UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel

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1 UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alt nivel Estadística Inferencial Encuentr #11 Inferencia Estadística: Cntraste de ipótesis Prf.: MSc. Juli Rit Vargas A. IIIC-2017 Inferencia Estadística: Cntraste de ipótesis: Una hipótesis es una afirmación acerca de un hech cualquiera, la cual se quiere cntrastar verificar cn la realidad. Una hipótesis estadística es una hipótesis, prpsición supuest sbre la distribución de una variable aleatria sbre ls parámetrs de la distribución de una v.a. Un cntraste test de hipótesis es una técnica de Inferencia Estadística que permite cmprbar si la infrmación que prprcina una muestra bservada cncuerda ( n) cn la hipótesis estadística frmulada sbre el mdel de prbabilidad en estudi y, pr tant, se puede aceptar ( n) la hipótesis frmulada. Este es un de ls aspects más útiles de la inferencia estadística, puest que muchs tips de prblemas de tma de decisines, pruebas experiments en el mund de la ingeniería, pueden frmularse cm prblemas de prueba de hipótesis. Supnga que se tiene interés en la rapidez de cmbustión de un agente prpulsr sólid utilizad en ls sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aernaves. El interés se centra sbre la rapidez de cmbustión prmedi. De manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de cmbustión prmedi es n 50 cm/s. Est puede expresarse de manera frmal cm ; µ= 50 cm/s 1; µ 50 cm/s En una prueba de hipótesis surgen ds hipótesis excluyentes: La prpsición ; µ = 50 cm/s, se cnce cm hipótesis nula, mientras que la prpsición 1; µ 50 cm/s, recibe el nmbre de hipótesis alternativa. TIPOS DE IPÓTESIS: 1) Simples cuand se refieren a un sl valr del parámetr pblacinal. 1 Prueba de 2 clas Juli Rit Vargas Avilés pág. 1

2 2) Cmpuestas cuand se refieren a más de un valr del parámetr pblacinal. 1 Prueba de cla izquierda 1 Prueba de cla derecha Es imprtante recrdar que las hipótesis siempre sn prpsicines sbre la pblación distribución baj estudi, n prpsicines sbre la muestra. Pr l general, el valr del parámetr de la pblación especificad en la hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes: 1. Puede ser resultad de la experiencia pasada del cncimient del prces, entnces el bjetiv de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiad el valr del parámetr. 2. Puede btenerse a partir de alguna tería mdel que se relacina cn el prces baj estudi. En este cas, el bjetiv de la prueba de hipótesis es verificar la tería mdel. 3. Cuand el valr del parámetr prviene de cnsideracines externas, tales cm las especificacines de diseñ ingeniería, de bligacines cntractuales. En esta situación, el bjetiv usual de la prueba de hipótesis es prbar el cumplimient de las especificacines. Un prcedimient que cnduce a una decisión sbre una hipótesis en particular recibe el nmbre de prueba de hipótesis. Ls prcedimients de prueba de hipótesis dependen del emple de la infrmación cntenida en la muestra aleatria de la pblación de interés. Si esta infrmación es cnsistente cn la hipótesis, se cncluye que ésta es verdadera; sin embarg si esta infrmación es incnsistente cn la hipótesis, se cncluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapié en que la verdad falsedad de una hipótesis en particular nunca puede cncerse cn certidumbre, a mens que pueda examinarse a tda la pblación. Usualmente est es impsible en muchas situacines prácticas. Pr tant, es necesari desarrllar un prcedimient de prueba de hipótesis teniend en cuenta la prbabilidad de llegar a una cnclusión equivcada. La hipótesis nula, representada pr, es la afirmación sbre una más características de pblacines que al inici se supne cierta (es decir, la "creencia a priri"). La hipótesis alternativa, representada pr 1, es la afirmación cntradictria a, y ésta es la hipótesis del investigadr. La hipótesis nula se rechaza en favr de la hipótesis alternativa, sól si la evidencia muestral sugiere que es falsa. Si la muestra n cntradice decididamente a, se cntinúa Juli Rit Vargas Avilés pág. 2

3 creyend en la validez de la hipótesis nula. Entnces, las ds cnclusines psibles de un análisis pr prueba de hipótesis sn rechazar n rechazar. PASOS PARA ESTABLECER UNA PRUEBA DE IPOTESIS INDEPENDIENTEMENTE DE LA DISTRIBUCION QUE SE ESTE TRATANDO 1. Precisar el prblema y el nivel de significancia. 2. Definir las supsicines que generan ls dats (Nrmalidad de la distribución, si se cnce n la varianza, el tamañ de la muestra, etc) 3. Frmular las hipótesis cncernientes al bjetiv que se persigue Fijar ls valres crítics. Ests sn estadístics de acuerd a ls supuests, basads en el nivel de significación desead y de la hipótesis planteada. Para el cas Nrmal que es el que ns cncierne en este mment seria: a) Prueba de ds clas bilateral 1 b) Prueba de cla derecha 1 c) Prueba de cla izquierda 1 5. Establecer la regla de decisión: Sirve para determinar cual es la región de aceptación y de rechaz. A partir del punt determinad pr ls valres crítics, en dirección a la cla las clas se inicia la región regines de rechaz. Y la regla de decisión expresa que se rechazará si el valr del estadístic cae en la región de rechaz y que n se rechazará si el valr del estadístic cae en la región de aceptación. 6. Determinar el estadístic de prueba, se realiza de acuerd a ls dats y las supsicines que se estableciern. 7. Decisión y Cnclusines. Juli Rit Vargas Avilés pág. 3

4 Errr tip I y II Las hipótesis nula y alternativa sn aseveracines sbre la pblación que cmpiten entre sí N siempre es psible que las cnclusines sean verdaderas crrectas 0 verdadera a verdadera Aceptar 0 Cnclusión Crrecta Errr tip II Rechazar 0 Errr tip I Cnclusión Crrecta N se puede eliminar la psibilidad de errres en la prueba de hipótesis, per si es psible cnsiderar su prbabilidad Se define cm: α=prbabilidad de cmeter un errr tip I β=prbabilidad de cmeter errr tip II La máxima prbabilidad permisible se le llama nivel de significancia para la prueba. Ls valres acstumbrads sn de 0.05 y 0.01 En la mayría de las aplicacines se cntrla la prbabilidad de cmeter errr tip I, lueg existe la incertidumbre cn respect al errr tip II Si ls dats muestrales sn cnsistentes cn 0 se adpta en la práctica la cnclusión de n rechazar 0, ya que de esta frma evitams el riesg de cmeter errr tip II La cnclusión de aceptar 0 se tma sól cuand se haya determinad el errr tip II. Supnga que se va a implantar un nuev métd de prducción si una prueba de hipótesis respalda la cnclusión de que cn ese métd se reduce la media del cst de peración pr hra. 1) Enuncie las hipótesis nula y alterna si la media del cst para el métd actual de prducción es de $220 pr hra 2) Cuál es el errr de tip I en este cas y sus cnsecuencias? 3) Cuál es el errr tip II en este cas y sus cnsecuencias? Juli Rit Vargas Avilés pág. 4

5 Pruebas unilaterales para la media Muestra Grande En este cas (n>30) se asume distribución nrmal Para pruebas de hipótesis acerca de la media de una pblación se emplea el estadígraf z z X / Se determina si la desviación del valr numéric en estudi es l suficiente para justificar el rechaz de la hipótesis nula La prbabilidades 0.05 y 0.01 de cmeter errr tip I están relacinadas cn un valr de z de y 2.33 respectivamente Lueg se debe rechazar 0 si el valr de z es menr a dependiend del nivel de significancia El valr z establece el límite de la región de rechaz denminada valr crític n Resumen de pruebas unilaterales sbre media de una pblación. Si n a a 0 z X 0 X 0 ; z / n s / n z X 0 X 0 ; z / n s / n Rechazar si z 0 z Rechazar si Juli Rit Vargas Avilés pág. 5 0 z z

6 Ejempl 1: Una muestra aleatria de 100 muertes registradas en Estads Unids el añ pasad muestra una vida prmedi de 71.8 añs. Supnga una desviación estándar pblacinal de 8.9 añs, est parece indicar que la vida media hy en día es mayr que 70 añs? Utilice un nivel de significancia de ) Significancia del 5% 2) Se trata de una distribución muestral de medias cn desviación estándar cncida, y tamañ de muestra grande (N=100) 3) 1 Será que la vida media mayr a 70 añs? 4) 5) Si el estadístic de prueba es mayr a Rechazar ipótesis nula 6) Calcul del estadístic de prueba: (x μ) ( ) z = σ = 8.9 n 100 = = ) Cm el Z es mayr a se RECAZA la hipótesis nula es decir que la vida media si es mayr a 70 añs. Ejempl 2: Un agente de bienes raíces afirma que 60% de tdas las viviendas privadas que se cnstruyen actualmente sn casas cn tres drmitris. Para prbar esta afirmación se inspeccina una muestra grande de viviendas nuevas. Se registra la prprción de las casas cn 3 drmitris y se utiliza cm estadístic de prueba. Plantee las hipótesis nula y alternativa que se utilizaran en esta prueba y determine la ubicación de la región crítica. Slución: Juli Rit Vargas Avilés pág. 6

7 Si el estadístic de prueba fuera cnsiderablemente mayr menr que p = 0.6, rechazaríams la afirmación del agente. En cnsecuencia, deberíams plantear las siguientes hipótesis: 0: p = 0.6, 1: p 0.6. La hipótesis alternativa implica una prueba de ds clas cn la región critica dividida pr igual en ambas clas de la distribución de P^, nuestr estadístic de prueba. Muestra Pequeña En este cas (n < 30) se asume que la pblación tiene una distribución nrmal Cn distribución t se pueden hacer inferencias acerca de la media de la pblación t X s/ n 0 Para este estadígraf se debe cnsiderar ls grads de libertad asciads al tamañ de la muestra (n-1) para definir el valr crític que llevará al rechaz de 0. Pr las características de la tabla resulta cmplicad calcular el valr de p pr l que se expresa en intervals Pruebas bilaterales para la media Muestra grande La diferencia de esta prueba cn respect a las unilaterales está en que la región de rechaz está ubicada simultáneamente en ambas clas En las pruebas bilaterales de hipótesis siempre se determina la región de rechaz clcand un área de prbabilidad igual a α/2 en cada cla de distribución Para este cas el valr de z para un nivel de significancia de 0.05 crrespnderá a 1.96 Juli Rit Vargas Avilés pág. 7

8 Resumen de pruebas bilaterales sbre media de una pblación. Si n a 0 z X 0 X 0 ; z / n s / n Rechazar si z z z z 0 / 2 / 2 Ejempl 2: Un diseñadr quiere reducir el tiemp de secad de una pintura. Se prueban ds fórmulas de pintura. La fórmula 1 es la nrmal y la fórmula 2 psee un ingrediente secante que se espera reduzca el tiemp de secad. Se sabe que el tiemp de secad tiene una desviación estándar de 8 min y que ésta n se afecta cn la adición del nuev ingrediente. Se pintan 10 especímenes cn la fórmula 1, y 10 cn la fórmula 2, bteniéndse tiemps prmedi de secad de x1=121 minuts y x2=112 minuts respectivamente. A qué cnclusión se llega sbre la eficacia del nuev ingrediente? Slución: X =121 1 ; X =112; 2 n 1 = 10; n 2 = 10; σ 1 = 8 min. ; σ 2 = 8 min. 1) Cantidad de interés: μ1 -- μ2 2) 0: μ 1 = μ 2 3) 1: μ 1 > μ 2 (se busca evidencia fuerte que indique que el tiemp de secad prmedi de la muestra 2 es menr) 4) α = σ1 σ 2 5) El estadístic de prueba es Z ( X 1 X 2 ) / n1 n 2 6) 0 se rechazará si z>z0.05 = ) Sustituyend ls dats, btenems z=( )/(12.8) 1/2 =2.52 Juli Rit Vargas Avilés pág. 8

9 Cnclusión: Puest que z = 2.52 > se rechaza 0 cn un nivel de significancia a=0.05 cncluyéndse el nuev ingrediente sí disminuye el tiemp de secad I. A las persnas que sufren de tensión alta, se les recmienda seguir una dieta libre de sal. Querems realizar un estudi para cmprbar si esta dieta es efectivamente ventajsa. Para el estudi se estudió una muestra de 8 persnas y se tmó la tensión antes de empezar la dieta y ds semanas después. Ls resultads btenids fuern: Antes Después Dentams μa y μb a las medias pblacinales de tensión antes y después de empezar la dieta, respectivamente. De este md, el cntraste de hipótesis que debems plantear es: aga el cntraste para un nivel de cnfianza del 96%. Respnda si hay cambi significativ después de empezar la dieta? Recmendación: Tiene que usar la siguiente fórmula cm estadístic de prueba. t 0 = X 1 X 2 S p 1 n n 2 dnde: S p = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 n 1 + n 2 2 Debe calcular: X 1 y X 2 S 1 2 y S 2 2 Sustituir en Sp y lueg calcular t acer el cntraste de hipótesis buscand en la tabla t-student t0.02,7 = y t0.98,7 = II. Una cmpañía de transprte de carga desea escger la mejr ruta para llevar la mercancía de un depósit a tr. La mayr precupación es el tiemp de viaje. En el estudi se seleccinarn al azar 5 chferes de un grup de 10 y se asignarn Juli Rit Vargas Avilés pág. 9

10 a la ruta A; ls cinc restantes se asignarn a la ruta B. Ls dats btenids fuern: Ruta Tiemp del viaje en hras A B a) Existen diferencias significativas entre las rutas? b) Plantee la prueba de hipótesis estadística crrespndiente? Recmendación: siga ls pass rientads en el prblema anterir. III. Un sciólg ha prnsticad, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas eleccines será del 40% cm mínim. Se elige al azar una muestra aleatria de 200 individus, cn derech a vt, 75 de ls cuales estarí an dispuests a vtar. Determinar cn un nivel de significación del 95%, si se puede admitir el prnóstic. a) Frmula la hipótesis b) aga el cntraste y determine si se admite al prnóstic. Recmendación: Frmula esta hipótesis: : p= 40% A: p 40% Use el siguiente estadístic de prueba: z = p np np(1 p) Busque en la tabla nrmal estándar el valr de z para Para las ds clas. IV. El cntrl de calidad una fábrica de pilas y baterías sspecha que hub defects en la prducción de un mdel de batería para teléfns móviles, bajand su tiemp de duración. asta ahra el tiemp de duración en cnversación seguía una distribución nrmal cn media de 300 minuts y desviación típica de 30 minuts. Sin embarg, en la inspección del últim lte Juli Rit Vargas Avilés pág. 10

11 prducid, antes de enviarl al mercad, se btuv que de una muestra de 60 baterías el tiemp medi de duración en cnversación fue de 290 minuts. Supniend que ese tiemp sigue siend Nrmal cn la misma desviación típica: Se puede cncluir que las sspechas del cntrl de calidad sn ciertas a un nivel de significación del 98%? Recmendación: frmule la siguiente hipótesis. : μ=300 minuts A: μ 300 minuts. Use el siguiente estadístic de prueba z 0 = X μ σ n Busque en la tabla nrmal el valr z. y cmpara cm en el ejempl III. V. Un experiment se cmparó el ahrr de cmbustible para ds tips de camines: cmpacts que funcinan cn diésel y están equipads de frma similar. Supnga que se utilizarn 12 camines Vlkswagen y 10 Tyta en pruebas cn una velcidad cnstante de 90 kilómetrs pr hra. Si ls 12 camines Vlkswagen prmedian 16 kilómetrs pr litr cn una desviación estándar de 1.0 kilómetrs pr litr, y ls 10 Tyta prmedian 11 kilómetrs pr litr cn una desviación estándar de 0.8 kilómetrs pr litr, cnstruya un interval de cnfianza del 90% para la diferencia de medias entre ls kilómetrs prmedi pr litr de ests ds camines cmpacts. Supnga que las distancias pr litr para cada mdel de camión están distribuidas de frma aprximadamente nrmal y que tienen vari anzas iguales. Juli Rit Vargas Avilés pág. 11

12 Juli Rit Vargas Avilés pág. 12