/Theral Incopressible Viscos Flid Flows with the Velocity-Vorticity Forlation Abstract Nerical reslts in two diensions for isotheral/theral flows of viscos incopressible flids atheatically odeled by the Navier-Stokes eqations and the Bosssinesq approxiation are presented in the velocity-vorticity forlation. The theral flows correspond to natral and ixed convection. The reslts are obtained based on a fixed point iterative process for solving the nonlinear elliptic syste that reslts after an appropriate tie discretization is ade. The iterative process leads to the soltion of ncopled well conditioned linear elliptic probles for which very efficient solvers are known to exist regardless of the space discretization. Keywords: viscos flids velocity-vorticity isotheral flow natral convection dicretization. Inforación Tecnológica Vol. - Nº

2 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación INTRODUCCIÓN Se presentan resltados néricos de fljos isotéricos y téricos de flidos incopresibles y viscosos en diensiones los cales se odelan ateáticaente con las ecaciones de Navier- Stokes y con la aproxiación de Bossinesq no estacionarias respectivaente considerando en este trabajo la forlación velocidad-vorticidad. Los fljos téricos corresponden a convección natral y a convección ixta. Los resltados se obtienen con n étodo siple qe se basa en n proceso iterativo de pnto fijo para resolver el sistea elíptico no lineal qe reslta na vez qe se aplica na discretización adecada en el tiepo. El proceso iterativo condce a la solción de probleas elípticos lineales siétricos bien condicionados y desacoplados para los cales existen resolvedores eficientes ya sea con diferencias finitas o con eleentos finitos ientras la región de fljo sea rectanglar. Para el problea de la cavidad con tapa deslizable se presentan fljos isotéricos y téricos de convección ixta con núeros de Grashof Gr 00 y núeros de ynolds 400 y 000 ; para convección natral donde todas las paredes de la cavidad son 5 fijas se reportan fljos para el núero de Rayleigh Ra 0. En todos estos casos se considera la razón geoétrica A (A razón de la altra con el ancho) con A y A. Con variables velocidad y vorticidad es ás difícil resolver estos fljos al enos con n procediiento nérico siilar al aplicado en forlación fnción corriente-vorticidad para resolver el sistea elíptico no lineal análogo (Nicolás y 005; Baéz y Nicolás 006; Hoh-Minh et al. 009) sando otra etodología (Davies y Carpenter 00) donde se presentan resltados con n esqea sofisticado para el caso de tres diensiones. Aún ás trabajos convección ixta son escasos (Iwats et al. 993; y Nicolás 999) y ás escasos todavía con velocidad y verticidad (Fsegi y Farok 986; Arefanesh et al. 008). Los odelos téricos de convección natral y ixta tienen considerable aplicación en ingeniería. specto a los prieros se peden encionar sisteas de alacenaiento de energía aislaiento de reactores ncleares ventilación de edificios (Le Qéré y Alziary de Roqefort 985; Baéz y Nicolás 006); respecto a los segndos diseño de intercabiadores de calor (Iwats et al. 993). Todos los resltados corresponden a fljos en estado estacionario (líite para tiepos sficienteente grandes de la solción del problea no estacionario). Por otro lado la contribción de este trabajo despés de n proceso de validación con A consiste en presentar resltados con A con paráetros oderados lo cal hasta ahora no es sal con variables velocidad-vorticidad. MODELO MATEMÁTICO Y MÉTODO NUMÉRICO N Sea Ω R ( N 3) la región de fljo de n flido incopresible viscoso térico y no estacionario y Γ s frontera. Este tipo de flidos está gobernado por el sistea de ecaciones no diensional en Ω ( 0 T ) T > 0 dado por t + p + f 0 t + 0 Pr (a) (b) (c) conocido coo la aproxiación de Bossinesq en variables priitivas velocidad y presión p si f Gr e donde es la teperatra del fljo y e es el vector nitario en la dirección gravitacional g. Los paráetros adiensionales Gr y Pr son los núeros de ynolds Grashof y Prandtl Ra respectivaente; Gr tabién pede expresarse coo donde Ra es el núero de Rayleigh. Pr () 40 Inforación Tecnológica Vol. - Nº 3-00

3 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación Estos paráetros están dados por 3 βι xgρ0 µ 3 c p ( T T ) Ra 0 Pr UL con v UL v la viscosidad cineática k g es la constante gravitacional y las teperatras de referencia µ c p T 0 y T T0 < T las cales peden ser las teperatras las paredes verticales si la región de fljo es rectanglar L y U son la longitd y velocidad de referencia inclyendo tabién coeficientes téricos: µ viscosidad dináica y c el calor específico. La teperatra adiensional y la velocidad están dadas por T T p 0 y / U T T 0 y la posición adiensional por x x / L. Si el fljo no depende de la teperatra el acoplaiento con (c) se eliina y f no depende de entonces (a) y (b) dan las Ecaciones de Navier-Stokes para fljos isotéricos. Es conveniente señalar qe para convección ixta los paráetros qe deterinan el fljo son y Gr ientras qe para convección natral es Ra. El sistea debe copleentarse con condiciones iniciales y de frontera apropiadas Digaos ( x 0 ) 0 y ( x 0) 0 en Ω; f y Β 0 Γ t 0 con Β n operador de frontera para la teperatra qe pede involcrar condiciones de tipo Dirichlet Neann o ixtas. Toando el rotacional en abos lados de (a) la ecación para la vorticidad en ( 0T ) ser Ω reslta + f () t + donde el vector vorticidad está dado por. (3) Toando el rotacional en (3) sando la identidad a a + (.a) y (b) reslta na ecación de Poisson para la velocidad (4) Lego entonces las ecaciones () con f dependiente de coo se dijo anteriorente y (4) abas acopladas a (c) dan las aproxiación de Bossinesq en variables velocidad y vorticidad. Pede verificarse fácilente qe la ecación de transporte escalar para la vorticidad en Ω 0 T Ω R está dada por ( ) Gr t + (5) x Aún ás por la restricción bidiensional en (3) (6) x y y de (4) se obtienen dos ecaciones de Poisson para las coponentes de la velocidad y x (a) (b) (7) Inforación Tecnológica Vol. - Nº

4 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación Entonces el sistea de aproxiación vectorial de Bossinesq () y (4) acoplado a (c) se redce a n sistea escalar de catro ecaciones en diensiones no dado por (5) y dos por (7) acoplados a (c); (5) y (7) están relacionadas a través de (6). De (6) la condición de frontera para en (5) debe obtenerse de la dada para ). ( Para aproxiar las derivadas teporales qe aparecen en la ecación para la vorticidad (5) y la ecación para la teperatra (c) se sa la sigiente aproxiación de segndo orden f t ( x ( n+ ) t) 3 f n+ n 4 f + t f n donde x Ωn t denota el paso en el tiepo y f r f ( xr t) sficienteente save. sponiendo qe f es Entonces aplicando esta aproxiación en (5) (7) y (c) en fora totalente iplícita se obtiene el sigiente sistea elíptico no lineal en cada nivel de tiepo ( n+ ) t en Ω y x Gr α v + α γ + f + f x Β 0 Γ Γ Γ (8) donde α 3 f t 4 t n f 4 t n γ Pr y se ha reeplazado por el coeficiente de viscosidad cineática con U L ; y denotan la condición de frontera para y y Β la de coo se dijo antes. Este esqea de 3 niveles de tiepo reqiere el valor de las variables en el nivel de tiepo lo cal se obtiene resolviendo el sistea tabién de la fora (8) ediante na scesión de niveles de tiepo sando n paso de tiepo enor qe reslta de aproxiar las derivadas con n esqea de Eler de prier orden. Pesto qe el sistea (8) es tipo no potencial pede sarse n proceso iterativo de pnto fijo el cal pde ser visto coo na adaptación de no para convección ixta en la forlación fnción corriente-vorticidad (Nicolás y 005) ó bien coo na extensión a convección ixta de aqél para fljos isotéricos en variables velocidad y verticidad (Nicolás y 007). Si se denota R Gr x ( ) α v + f y R( ) α + f eqivalente en Ω a γ el sistea (8) es R R y ( ) ( ) x 0 0 Β 0 Γ Γ Γ (9) 4 Inforación Tecnológica Vol. - Nº 3-00

5 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación Entonces (9) se reselve en cada nivel de tiepo (n+) con el proceso iterativo de pnto fijo 0 n 0 n sigiente. Con y dados resolver hasta convergencia con respecto a y en Ω y + x ρ ρ ( + ) ( α I γ ) R ( + ) ( α I v ) R + + Γ (0) Β Γ n+ n+ n+ n Lego toar ( ) ( ). Finalente el sistea (0) es eqivalente en Ω a Γρ > 0 + ( + ) ( α I γ ) ( α I γ ) ρ R + ( + ) ( α I v ) ( α I v ) ρ R + + y x ρ > 0 + Β Γ Γ Γρ > 0 () Lego entonces en cada iteración de cada nivel de tiepo ( n + ) t se tienen qe resolver catro probleas elípticos lineales siétricos y desacoplados asociados a los operadores α I γ y α I v y dos con. Es claro qe para fljos isotéricos el problea de la teperatra asociado con el operador α I γ se eliina desde (c) y a partir de ahí se considera f0. Debe notarse qe la parte no siétrica para en (8) se ha pasado al lado derecho gracias al proceso iterativo. Para la discretización espacial de problea elípticos lineales se peden sar diferencias finitas ó eleentos finitos ientras se trate de doinios de fljo rectanglares; en no otro caso existen resolvedores eficientes. En el caso de eleento finito se deben escoger forlaciones variacionales y lego restringirlas a espacios de eleentos finitos de diensión finita por ejeplo aqellas forlaciones qe se san en Gnzbrger (989) y Glowinski (003). Para los resltados específicos qe se presentan aqí se hace so de la aproxiación de segndo o de carto orden del resolvedor Fishpack (Adas et al. 980). EXPERIMENTOS NUMÉRICOS Y RESULTADOS Desde el trabajo praente isotérico en Nicolás y (007) se ha señalado qe contrariaente al caso de la forlación fnción corriente-vorticidad en Nicolás y (005) donde tabién se sa n proceso de pnto fijo despés de la discretización teporal y la discretización espacial solaente sa aproxiaciones de º orden en el caso de velocidadvorticidad en general hay qe sar discretización espacial de 4º orden; de hecho para todos lo resltados qe se reportan aqí se hace so de la opción de 4º orden en Adas et al. (980) para resolver probleas elípticos. Los experientos néricos para fljos isotéricos y de convección ixta se llevan a cabo en cavidades rectanglares Ω ( 0 a) ( 0b) a b > 0 con el problea de la cavidad con tapa deslizable lo cal iplica qe la condición de frontera de está dada por (0) en la frontera qe se desliza yb y por (00) en calqier otro lado; para convección natral (00) en todas las paredes por Inforación Tecnológica Vol. - Nº

6 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación viscosidad y por ser paredes sólidas y fijas. Se spone qe la cavidad esta llena con aire entonces el núero de Prandtl es Pr0.7; lego el fljo dependerá de Gr Ra y de A solaente. Los núeros de ynolds de Grashof de Rayleigh y A qe se consideran en este trabajo 5 son: Gr 00Ra 0 y A. El fljo parte del reposo entonces la condición inicial para y está dada por ( x0) 0 y ( x0) 0 Los taaños de alla se denotan por hx hy y el taaño de paso de tiepo por t ; los cales se especifican en cada caso de estdio. Los resltados qe se presentan son fljos en estado estacionario y se reportan a través de las líneas de corriente y los isocontornos de la vorticidad para fljos isotéricos y a través de líneas de corriente e isoteras para fljos de convección ixta y natral. Los fljos de convección ixta se copleentan con s transferencia de calor a través del núero de Nsselt local N ( x) y global N. Por otro lado para la condición de frontera para la teperatra (expresada dentro del operador B en (8)) en cada caso térico bajo estdio se tiene Γ x 0 convección natral 0 Γ y n 0b 0 Γ x a lo cal significa qe las paredes horizontales son adiabáticas y las verticales están a teperatra constante y el calentaiento ocrre en la pared izqierda 0 convección ixta n 0 Γ Γ x 0 a y 0 Γ y b lo cal significa qe la pared de arriba (pared caliente) (x y) (x b) se antiene a teperatra ayor qe la de abajo (pared fría) (x y) ( x 0) y las paredes laterales (x y) ( 0 y) y ( x y) ( a y ) están aisladas. Lego el flido se eve por flotación del gradiente de teperatra vertical y por la condición de frontera en la tapa deslizable. El núero de Nsselt local N ide la transferencia de calor en cada pnto de la pared caliente donde la teperatra está especificada y el núero de Nsselt global N el proedio de dicha transferencia; y están definidos por Núero de Nsselt local: N ( x) y b y Núero de Nsselt Global N N( x) y b A a 0 dx : La descripción de los resltados se presenta a continación. Hasta donde se sabe casi todos los resltados con A se están reportando por priera vez. Los resltados con A se presentan con fines de validación. Fljos isotéricos. Las figras y estran fljos isotéricos para 400 con A y respectivaente; las allas respectivas son ( hx hy ) ( / 00 / 00) y ( hx hy ) ( / 0 / 40) y los taaños de paso en el tiepo t 0. 0 y t El resltado con A coincide bastante bien con el reportado en Brnea y Joron (990) y Goyon (996) abos trabajos con variables distintas 44 Inforación Tecnológica Vol. - Nº 3-00

7 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación de velocidad y vorticidad y sando otra etodología y calitativaente con s respectiva escala con el de 000 en Nicolás y (005). Con A respecto a las líneas de corriente el vórtice central y el núero de sbvórtices coinciden perfectaente con Ghia et al. (98) y bastante bien respecto a los contornos de vorticidad; en Sellontos y Seqeira (008) solaente aparece n sbvórtice pero la vorticidad es n poco ejor coparan tabién con Ghia et al. (98). Fig.: 400 ( h x hy ) ( ) líneas de corriente (izq.) iso-vorticidad (der.) Fig. : 400 ( h x hy ) ( ) líneas de corriente (izq.) iso-vorticidad (der.) 0 40 Fljos téricos de convección natral. Las figras 3 y 4 estran fljos de convección natral para 5 Ra 0 con A y respectivaente; las allas respectivas son ( hx hy ) ( / 64 / 64) y ( / 64 / 8) y los taaños de paso en el tiepo t y A este respecto la Tabla estra resltados para Ra 0 para coparar con De Vahl Davis (983) cyos resltados son obtenidos ediante n étodo de transitorio falso. La id coparación se lleva a cabo con ψ valor absolto de ψ en el centro de la cavidad y con el núero de Nsselt global N. Pede observarse qe para A dichos valores están cerca con los Inforación Tecnológica Vol. - Nº

8 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación de De Vahl Davis (983) a pesar del hecho de qe los étodos son diferentes; en dicho trabajo los resltados para A no son reportados lo cal se indica en la Tabla ediante * s. Haceos notar qe con A las isoteras y las líneas de corriente excepto dos contornos casi circlares dentro de la línea de ás adentro qe se obtienen con ciertos valores especificados coinciden perfectaente con los de De Vahl Davis (983); lo iso se pede decir respecto al resltado en Hoh-Minh et al (009) en este trabajo N En dicha Tabla tabién se observa qe la transferencia de calor global disinye si A se increenta lo cal coincide con lo qe ocrre con la forlación fnción corriente-vorticidad. Fljos téricos de convección ixta. La figra 5 estra el fljo para 400 y Gr 00 con A el cal se obtiene con ( hx hy ) ( / 8 / 8) y t Este resltado coincide calitativaente dentro de la respectiva escala con el reportado Nicolás y (005) y y Nicolás (999) para 000 y Gr00. Las figras 6 y 7 describen los fljos para los isos y Gr con A y A/; en estos casos t y las respectivas allas están dadas por ( hx hy ) ( / 8 / 56) y ( hx hy ) ( / 56 / 8). Para estos casos no se conocen otros resltados con los cales coparar sin ebargo dada la baja inflencia de Gr es razonable qe calitativaente las líneas de corriente sean siilares a las de los casos isotéricos y qe la deforación de las isoteras sea congrente con lo qe se observa con A. En relación a transferencia de calor la figra 8 estra dicha transferencia a través de N ( x) en la pared de arriba: ( x y) ( x ) 0 x para A/; ( x y) ( x ) 0 x para A; y para A. Las gráficas estran qe la transferencia de calor crece a edida qe A decrece; lo cal es congrente con los valores del núero de Nsselt global N dados por y para A/ y respectivaente. Por otro lado en la figra 8 tabién se observa qe el valor áxio de N ( x) ocrre y cerca de x0 ientras qe el ínio ocrre en x para A y y en x para A/ A Tabla. id ψ Ra 5 0 : ψ id vs.ψ id Vahl Davis id Vahl Davis N vs.n Vahl Davis ψ N N Vahl Davis *** *** Fig. 3: Ra ( h x h ) ( ) líneas de corriente (izq.) isoteras (der.) y Inforación Tecnológica Vol. - Nº 3-00

9 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación Fig. 4: Ra ( h x hy ) ( ) líneas de corriente (izq.) isoteras (der.) 64 8 Fig. 5: 400 Gr 00 ( hx hy ) ( ) A ; líneas corriente (izq.) isoteras (der.) 8 8 Fig Gr 00 ( hx hy ) ( ) A ; 8 56 líneas corriente (izq.) isoteras (der.) Fig. 7: 400 Gr 00 ( hx h y ) ( ) A ; 56 8 líneas de corriente (arriba) isoteras (abajo) Inforación Tecnológica Vol. - Nº

10 Fljos Isotéricos/Téricos Incopresibles y Viscosos con Forlación Fig. 8: Nsselt locales para A y CONCLUSIONES Se han presentado resltados néricos para fljos de flidos incopresibles y viscosos tanto isotéricos coo téricos de convección natral y ixta los cales se odelan ateáticaente por las ecaciones de Navier-Stokes y la aproxiación de Bosinessq en la forlación velocidadvorticidad. Obtener dichos fljos con esta forlación y con n étodo nérico y cercano a no qe se ha aplicado a la forlación fnción corriente- vorticidad no es del todo fácil. Por lo cal los resltados qe aqí se reportan consideran solaente núeros de ynolds y de Grashof bastante oderados para los casos isotérico y de convección ixta y núeros de Rayleigh tabién oderados para convección natral; sin ebargo con ellos se logra sficiente efectividad para ser capaces de variar el aspecto geoétrico de la cavidad A lo cal se sabe qe ocasiona qe el fljo desde el caso isotérico se velva ás inestable Nicolás y (005) Brnea y Joron (990) Goyon (996). REFERENCIAS Adas J. P. Swarztraber y R. Sweet; FISHPACK: A package of fortran sbprogras for the soltion of separable elliptic PDE s The National Center of Atospheric search Bolder Colorado USA (980). Arefanesh A. M. Najafi y H. Abdi; Meshless local Petrov Galerkin Method with Unity Test Fnction for Non-Isotheral Flid Flow. Copter Modeling in Engineering and Sciences: 5() 9- (008) Báez E. A. Nicolás; D natral convection flows in tilted cavities: poros edia and hoogeneos flids. Int. J. of Heat and Mass Transfer: (006) B. y A. Nicolás; An efficient schee for Theral/Isotheral Incopressible Viscos Flow Int. J. N. Meth. Flids: (999). Brnea C.H. y C. Joron; An efficient schee for solving steady incopressible Navier-Stokes eqations Jornal of Coptational Physics: (990). Davies Christopher y P.W. Carpenter; A Novel Velocity-Vorticity Forlation of the Navier-Stokes Eqations with Applications to Bondary Layer Distrbance Evoltion Jornal of Coptational Physics: (00). 48 Inforación Tecnológica Vol. - Nº 3-00

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