a) c) Simplifica estos números racionales y calcula su expresión decimal. Clasifícalos. b) a) 102

Transcripción

1 NÚMEROS IDEAS PREVIAS Números racionales. Orden. Operaciones con números racionales. Propiedades. Expresión decimal y fraccionaria de un número racional. Aproximación de números. REALES Hay situaciones en las que los números racionales no son suficientes para representar aquello que queremos medir. Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de un metro de lado no mide dos metros, tampoco un metro y medio, ni,44 m. Ningún número racional nos sirve para medir esa longitud. Por eso, necesitamos ampliar este conjunto de números y añadir otros que no son racionales, los irracionales. REPASA LO QUE SABES. Ordena de mayor a menor Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado. a) + 8 c) b) : 9 0 d) : 9. Simplifica estos números racionales y calcula su expresión decimal. Clasifícalos. a) 0 90 b) 6 c) 4 60 d) Halla la fracción generatriz de estos números racionales. a), b), c),. Elabora en tu cuaderno una tabla con el truncamiento y el redondeo a las décimas de estos números.,64 9,9 map4e [ Matemáticas en el día a día ] La parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, especialmente de los números enteros, y la resolución de problemas con ellos se llama teoría de números.

2 Números reales Aprenderás a Distinguir los números racionales e irracionales. Identificar y clasificar los distintos tipos de números reales.. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Antía ha leído que hubo una crisis en las matemáticas de la Grecia clásica porque había números que no se podían medir! En el texto se habla de la diagonal de un cuadrado y se plantea cómo escribir su valor exactamente. La expresión decimal de no se acaba donde muestra la pantalla, tiene infinitas cifras decimales y no es periódica. Antía repasa lo que sabe de los números racionales: se pueden expresar como fracción o cociente de números enteros. Por ejemplo: = = = 4 = ;, 4 = 0 = = = ;, 4 = 9 = 6 8 = 9 = Presta atención Exacto Racional, 446 Irracional =, 446 Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como fracción o cociente de dos números enteros, a b. Antía vuelve a mirar el resultado de la pantalla. Qué pasa con? =, Su expresión decimal es no exacta y no periódica. No se ajusta a ninguno de los casos anteriores, no tiene expresión fraccionaria; se trata de un número no racional. Decimos que es irracional. Los números irracionales no se pueden expresar como fracción. Su expresión decimal es ilimitada y no periódica. Números reales Todos los números que conocemos y utilizamos están clasificados en grupos que se han ido ampliando y estructurando. Todos ellos son números reales. Con ellos, Antía ha completado su clasificación. El conjunto de los números reales es el que está formado por todos los números racionales e irracionales. EJERCICIO RESUELTO ``Clasifica estos números en racionales e irracionales: 4,6890 4,68 Solución 9 9 Racionales: 9 (entero); 9 = (natural); (fracción); 4,68 (decimal exacto) Irracionales: 4,6890 (decimal no exacto y no periódico); (raíz cuadrada no exacta) 6

3 Actividades 4 6 Calcula la expresión decimal de estos números fraccionarios e indica qué tipo de número es. a) 4 b) c) d) 4 0 Se puede escribir algún número fraccionario cuya expresión decimal sea irracional? Escribe estos números en tu cuaderno e indica a qué tipo de número decimal corresponden. Calcula la fracción generatriz en cada caso. a),4 b),4 c),4 d),4 Indica cuáles de los siguientes números son irracionales. Por qué? a),000 c),000 b),046 d),0 Decide si los siguientes números son racionales o irracionales., 8 4, Qué números tienen representación fraccionaria? Calcúlala en los casos en los que sea posible. a), c),6890 b),999 d),9999 Copia en tu cuaderno el esquema que estructura los conjuntos numéricos y sitúa estos números en el lugar que les corresponda Cuáles de ellos son números reales? Estudia los siguientes números y contesta: qué tipo de número puede ser la raíz cuadrada de una fracción? 4 64 Calcula el resultado de estas operaciones utilizando primero la expresión decimal y después la fracción. Obtienes el mismo resultado? a),8666 +, c) 4, b),8 + (,6) d),66 0, Reflexiona: son racionales la suma y el producto de números racionales? Observa el proceso y pon otros ejemplos si hace falta. Sabiendo que + es racional o irracional. es un número irracional, razona si Indica si es verdadera o falsa esta afirmación: La suma de dos números irracionales puede ser un número racional. Justifica tu respuesta con ejemplos. Es un número racional la altura de este triángulo equilátero? cm Esta tabla muestra los resultados de la elección a delegado en un grupo de 4.º de ESO. La clase tiene menos de alumnos, y cada uno emitió exactamente un voto. h cm Porcentaje de votos cm 8 Intenta averiguar la cifra decimal que ocupa el lugar 00 para cada uno de estos números. a) π b) Explica cómo resuelves cada apartado. Qué diferencias encuentras? A qué se deben? Escribe dos números racionales y dos irracionales. Explica cómo lo haces. Sofía 6,6 % Raúl, % En blanco El resto a) Cuál es el porcentaje de votos en blanco? b) Cuántos alumnos hay en la clase? c) Cuántos votaron a Sofía? d) Cuántos votaron a Raúl? DESAFÍO Demuestra por qué es un número irracional. Para ello, sigue estas pistas: Si fuese racional, se podría escribir como fracción irreducible: = a b Elévalo al cuadrado y despeja a. Recuerda: en un cuadrado perfecto, cada número primo aparece un número par de veces. Por ejemplo: a = a = ( ) = 6 4 Piensa cuántas veces aparecería el factor al despejar a. Qué ocurre? Es eso posible?

4 Números reales Aprenderás a Comparar y ordenar números reales. Representar números en la recta real.. RELACIONES DE ORDEN. REPRESENTACIÓN Ernesto ha construido un gran mural con cuatro tablones cuadrados de m de lado. Sobre sus diagonales quiere colocar otro cuadrado de chapa que sabe que mide exactamente m de lado. Le han vendido un cuadrado de, m de lado y está seguro de que no se ajustará. Lo compara sobre el mural y comprueba que, en efecto, le sobra un trozo:, > 0, es mayor que. Dados dos números reales cualesquiera, a y b: a es mayor que b si a b > 0, a es menor que b si a b < 0 y a es igual a b si a b = 0. Presta atención Para representar una fracción, siempre se utiliza la irreducible. Si la fracción es impropia, la referencia es la parte entera: = < < = 4 + Al superponer la chapa sobre el mural haciendo coincidir los vértices, el otro extremo de la chapa queda más a la derecha. Cómo lo representamos? Cada número real tiene su sitio en la recta numérica, y a cada punto de ella le corresponde un solo número real. Así representamos los números enteros Para representar números decimales, podemos dividir cada unidad en 0 partes iguales e ir aproximándonos a ellos. Pero Ernesto los quiere representar de forma exacta para compararlos. < < 4 map4e De este modo determina de forma exacta la longitud del lado de la chapa y, como sabe que ha de ser menor, solo tiene que cortar lo que sobra. Fijado un origen, el 0, y una unidad, a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta real. Dos números que coinciden en el mismo punto son iguales. EJERCICIO RESUELTO ``Representa 6 aplicando el teorema de Tales. Solución 6 = + < 6 < 4 Situamos en la recta y, determinamos entre y 4 aplicando el teorema de Tales

5 Actividades 6 Compara estas parejas de números reales. a),0 y,0 d),4 y,44 b),9 y,9 e) 9 y c),888 y, 8 f) 44 y EJERCICIO RESUELTO ``Representa en la recta real el número. Solución Ordena de menor a mayor.,,,44 map4e,,,, 8 Ordena estos números de mayor a menor Representa gráficamente. a) b),64,64 c) d) Representa estos números irracionales. a) + b) + c) + 0 Representa de forma exacta sobre la recta real. a) b) 0 c) 8 Estas son algunas de las distintas aproximaciones utilizadas para π =, Representa gráficamente en la recta real el número π =, Cómo lo haces? Es posible representarlo de forma exacta? Representa sobre la recta real y. Babilonia (000 a. C.) + 8 Arquímedes (s. iii a. C.) 4 Representa de forma exacta estos números, eligiendo en cada caso el método más adecuado. a), b) 4,6 c) Observa la representación de 6 y explica por escrito y paso a paso cómo se ha realizado. 6 9 Dibujo Técnico + a) Clasifícalas en racionales e irracionales. b) Represéntalas en la recta real adecuando el método y la escala al número. c) Cuál te parece mejor? Justifica tu respuesta. Amal quiere subir a casa un listón de madera que mide, m. Ha buscado las dimensiones de su ascensor y ha encontrado esto: Fíjate en el ejercicio anterior y representa. Dimensiones (mm) Ancho Fondo Altura Sitúa sobre la recta. Cómo situarías Escribe los pasos que das.? Podrá subir Amal el listón en ascensor? Investiga 0 Analiza cómo se ha realizado esta construcción de hipotenusa. Qué número se obtiene?. Repite el proceso a partir de la Imagina que iteramos el procedimiento hasta que se cierre la figura. Qué números crees que obtendríamos? Compruébalo. Busca el nombre de esta construcción y explica por qué crees que se llama así. 9

6 Números reales Aprenderás a Identificar y aplicar las propiedades de las operaciones de números reales.. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Diego elabora un mosaico con diferentes piezas. Al ir calculando lo que mide y ocupa, descubre distintas propiedades. Propiedades de la suma Elemento neutro: 0 Si no añade ninguna pieza a ningún lado, la longitud no varía. Opuesto: a Quitar una pieza después de ponerla no afecta al resultado. + 0 = 0 + = + = + 0 = 0 + = Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c Da igual cómo asocie las piezas para sumar las longitudes. + ( ) = 0 Conmutativa: a + b = b + a Si cambia dos piezas de orden, la longitud no varía. = + ( + ) = ( + ) + + = + Recuerda Área de un rectángulo h Propiedades de la multiplicación Elemento unidad: El área de la pieza de un cm de altura coincide con la base. Inverso: a = /a El área de la pieza de cm y / cm de lados es cm. b A = b h Volumen de un ortoedro A = = cm A = / = / = cm Asociativa: a (b c) = (a b) c El volumen no depende de la cara cuya área se está calculando. Conmutativa: a b = b a No importa la orientación de la pieza; el área no varía. a c b = V = a b c Presta atención El cero no tiene elemento inverso ya que ningún número multiplicado por cero da como resultado la unidad. ( ) = ( ) Además, si quiere calcular el área de dos piezas a la vez, lo puede hacer de dos maneras, aplicando la propiedad distributiva: a (b + c) = a b + a c = + = ( + ) = + 0

7 Actividades 4 6 Halla el opuesto de cada uno de los siguientes números. a) + b) 0 c) π 6 d) 0,6 e) 8 f) 89 g) Escribe los opuestos de y y represéntalos de forma exacta en la recta. a) Cuál de los dos números es menor en ambos casos? b) Qué distancia del cero separa a un número y a su opuesto? Qué distancia hay entre ellos? Analiza si un número real tiene siempre opuesto. Y un número racional? Razona si hay algún conjunto numérico en el que un número no tenga opuesto. Cuál? π Calcula el inverso de: 4,6 4 Considera cada uno de estos números:,; 0,04 ; y 0,. Exprésalos como fracción y calcula su inverso. Cambia el signo? Calcula la expresión decimal de los inversos. Representa cada número y su inverso, y compáralos con y. Qué observas? Considera los distintos conjuntos numéricos y busca el inverso de alguno de sus elementos, exceptuando el cero. a) Determina en qué casos el inverso permanece en el conjunto y en cuáles no. b) Existe algún elemento que siempre tenga inverso? c) En qué conjuntos existe elemento inverso para todos los números? EJERCICIO RESUELTO ``Saca factor común y, después, calcula: a) Solución b) a) = = ( + 0 8) = 0 = 0 = 0 b) = + + = + + = = + = = 9 Presta atención La propiedad distributiva permite sacar factor común en una expresión. Propiedad distributiva a (b + c) = a b + a c Factor común 8 Opera respetando la jerarquía y sacando factor común. Discute la ventaja en cada caso. a) + + b) c) 6 π + 4 π π 0 DESAFÍO Calcula cuánto aumenta el radio si añades m al perímetro de una circunferencia de m de radio. Y si la circunferencia original tuviese 0 m o 00 m de radio, cuánto aumentaría? Indica las operaciones que realizas en cada caso y justifica el resultado basándote en las propiedades de los números reales.

8 Números reales Aprenderás a Aproximar números reales por exceso, por defecto y mediante redondeo. Determinar o acotar el error cometido según el caso. Lenguaje matemático Para indicar que un número está aproximado, se utiliza el signo. p,46 Presta atención Al redondear un número grande, por ejemplo 8, debemos tener en cuenta el número de cifras significativas: Con cifra significativa: 000 Con cifras significativas: 900 Con cifras significativas: 80 Presta atención El error relativo será menor cuanto mayor sea el número de cifras significativas utilizadas. 4. APROXIMACIONES Y ERRORES Alberto calibra el cuentakilómetros de su bici a fin de medir de la forma más exacta posible la longitud de sus trayectos. Para ello, calcula la longitud de la rueda: L = π d = π 0,69 m =,98 m Pero no precisa tantos decimales, por eso elige una aproximación. Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas Por defecto,,,,9 Por exceso,,8,4,40 Redondeo,,,4,40 Alberto aproxima por redondeo con tres cifras decimales: L,4 m Ese número tiene cuatro cifras significativas, tres exactas y una, la última, aproximada. Las cifras significativas de un número aproximado son aquellas de cuya exactitud tenemos constancia y resultan relevantes para lo que se quiere medir. Errores y cotas del error Alberto quiere conocer qué error comete, esto es, la diferencia que hay entre el dato real y lo que marca el cuentakilómetros. Con este fin, calcula el error absoluto medido en metros: Error absoluto = 0,69 π,4 = 0,00008 m Y como no puede determinar el error de forma exacta porque π es un número irracional, da una cota de ese valor: Error absoluto < 0,000 m = 0, mm. Como Alberto no conoce el valor real, calcula también una cota del error relativo dividiendo la cota del error absoluto entre la aproximación: Error relativo = E a x < 0,000,4 El error relativo es menor que 0,0 %. = 0, < 0,000 El error absoluto es la diferencia entre el valor real, x, y el valor aproximado, a, de una medida, en valor absoluto: E a = x a Tiene las mismas unidades que la medida, y, si se desconoce el valor real, se da una cota del error absoluto, que suele ser menor que unidades con respecto al lugar que sigue a la última cifra significativa utilizada. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real: E r = E a x Para hallar una cota del error relativo, se calcula el cociente entre la cota del error absoluto y la aproximación. Suele expresarse en porcentaje. EJERCICIO RESUELTO ``Halla una cota de los errores cometidos al aproximar a dm el volumen de una esfera de m de radio. Solución V esfera = 4 πr 4,89 m E a = x a < 0,000 m E r = E a x < 0,000 = 0, < 0,000 = 0,0% 4,89

9 Actividades Determina los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar estas aproximaciones. a) 0,6 b), c) π,4 Aproxima y por defecto y por exceso con, y cifras decimales. a) Calcula el error absoluto cometido en cada caso. b) Utiliza los resultados obtenidos para explicar el sentido de la aproximación por redondeo. Expresa con un número razonable de cifras significativas estas cantidades y halla una cota del error absoluto y del error relativo cometidos. a) Presupuesto del ayuntamiento: 4 0,0 b) Oyentes de un programa: 84 c) Tamaño de un virus: 0,008 mm d) Porcentaje de votos de un candidato:,6 % Calcula el área de estas figuras planas de forma exacta. Aproxima los resultados con tres cifras significativas y acota el error cometido. a) Círculo de 0 dm de diámetro. b) Triángulo equilátero de 8 cm de lado. Entre siete amigos han comprado un regalo que les ha costado 49,90. Determina la cantidad que debe pagar cada uno en un reparto equitativo. Explica cómo lo haces. Qué problema surge? Busca posibles maneras de resolverlo. Fíjate en los precios de esta gasolinera. 4 Da una cota del error absoluto y relativo cometido al aproximar la población de estas localidades. Localidad Habitantes Camariñas 0 a) Cuánto costaría llenar un depósito de 60 L con esos precios? b) Y cuánto costaría si el precio se diese en céntimos? c) Analiza tus conclusiones. Soria 9 00 Valencia Barcelona Observa estos frascos de perfumes y calcula su superficie y capacidad de forma exacta y aproximada. Cuántas cifras significativas utilizas? Por qué? Acota los errores cometidos. Recuerda: L = dm 4 Observa estas aproximaciones de π y calcula los errores absoluto y relativo cometidos. Si no es posible, explica por qué y aproxímalos. a) Liu Hui (año 6):,49 b) Tsu Ch ung Chih (año 480): c) Speeht (año 86): 46 0 Cuál es la mejor aproximación? A la vista de los resultados obtenidos, decide qué envase te parece mejor. Compara: superficie, capacidad, almacenaje, forma, estética 48 Observa el método babilónico para aproximar la raíz de 4. Se acota entre dos aproximaciones enteras: 4 < 4 < Se divide el número entre la mejor aproximación: 4 : = 4,8 El área de un rectángulo cuyos lados miden cm y 4,8 cm, respectivamente, sería 4 cm. Se mejora promediando los lados: + 4,8 = 4,9 sería la medida de un lado y la del otro: Al repetir el proceso, la medida de los lados se aproxima cada vez más al valor real de la raíz. DESAFÍO 4 4,9 = 4, a) Fíjate en los pasos y calcula 60 con tres cifras decimales. b) Elabora una hoja de cálculo con los pasos y determina por este método: 0 ; 4,

10 Números reales Aprenderás a Reconocer y escribir los tipos de intervalos y semirrectas. Representar en la recta real intervalos y semirrectas.. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Lourdes ha recibido información sobre el precio del agua para uso doméstico. Tramos Tramos mensuales Tarifas Primer tramo Menos de 0 m 0,486 /m Segundo tramo Desde 0 m a menos de 6 m 0,60 /m Tercer tramo Desde 6 m a menos de 8 m 0,60 /m Cuarto tramo A partir de 8 m 0,60 /m 8 Lenguaje matemático Para indicar que un número está en un conjunto, se utiliza el símbolo. (, ) Se lee: pertenece al intervalo (, ). Le corresponden 00 L por persona y día, esto es, hasta 0 m al mes. Pagará lo mínimo si mantiene un consumo razonable, inferior a 0 m. A partir de ahí, se tarifa por tramos. El primer tramo a partir de 0 m incluye los consumos, x, que van de 0 m a una cantidad que no llegue a los 6 m. Se trata de un intervalo y se escribe: [0,6) = { x / 0 x < 6} 0 6 Un intervalo es el conjunto de números reales comprendidos entre dos de ellos llamados extremos del intervalo. Dependiendo de si los extremos se consideran parte del intervalo o no, se definen cuatro tipos: Intervalo cerrado Intervalo abierto [a, b] = a b { x / a x b} Semiabierto por la izquierda a ( a, b] = { x / a < x b} b a ( a, b) = { x / a < x < b} Semiabierto por la derecha [a, b) = a b b { x / a x < b} Las semirrectas son siempre abiertas por el extremo en que no están acotadas. Escribimos: (,, + ) El último tramo de la información que recibes solo muestra un límite, a partir de 8 m. Cualquier consumo igual o superior a ese estará penalizado con el coste máximo. El tramo tiene extremo inicial, pero no final: es una semirrecta. [8, + ) = { x / x 8} 8 Una semirrecta es el conjunto de números reales definido para valores menores o mayores que un número dado. Lenguaje matemático La recta real también se expresa como intervalo: = (, + ) Las semirrectas positiva y negativa se indican así: = (, 0) + = (0, + ) Dependiendo de si este número se considera parte de la semirrecta o no, se definen dos tipos: Semirrecta abierta (, a) = a { x / x < a} (, a] = { x / x a} a Semirrecta cerrada a ( a,+ ) = { x / x > a} a [a,+ ) = { x / x a} 4

11 Actividades Expresa como intervalo y representa los conjuntos formados por los números: a) Comprendidos entre y, excluido el. b) Estrictamente menores que. c) Mayores que y menores que. d) Mayores o iguales que 4. Escribe en forma de intervalo y desigualdad. Indica si son abiertos o cerrados. a) c) 0 0 b) d) 0 0 Escribe la desigualdad y la expresión que definen las siguientes semirrectas. a) c) 0 0 b) d) 0 0 Describe estos intervalos y semirrectas como desigualdades y represéntalos en la recta real. Indica, en cada caso, de qué tipo se trata. a) (, ) c) [ 0, 4) b) (, 8] d) (, ) Representa en la recta real el conjunto de números que cumplen las siguientes condiciones. Escribe debajo el intervalo o semirrecta. a) { x / 4 x < } b) { x / x 9} c) { x / x < } d) { x / x } Representa los números que verifican estas desigualdades y escribe los intervalos o semirrectas correspondientes. Qué observas? Explica por qué. a) { x / x } b) { x / x } Halla dos números racionales y dos irracionales que pertenezcan a cada uno de estos intervalos. a) 4, c) π, b), d) 6, Piensa y analiza cómo has encontrado soluciones para el ejercicio anterior. Podrías encontrar más? Cuántos números reales hay en un intervalo cerrado cualquiera? Y en uno abierto o semiabierto? Escribe intervalos abiertos que comprendan entre dos números: a) Enteros. b) Con una cifra decimal. c) Con dos cifras decimales. Qué números empleas como extremos del intervalo? Podrías conseguir intervalos aún más pequeños? Cuánto más? Busca intervalos como los del ejercicio anterior para el número,. Es posible? Razona la respuesta. Tantea y averigua para qué números es posible calcular x. Exprésalo como desigualdad, intervalo y represéntalo en la recta. EJERCICIO RESUELTO ``Representa el intervalo formado por los números, x, que verifican que: Solución x < Un número cuya diferencia con es exactamente en valor absoluto es dos unidades mayor o dos unidades menor que. = = La diferencia será menor que si el número está entre y. 0 + { x / < x < } = (, ) DESAFÍO Halla, por tanteo y de forma razonada, el intervalo para el que es posible calcular estas expresiones. Analiza qué diferencias hay entre las dos soluciones y explica a qué se deben. a) 9 x b) 60 9 x Representa los intervalos que cumplen las siguientes condiciones. a) x 4 < c) x 6 b) x + < d) x +

12 QUÉ tienes que saber? Ten en cuenta Los números racionales se pueden representar en la recta utilizando el teorema de Tales. Los números irracionales de la forma n se pueden representar aplicando el teorema de Pitágoras una o varias veces. La recta real Representa gráficamente los siguientes números reales. a) 4 = + 4 < 4 < b) 0 = Conmutativa Ten en cuenta a + b = b + a Asociativa a b = b a a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Elemento neutro: 0 Elemento unidad: Distributiva: a (b + c) = ab + ac Propiedades de los números reales Aplica las propiedades de los números reales para simplificar estas operaciones. 9 a) = + 4 = 4 + = 4 = = 9 Factor común Conmutativa Asociativa b) π + π = π ( + ) = π = 60 π = 88,49... Error absoluto Ten en cuenta E a = x a donde a es una aproximación del número x. Error relativo E r = E a x Determina una aproximación por redondeo de p con tres cifras significativas y calcula los errores absoluto y relativo. Determina una cota para estos errores. E a =,49...,4 = 0, Cota: E a < 0,00 Aproximaciones y errores π =,496...,4 E r = 0, = 0, = 0,04...%,49... Cota: E r < 0,00 = 0,00... < 0,00 = 0,%,4 Ten en cuenta Intervalos Abierto: (a, b) Cerrado: [a, b] Semiabiertos: [a, b) (a, b] Semirrectas Abiertas: (, a) (a, + ) Cerradas: (, a] [a, + ) Escribe en forma de intervalos o semirrectas y como desigualdades. a) b) c) Intervalos y semirrectas (, ) = { x / < x < } [, ) = { x / x < } (, ] = { x / x } 6

13 Actividades Finales Números reales. Orden Determina la fracción generatriz de: 0, 0, 0, 0,4 0,8 a) Explica qué observas. b) Conjetura cómo será la fracción generatriz de,,,,, y compruébalo. c) Estudia otros ejemplos, modifica la parte entera, la cifra del período y generaliza. Indica cuáles de los siguientes números no se pueden escribir como cociente de números enteros. Por qué? a) 6, b) 9, c), d) 8,44 Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional. Cuál es su expresión fraccionaria? a) 8 c), b) 8,4 d) 4, Indica el menor conjunto al que pertenecen estos números: π 6 Escribe, si es posible, un número: a) Entero que no sea natural. 0,000 b) Entero no negativo y que no sea natural. c) Entero y racional a la vez. d) Racional no entero. e) No racional. Halla con la calculadora las primeras cifras decimales del número. Encuentra dos números racionales que se diferencien de él menos de una centésima y que sean: a) Exactos. b) Periódicos puros. c) Periódicos mixtos. Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) El cuadrado de un número irracional es irracional. b) La suma de dos números irracionales es irracional. c),9 es un número natural. d) La suma de un número entero y uno irracional es irracional. e), es un número irracional Calcula la longitud y el área que contiene una circunferencia cuyo radio vale: a) 0 cm c) 0, dm b) 0, dm d) m Qué tipo de número son las longitudes de los radios? Y las longitudes de las circunferencias? Y las áreas? Pasará eso siempre? Por qué? Generaliza y completa la frase en tu cuaderno: Si la longitud del radio de una circunferencia es un número racional, entonces Analiza si los siguientes números son racionales o irracionales y después contesta. a) Diagonal de un cuadrado de cm de lado. b) Diagonal de un cuadrado de cm de lado. c) Diagonal de un cuadrado de cm de lado. Pueden ser la diagonal y el lado de un cuadrado irracionales a la vez? Y racionales? Busca información sobre el número e. Es racional o irracional? Representa sobre la recta real dicho número y también el número π. Es exacta su representación? Cuál es mayor? Compara estas parejas de números reales. a), y, c) 4, y 4, b) 8 y 9 d) 0 y π Ordena de menor a mayor los siguientes números. 4, ,4 4,4 Copia la tabla y complétala situando π entre dos fracciones consecutivas para denominadores cada vez mayores. Es posible siempre? Denominador Fracción menor Fracción mayor = 4 = 4 6 = =, 9 = 0 =,) 0 0 =, 0 =,

14 Números reales Escribe para cada apartado un número racional y otro irracional comprendido entre los que se dan a continuación. 84 Explica cómo utilizar el factor común para simplificar estos cálculos y resuelve. 6 a), 4 y,4 c) 4,69 y b) y 6 d) π y 99 Cuántos números reales diferentes podrías escribir en cada caso? Pasará eso siempre? Sitúa, de forma aproximada, estos números reales sobre la recta. Indica si son racionales o irracionales.,4,,444 Representa estos números racionales ayudándote del teorema de Tales. a) 4 b) c) d) 8 a) + 4 b) c) d) π + π 40 π Indica en cada paso qué propiedades de los números reales se han utilizado y qué resultados se buscan para operar de forma sencilla. a) + + = 0 + = Coloca de forma exacta los siguientes números sobre la recta real. a) 6 b) + 0 c) 0 d) Representa gráficamente y ordena. 0 9 Calcula la expresión decimal de estos números reales y ordénalos de menor a mayor. Represéntalos y compara los resultados. 4 9 Representa gráficamente el número haz lo mismo con el número ambos son iguales Después. Comprueba si Operaciones de los números reales 8 8 Calcula el opuesto y el inverso de cada uno de estos números reales. Indica el menor conjunto numérico al que pertenece cada uno. a) 9 b) 0, c) π 6 d) Observa cómo se simplifica esta fracción. Copia el proceso en tu cuaderno indicando de qué propiedades haces uso en cada paso = = = = 9 0 Aplica la estrategia y simplifica estas fracciones. a) 00 b) 96 c) 0 4 d) 90 4 b) 4 4 = 4 4 = c) 6 = = = d) + 8 = ( + 8) = 0 = 0 Aproximaciones y errores Copia y completa con las aproximaciones por defecto, D, y por exceso, E, de estos números reales. Décimas Centésimas Milésimas O O O O O O + O O O O O O D E D E D E Indica la aproximación por redondeo en cada caso y calcula el error cometido. Justifica si es correcta la siguiente expresión; y en caso negativo corrígela. = 0, 4464 Indica a qué conjunto numérico pertenece. Redondea con un número razonable de cifras significativas. Acota los errores cometidos. a) Superficie del parque de Timanfaya: 0 ha b) Distancia de la Tierra a la Luna: km c) Peso de una sandía:,4 kg d) Nota media de un curso:,6666 Halla los errores absoluto y relativo cometidos en esta aproximación: + 0, + 0, = 0,8 8

15 Actividades Finales 90 Determina de forma exacta el perímetro de estas circunferencias. Calcula después ese mismo valor utilizando π. a) r = cm b) r = 0 m c) r = 00 m 96 9 Representa de forma exacta el intervalo comprendido entre los números y. Demuestra gráficamente que (, ). 9 Con ayuda de una calculadora, determina el error absoluto y relativo cometido en cada caso. Analiza cómo varía cada error en los distintos apartados. Compara estas dos estimaciones. 98 Cuántas condiciones se necesitan para determinar un intervalo? Y una semirrecta? Indica si los números que cumplen las siguientes condiciones son intervalos o semirrectas y exprésalos como tales. a) { x / x } c) { x / < x } b) x / > x d) x / x 4 99 Halla dos números racionales y dos irracionales que pertenezcan a los siguientes intervalos. a) π, π b), ( ) d), 6 c), a) Indica el número de cifras significativas de cada una. b) Da una cota del error absoluto cometido en las dos estimaciones. Comenta qué observas. c) Calcula la cota del error relativo en cada caso. Son igual de razonables ambas estimaciones? 00 Si se aproxima a las décimas por defecto y por exceso, es cierto que (,6;,)? a) Representa la afirmación y copia la definición de cota del error absoluto. Qué relación hay? b) En la definición se indica que suele ser menor que Por qué? Intervalos y semirrectas 9 Representa y escribe el intervalo y la desigualdad correspondientes. a) Números estrictamente menores que. b) Números mayores que y menores que 9, incluido el 9. c) Números comprendidos entre y. d) Número mayores o iguales que Averigua para qué valores de x es posible calcular: a) x 6 c) x + b) 9 x d) x + 6 Representa los intervalos formados por los números que verifican las siguientes condiciones. a) x < c) 4 x 4 b) x + 4 d) x + < 9 94 Describe estos intervalos y semirrectas como desigualdades y represéntalos en la recta real. Indica de qué tipo de intervalo o semirrecta se trata. a) [, ] c) (, ] b) (, 4] d) (, + ) Escribe los intervalos que están representados. De qué tipo es cada uno? a) b) 9 c) d) 8 0 Observa esta tabla elaborada para separar el melocotón por categorías según su tamaño. Diámetro en mm Calibre 90 y más AAAA 8 incluido 90 excluido AAA 80 incluido 8 excluido AA incluido 80 excluido A 6 incluido excluido B 6 incluido 6 excluido C 9 Determina la desigualdad que expresa cada una de estas semirrectas y escríbela en forma de intervalo. a) b) 0 0 c) d) 0 0 a) De qué tipo son los intervalos? Escríbelos. b) Algún tramo se expresa con una semirrecta? c) Pertenece cualquier producto a alguno de los intervalos? Y a más de uno? d) Qué intervalo falta? 9

16 MATEMÁTICAS VIVAS El DNI, la fachada de Notre Dame en París, el Partenón en Atenas y la Gioconda de Leonardo da Vinci tienen algo en común. Están relacionados con un número real: el número de oro o divina proporción, Φ. En todos estos ejemplos está presente un rectángulo especial, el rectángulo de oro. En este rectángulo se cumple lo siguiente: La razón entre la suma de sus lados y el lado mayor coincide con la razón entre el lado mayor y el lado menor. Esa razón es el número de oro, Φ. Si llamamos al lado más corto y x al más largo, esa condición se traduce como: x + = x x x = x + COMPRENDE Observa cómo están colocados los rectángulos en las fotografías y la proporción establecida. a. Multiplica en cruz y resuelve la ecuación resultante. El número de oro es la solución positiva. Escríbelo de forma exacta. RESUELVE b. Se trata de un número racional o irracional? Por qué? ARGUMENTA c. Según esa proporción, el número de oro cumple la condición Φ = Φ +. Calcula la expresión decimal de Φ. Divide entre Φ y halla una condición para Φ, el inverso de Φ, así como su expresión decimal. Fíjate en ambas expresiones decimales y describe lo que observes. PIENSA Y RAZONA RELACIONA Fíjate en cómo se sitúa el número de oro sobre la recta real. 0 Φ a. Explica los pasos y relaciona Φ con la representación de un número irracional. b. Copia esta representación en tu cuaderno y construye a partir de ahí Φ y Φ. COMUNICA REPRESENTA 0

17 REFLEXIONA Arte y proporción La belleza también está en los números. A veces, aplicar las propiedades de las operaciones y jugar con ellos arroja resultados sorprendentes. Santiago se ha puesto a enredar calculando potencias de Φ y se ha encontrado con esto: Φ = Φ Φ = Φ + Φ = Φ Φ = (Φ + ) Φ = Φ + Φ = Φ + + Φ = Φ + Φ 4 = Φ Φ = (Φ + ) Φ = Φ + Φ = Φ + + Φ = Φ + Φ = Φ 4 Φ = = Φ + Observa los números que multiplican al número de oro en cada expresión. UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO a. Calcula otras potencias de Φ y confecciona una lista con los primeros términos de la sucesión formada por estos números. Intenta escribir la regla de formación de dicha sucesión. b. Utiliza una hoja de cálculo para generar los 0 primeros términos de esta sucesión y hallar el valor de los cocientes de dos términos consecutivos. Compara los sucesivos valores de estos cocientes con Φ y di qué observas. UTILIZA LAS TIC c. Escribe los intervalos abiertos definidos por los cocientes de dos términos consecutivos. Son los extremos de estos intervalos racionales o irracionales? Qué relación tienen con el número de oro? PIENSA Y RAZONA d. Representa los cocientes de la tabla en una gráfica y analiza el resultado. Confirmas las observaciones hechas? REPRESENTA TRABAJO COOPERATIVO TAREA Utilizad Internet para buscar ejemplos en el arte y también en la naturaleza en los que esté presente esta proporción, el número de oro. Averiguad si existe el número de plata y, en caso afirmativo, investigad cómo se representa, su valor, si es racional, dónde aparece Elaborad una presentación con toda esta información que muestre la presencia de los números reales en situaciones cotidianas.

18 Números reales AVANZA Operaciones con intervalos Para resolver algunos problemas, necesitamos considerar números que están en un conjunto o en otro o que se hallan en dos conjuntos a la vez. Con objeto de representar estas situaciones, utilizamos las siguientes operaciones con intervalos: Unión de intervalos,, representa a los números que están en un conjunto o en el otro. (, ) (, ) = { x / < x < o < x < } Intersección de intervalos,, representa a los números que están a la vez en un conjunto y en otro. [, ) [0, ] = { x / x < y 0 x } = [0, ) 0 Si dos intervalos no tienen ningún elemento en común, se indica mediante A B =. (, ) [, + ) = Si la unión de dos intervalos cubre la recta real, se representa con la expresión A B =. (, ) [, + ) = A. Representa en la misma recta los intervalos A y B. Determina después A B y A B, expresando el resultado como un solo intervalo cuando sea posible. a) A = [, ] y B = (, ] b) A = (4, + ) y B = (, ) A. Representa estas semirrectas en la misma recta real y escribe los intervalos que cumplen una u otra y ambas a la vez. a) { x / x 0} y { x / x > } b) { x / x < } y { x / x 9} CÁLCULO MENTAL Estrategia para DIVIDIR POR NÚMEROS ENTRE 0 Y Para dividir por un número racional entre 0 y, en ocasiones es más sencillo transformar la división expresando el número en forma de fracción. Por ejemplo: Para dividir entre 0,: : 0, = : = = 46 CM. Utiliza la estrategia anterior para hallar mentalmente el resultado de las siguientes divisiones con números decimales. a) 6, : 0, c) 4 : 0, b) 9, : 0, d) 8,0 : 0, Para dividir entre 0,: : 0, = : = 4 = = 46 = 9 4 Para dividir entre 0,: : 0, = : 0 = : = = 0 : = 0 : = CM. Aplica la estrategia anterior en estas operaciones. Relaciona primero el número con su expresión fraccionaria. a), : 0,4 c) 6, : 0, b) 94, : 0,8 d), : 0,0