Controlador basado en Variables de Estado para un Brazo de Dos Grados de Libertad

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1 Controlador basado en Variables de Estado para n Brazo de Dos Grados de Libertad Edgar Andrés Gtiérrez Cáceres Ing. Electrónico. Esp. Instrentación Electrónica, Docente Facltad de Ingeniería Electrónica Universidad Santo Toas Tnja Investigador Grpo Vital Signal & Control, Facltad de Ingeniería Electrónica Universidad Santo Toás Seccional Tnja, Colobia egtierrez@statnja.ed.co RESUMEN: Este artíclo pretende hacer e el control de n brazo robótico con dos grados de libertad, se estra todas las edidas para analizar el sistea de control y trabajar con variables de estado a partir de las ecaciones describe el sistea. Inicialente las ecaciones son expresadas por na redcción o cabio de orden variable, a continación, se procede a crear las atrices de variables de estado y, finalente, deterina si el sistea es controlable y observable, para silar en Silink y lego deterinar el coportaiento segn el controlador aí diseñado. Se estra el contino ejoraiento y la preocpación por las nevas técnicas de análisis y sisteas electróni, el grpo VITAL SIGNAL & CONTROL a toado la iniciativa de tilizar técnicas de procesaiento y dar a conocer ss prieros avances. PALABRAS CLAVE control, variables, estado, robot, silink, controlador, grados, libertad. ABSTRACT This article seeks to ake the control of a robotic ar with two degrees of freedo, which shows all the steps to analyze the control syste and working with state variables fro eations describing the syste. Initially the eations are expressed by a redction or change of variable order, then proceed to create the atrices of state variables and finally deterines whether the syste is controllable and observable, to silate in Silink and then deterine the type behavior designed controller. It shows the contined iproveent and concern for the new technies of analysis and electronic systes, the grop VITAL SIGNAL & CONTROL taken the initiative to se procesg technies and to ake their first steps. KEYWORDS control variables, state, robot, silink, controller, degrees, freedo.

2 II. CONTROLADOR BASADO EN VARIABLES DE ESTADO PARA UN BRAZO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD El sistea planteado por [] da a conocer n robot con dos grados de libertad, pero la finalidad de este es encontrarse en n pnto de eilibrio donde el cal presenta nos ánglos y, igales a cero. Se bsca e el sistea cando presente na pertrbación del edio conserve s posición de eilibrio. I INTRODUCCIÓN Los sisteas de control bscan aniplar n dispositivo eléctrico o electrónico cya fncionalidad priordial es el de proporcionar na zona de operación adecada del dispositivo. La robótica es n área de investigación y desarrollo de alta exigencia. Hace nos años, era n tea casi exclsivo de las niversidades y grandes epresas. A lo largo de los ltios años, el tea ha estado igrando desde estas entidades al pblico en general, lo cal pede verse en el aento de sitios coerciales donde se venden ódlos de robots para arar, de diferentes grados de coplejidad. Paralelo a esto, el epleo de la robótica coo herraienta en la edcación, tanto a nivel nacional coo internacional, se ha increentado notoriaente. Este ipacto de la robótica en la edcación se debe a la gran otivación e el área despierta y a las expectativas, adeás de la ltidisciplinaria e la robótica posee. Esta natraleza constitye la piedra anglar para sar la robótica coo herraienta para la enseñanza de na aplia variedad de conceptos coo prograación, estrctras ecánicas, electrónica, ciencias básicas, conicaciones, etc. En térinos generales, la robótica perite, a través de otivantes experiencias prácticas, iniciar científicaente a la conidad estdiantil, lo cal actalente es na necesidad ante el deterés nacional y global de los jóvenes en estdiar profesiones en ingeniería []. En este artíclo se bsca realizar el control de n brazo robótico de dos grados de libertad, donde se estra todos los pasos para analizar el sistea y controlarlo trabajando con variables de estado a partir de ecaciones e describen el sistea. Inicialente se expresan las ecaciones ediante na redcción de orden o cabio de variable, segidaente se procede a crear las atrices de las variables de estados y finalente se deterina si el sistea es controlable y observable, para posteriorente silar en silink y deterinar s coportaiento al tipo de controlador diseñado. FIGURA. Robot con Dos Grados de libertad. Fente: AGUADO A, RUBIO C, Y RODRÍGUEZ G. Control Predictivo Adaptable de n robot con dos grados de libertad Se deterina en el sistea características propias de esta, coo son dos entradas, la priera de ellas es U el cal bsca aplicar n potencial al otor e se encentra en la base del sistea y la segnda U corresponde a la base interedia entre los dos brazos. El sistea es representado por las sigientes ecaciones [], donde inicialente bscan describir el sistea dependiendo del potencial U y U las expresiones son: [ lc l I] [ ll C ( ] [ l l ( ] [ l I ] g ( C C Se deterina e es el ánglo e es provocado por el desplazaiento del brazo referenciado a n plano vertical, de aí se dedce, por tanto, si se deriva [ ll C ( ] [ lc I ] [ l l ( ] [ gl ( ] C C

3 V el desplazaiento anglar se observa en el sistea na velocidad V, lógicaente si se realiza la derivada de a e es igal a, se estará derivando la velocidad e se denoinara V la cal describirá na posición deterinada a donde se desea llegar. Por lo tanto en el sistea se encontrara lo sigiente, realizando el iso tipo de planteaiento al segndo brazo: V ; ; V V; ; V Adeás para facilitar n poco ás el trabajo se renobran los valores constantes del sistea []: C l l I l l C C l I [ l l ] g k C k gl C Ahora deterinado el cabio de variables y nobrando los valores constantes se procede a reeplazar en las ecaciones iniciales e describen el sistea, edando así: V ( V Ya e lo e se desea es giar el brazo a na posición deterinada V y V, por tal otivo se despejan de las ecaciones anteriores, encontrando e la posición de n brazo no dependerá del otro: Y para la posición del brazo se deterina de la sigiente anera: ( V k ( ( V V ( V k ( k k ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( V k ( ( k ( ( ( ( V ( V ( ( ( ( Con las ecaciones anteriores se pede deterinar la posición del sistea. III. VARIABLES DE ESTADO DEL SISTEMA Las variables de estado se encentra definida por: x Ax B y Cx Analizando las ecaciones del sistea se pede representar ediante variables de estado. Para esto se hace necesario conocer coo se pede hallar la atriz A del sistea. Para esto se tiene en centa lo sigiente: é é ù V ë Vû ë La atriz A se encentra forada por los gradientes característi de cada na de las fnciones e describen el sistea. Se procede a hallar la atriz C, en esta atriz se describe o indica cal de las variables de estado se iere analizar del sistea se pede analizar cada na por separado o todas en conjnto para na ejor interpretación del sistea. Ahora se inicia a realizar los respectivos gradientes para hallar A. se inicia con la fnción f D ù é é ù f V ëv û f û ë é ùé ù y [ ] V ë ûëv û ù û

4 Se procede a hallar las gradientes para la fnción f. Para f se bsca realizar la derivada parcial de V y esta con respecto a,, V y V. f Se halla y Las derivadas parciales con respecto a V y Vson: Esto iso se realiza para y se realiza el iso proceso de derivadas con respecto a,, Vy V. Y ( ( ( ( k ( ( ( ( k ( ( ( ( ( ( k ( ( ( ( k ( ( ( ( ( f k ( ( ( ( ( k ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( k( ( ( k( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( V ( ( k ( ( k ( ( ( ( V ( ( V ( V ( ( ( ( k ( ( ( ( ( ( V V k ( ( ( ( ( f ( ( k ( ( ( ( ( ( V ( V k ( ( ( ( ( k ( ( ( ( V ( V k ( ( ( ( ( ( V Pero ahora se encentran valores de ( ( V ( ( ( Con esto se ha realizado los procediientos necesarios para poder hallar la atriz A. Ahora para hallar B se debe derivar con respecto a Uy U. IV. VARIABLES DE ESTADO DEL SISTEMA Ahora para coprobar el correcto oviiento del sistea a n pnto deterinado se ha decidido toar los sigientes valores. Logrando así constrir las atrices A, se deterina e posee los sigientes valores: Los valores de las atrices B, C y D son las sigientes teniendo en centa: ( ( ( V ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( TABLA. coordenadas y caracteristicas deseadas para el brazo é B.66 ë.95 5 I. 8 l l. C 5 l. C 5 I.7 g 9. 8 V V é A 6.9 ë ù é Þ C.99.75û ë ù û ù é Þ D û ë ù û

5 Pero es iportante conocer y deterinar si el sistea es observable y controlable, para esto se pede recrrir en Matlab ediante los sigientes coandos: FIGURA. Respesta en Posición del brazo. >>Controlabilidad [B AB A^B A^B]; >>rank(controlabilidad >> Observabilidad [C;CA;CA^;CA^]; >>rank(observabilidad El valor e deberá toar la controlabilidad y la observabilidad debe ser Catro, ya e se posee n sistea con catro variables de estado. Posteriorente se procede a hallar la ganancia G del sistea para la realientación y el precopensador F y F. >> polos [ ] >> Gplace(A,B,polos >> TC(ABG^(B >>TT(:, >>TT(:, >>F/T >>F/T >>FF(:, >>FF(:, Para coprobar e el sistea responde bien a los valores e se han deterinado tilizando la herraienta silink de Matlab y realizando el sigiente esea trabajando con LTI syste. FIGURA. Diagraa de Conexión Silación Robot con Dos Grados de libertad Fente: Ator, ipleentado en Silink, Matlab R9B La respesta en posición segn la referencia U5 y U los cales son valores del potencial aplicado en los otores, se cple donde se observa en la grafica de la Figra.. Dichos valores indicaran la posición con respecto a n grado de inclinación deseado. V. CONCLUSIONES Las variables de estado es n ben étodo para realizar el control de n brazo con dos grados de libertad ya e estra la capacidad de análisis del sistea. Adeás de la fácil aplicabilidad en sisteas de desarrollo en análisis coo lo es silink, este corresponde a n étodo de análisis no convencional del sistea, es sistea aí Fente: Ator, ipleentado en Silink, Matlab R9B FIGURA. Respesta en Velocidad de Moviiento de los otores del brazo Fente: Ator, ipleentado en Silink, Matlab R9B silado bsca ostrar e debido al controlador y preconpensador a i diseñados se pede lograr n eilibrio del sistea. En las graficas se a de notar e se interpreta el potencial aplicado y la velocidad e presenta el sistea hasta llegar a n pnto de eilibrio deterinado. AGRADECIMIENTOS El ator agradece a la Universidad Santo Toás seccional Tnja, a la Facltad de Ingeniería Electrónica por peritir espacios para la investigación, creación de grpos de investigación, al seillero de investigación Génesis Pro. El ator reconoce las contribciones de los ingenieros F. Jiénez, O. Uaña, L. Sosa y en particlar al Phd. A. Traslocheros de la niversidad atónoa Qerétaro (México por la inforación y aportes concernientes al tea. REFERENCIAS [] FELIPE GÓMEZ, FRANCISCO MUÑOZ, BEATRIZ E. FLORIÁN, CARLOS A. GIRALDO, EVAL B. BACCA CORTES. Diseño y preba de n robot óvil con tres niveles de coplejidad para la experientación en robótica [] AGUADO A, RUBIO C, Y RODRÍGUEZ G. Control Predictivo Adaptable de n robot con dos grados de libertad [] M.Corless, AAE 666 class note, section of Qadratic stability, Control of Mechanical Syste. [] The MathWorks, Inc. LMI Control Toolbox for se With MATLAB. [5] GONZÁLEZ, ÁLVARO, AGUILAR, ABRAHAM ROJANO Y MORENO, RAQUEL SALAZAR Diensionaiento de n Brazo Robótico de dos Grados de Libertad para Registro de Iágenes en n Invernadero [6] Software Matlab R9B [7] Ingeniería Electrónica, Atoática y Conicaciones;, Vol. Control predictivo adaptable de n robot con dos grados de libertad. ISSN:5859