CENTRO DE CIENCIA BÁSICA

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1 CENTRO DE CIENCIA BÁSICA Curso: Cálculo Vectorial Taller 1.1. Funciones Temas: Funciones de variable vectorial, dominio, imagen, gráfica, definición de conjuntos de puntos. 1. Encuentre el dominio natural de las siguientes funciones. Escriba la respuesta en notación de conjuntos y grafique el dominio. a. f(x, y) = sinh(2x + y) b. g(x, y) = ln(1 + x + y) c. F(θ, φ) = sin(π(θ 2 + φ 2 )) d. G(x, y) = x x + y y, x denota la función mayor entero contenido en x e. h(x, y) = arcsin(y x 2 ) f. p(x, y, z) = ln(z ln(x + y)) g. q(x, y) = x+y x y h. F (x, y) = ( ln(x), ln y) i. G (x, y) = ( ln(x), ln(y ln(x))) j. E (x, y) = ( x y, 1 y x 2, ln 1 x ) k. H (x, y) = ( sinh x, ln(sinh y), x 2 + y 2 ) l. B (u, v) = (sin ( u u 2 +v 2), u2 + v 2 ) m. g (x, y, z) = (x y, y ln( x), 1 z 2 ) n. f (x, y, z) = ( 4 x 2 y 2, ln(1 z )) 2. Cuál es la diferencia entre los dominios de las funciones F (x, 1 y) = ( y F (x, 2 y) = ( y, 1 )? 2 ln x x+y ln x 2, x y (x 2 y 2 ) ) y 3. Use la definición de igualdad de funciones de variable vectorial para examinar si las parejas de funciones dadas son iguales. Considere el dominio natural de cada una de ellas. De no ser iguales, explique en qué condición se falla. a. f(x, y) = ln (xy) g(x, y) = ln x + ln y b. F(x, y, z) = sin (x + y + z) G(x, y, z) = sin(x) + sin(y) + sin(z) c. f (x, y) = (x y, x) g (x, y) = ( x 2 y, x) Rta: sí son iguales. d. f(x, y) = ln ( x2 y 2 +1 ) g(x, y) = 2 ln x ln(y 2 + 1)

2 e. f(x, y) = ln ( x2 y 2 +1 ) + ( x)2 + 1 x g(x, y) = 2 ln x ln(y 2 + 1) + x + 1 f. f(x, y) = sgn 3 (1 x 4y) g(u, v) = sgn(1 u 4v) con sgn(x) = { 1 si x > 0 0 si x = 0 1 si x < 0 4. Considere la función vectorial definida por f (u, v) = ( 2u 2v x,, u2 +v 2 1 u 2 +v 2 +1 u 2 +v 2 +1 u 2 +v 2 +1 f es una esfera con centro en el origen. Determine su radio. Defínala implícitamente. ) ; compruebe que la imagen de 5. Dada la función f(x, y) = 2x 2y+1 x 2 +y2, halle la función que define paramétricamente el conjunto de nivel f(x, y, z) = Encuentre de ser posible, el conjunto definido explícitamente (gráfica), paramétricamente (imagen o rango) y los conjuntos definidos implícitamente (conjuntos de nivel) por cada una de las funciones dadas a continuación. a. F (t) = (t, t 2, t 3 ) b. G (φ) = (cos φ, sin φ) c. f(x, y) = x 2 y 2 d. H (ρ, φ) = (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ) e. g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 f. B (x, y, z) = (x + y + z, 2x y) 7. A cada uno de los conjuntos dados a continuación, identifíquelo verbalmente si es necesario, grafíquelo, y de ser posible, defínalo implícita, paramétrica y explícitamente. No olvide restringir las variables de cada definición si es menester. Use coordenadas angulares (cilíndricas o esféricas, ya sea centradas o desplazadas, o rotadas) de ser necesario. a. Los puntos del plano cuya primera coordenada cartesiana vale 1. b. A = {(x, y) R 2 x = 1 y = 1} c. Los puntos del espacio cuya primera coordenada cartesiana vale 1. d. B = {(x, y, z) R 3 2x + y 2 = 0 z = x 2 + y 2 } e. B = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 + y 2 } f. C = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 25 z = x} g. Un semicono circunferencial recto con eje z, ángulo de apertura de π/4 medido respecto a su eje, y con vértice en el origen. h. S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2 z 0 y 0} i. La intersección de una esfera centrada en el origen, de radio a, con el plano x + y + z = 0. j. D = {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2 y = x 2 } k. Un cilindro parabólico con directriz sobre el plano x-z determinada por z = 9x 2, y con vector orientador de la generatriz dado por A = (0,1, 4). Rta: Definición explícita dada por z = 9x 2 4y. l. S = {(x, y, z) R 3 3y = 2x 2 + 7z 2 } m. Los puntos del plano x + y + z = 1 que están a la misma altura h 0 sobre el plano xy. 8. A cada uno de los conjuntos definidos a continuación con coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z) y esféricas (r, θ, φ), identifíquelo verbalmente si es necesario, grafíquelo, y de ser posible, defínalo implícita, paramétrica y explícitamente. No olvide restringir las variables de cada definición si es menester. Use las mismas coordenadas dadas para definirlos. a. S = {(x, y, z) R 3 r = 5 } b. P = {(x, y, z) R 3 φ = π 4 } c. C = {(x, y, z) R 3 θ = π 3 } d. L = {(x, y, z) R 3 r = 3 θ = π 0 φ 2π} 4 e. C = {(x, y, z) R 3 ρ = 4 z = h 0 0 φ π } 2

3 9. La figura muestra un arreglo de 4 antenas helicoidales usadas como sistema de seguimiento. En este caso, LAS ANTENAS SON LEVÓGIRAS (siguen la regla de la mano izquierda). Cada una de las antenas tiene un diámetro D y un paso igual al diámetro. Defina implícita y paramétricamente la parte helicoidal de una de las antenas usando parámetros angulares. Haga un script en Matlab u Octave para visualizar esa parte helicoidal de la antena.

4 10. Una tolva es un tanque para sólidos granulados con parte inferior de forma cónica para lograr que la gravedad haga bajar el contenido del tanque hasta la parte inferior sin que se acumule material, como ocurriría en un tanque cilíndrico. La figura muestra una tolva para extrusión de plástico. LA PARTE CÓNICA DE LA TOLVA tiene un diámetro superior D y un diámetro inferior d. La altura de la parte cónica, desde el nivel del diámetro superior hasta el nivel del diámetro inferior es H. La altura de la parte cilíndrica es también H. Defina implícita y paramétricamente las zonas que conforman la tolva, incluyendo las restricciones necesarias; use parámetros angulares (sea en coordenadas Cilíndricas o Esféricas). Haga un script en Matlab u Octave para visualizar la tolva.

5 11. En la figura se muestra un ventilador centrífugo que es utilizado como extractor de aire. En él, la rotación de un cuerpo central con aspas curvadas hace que la velocidad del aire en el interior genere un efecto centrífugo que hace que el aire salga por una apertura radial. Las aspas adheridas al rotor central se pueden ver como un cilindro cuya directriz es un segmento de espiral de Arquímedes en el cual, la distancia radial de la superficie al eje, proporcional al ángulo medido respecto a una posición de referencia. Defina paramétrica e implícitamente una de esas aspas usando parámetros angulares. Haga un script en Matlab u Octave para visualizar el cilindro central y un aspa cualquiera del ventilador.

6 12. La figura muestra un sistema de extracción de agua usando energía mecánica rotacional. Se llama Tornillo de Arquímedes, y se basa en una superficie helicoidal inclinada que al girar permite cambiar el nivel del agua que queda atrapada en cada vuelta de la superficie. Haga un script en Matlab u Octave para visualizar un tornillo de Arquímedes. Haga las suposiciones que considere necesarias