PRÁCTICO N o 2. Introducción a la Lógica Proposicional. Ejercicio 1:

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1 Ejercicio 1: PRÁCTICO N o 2 Introducción a la Lógica Proposicional Dadas las siguientes frases identifique e indique cuáles son proposiciones simples: 1. Pedro es alto? 2. La cantante triunfa inesperadamente. 3. corre! 4. Llévame a pasear es un número par. 6. Los senadores debaten con tranquilidad. 7. Z > Todo número real elevado a la cero da uno. 9. Salta la cuerda * 10 = 340. Ejercicio 2: Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique las proposiciones elementales representándolas con las letras (A, B, C,...) respectivamente. 1. Ustedes pueden usar las cámaras digitales o las cámaras de sus teléfonos celulares o ambas. 2. Siempre que llueve, las plantas se riegan. 3. A pesar de que el coche no aceleró, hubo un accidente. Ejercicio 3: Dadas las siguientes proposiciones simples: A = El matemático estudia. B = El problema es sencillo. C = La solución es correcta. Reemplace en las siguientes proposiciones compuestas, tratando de obtener dos versiones de las mismas: (B C) (A (B C)) (A (B C)) Práctico 2: Lógica Proposicional Página 1 Dpto. de Informática

2 Ejercicio 4: Indique si las siguientes son fórmulas bien formadas (fbfs), en caso de no serlo justifique: 1. P Q R 2. ((Q (P R) P) 3. ((P Q) (S R)) 4. ( (R ( Q))) Ejercicio 5: Identifique con letras (A, B, C,...) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los símbolos de la lógica proposicional, las proposiciones compuestas: 1. El Sr. Perez es feliz si la Sra. Perez es feliz y la Sra. Perez es feliz si el Sr. Perez es feliz. 2. Elías toma café o té y toma café solamente si contiene azúcar. 3. Resuelvo los prácticos sólo si leo los manuales. Ejercicio 6: Dadas las siguientes frases: 1. Si aumenta la inflación y quiebran algunas empresas, entonces aumentará la criminalidad. 2. No es verdad que Jim y Tom sean ambos estrellas de rock. 3. Las interfaces permiten la interacción usuario-sistema sólo si son inteligentes. a) Escriba fbfs que las representen. b) Niegue las fbfs escritas en a). c) Escriba frases que representen las fbfs escritas en b). Ejercicio 7: Para cada una de las fórmulas bien formadas que siguen, sugiera las proposiciones elementales para P, Q, R y S respectivamente y escriba las frases que representen cada fbfs. 1. ( ( P R ) Q ) 2. (P Q) 3. ((P (S R)) Q) Ejercicio 8: Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones: a. (A A) b. (A A) c. (A A) Práctico 2: Lógica Proposicional Página 2 Dpto. de Informática

3 d. (A A) 1. Decida si cada una de las siguientes fórmulas cumple con ser tautología, contradicción, contingencia, o consistente. 2. Determine, en caso de existir, los pares de fórmulas lógicamente equivalentes. Ejercicio 9: Para cada una de las fórmulas bien formadas que siguen, escriba otra lógicamente equivalente: 1. (P Q) 2. ((P Q) R ) 3. (R Q) Ejercicio 10: Use una tabla de verdad para determinar si bajo las premisas P Q y P R es válido concluir Q R. Nota: Esto es equivalente a verificar que sea una tautología. (((P Q) ( P R)) (Q R)) Ejercicio 11: Teniendo en cuenta la siguiente situación: Cuatro amigos, Federico, Diego, Mabel y Laura van al cine y eligen entre dos películas diferentes. Formalice cada enunciado usando las letras de proposición que se indican: P = Federico ve la película de terror. Q = Diego ve la película de terror. R = Mabel ve la película de terror. S = Laura ve la película de terror. 1. Sólo si Mabel no ve la misma película que Laura, Federico y Diego ven la película de terror. 2. Diego no ve la película de terror a menos que Laura, Mabel y Federico vean la misma película. Ejercicio 12: Sabiendo que v( P Q) = V, qué puede decir del valor de verdad de las siguientes fórmulas, conociendo el comportamiento de cada conectivo? 1. ( P R ) ( Q R ) 2. ( P R ) (Q R) Ejercicio 13: Examine cada una de las últimas 5 columnas de la siguiente tabla de verdad y verifique si alguna representa la tabla de verdad de la fórmula ((P Q ) ( R Q)). Práctico 2: Lógica Proposicional Página 3 Dpto. de Informática

4 Ejercicio 14: P Q R V V V F V V V V V V F V V V V F V F V F F F V V V F F V V V V V F V V F V V V F F V F V V V V F F F V F F V V V F F F V V V V V Dadas las siguientes expresiones, elimine tantos paréntesis como le sea posible de manera que, considerando la jerarquía y la propiedad asociativa de los conectivos, se mantenga el significado de la fórmula original: 1. (( P ( Q )) R ) 2. (( P ( Q R )) 3. ((( P ( Q )) R ) S ) 4. ( (( ( ( P Q ))) ( P Q ))) Ejercicio 15: Encuentre en la siguiente lista de fórmulas cúal se corresponde con el significado de: P Q R. 1. P ( Q R ) 2. P ( Q R ) 3. ( P ( Q R )) Ejercicio 16: a. Pruebe que los conectivos de negación y disyunción forman un conjunto adecuado de conectivos. Es decir, que se puede expresar el resto de los conectivos sólo usando el conjunto {, }. b. Qué pasa si ahora se usa y? Ejercicio 17: Dada las siguientes fórmulas bien formadas: (P (Q (P Q))) (A B) Exprese fórmulas bien formadas equivalentes a cada una de ellas: 1. Usando sólo los conectivos y. 2. Usando sólo el conectivo. 3. Usando sólo los conectivos y. Práctico 2: Lógica Proposicional Página 4 Dpto. de Informática

5 4. Usando sólo el conectivo. En la determinación de las nuevas fbfs indique, en cada paso, cuáles fueron las fbfs equivalentes utilizadas para lograrlas. Ejercicio 18: Determine la expresión lógica que describa los siguientes problemas: 1. La alarma suena si la llave está en el contacto, o la puerta está abierta y el motor no está funcionando; o si las luces están encendidas y la llave no está en el contacto, o el cinturón de seguridad del conductor no está ajustado y el motor está funcionando; o el asiento del pasajero está ocupado y su cinturón de seguridad no está ajustado. 2. Si llueve las calles están vacías. Si las calles están vacías el comercio obtiene pérdidas. Los músicos no podrían sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes contratan canciones publicitarias cuando tienen pérdidas. Por tanto, si llueve los músicos pueden sobrevivir. Ejercicio 19: En Lógica Proposicional existen reglas, llamadas reglas de inferencia, que sintácticamente permiten asegurar que ciertas fórmulas bien formadas tomarán el valor de verdad Verdadero, a partir de asumir con valor de verdad Verdadero a otras fórmulas tomadas como hipótesis. Estas reglas pueden aplicarse independientemente del significado de las proposiciones que cada una representa. Las reglas de inferencia más conocidas son: Sean P, Q y R fórmulas bien formadas cualesquiera: Modus Ponens (MP): de la veracidad de ( P Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q. Modus Tollens (MT): de la veracidad de ( P Q) y de Q, se puede asegurar la veracidad de P. Silogismo Hipotético (SH): de la veracidad de ( P Q) y de (Q R), se puede asegurar la veracidad de (P R). Silogismo Disyuntivo (SD): de la veracidad de ( P Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q. Adjunción (ADJ): de la veracidad de P y de Q, se puede asegurar la veracidad de ( P Q). Simplificación (SIMP): de la veracidad de ( P Q), se puede asegurar la veracidad de P y de Q. Adición (ADI): de la veracidad de P y para cualquier otra proposición Q, se puede asegurar la veracidad de ( P Q). Resuelva utilizando las reglas de inferencia: 1. Por medio de las reglas de inferencia pruebe T a partir de las siguientes premisas: P Q, Q R, P S y T R S. 2. Demuestre U a partir de P T, P Q, Q (R S), R T U. 3. Demuestre que R Q a partir de (R S) y S Q. Práctico 2: Lógica Proposicional Página 5 Dpto. de Informática

6 Ejercicio 20: Dadas los siguientes razonamientos: 1. Si Juan es comunista, Juan es un ateo. Juan es comunista. Por lo tanto, Juan es un ateo. 2. Renato será contratado si pasa todas las entrevistas. Si Renato tiene experiencia previa y no participa activamente en las reuniones, será contratado. Renato tiene experiencia previa. Además, Renato pasará todas las entrevistas si participa activamente en las reuniones. Renato participa activamente de las reuniones. Entonces Renato será contratado. Represente cada frase como una fórmula bien formada y luego verifique si la última frase (la conclusión) puede ser verdadera. Para esta última parte utilice de ser posible las reglas de inferencia anteriores y, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad. Ayuda: En general, para verificar si una conclusión es verdadera a partir de las hipótesis, se pueden utilizar las reglas de inferencia o verificar si es tautología la implicación de la conjunción de las suposiciones o hipótesis (fórmulas que representan las frases anteriores) con la fórmula que representa la última frase o conclusión. Es decir, si el conjunto de proposiciones que representan las frases tomadas como hipótesis es {P 1, P 2,..., P n } y la conclusión se representa por la proposición Q, entonces se debe demostrar que la fórmula (( n i=1 P i) Q) es una tautología (o recíprocamente también se puede mostrar que (( n i=1 P i) Q) es una contradicción). Ejercicio 1: EJERCICIOS ADICIONALES Designe con letras (A, B, C,...) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los símbolos de la lógica proposicional, las proposiciones compuestas: 1. No es cierto que los platos estén sobre la mesa y la comida está servida. 2. Tiene coche y, sin embargo, no sabe conducir. 3. Si Ramírez no es elegido como dirigente del partido, entonces González o Fernández dejarán el gabinete ministerial y perderemos las elecciones. 4. Google y You tube son las páginas más visitadas por Emanuel. 5. Los planetas giran alrededor del Sol. 6. O bien el asesino ha abandonado el país o, en caso contrario, alguien está encubriéndole. 7. Los animales con pelo o que dan leche son mamíferos. 8. Ya sea que vaya en colectivo o caminando, voy a ir. 9. Si tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes,no llueve. 10. Si María aprueba lógica hará una fiesta y sino estudiará durante el verano. 11. O Andrés estaba equivocado y Sofía tenía razón o Sofía no tenía razón. Práctico 2: Lógica Proposicional Página 6 Dpto. de Informática

7 Ejercicio 2: Dadas las siguientes proposiciones: Mañana no iré a Inglés. O la luna es mayor que el sol o el sol es mayor que la luna. 1. Identifique las proposiciones simples. 2. Determine cuáles son los conectivos lógicos. 3. Exprese formalmente en símbolos. Ejercicio 3: Identificar con letras (A, B, C,...) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los símbolos de la lógica proposicional, las proposiciones compuestas: 1. Puedo verte en la webcam únicamente si vos ponés video-llamada. 2. Si el formato apropiado para fotos o imágenes es JPG, no usar formato BMP. 3. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero. 4. Yo no voy, ni el Lunes ni el Martes, voy el Miércoles. 5. Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo. Ejercicio 4: Verifique, usando tablas de verdad, que las fórmulas bien formadas F y G son equivalentes: Ejercicio 5: F = ((( A (B C)) (( A B) C)) ((A B) C)) G = (B ( A (A C))) Determine el valor de verdad de las siguientes fórmulas, asumiendo que P y Q son verdaderos mientras que S y T son falsos: 1. ( P Q) 2. ((Q S) (T Q)) 3. (((P S) (T Q)) ((P (S T)) Q)) Ejercicio 6: Dada la siguiente tabla de verdad: 1. Qué conectiva representa? P Q? F F F F V V V F V V V F 2. Es equivalente a la siguiente proposición? Justifique usando leyes de De Morgan. ( ( (P P) Q) ( P ( Q Q))) Práctico 2: Lógica Proposicional Página 7 Dpto. de Informática