Tabla de contenidos Acerca de este ebook Acerca del autor Mapa de contenidos Introducción del ebook Capítulo 1. Función polinomial Función polinomial

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2 Tabla de contenidos Acerca de este ebook Acerca del autor Mapa de contenidos Introducción del ebook Capítulo 1. Función polinomial Función polinomial 1.1 Ejercicios previos Ejercicios previos de factorización Ejercicios previos de división sintética 1.2 Definición de la función polinomial Grado del polinomio en la función Coeficiente principal y término constante 1.3 Dominio de la función polinomial 1.4 Raíces de la función polinomial (ceros de la función) Número de raíces de la función polinomial Teorema del residuo Teorema del factor Teorema fundamental del álgebra Teorema de Descartes Teorema de posibles raíces racionales Multiplicidad de raíces Teorema de cotas superior e inferior Aproximacion de raíces irracionales usando el teorema del residuo Encontrar la función polinomial a partir de las raíces de la función 1.5 Gráfica de la función polinomial Intersección en el eje y Intersección en el eje x Análisis de gráficas Graficas de funciones usando recursos tecnológicos 1.6 Aplicaciones en contexto Actividades del capítulo 1 Conclusión del capítulo 1 Recursos del capítulo 1 Capítulo 2. Función racional Función racional 2.1 Definición de la función racional 2.2 Dominio de la función racional 2.3 Asíntotas verticales de la función racional 2.4 Coordenadas de huecos de la función racional 2.5 Asíntotas horizontales de la función racional 2.6 Rango de la función racional 2.7 Gráfica de la función racional Intersecciones con los ejes en el plano cartesiano Intersección en el eje x Gráfica de la función racional con todos los elementos Análisis de gráficas especiales Encontrar la función racional a partir de condiciones dadas Gráficas de funciones racionales usando recursos tecnológicos 2.8 Aplicaciones en contexto

3 Actividades del capítulo 2 Conclusión del capítulo 2 Recursos del capítulo 2 Capítulo 3. Función valor absoluto Función valor absoluto 3.1 Propiedades del valor absoluto 3.2 Encontrar el valor absoluto de un número real 3.3 Distancia entre dos números usando del valor absoluto 3.4 Dominio y rango de la función valor absoluto 3.5 Gráfica de la función valor absoluto Intersección en el eje y Intersección en el eje x Análisis de gráficas especiales Traslación vertical Traslación horizontal Estiramiento vertical Estiramiento horizontal Reflexión respecto al eje x 3.6 Gráficas de funciones usando recursos tecnológicos Actividades del capítulo 3 Conclusión del capítulo 3 Recursos del capítulo 3 Capítulo 4. Desigualdades Desigualdades 4.1 Ley de Tricotomía Orden de campo de los números reales Tricotomía de los números reales Notación y simbología de las desigualdades 4.2 Desigualdad lineal Propiedades de la desigualdad Desigualdad lineal Operaciones de desigualdades lineales Desigualdad lineal aplicando propiedades Unión e intersección con desigualdades lineales 4.3 Desigualdad cuadrática Desigualdad cuadrática básica Desigualdad cuadrática con intervalo, solución y gráfica Desigualdad cuadrática a partir de la gráfica 4.4 Desigualdad racional Mayor que Mayor igual Menor que Menor igual 4.5 Desigualdad valor absoluto Desigualdad valor absoluto básica Desigualdad valor absoluto con intervalo, solución y gráfica Actividades del capítulo 4 Conclusión del capítulo 4 Recursos del capítulo 4 Capítulo 5. La recta

4 La recta 5.1 Nociones preliminares Componentes de un triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras Razones trigonométricas La función Tangente y su relación con el ángulo de inclinación Características esenciales de los triángulos semejantes 5.2 Distancia entre dos puntos 5.3 Punto medio de un segmento 5.4 Pendiente de una recta 5.5 Ángulo de inclinación de una recta 5.6 Líneas paralelas 5.7 Líneas perpendiculares 5.8 Distancia de un punto a una recta 5.9 Distancia entre dos líneas paralelas 5.10 Rectas y puntos notables de un triángulo 5.11 Aplicaciones en contexto Actividades del capítulo 5 Conclusión del capítulo 5 Recursos del capítulo 5 Ligas de interés Glosario general Referencias Aviso Legal

5 Acerca de este ebook GEOMETRÍA ANALÍTICA Y FUNCIONES POLINOMIAL, RACIONAL Y VALOR ABSOLUTO VOLUMEN 1 JOSÉ LUIS GONZÁLEZ RODRÍGUEZ D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México El Tecnológico de Monterrey presenta su primera colección de ebooks de texto para programas de nivel preparatoria, profesional y posgrado. En cada título, nuestros autores integran conocimientos y habilidades, utilizando diversas tecnologías de apoyo al aprendizaje. El objetivo principal de este sello editorial es el de divulgar el conocimiento y experiencia didáctica de los profesores del Tecnológico de Monterrey a través del uso innovador de la tecnología. Asimismo, apunta a contribuir a la creación de un modelo de publicación que integre en el formato ebook, de manera creativa, las múltiples posibilidades que ofrecen las tecnologías digitales. Con su nueva Editorial Digital, el Tecnológico de Monterrey confirma su vocación emprendedora y su compromiso con la innovación educativa y tecnológica en beneficio del aprendizaje de los estudiantes. ebookstec@itesm.mx

6 Acerca del autor JOSÉ LUIS GONZÁLEZ RODRÍGUEZ Es profesor del Tecnológico de Monterrey, Campus Querétaro. Es Ingeniero Bioquímico por el Tecnológico de Monterrey, Campus Guaymas, cuenta con la Maestría en Finanzas y la Maestría en Administración de Empresas por el Tecnológico de Monterrey, Campus Querétaro. Es profesor certificado en control estadístico de calidad. Ha participado en cursos, diplomados y proyectos relacionados con estadística, evaluación de proyectos de inversión, trabajo en equipos de alto desempeño, control de calidad, desarrollo de posición competitiva, desarrollo de habilidades gerenciales, liderazgo, trabajo colaborativo, aprendizaje basado en problemas y desarrollo de competencias docentes entre otros. Desde 1986 participa como profesor de planta del departamento de matemáticas de preparatoria en las áreas de: Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral. Ha sido distinguido con el premio Borrego Dorado como el mejor profesor de la Preparatoria en dos ocasiones. Si no puedes ver el video, haz clic aquí.

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8 Introducción del ebook E l aprendizaje de las matemáticas es un reto por su nivel de abstracción pero es relevante por las aplicaciones que tiene en su entorno. La geometría analítica y las funciones, permiten modelar fenómenos y situaciones de la vida real por lo que es importante analizar los elementos matemáticos que las caracterizan y poder aplicar el conocimiento adquirido en la solución de problemas en contexto. Para reforzar el análisis de los elementos matemáticos se apoyará en herramientas que facilitan la comprensión del conocimiento y se potencializan con el uso de tecnología donde se podrá verificar el comportamiento de tu interés. Este ebook contiene explicaciones, ejemplos y ejercicios que te permitirán aprender las matemáticas con diferentes niveles de dificultad y te permitirán interactuar con instrumentos donde podrás aplicar tu conocimiento. Se espera que al usar este ebook se disfruten las matemáticas y se logre la confianza necesaria para aplicar el conocimiento adquirido en solución de problemas en contexto.

9 Capítulo 1. Función polinomial Función polinomial En esta sección se define la función polinomial y se determinan sus elementos específicos. Un aspecto importante es analizar el comportamiento gráfico de la función, por lo que se deben identificar las características principales de una función polinomial: número de intersecciones con el eje x, intersección con el eje y, cambio en el signo del coeficiente principal y el concepto de multiplicidad de los ceros de la función. Para reforzar el análisis de la función polinomial se apoyarán en las herramientas que facilitan la comprensión del comportamiento gráfico como el teorema del residuo, el teorema del factor, el teorema fundamental del álgebra; así como establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces; finalmente determinar los ceros racionales de un polinomio, definir el teorema de los ceros complejos nos darán elementos para analizar y entender fenómenos modelados a través de este tipo de función.

10 1.1 Ejercicios previos Los ejercicios previos son importantes para tu aprendizaje, ya que la habilidad matemática se va adquiriendo con la práctica. Estos ejercicios te ayudarán a recordar conceptos básicos que has trabajado con anterioridad y te permitirán trabajar esta sección del libro con confianza y fluidez. La práctica te llevará a lograr tus metas Ejercicios previos de factorización Estas son las formulas más representativas que usarás en este curso: Ejercicios previos de división sintética La división sintética es útil para encontrar los valores de la función polinomial.

11 La división se hace especiales: en donde el binomio (x - a) debe tener características muy El exponente de la variable x debe ser uno El coeficiente de la variable x debe ser uno LIGAS DE INTERÉS Consultar ligas Números y geometría en la Naturaleza Video división sintética 1.2 Definición de la función polinomial Una función polinomial está definida por: Características de la función: Donde son números reales y n es un número entero no negativo Sólo usan operaciones de suma y resta La gráfica de la función es una curva continua La función lineal y la función cuadrática son consideradas funciones polinomiales

12 1.2.1 Grado del polinomio en la función A partir de la función: El grado del polinomio es el exponente de la variable que tiene el valor numérico mayor. De acuerdo a la función polinomial, se debe ordenar los exponentes de mayor a menor, por lo tanto: El grado del polinomio es el exponente n Ejemplos:

13 LIGAS DE INTERÉS Consultar ligas Vídeo Función polinomial Coeficiente principal y término constante A partir de la función: El coeficiente principal de la función es representado por el exponente mayor que determina el grado del polinomio. y acompaña a la variable con

14 El término constante es representado por por lo tanto la variable no se escribe. y acompaña a la variable de exponente cero, Ejemplos: 1.3 Dominio de la función polinomial A partir de la función: El dominio de la función es el conjunto de valores que pueden sustituirse por la variable x (valores que puedes usar). Por lo general en la función polinomial el dominio es representado por el conjunto de los números reales, ya que una de las características es que es una función continua. En un contexto cotidiano alguna función polinomial dependiendo el fenómeno que interprete. puede tener un dominio restringido

15 Ejemplos: 1.4 Raíces de la función polinomial (ceros de la función) Las raíces de la función son los valores que toma la variable x para que la función tenga un valor de cero y = 0 A la raíz de la función también se le conoce como cero de la función. Ejemplo: Esta sección tiene diferentes herramientas que ayudarán a encontrar los ceros de la función y permitirán analizar y entender el comportamiento de la función polinomial Número de raíces de la función polinomial

16 El número de raíces de la función polinomial es obtenido a partir del grado del polinomio. Ejemplos: Teorema del residuo Establece que si un polinomio f(x) se divide entre el binomio (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). La división del polinomio de la división sintética. se puede resolver por división tradicional o por medio Ejemplo:

17 Al resolver la división se obtiene el residuo de -8. Esta operación equivale a evaluar f(2) = -8 y por lo tanto tener las coordenadas de (2, -8) Teorema del factor Establece que si el residuo de dividir un polinomio f(x) entre el binomio (x - a) es cero, entonces el binomio (x - a) es un factor de la función. Este teorema es útil pues ayuda a factorizar las funciones polinomiales. Ejemplo: Al resolver la división es un factor de la función. se obtiene el residuo 0 de (x - 3) entonces Esta operación equivale a resolver f(3) = 0 y por lo tanto tener las coordenadas de (3, 0). LIGAS DE INTERÉS Consultar liga Video Teorema fundamental del álgebra Establece que una función polinomial en una variable que no sea constante y tenga coeficientes complejos tendrá la misma cantidad de ceros como lo marca el grado del polinomio.

18 Es importante mencionar que el número de ceros equivale al número de factores lineales que tiene la función polinomial Teorema de Descartes Establece que se puede encontrar la cantidad posible de raíces de acuerdo a los signos. Para ello se analiza los cambios de signos de términos consecutivos que tiene la función polinomial. Procedimiento: 1. Debes ordenar la función exponencial con base en los exponentes de las variables (de mayor a menor exponente). 2. Recuerda que el número de raíces es igual al grado del polinomio. 3. Evaluar si existen raíces con valor cero: Si hay término constante en la función NO existen raíces con valor cero. Si no hay término constante en la función, SÍ existen raíces con valor cero y por lo tanto en la función se puede factorizar la variable. La cantidad de raíces con valor cero será el exponente mayor de la variable que se debe factorizar.

19 4. Evaluar si existen raíces con valor positivo: El número de variaciones de signos de la función f(x) será la cantidad de raíces positivas. Como son posibilidades, al número anterior se le va restando de 2 en 2 hasta llegar al menor número positivo o cero. 5. Evaluar si existen raíces con valor negativo: El número de variaciones de signos de la función f(- x) será la cantidad de raíces positivas. Como son posibilidades, al número anterior se le va restando de 2 en 2 hasta llegar al menor número positivo o cero. 6. Elaborar una tabla resumen de posibilidades y se evalúa si existen raíces imaginarias: Las raíces imaginarias se obtienen al sumar todas las raíces anteriores y determinar cuántas raíces falta para completar el total. Es importante mencionar que este tipo de raíces siempre se presentan en número par. LIGAS DE INTERÉS Consultar liga Video de Descartes Teorema de posibles raíces racionales

20 A partir de la función: 1. Se obtienen todos los números factores del coeficiente principal 2. Se obtienen todos los números factores del término constante 3. Se realizan todas las combinaciones de los factores del término constante entre todos los factores del coeficiente principal. 4. Todas las combinaciones de posibles raíces racionales anteriores pueden ser raíces positivas o negativas, por lo tanto todos deben llevar ambos signos Multiplicidad de raíces Se dice que una raíz tiene multiplicidad cuando el valor de la variable x se repite como solución dentro de la ecuación. A partir de la función: El número de veces que se repite la raíz es igual al valor de la multiplicidad de la raíz:

21 Cuando el valor de la multiplicidad es un número par, la gráfica rebota en el eje x en el valor de la raíz; si el valor de la multiplicidad es un número non, la gráfica cruza el eje x en el valor de la raíz Teorema de cotas superior e inferior A partir de la función: 1.-Usando la división sintética dividir la función f(x) entre el binomio (x - a), en donde a > 0 y a se obtiene de la lista de las posibles raíces racionales y si en el tercer renglón de la división todos los signos son iguales entonces a es una cota superior. Esto indica que a la derecha del valor de a NO habrá raíces en la función. 2.-Usando la división sintética dividir la función f(x) entre el binomio (x - a) en donde a < 0 y a se obtiene de la lista de las posibles raíces racionales y si en el tercer renglón de la división todos los signos son alternados ( ) entonces a es una cota inferior. Esto indica que a la izquierda del valor de a NO habrá raíces en la función Aproximacion de raíces irracionales usando el teorema del

22 residuo A partir de la función: Si durante la tabulación dos números consecutivos para la variable x tienen un valor de signo diferente en la variable y, entonces la función debe cruzar el eje x y por lo tanto entre los dos valores de la variable x existe una raíz. Ejemplos: Entre 2 y 3 existe una raíz. Entre 4 y 5 existe una raíz Encontrar la función polinomial a partir de las raíces de la función Se puede encontrar los componentes de la función polinomial si se conocen las raíces de la función y alguna otra característica como el signo del coeficiente principal o las coordenadas de un punto que deba cumplir el desplazamiento gráfico de la función. Si se conocen las raíces de la función, normales o raíces imaginarias: Se debe igualar a cero cada una de las raíces Al igualar a cero se tendrá un factor por cada raíz

23 Se juntan los factores y se iguala a f(x) Se multiplican los factores y se encuentra la función polinomial: Ejemplo: Función: 1.5 Gráfica de la función polinomial Para graficar es importante conocer las coordenadas de los puntos que componen la función. Las coordenadas se pueden obtener encontrando los valores de la función a través de la sustitución de la variable en la función; a este proceso se le conoce como tabulación. La tabulación de la función también se puede obtener a partir del teorema del residuo. El signo del coeficiente principal es determinante en el comportamiento gráfico de la función. Las intersecciones con los ejes del plano cartesiano son parámetros claves. Las gráficas son importantes pues a través del análisis de su comportamiento es posible interpretar situaciones cotidianas y fenómenos naturales de gran utilidad. Te recomiendo usar una calculadora graficadora o un software graficador como Derive, Winplot, Turboplot, Graphing package, Graphmatica, etc.

24 1.5.1 Intersección en el eje y La intersección en el eje y se obtiene cuando la variable x tiene un valor de cero. A partir de la función: La intersección en el eje y es el término constante de la función

25 1.5.2 Intersección en el eje x La intersección en el eje x se obtiene cuando la variable y tiene un valor de cero. A partir de la función: Se encuentran las raíces y los valores de las raíces serán las intersecciones. El número de intersecciones depende del número de raíces de la función Análisis de gráficas

26 Transformación gráfica de funciones polinomiales: A partir de una función básica, la gráfica de la función se puede mover y transformar dependiendo las variable que se modifique. La gráfica se puede mover: 1. Verticalmente hacia arriba hacia abajo 2. Horizontalmente hacia la derecha hacia la izquierda 3. Contracción o alargamiento horizontal 4. Contracción o alargamiento vertical (amplitud) 5. Se puede reflejar su comportamiento respecto al eje x LIGAS DE INTERÉS Consultar liga Función polinomial, gráfica Gráfica de funciones polinomial con exponente n par: A partir de una función básica, la gráfica de la función se puede mover y transformar dependiendo las variable que se modifique.

27 La gráfica se puede mover: 1. Verticalmente hacia arriba hacia abajo 2. Horizontalmente hacia la derecha hacia la izquierda 3. Contracción o alargamiento horizontal 4. Contracción o alargamiento vertical (amplitud) 5. Se puede reflejar su comportamiento respecto al eje x Gráfica de funciones polinomial con exponente n non A partir de una función básica, la gráfica de la función se puede mover y transformar dependiendo las variable que se modifique. La gráfica se puede mover: 1. Verticalmente hacia arriba hacia abajo 2. Horizontalmente hacia la derecha hacia la izquierda 3. Contracción o alargamiento horizontal 4. Contracción o alargamiento vertical (amplitud) 5. Se puede reflejar su comportamiento respecto al eje x Cambio de signo del coeficiente principal de la función polinomial

28 A partir de una función básica: La gráfica de la función se puede reflejar respecto al eje x. No importando si el exponente es par o el exponente es non, la reflexión se da en ambos casos al cambiar el signo de todos los sumandos de la función Comportamiento de la función cuando tiende al infinito El comportamiento de la función polinomial cuando la variable x tiende a evaluar un valor muy grande que tienda a infinito, dependerá del grado de la función y el signo del coeficiente principal Obtención de la función polinomial a partir de la gráfica: La función polinomial:

29 Se puede obtener a partir de la gráfica: Se identifican las raíces de la función (cruces en el eje x ) Se debe igualar a cero cada una de las raíces Al igualar a cero tendremos un factor por cada raíz Se juntan los factores y se iguala a f(x) Se multiplican los factores y se encuentra la función polinomial Graficas de funciones usando recursos tecnológicos Grafica las funciones polinomiales por medio de tabulación normal, auxiliándote en: El teorema del residuo El signo del coeficiente principal Las intersecciones con el eje X La intersección con el eje Y Grafica las funciones polinomiales por medio de recursos tecnológicos auxiliándote en: Calculadora graficadora Software graficador de tú elección como: Derive, Winplot, Turboplot, Graphing package, Graphmatica, etcétera.

30 1.6 Aplicaciones en contexto La función polinomial tiene aplicaciones en diversos campos de la vida diaria. Aquí tienes algunos ejemplos de dichas aplicaciones al usar los elementos y características de la función polinomial. LIGAS DE INTERÉS Consultar ligas

31 Matemáticas aplicadas Matemática en la medicina

32 Actividades del capítulo 1 Actividad Ejercicio integrador

33 Conclusión del capítulo 1 La función polinomial es una de las funciones más relevantes; con esta función es factible modelar la mayoría de las actividades que desarrollan las personas y muchos fenómenos que se observan en la naturaleza. La función polinomial tiene diferentes grados de complejidad y esto permite abarcar situaciones sencillas o complejas, en consecuencia, su estudio de las características de la función permiten evaluar el comportamiento de un suceso o fenómeno, o la predicción y esperanza de un resultado a partir del comportamiento de la función. Por lo tanto, es importante el estudio de las herramientas de la función polinomial que permiten entender los elementos y características de la función para elaborar un análisis de descripción de la función tomando en cuenta el uso de las herramientas aprendidas en esta sección. El relacionar las herramientas matemáticas de la función polinomial con el entorno permitirá modelar situaciones de la vida que lleve a tener mejores procesos mejores, decisiones asertivas y predecir posibles problemas al tener conocimiento del comportamiento de la función.

34 Recursos del capítulo 1» Arte y Ciencia Exposiciones en el Congreso Internacional de Matemáticos: Centro de Divulgación de las Matemáticas: Massachusetts Institute of Technology Department of Mathematics: Matemáticas y Biología unidas avanzan en el estudio de las proteínas: Mathworld Wolfram: Sector Matemática: