Matemáticas II (preparación para la PAU) Tomo 1 (Análisis)

Transcripción

1 Mtemátics II (pepción p l PU) Tomo (nálisis) José Luis Loente gón

2 mi muje, Ruth, mi hijo Dvid. Muchs gcis l coecto, el oto José L. Loente

3 ÍNDICE: Tem. Funciones eles. Definición límites Tem. Funciones. Continuidd Tem. Funciones. Deivbilidd Tem. plicciones de l deivd Tem. Repesentción de funciones Tem 6. Integles indefinids Tem 7. Integles definids. Áes. Tem 8.Mtices Tem 9. Deteminntes Tem. Sistems de ecuciones lineles. Tem.Espcios Vectoiles Tem.Ecuciones de ect plno Tem. Poducto escl, vectoil mito. plicciones BLOQUE I. NÁLISIS BLOQUE II. ÁLGEBR LINEL BLOQUE III. GEOMETRÍ

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5 Unidd. Funciones. Definición Límites TEM. FUNCIONES RELES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Funciones eles de vible el. Dominio de un función.. Dominios de ls funciones más hbitules. Composición de funciones. Popieddes. Función inves. Límite de un función. Funciones convegentes.. Límites lteles... Popieddes de los límites. Distintos tipos de límites.. Límites infinitos cundo tiende un númeo el (síntot veticl).. Límites finitos cundo tiende infinito (síntot hoiontl).. Límites infinitos cundo tiende infinito 6. Cálculo de límites 6.. Opeciones con límites de funciones. Indeteminciones 6.. Resolución de indeteminciones del tipo 6.. Resolución de indeteminciones del tipo 6.. Resolución de indeteminciones del tipo k 6.. Resolución de indeteminciones del tipo 6.6. Resolución de indeteminciones del tipo 6.7. Resolución de indeteminciones del tipo 6.8. Resolución de indeteminciones del tipo José Luis Loente gón

6 Conteto con l P..U. Unidd. Funciones. Definición Límites En los eámenes de l PU po lo genel h dos poblems (. puntos) en cd un de ls dos opciones del bloque de nálisis. De est fom el bloque de nálisis es, de los tes, el más impotnte. Este tem es básico p el conocimiento dominio de ls funciones que en los tems siguientes bodemos con detenimiento. Po lo genel en el emen de l PU no h poblems ni cuestiones específicmente elcionds con este tem, si bien el no domin los conceptos que se plnten en l unidd, há dificultoso, po no deci imposible, eli los ejecicios del emen elciondos con este, bloque I. Nótese que con bstnte siduidd en el emen de l PU, h un o dos cuestiones elcionds con el cálculo de límites de funciones, si bien po lo genel se esuelven pti del teoem de L Hopitl que veemos en el tem ; no obstnte en lgun ocsión estos límites se esuelven medinte los métodos de esolución que veemos en este tem, en especil los límites elciondos con el númeo e, ls indeteminciones eponenciles los límites de funciones cionles. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

7 Unidd. Funciones. Definición Límites. Funciones eles de vible el. Dominio de un función Ls funciones se utilin en numeosos cmpos, tnto de ls ciencis (físic, biologí, químic) como en economí, etc. Definmos funciones eles de vible el: Definición: Un función el de vible el es un plicción o coespondenci ente un subconjunto de R, llmdo dominio de l función (Dom(f)), oto subconjunto de R llmdo conjunto imgen o ecoido de l función (Im(f)), tl que cd elemento de Dom(f) le coespond un único elemento de Im(f). Un fom hbitul de epes ls funciones es: f : R R f ( ) Ejemplos de funciones: ) f() - f : R R f ( ) f () 6 Gáfic: Como puedes ve en l gáfic de l función, cd vlo del conjunto dominio (eje OX, bsciss u hoiontl ) le coesponde un único vlo del conjunto imgen (eje OY, odendo o veticl) José Luis Loente gón

8 Unidd. Funciones. Definición Límites b) Vemos l siguiente gáfic que epesent ls soluciones de l epesión : En este cso l gáfic no epesent un función, pues p cd elemento del dominio (eje OX) le coesponden dos vloes. Po ejemplo, l solución es e -, que no es un vlo único, como debeín de se ls funciones. En este cso tendemos que ls soluciones de l ecución de segundo gdo vienen dds po dos funciones: (m encim del eje OX), e - (m po debjo del eje OX). No es necesio p que no se función que todo vlo le coespondn dos o más vloes, con que sólo h un vlo de con dos o más imágenes l epesión no seá un función.. Dominio de ls funciones más usules En este ptdo vmos ve el estudio del dominio de ls funciones eles de vible el más usules utilids: Funciones polinómics: Son funciones del tipo f() n n, es deci, f() es un polinomio. El dominio de ests funciones es el conjunto de los númeos eles, que p culquie vlo de, po ejemplo, l función tiene sentido siendo su imgen n n. Luego en ests funciones Dom(f)R P( ) Funciones cionles fccionis: Son del tipo f(), siendo P() Q( ) Q() polinomios. El dominio de l función son todos los númeo eles, ecepto quellos que nuln el denomindo (soluciones de Q()), que no se puede dividi ente ceo. sí en ests funciones Dom(f)R-{:Q()} Ejemplo: f ( ) Dom(f)R-{,,-} Funciones icionles: Son del tipo f() n g ( ) ; dos csos: o Si n es imp el dominio de f() es el mismo que el de g(), pues ls íces impes de númeos negtivos son vloes eles. sí tenemos que Dom(f())Dom(g() puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

9 Unidd. Funciones. Definición Límites o Si n es p el dominio de f() es el conjunto de númeos del domino de g(), tles que g(), que ls íces pes de númeos negtivos no son númeos eles. sí Dom(f()){ Dom(g(): g() } Ejemplo: f ( ) Dom(f){ / } () () () () () () Dom(f)(-,-] [-, ) Funciones eponenciles: son funciones del tipo g(), su dominio es el mismo que el dominio del eponente g(). sí en ests funciones Dom(g())Dom(f()) Funciones logítmics: f()log (g()) el dominio es el conjunto de puntos del dominio de g() en los que se cumple g()>, pues no eiste solución el p los logitmos cundo el gumento es negtivo o ceo. sí en ests funciones Dom(g()){ Dom(f()):f()>} Ejemplo: f() log el dominio de g() es R-{}, vemos el ( )( ) dominio de f() >: Dom(f()) (-,-) (, ) () () (-) ( ) ( -) - - José Luis Loente gón

10 Unidd. Funciones. Definición Límites. Composición de funciones. Popieddes Definición: Dds dos funciones f g tles que Im(f) Dom(g) se llm función compuest de g con f se denot (g º f)(), l función definid de l siguiente fom: (g º f)()g[f()], es deci l imgen en (g º f) de es l imgen del punto f() en g: (g º f) R f R g R f() g(f()) Ejemplos: f(), g()sen() (g º f)()sen( ) ; (f º g)()sen () Popieddes:.) socitiv: h º (g º f)(h º g) º f.) No conmuttiv: en genel l composición de funciones no es conmuttiv (g º f) (f º g), ve ejemplo nteio sen( ) sen (). Función Inves Definición: L función inves de un función f() inectiv (no eisten dos vloes Dom(f) tl que f( )f( )) es ot función, que se denot po f - (), tl que se cumple: (f º f - )() (f - ºf)()id() Dom(f()) Dom f f Im(f) f - Ejemplos: ) f()- (-)/ f - (). (fº f - )()- b) ln() e Repesentción gáfic de ls función inves: l popiedd más impotnte de ls funciones invess es que l gáfic de f() es simétic f - () especto l bisecti del pime cudnte,. 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

11 Unidd. Funciones. Definición Límites Repesentción gáfic de los ejemplos: - e ln() Ejecicio. Sen ls siguientes funciones f(), g(), h() siguientes composiciones: ) (g f h), b) (f g h), c) (h g f) ) ( g o f o h) go ( f o h) go ( f ( )) g() b) ( f - - o go h) f o ( go h) f o ( g( )) f c) ( ho go f ) ho ( go f ) ho ( g()) h( ) h() / eli ls José Luis Loente gón 7

12 Unidd. Funciones. Definición Límites. Límite de un función. Funciones convegentes L ide intuitiv de límite de un función en un punto es fácil de compende: es el vlo hci el que se poim l función cundo l vible independiente,, se poim dicho punto. Ejemplo: se f() el límite de l función cundo tiende es infinito, que ( ) cunto más se poim entonces (-) más póimo ceo (positivo), po tnto l función se hce más gnde (/.). Definición: Mtemáticmente un función f tiene límite L cundo tiende un vlo, se denot lim f ( ) L si se cumple: lim f ( ) L ε > ; δ > : < δ f ( ) L < ε El significdo de l definición es l siguiente: se cul se el entono de L, eiste un entono de tl que en este entono l función ce dento del entono de L. Veámoslo gáficmente: Lε L L-ε δ δ -δ δ Vmos conside dos csos difeentes: ) lim f ( ) L f( )L b) lim f ( ) L peo f( ) L Ejemplo: ) f() lim f ( ) f () 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

13 Unidd. Funciones. Definición Límites Vemos l gáfic de l función: b) g() si si lim g( ) g() Definición: Dd un función f(), se dice que es convegente en si, eiste el límite lim f ( ) L. P que f() se convegente en no es necesio que petenec l dominio, po ejemplo g() si R-{} (es deci ) lim g( ), Dom( g( )) Cundo se poim l función se cec (tnto ntes de como después), unque justo en l función no definid. José Luis Loente gón 9

14 Unidd. Funciones. Definición Límites. Límites lteles Eisten funciones definids toos, son quells que están definids de difeente mne lo lgo de distintos intevlos de l ect el. En ests funciones, cundo queemos estudi el límite en los puntos donde cmbi l epesión nlític, es necesio clcul los límites lteles, viéndose sí l tendenci de l función mbos ldos del punto. Definición: Un función f tiene límite L cundo tiende un vlo po l iquied, se denot lim f ( ) L, si se cumple: lim f ( ) L ε > ; δ > : δ < < f ( ) L < ε Consiste en estudi el compotmiento de l función en el entono l iquied de. Definición: Un función f tiene límite L cundo tiende un vlo po l deech, se denot lim f ( ) L, si se cumple: lim f ( ) L ε > ; δ > : δ > > f ( ) L < ε Consiste en estudi el compotmiento de l función en todo entono l deech de. Teoem: El límite de un función f() en eiste si, sólo si, eisten los límites lteles éstos coinciden: lim f ( ) lim f ( ) L lim f ( ) lim f ( ) L lim f ( ) lim L f ( ) L Este teoem seá mu impotnte en los ejecicios de l PU donde se nos pide estudi l continuidd de funciones definids toos. demás, como veemos en el ptdo 6., es el método utilido p esolve ls indeteminciones de los límites del tipo.. Popieddes de los límites:. Si un función es convegente en un punto ést cotd en un entono del punto.. Sen f() g() dos funciones convegentes en, tl que lim f ( ) L lim g( ) L'. Se cumpliá: ) (fg)() es convegente en tl que lim( f g)( ) L L' b) (f-g)() es convegente en tl que lim( f g)( ) L L' c) (f g)() es convegente en tl que lim( f g)( ) L L' d) (f/g)() es convegente en si L tl que lim( f / g)( ) L / L' puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

15 Unidd. Funciones. Definición Límites Ejecicio. Dd l función f() con l siguiente gáfic, clcul los límites: ) lim f ( ) n b) lim f ( ) n con n Z lim f ( ) n n con n Z lim f ( ) n n c) lim f ( ) n con n Z lim f ( ) n no eiste pues lim f ( ) lim f ( ) n n Ejecicio. Hll el limite, si eiste, de f() - cundo tiende ceo Siempe que tengmos un función con vlo bsoluto, l edefiniemos como un función definid toos. L fom de pocede es estudi los intevlos donde el gumento del vlo bsoluto es negtivo, cmbindo en dichos intevlos el signo de dicho gumento consevndo el signo en el esto de l ect el: si si > si f() si > Not: el igul se puede pone en culquie de los dos toos de l función (peo sólo en uno) que en mbos csos el vlo de es ceo. lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ) Vemos l gáfic de l función: José Luis Loente gón

16 Unidd. Funciones. Definición Límites Ejecicio. Hll el limite, si eiste de f() ( -) cundo tiende - Definmos l función como un función toos. En este cso - es negtivo en el intevlo (-,). f ( ) lim f ( ) si si si < <, lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) ( ), lim f ( ) ( ) lim f ( ). Distintos tipos de límites. Límites infinitos cundo tiende un númeo el (síntot veticl) En este ptdo vmos estudi el cso de funciones que cunto más se poim un vlo, bien po l iquied, po l deech o po los dos, l función se hce infinitmente gnde (tiende ) o pequeñ (tiende - ). Cundo esto ocue se dice que l función f() tiene síntot veticl en Vemos los siguientes csos: Definición: Un función f() tiene limite cundo tiende po l iquied si cundo p todo vlo K eiste un entono l iquied de, tl que l función en este entono es mo que K. Mtemáticmente lim f ( ) K > δ > : ( δ, ) f ( ) > K Ejemplo: f() si si < lim f ( ) que cunto más se poime po l iquied entonces - más pequeño positivo po tnto f() más gnde. Es deci, cundo - entonces l función f(). En cmbio lim f ( ) Cundo esto ocue l función se poim l síntot veticl. Es deci cundo l función se poim po l iquied, ést se cec infinitmente l ect, que es plel l eje OY puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

17 Unidd. Funciones. Definición Límites José Luis Loente gón Vemos l gáfic: Definición: Un función f() tiene limite cundo tiende po l deech, si p todo vlo K eiste un entono l deech de tl que l función en este entono es mo que K. Mtemáticmente K f K f > > > ) ( ), ( : ) ( lim δ δ Definición: Un función f() tiene limite l cecse, cundo p todo vlo K eiste un entono de tl que l función en este entono es mo que K. Es deci, tiende po l iquied po l deech. Mtemáticmente K f K f > > > ) ( ), ( : ) ( lim δ δ δ Ejemplo: f() ( ) ) ( lim f ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( lim f f ) ( lim Vemos l gáfic de l función sí podemos intepet el significdo del límite:

18 Unidd. Funciones. Definición Límites De igul fom que hemos estudido el límite, el límite - es equivlente, sólo h que cmbi K po K lim f ( ) K < δ > : (, δ ) f ( ) < K lim f ( ) K < δ > : ( δ, ) f ( ) < K lim f ( ) K < δ > : ( δ, δ ) f ( ) < K Muchs veces ls funciones f() tienden po un ldo de - po el oto ldo de ; cundo esto ocue el lim f ( ) no eiste, que p eisti debe coincidi los límites lteles. Ejemplo: f ( ) lim, lim Vemos l gáfic: lim noeiste Definición: L función f() tiene síntot veticl en cundo lguno de los dos límites lteles o los dos vlen o -, es deci ocue l menos uno de estos límites: lim lim f ( ) f ( ), lim f ( ), lim f ( ) puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

19 Unidd. Funciones. Definición Límites. Límites finitos cundo tiende infinito (síntot hoiontl) En este ptdo estudimos el compotmiento de lguns funciones en ls que, cundo l tom vloes mu gndes o mu pequeños (es deci mu negtivos ) l función se poim cd ve más un vlo L. Si esto ocue se dice que f() tiende L cundo tiende o -. Vemos l definición: Definición: Un función f tiene po límite un númeo el L cundo tiende, si se cumple: lim f ( ) L ε >, K > : > K f ( ) L < ε Intepetción gáfic de l definición: P cd entono de L encontmos un vlo de K, tl que p vloes de moes que K, l función () dento de este entono en L. Definición: Un función f tiene po límite un númeo el L cundo tiende -, si se cumple: lim f ( ) L ε >, K < : < K f ( ) L < ε Intepetción gáfic de l definición: P cd entono de L encontmos un vlo de -K, tl que p vloes de menoes que -K, l función () dento de este entono en L. Cundo ocue un de ls dos condiciones, o ls dos, l función tiene un síntot hoiontl L. Es deci, cundo se hce infinitmente gnde ( ) o infinitmente pequeño ( - ), l función se cec l ect plel l eje OX L Ejemplo: ()/.H. José Luis Loente gón

20 Unidd. Funciones. Definición Límites Definición: Un función f() tiene un síntot hoiontl en si se cumple un de ls siguientes condiciones (o ls ): ) lim f ( ) b) lim f ( ). Límites infinitos cundo tiende infinito En este último ptdo estudiemos csos: ) lim f ( ) b) lim f ( ) c) lim f ( ) d) lim f ( ) ) lim f ( ) K >, M R : > M f ( ) > K Ejemplo: lim K M b) lim f ( ) K <, M R : > M f ( ) < K Ejemplo: - lim M -K 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

21 Unidd. Funciones. Definición Límites c) lim f ( ) K >, M R : < M f ( ) > K Ejemplo: f(), lim K -M d) lim f ( ) K <, M R : < M f ( ) < K Ejemplo: f()- lim -M - K 6. Cálculo de límites 6. Opeciones con límites. Indeteminciones En el ptdo. vimos ls popieddes de los límites, como se elcionn los límites de dos funciones cundo ests funciones se están sumndo, multiplicndo dividiendo. l hbe límites cuo vlo es -, tendemos que ve cómo open los númeos con ±. Veámoslo: Sum difeenci: ) k R k± ± ) ) José Luis Loente gón 7

22 Unidd. Funciones. Definición Límites Poducto: ) k R (k>) k ejemplo lim ) -k R - (-k<) -k - ejemplo lim ) k R (k>) k (- )- ejemplo lim ) -k R - (-k<) -k (- ) ejemplo lim Cociente: k ) k R ejemplo lim ± ) k R ± ± ejemplo k ) -k R - ± m ejemplo k Eponente: lim lim ) k R k> k ejemplo lim ) k R <k< k ejemplo lim ) k R k> k ejemplo lim ) k R <k< k ejemplo lim Indeteminciones: ) -, - ejemplo lim ) (± ) ejemplo lim ( ) ) ) ) k ejemplo ± ejemplo ± ejemplo ± lim lim lim 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

23 Unidd. Funciones. Definición Límites José Luis Loente gón 9 6) ejemplo lim 7) ejemplo: ) ( lim 8) ejemplo: ) ( lim 9) ejemplo: ) lim ( Not: ) en el ptdo 7, cundo epesmos el signific tendenci (de hecho () lim ). b) en el ptdo 8, es tendenci l. 6. Resolución de indeteminciones del tipo Ls situciones más simples en ls que pece es l clcul los límites infinitos de fcciones polinómics. Ests indeteminciones se esuelven dividiendo el numedo el denomindo po l máim potenci de del denomindo Ejemplos: ) lim lim lim b) lim lim lim c) lim lim lim Conclusión: lim b b b n n n n m m m m ) n>m lim b b b n n n n m m m m b) m>n lim b b b n n n n m m m m > < n m n m si si c) mn lim b b b n n n n n n n n n n

24 Unidd. Funciones. Definición Límites Estos no son los únicos tipos de límites en donde pece l indeteminción, vemos otos csos difeentes lim m lim b n n m b m k n k m n b ( k > ) ( k > ) lim m lim b n n m b m log log n k m k n b ( k > ) ( k > ) En estos límites h que fijse en l tendenci de ls funciones del numedo del denomindo. sí si l función del numedo cece más ápido se cumple que el limite seá ± (el signo depende de los signos de l fcción); po el contio si l función que más ápido cece es l del denomindo el límite seá ; po último si mbs cecen de igul fom el limite seá el cociente de los coeficientes de mo gdo de cd función. Odenndo ls funciones de meno mo cecimiento se cumple: <log () <log ()< log.< 6.. Resolución de indeteminciones del tipo / << < < < < < pece este tipo de límites pinciplmente en csos difeentes: ) Cociente de funciones polinómics: Se esuelven descomponiendo fctoilmente numedo denomindo (plicndo Ruffini con í l del límite, que es el vlo donde se nuln los dos polinomios), simplificndo los fctoes comunes. Ejemplos: lim 6 ( )( ) ( ) lim lim 7 8 ( )( ) ( ) lim ( )( lim ( )( ( )( ) ( ) lim lim ( )( ) ( ) ) ) ( lim ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) not: cundo el límite tiende en ve de Ruffini scmos fcto común, pues l í es ceo, po tnto el fcto es. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

25 Unidd. Funciones. Definición Límites ) Cociente con funciones cionles: Se esuelven multiplicndo numedo denomindo po l epesión conjugd de l que llev í plicndo Ruffini: Ejemplos: lim ( lim )( ( )( ) ( lim lim ( )( ) ) ( )( lim ) )( ) 6.. Resolución de indeteminciones del tipo k Este límite puede se, - o no eisti po se los límites lteles difeentes (uno oto - ). Se clcul pti de los límites lteles: Ejemplo: k k lim lim k lim lim ( ) k lim ( ) lim ( ) no eiste el límite k k lim ( ) 6.. Resolución de indeteminciones del tipo Se esuelven tnsfomándols en indeteminciones del tipo o. 6 9 ( ) Ejemplo: lim ( ) lim lim 6.6. Resolución de indeteminciones del tipo - En estos límites domin l función que cec tiend más ápido (ve el finl del ptdo 6.). Ls indeteminciones de este tipo con funciones icionles que tiendn igul de ápido se esuelven multiplicndo dividiendo l función po el conjugdo: lim lim ( ) lim ( 6 9) lim ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ) 9 lim ( ) 9 José Luis Loente gón

26 Unidd. Funciones. Definición Límites 6.7. Resolución de indeteminciones del tipo Ests indeteminciones están elcionds con el númeo e. Se clculn de l siguiente fom: lim f ( ) lim ( ) lim lim ( ) f e g lim g( ) ( f ( ) ) g ) g ( ) ( f ( ) ) e ( ( ) lim lim Ejemplo: lim lim e e e e 6.8. Resolución de indeteminciones del tipo Ests indeteminciones se esuelven plicndo logitmos tnsfomándols de este fom (plicndo l egl del logitmo log( b )b log()) en los nteioes límites: Vemos un ejemplo de cd tipo: Ejemplo : L lim ln( L) limln Como ln(l)- Le - Ejemplo : L lim ( ) ln( L) limln( ) lim ln lim ( ) ln ln( ) ( ) ( ) Como ln(l) Le puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

27 Unidd. Funciones. Definición Límites Ejecicios Ejecicio. Clcul, en ls siguientes funciones epesentds, ls siguientes cuestiones: ) f(-), f(-), f(), f() no eiste Dom(f()) b) lim f ( ), limf ( ), lim f ( ), lim f ( ) no eiste, lim f ( ) no eiste lim f ( ), limf ( ), lim f ( ) no eiste, limf ( ) c) g(), g() no eiste Dom(f()) d) lim g( ), lim g( ), lim g( ), lim g( ), lim g( ), lim g( ), lim g( ) no eiste, lim g( ) no eiste Ejecicio 6: Clcul el límite: lime lim lim e e e lime no eiste lim e e Ejecicio 7: Clcul cuánto debe vle p que l siguiente función, f(), se si convegente en : - si lim f ( ), lim f ( ). El límite lim f ( ) eiste siempe que. Ejecicio 8: Siendo f() clcul el siguiente límite: lim f ( ) f () lim José Luis Loente gón

28 Unidd. Funciones. Definición Límites puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejecicio 9: Clcul los siguientes límites ) lim, b) lim, c) eiste no ind lim lim ) ( lim d) lim lim ) ( lim lim ind e) lim, f) lim g) lim, h) lim i) lim j) lim k) lim lim lim l) lim m) lim n) 6 lim o) ) )( ( ) )( ( lim lim p) ) )( ( ) )( ( lim 6 lim q) lim lim ) )( ( ) )( ( lim 6 lim no eiste ) ) ( lim ) ( ) )( ( lim ) )( ( ) )( ( lim lim s) ( )( ) lim ) ( lim ) ( lim lim t) ) ( lim ) ( ) ( lim ) )( ( ) ( lim lim u) lim lim lim no eiste v) ( ) ( ) 6 lim 6 lim 6 lim no eiste

29 Unidd. Funciones. Definición Límites José Luis Loente gón w) ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( lim ) 6 6 lim ) lim ( lim e e e ) lim ) ( lim lim lim e e e e ) ) ( lim ) ( lim e e ) lim lim b) ( ) ( ) ( ) ) ( lim ) ( 9) ( lim ) ( lim ) ( lim c) lim lim lim Ejecicios PU Septiembe. Pueb B. C-. Detemínese el vlo del pámeto p que se veifique lim ( ).( punto) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( lim lim lim lim

30 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

31 Unidd. Funciones.Continuidd TEM FUNCIONES. CONTINUIDD.. Definición de Continuidd. Tipos de discontinuiddes. Continuidd de ls funciones elementles. Opeciones con funciones continus. Teoems de continuidd.. Teoem de consevción del signo.. Teoem de Bolno.. Teoem de Dbou José Luis Loente gón 7

32 Conteto con l P..U. Unidd. Funciones.Continuidd Los poblems que pecen en el emen de l PU eltivos este tem son de dos tipos:. plicciones del teoem de Bolno. Estudi l continuidd de funciones ) En muchos de los eámenes de l PU pecen cuestiones donde tenemos que plic el teoem de Bolno. L fom de plntenos el poblem en el emen ví: Nos dn un ecución nos piden demost que eiste l menos un solución (pueden dnos o no un intevlo) p tl ecución Nos dn un función nos piden demost que es función tom un vlo detemindo (pueden dnos o no un intevlo) Nos dn dos funciones f() g(), nos piden demost que ests funciones se cotn (pueden dnos o no un intevlo), es deci f()g(). Todos estos poblems se esuelven opendo con ls igulddes de fom que obtengmos un epesión de l fom F(), dich función, F(), tendemos que plic Bolno, bien en el intevlo que nos dn o busc nosotos el intevlo. En lgun de ests cuestiones se nos pide demost que l solución es únic, p lo cul debemos pob que en ese intevlo l función es sólo ceciente o dececiente, p lo cul necesitmos l deivd de l función plic su elción con el cecimiento que veemos en el tem. ) Oto poblem típico de selectividd es el estudio de l continuidd deivbilidd de un función (genelmente definid toos o un vlo bsoluto), o bien detemin el vlo de unos pámetos p que l función se continu o deivble. En este tem veemos cómo estudi l continuidd de tles funciones, l deivbilidd se veá en el tem siguiente. 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

33 Unidd. Funciones.Continuidd. Definición de Continuidd Vemos l definición de l continuidd: Definición: Un función f() es continu en un punto si en dicho punto se cumplen ls siguientes tes condiciones:. Eiste lim f ( ). L función definid en, es deci Dom(f()). Los dos vloes nteioes coinciden: lim f ( ) f( ). Ejemplo: ) Dom(f())(-,) [, ) Continu en todos los puntos del dominio menos en ) - lim f ( ) f() b) lim f ( ) no eiste pues los límites lteles son distintos c) lim f ( ) no eiste pues no eiste el límite po l iquied ) Dom(g())(-,) (,] (,) (, ) Continu en todos los puntos del dominio menos en ) lim g( ) no eiste pues los límites lteles son distintos b) lim g( ) no eiste pues no eiste el límite po l deech c) lim g( ) peo Dom(g()) José Luis Loente gón 9

34 Unidd. Funciones.Continuidd Definición: Un función f() es continu en un intevlo (,b) si en todos los puntos del intevlo es continu. Esto ocue cundo l dibuj l gáfic no levntmos el boli de l hoj p dibujl En el ejemplo nteio f() continu en (-,-) (-,) (,) (, ). L función g() en (-,) (,) (,) (, ).. Tipos de discontinuiddes Definición: Un función f() es discontinu en un punto si no es continu en dicho punto. Eisten dos tipos de discontinuiddes: ) Discontinuidd evitble b) Discontinuidd no evitble Discontinuidd evitble: Un función f() pesent un discontinuidd evitble en el punto si se cumple ls siguientes condiciones:. El límite de l función en eiste,. El límite no coincide con f( ) o bien l función no está definid en (es deci Dom(f()) Ejemplos: ) lim f ( ) f (). Est discontinuidd se evit edefiniendo l función en, hciendo que en este punto l función tome el mismo vlo que el límite es deci f() sí l función f() si si es continu pues lim f ( ) f () si puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

35 Unidd. Funciones.Continuidd ) g() lim g( ) peo Don(g()). Est discontinuidd se evití si edefinimos l e función tl que en est vlg lo mismo que el límite: g() / si si Discontinuidd no evitble: Es quell en l que el límite en el punto o no eiste o es infinito. Pueden se su ve de tipos: ) Slto finito en : los límites lteles no coinciden lim f ( ) lim f ( ) José Luis Loente gón

36 Unidd. Funciones.Continuidd ) Slto infinito en : cundo los dos límites lteles en o l menos uno de ellos es o -.. Continuidd de ls funciones elementles. Opeciones con funciones continus. Ls funciones elementles, po lo genel, son continus en todos los puntos del dominio. Ls discontinuiddes más impotntes pecen en funciones definids toos (discontinuiddes evitbles o de slto finito), en funciones con denomindo en el vlo donde se nul éste (discontinuidd de slto infinito). Opeciones de funciones continus: Sen f() g() funciones continus en ) Ls funciones sum est (f ± g)() son continu en ) L función poducto (f g)() es continu en ) L función división (f/g)() es continu en si g( ) ) Si g() es continu en f() es continu en g( ) entonces l función compuest (f g)() es continu en.. Teoems de Continuidd.. Teoem de consevción del signo Teoem de consevción del signo: si un función f() es continu en el punto de mne que f( ), se cumple que en un entono del punto l función consev el signo, Esto es si f( )> se cumple que en un entono de l función positiv, si f( )< entonces en un entono de l función es negtiv. Vemos un ejemplo gáfico: puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

37 Unidd. Funciones.Continuidd. Teoem de Bolno Teoem de Bolno: Si un función f() es continu en un intevlo [,b] tl que f() f(b) tienen distinto signo (f() f(b)<), entonces eiste l menos un punto c (,b) tl que f(c). Veámoslo gáficmente: c b c c c b Vemos que el teoem de Bolno nos segu l menos un vlo c tl que f(c), peo como vemos puede ocui que este vlo de no se único. P segu que sólo es único debemos demás de plic Bolno ve que l función en el intevlo (,b) es siempe ceciente o dececiente José Luis Loente gón

38 Unidd. Funciones.Continuidd Ejecicio: encont un intevlo donde l función f() deci f( ) cote l eje, es Tenemos que l función es continu en R-{}. Busquemos un intevlo, que no conteng, tl que el signo de sus etemos se difeente. f() /> f()-/< sí l función f() cumple Bolno en [,]: - es continu en este intevlo - f() f()< Luego c (,) : f(c). Vemos l gáfic de l función:. Teoem de Dbou El teoem de Dbou es un coolio del teoem de Bolno: Teoem de Dbou: Si f() es un función continu en un intevlo [,b], se cumple que p todo vlo M [f(), f(b)] eiste c (,b) tl que f(c)m. Demostción: se g()f()-m, est función cumple Bolno en [,b]: ) es continu en [,b] l selo f() ) g() g(b)<, po lo tnto, eiste l menos un vlo c: g(c)f(c)-m f(c)m. f(b) Mf(c) f() c b puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

39 Unidd. Funciones.Continuidd Ejecicio : Deci un intevlo de donde l función f() - vlg. Est función es continu en R, luego podemos plic el teoem de Dbou. Tenemos que busc un intevlo [,b] tl que esté compendido ente f() f(b). Se [,] se cumple f() f()9 luego como (f(),f()) eiste c (,) tl que f(c). Tmbién podemos hce este poblem plicndo Bolno: Si f() entonces Llmndo g() --, vemos que cumple Bolno en [,]: - Es continu en este intevlo - g()-, g(), luego g() g()< Eiste c (,) donde g(c), po tnto f(c)-, po tnto f(c) José Luis Loente gón

40 Unidd. Funciones.Continuidd Ejecicios Ejecicio : Estudi l continuidd de ls siguientes funciones ) f() si si El vlo bsoluto puede dividise en dos ptes: cundo lo que está dento del vlo es negtivo este cmbi de signo, si es positivo no se cmbi. f() si < 6 si si > lim o lim f ( ) o lim f ( ) f ( ) 6 o f() es po tnto continu en R-{} si si si < > no eiste, discontinuidd de slto finito b) g() si si > Es un función definid toos, donde cd uno de ellos es un polinomio, que son continuos en R; El único punto que tenemos que estudi l continuidd es en, donde g() cmbi de epesión nlític: lim lim g( ) g(). lim Luego g() continu en R. c) h() 9 6 si si Es un función definid toos, uno de ellos es un fcción lgebic, sí que en los puntos donde se nule el denomindo puede no se continu. Como coincide el punto donde se nul el denomindo con el cmbio de epesión nlític () sólo h que estudi l continuidd en este punto. 9 limh( ) lim L función h() es continu en R ( )( ) lim lim( ) 6f()6 ( ) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

41 Unidd. Funciones.Continuidd d) l() si si > Es un función definid toos, en cd uno de ello l función es un polinomio, sí que el único punto donde h que estudi l continuidd es en -, llí donde cmbi de epesión nlític: lim l( ) slto finito. lim l( ) lim l( ) lim De est fom l() continu en R-{-}. No eiste, luego no es continu en -, de Ejecicio : Clcul el vlo de k p que ls siguientes funciones sen continus en todo R ) f() sen() k cos() si si π / > π / Es un función definid toos; en cd uno de ellos ls funciones son epesiones tigonométics, continus en R. Luego el único punto donde puede eisti discontinuidd es en π/, llí donde l función cmbi de epesión nlític. Vemos si f() es continu en π/ lim f ( ) lim k cos() k ` π π lim f ( ) π lim f ( ) lim sen() π π El límite eiste si los límites lteles son igules, esto ocue si k. demás cundo k se cumple f(π/)-, po tnto l función es continu en π/ De est fom l función es continu en R si k b) g() k si si Es un función definid toos, en uno de ellos l función es un fcción lgebic que puede no se continu en los puntos donde se nul el denomindo (). Como este punto coincide con el punto donde l función cmbi de epesión nlític, es el único punto donde tenemos que estudi l continuidd de g(). lim lim g( ) lim el límite no eiste, sí que lim independientemente del vlo de k l función g() no es continu en José Luis Loente gón 7

42 Unidd. Funciones.Continuidd c) k() k si < si si > Como está definido p vloes negtivos (<), es equivlente sustitui po : k() k si < si si > Es un función definid toos; en cd uno de ellos ls funciones son polinomios, estos son continuos en R. El único punto donde puede pesent discontinuidd es en, llí donde l función cmbi de epesión nlític. lim lim k( ) lim P que se continu h de cumpli que k() lim k( ). Po tnto k() seá continu si k()k k e) si > m ( ) k si Es un función definid toos, en cd uno de ellos ls funciones son fcciones lgebics, que no son continus en los puntos donde se nuln el denomindo. En l pime de ells ocue en, peo como es epesión nlític sólo eiste p >, nuc tomá ese vlo. L segund se nul p, peo como l epesión definid p nunc tomá ese vlo. sí que sólo h que estudi l continuidd en, donde l función cmbi de epesión nlític: lim k 6 k limm( ) El límite eiste si k7. demás si k7 m() lim po tnto continu en en todo R. Ejecicio : Hll el dominio l continuidd de ls siguientes funciones: ) f() -6 El dominio de l función f() -6 su continuidd es todo R, que el vlo bsoluto de f() es continuo en los mismos puntos en los que se continu l función -6, que es un polinomio. 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

43 Unidd. Funciones.Continuidd b) g ( ). El dominio de un í cudd son todos los puntos donde el dicndo es positivo o ceo. Como g() está definid pti de sum l de tes funciones, el dominio seá l intesección de los tes dominios. Vemos uno uno po sepdo: Dom[-, ) Dom(-,] DomR Dom(g()) [-, ) (-,] R[-,] En los puntos del dominio l función es continu menos en - De est mne g() continu en (-,) En - no es continu pues En no es continu pues lim g( ) no eiste lim g( ) no eiste Ejecicio 6: Detemin los pámetos b p que l siguiente función se continu en todo R e si f ( ) b si < ln( ) si Es un función definid toos, en cd too l función es continu en su dominio de definición, que el único que no es continu en todo R es ln( ), peo como está definid p en este intevlo es continu. Tendemos que ve l continuidd en p segu que l función f() continu en todo R. Continuidd en lim f ( ) lim e lim f ( ) lim f ( ) b b lim El límite eiste si b, demás p este vlo de b f() po tnto l función seá continu Continuidd en lim f ( ) lim( ln( )) lim f ( ) El límite eiste si, lim f ( ) lim demás p este vlo f() po tnto l función seá continu Si b l función seá continu en R José Luis Loente gón 9

44 Ejecicio 7: Sen ls funciones,, Unidd. Funciones.Continuidd,, estudi l continuidd de fg, f g, f/g Estudiemos l continuidd de ls funciones f() g() Fácilmente se puede compob que f() es continu en todo el dominio de definición [, ), g() continu en todos los puntos de definición menos en, donde los límites lteles no coinciden, es deci en [,) (, ). ) (fg)() po ls popieddes de continuidd seá continu en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) b) (f g)() po ls popieddes de continuidd seá continu en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) c) (f/g)() po ls popieddes de continuidd seá continu en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ), que g() no se nul p ningún vlo de Ejecicio 8: Hll clsific ls discontinuiddes de ls siguientes funciones ) f() Seá continu en R menos en los puntos donde se nul el denomindo es deci, po tnto, Dom(f()). Vemos el límite en estos puntos p disceni el tipo de discontinuidd. En lim ( ) lim lim ( ) En lim ( )( ) lim ( ) slto inf inito en evitble b) g( ) si e si > Tnto - como e - son continus p todo R, luego l únic posible discontinuidd puede ocui en. lim g( ) lim e lim g( ) lim g( ) lim Discontinuidd de slto finito. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

45 Unidd. Funciones.Continuidd c) f ( ) e lim f ( ) lime si si f () Slto finito Ejecicio9: Estudi l continuidd de f() ln( ) sen( π) f ( ) si si si si < < < Función definid toos en cd uno de ellos l función es continu en su dominio de definición, (ln(-) es continu si <). Vemos l continuidd en los puntos donde cmbi l epesión nlític: En - lim lim f ( ) sen( π ) f ( ) lim f ( ) ln( ) Discontinu de slto finito En En lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) sen( ) π lim f ( ) 6 lim f ( ) lim f ( ) Continu en Discontinu de slto finito Ejecicio : Demuest: ) s en()cos() tiene solución en [-π,π]: Definimos f() sen()cos()- tl que. Es continu en R po tnto en [-π,π].. f(-π)-π>, f(π)--π<. De est fom cumple Bolno c (-π,π): f(c), es deci, l ecución tiene solución en este entono. b) sen()e - cos() en lgún vlo de. Definimos f()e - cos()-sen() tl que. es continu en R.. Tommos el intevlo [,π/] f()> f(π/)-<. Cumple Bolno c (,π/): f(c), es deci l ecución solución en este entono. Ejecicio : L función cotg() tiene distintos signos en los etemos del intevlo [π/, π/] sin embgo no cot el eje. Entonces contdice esto Bolno? No contdice Bolno pues cotg() no es continu en π [π/, π/] José Luis Loente gón

46 Unidd. Funciones.Continuidd Ejecicio : Demost f() -8 cot l eje OX en (,). se puede deci lo mismo de? f() cumple:. Continu en (,). f()>, f()-6< Luego cumple Bolno c (,): f(c) No podemos deci lo mismo de, pues en (,) no es continu. Ejecicio : Se f() un función que cumple f(-)< f()> Es siempe cieto que eiste un vlo c en (-,) tl que f(c) Si f() es continu en el intevlo [-,] podemos segu que se cumple dich fimción (po el teoem de Bolno). Sino no es sí no podemos segu tl fimción. Lo cul no contdice que lgun función discontinu en donde f() f(b)< est cote l eje en (,b) Ejecicio : Estudi el dominio discontinuidd de f()ln(()/ ) Psos: ) Dominio de ()/ R-{} ) l se un logitmo ()/ >: Como siempe positivo tenemos que ve cuándo ()>, esto ocue en el intevlo (-, ) - - () De est fom el dominio seá (-, ) menos el punto Dom(f())(-,) (, ). En todos los puntos del dominio l función es continu pues, el límite eiste coincide con el vlo de l función en el punto. Ejecicio : Hll b p que f() cumpl Bolno en [-π,π]. Hll c que cumple Bolno cos( ) f ( ) b si π si < < si π P que cumpl Bolno tenemos que oblig l función que se continu en [-π,π], po tnto en puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

47 Unidd. Funciones.Continuidd En : lim f ( ) cos() lim f ( ) lim f ( ) En : lim f ( ) lim f lim ( ) b f ( ) b b Si b l función es continu en [-π,π], vemos ho que cumple l segund condición: f(-π)-< f(π)/π> Luego cumple Bolno c (-π,π): f(c) Busquemos el vlo c: ) Vemos si c [-π,] cos(c) c-π/ b) Vemos si c (,) no solución c) Vemos si c [,π] / no solución Ejecicio 6: Demuest que l ecución π e tiene solución en (,), lo cumple tmbién φ e? ) π e solución en (,) definimos f()π -e, se cumple: ) Continu en [,] b) demás f()-e< f()π-e> l cumpli Bolno c: (,): f(c), po tnto l ecución tiene solución en (,) b) φ e solución en (,) definimos f() φ -e, se cumple: ) continu en [,] b) peo f()-e< f() φ-e< Luego no cumple Bolno no podemos segu que l ecución teng solución. José Luis Loente gón

48 Unidd. Funciones.Continuidd Ejecicios de l P..U. Junio de.pueb C-: Demuéstese que ls gáfics de ls funciones f()e g() se cotn en un punto si > Si se cotn ls dos funciones cumplen entonces que f()g(). Definimos h()f()-g()e -/. Si h() entonces f()g() ls funciones se cotán. Vemos que h() cumple Bolno, po tnto h(): ) Es continu p > (no se nul el denomindo). b) Busquemos un intevlo donde cumpl Bolno, po ejemplo [.,]: h(.)e. -< ; h()e-> Luego cumple Bolno c (.,): h(c), po tnto f(c)g(c), cotándose en c ests dos funciones Junio de. Pueb B C-.- Estúdiese, según los vloes de los númeos eles α β, l continuidd de l función f definid po f α ) e β ( / si. si α L función / es continu en R-{}, pues e / nunc se nul. El único poblem e está en, l nulse el denomindo del eponente. Po oto ldo en l función cmbi de epesión nlític, luego es el único punto donde tenemos que estudi l continuidd: Continu en si lim f ( ) α α lim f ( ) lim / e e f () β α α lim / / ( ind ) e e α α lim / / e e α / α P que eist el límite α. Si α lim f ( ). Po oto ldo p se continu f() lim f ( ) β Luego si β α l función seá continu en, po lo tnto en todo R. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

49 Unidd. Funciones.Continuidd Septiembe de 6. Pueb PR. b) Puébese que l ecución e tiene lgun solución en (,] Definmos l función f()-e ; si demostmos que f() en (-,], entonces se cumpliá l ecución. P esto pliquemos Bolno: ) f() es continu en R po tnto continu en todo el intevlo b) busquemos el intevlo [,b] compendido en (,] tl que f() f(b)<. Po ejemplo [., ]: f()-e<, f(.).-e. >. sí f() cumpliá Bolno en [., ], po lo tnto, eiste l menos un vlo c (.,), luego c (-,] tl que f(c), po tnto se cumple l ecución. Junio de 7.Pueb C-. Demost que ls cuv f()sen() g()/ se cotn en lgún punto del intevlo (π, π/) Si f() g() se cotn en lgún punto se cumple que f()g(), es deci sen()/. P pode plic Bolno psmos / l oto miembo sen ( ). De est fom esolve l ecución es lo mismo que ve que h(). pliquemos Bolno h() en el intevlo mcdo (π,π/): ) Continu en [π,π/], que h() es continu en todos los eles menos en el, [π,π/]. b) h(π)sen(π)-/(π)-/(π)<, h(π/)sen(π/)-/(π/)-/(π)> Luego cumple Bolno, po lo tnto, eiste un punto c (π,π/) tl que h(c), po ello en este punto se cumple l iguldd f(c)g(c), cotándose ls dos cuvs h( ) Junio de 7.Pueb B PR- (b) Demost que eiste lgún númeo el c tl que ce -c. Si modificmos l iguldd e tendemos que l ecución solución si f ( ) eiste un punto c tl que f(),es deci si podemos plic Bolno: ) Continu en R, luego podemos tom culquie intevlo p plic Bolno b) Busquemos el intevlo f()-<. Si tommos, como e - siempe es positivo entonces f()e - ->. Luego cumple Bolno en [.], po lo tnto, eiste c (,) tl que f(c), entonces ce -c solución en (,). José Luis Loente gón

50 Unidd. Funciones.Continuidd C. Hll b p que f() continu en todo R ln( ) si > f ( ) b si sen( π) si < sen (π) L función ln() es continu si > es continu en <, pues no tom el vlo. De est fom, en cd too ls funciones son continus en los dominios de definición. Po est ón sólo h que estudi l continuidd en Continuidd en. Seá continu si lim f ( ) f () lim f ( ) (*) π lim f ( ) el límite eiste si π vldá lim f ( ) π lim f ( ) (*) (*) Clculemos estos límites en el tem (Teoem de L Hopitl) f()b, como lim f ( ) f () bπ De est fom si π bπ l función es continu en, po lo tnto en todo R. 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

51 Unidd. Funciones.Continuidd José Luis Loente gón 7

52 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

53 Unidd. Funciones. Deivbilidd TEM FUNCIONES.DERIVBILIDD.. Ts de vición medi. Deivd en un punto. Intepetción.. Ts de vición medi.. Definición de deivd en un punto.. Intepetción geométic de l deivd. Continuidd deivbilidd.. Función deivd. Deivds de oden supeio... Función deivd.. Deivds de oden supeio. Deivbilidd de ls funciones elementles. Opeciones con deivds.. Deivds de l función elementles.. Opeciones con deivds.. Deivción logítmic José Luis Loente gón 9

54 Unidd. Funciones.Deivbilidd Conteto con l P..U. El sbe deiv es básico l ho de eli el emen de l PU. En este tem se ecued como se deiv se elin difeentes ejecicios, peo en cso de esult insuficientes se ecomiend que se epse l deivd en culquie libo de º de Bchille. En el emen de selectividd no suele hbe ningún ejecicio conceto de deiv un función, si bien l deivd pece en multitud de ocsiones. lgunos ejemplos de ejecicios en los que h que sbe deiv son en los poblems de epesentción estudio de funciones, los de estudi l continuidd deivbilidd de un función, los límites que se clculn con L Hopitl Poblems más concetos en el emen de l PU elciondos con el tem son los siguientes: Estudio de l continuidd deivbilidd de un función, o cálculo de lgún pámeto p que l función se continu o deivble. Estudi l deivbilidd de un función en un punto po l definición de deivd. Cálculo de ects tngentes /o nomles un función en un punto. En este tem bodemos estos poblems p que el lumno se encuente fmiliido con ellos el dí del emen. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

55 Unidd. Funciones. Deivbilidd. Ts de Vición medi. Deivd en un punto. Intepetción. Ts de vición Medi Definición: se llm ts de vición medi de un función f() ente los vloes l cociente ente el incemento que epeiment l vible dependiente, l vible independiente : f T vm (,,f()) f ( ), Intepetemos gáficmente su significdo: Ejemplo: f() - f ( ) f( ) f( ) f f () f () ( ) Vemos l ts de vición medi ente : P intepet f,, fijémonos en el tiángulo ectángulo ojo de l imgen, donde los ctetos son (f( )-f( )) ( - ). De est fom ctetos, sí f, (,f( )) (,f( )) con el eje, po tnto f, es el cociente de los dos es l tngente del ángulo que fom l ect que une los puntos f, es l pendiente de dich ect José Luis Loente gón

56 Unidd. Funciones.Deivbilidd. Definición de deivd de un función en un punto Definición: l deivd de un función f() en el punto, se denot como f ( ), es l ts de vición instntáne, es deci: f '( f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) ) lim lim h h Genelmente suele se más fácil clcul est deivd pti de l segund iguldd de l definición. Un función es deivble en un punto cundo el límite eiste, unque este se o -. Ejemplos: ) f() en f ( h) f '() lim h h f () lim h L función f() es deivble en f () b) f() - si > en si (( h) ) h h h lim lim h h f ( f ( h) f () ( h ) h ) lim lim lim h h h h h h f ( - f ( h) f () ( h) h ) lim lim lim h h h h h h No eiste el límite po tnto l función f() no es deivble en. Not: ls funciones vlo bsoluto no son deivbles en los puntos de donde se nuln. En estos puntos ls deivds lteles son de distinto signo.. Intepetción geométic de l deivd En el ptdo. vimos que l ts de vición medi se intepetb como l pendiente de l ect que uní los dos puntos. L deivd es el límite de l vición medi cundo los puntos se cecn infinitmente, vemos esto de fom gáfic en h h deivd puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

57 Unidd. Funciones. Deivbilidd Como vemos en l gáfic nteio si nos cecmos infinitmente l punto l ect que une los dos puntos tiende se l ect tngente l función. Po tnto l deivd en de f(), es deci f (, ) es l pendiente de l ect tngente l función en el punto (, f( )). α mtg(α)f ( ) Conclusión: f ( )tg(α)m ect tngente en o Conociendo l pendiente de l ect el punto po el que ps (,f( )) es fácil clcul l ecución de l ect tngente noml (l pendiente es -/m-/f ( ) plicndo l ecución punto pendiente m (- ): Ecución de l ect tngente l función f() en : -f( )f ( )(- ) Ecución de l ect noml l función f() en : -f( ) (- ) f '( ) Ejemplo: clcul l ect tngente noml l cuv f() en el punto de bscis f ( h) f '() lim h h f () ( h) lim h m ect tng f () el punto es P (,f()) P(,) ect tngente -f()f ()(-) ( h) h lim h h -(-) - ect noml -f() (-) - (-) f '() h h lim h h José Luis Loente gón

58 Unidd. Funciones.Deivbilidd. Continuidd deivbilidd Teoem: tod función f() deivble en un punto, es continu en este punto. El contio no siempe es cieto p tod función. Ejemplo: como vimos l función f() e deivble en (eiste el límite f ( h) f () lim ) luego es continu en h h Not: Tods ls funciones polinómics, son continus deivbles en todos los puntos. Vemos otos dos ejemplos donde el ecípoco l teoem no es cieto, son continus no deivbles: ) f() - si > en es continu lim f ( ) f () si en no es deivble (ve págin ) b) g() en es continu peo no es deivble : f ( h) f () lim lim h h h lim h h h lim h lim h h lim h lim h / h h h h / h lim h h h Vemos l epesentción gáfic de ests dos funciones no deivbles, entndmos su intepetción gáfic: ) f() - puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

59 Unidd. Funciones. Deivbilidd b) g() Gáficmente vemos que en los puntos donde l función no es deivble eiste un pico o punto nguloso que nos indic el cmbio de pendiente de l ect tngente en dichos puntos (límites lteles son difeentes). Ejecicio : Se l función f() f() se continu deivble. clcul b p que L función está definid toos peo tnto sen() como b son continus deivbles en todos los puntos, luego punto donde h que estudi l continuidd deivbilidd es donde l función cmbi de epesión lgebic ) Continuidd: lim f ( ) b continu si lim ( ) () b f sen Luego si b independientemente del vlo de l función es continu b) Deivbilidd f ( h) f () h h lim lim h h h h deivble si ( ) () ( ) f h f sen h lim lim ( L' Hopitl) h h h h José Luis Loente gón

60 Unidd. Funciones.Deivbilidd Oto método más sencillo: cundo l función es continu podemos deivl, (veemos cómo se deiv en el ptdo ). : cos( ) si f '( ) si < > Not: el vlo p de f () no se inclue hst que se compuebe que l función es deivble. L función seá deivble en el punto si eiste el límite lim f '( ), unque este se infinito. lim f '( ) deivble si lim '( ) cos() f. Función deivd. Deivds sucesivs. Función deivd Cundo l función f() es continu podemos obtene su función deivd f (). L función deivd, f (), p cd vlo de nos d el vlo de l deivd en ese punto, es deci l pendiente de l ect tngente en dicho punto. f : R R f ( ) f ': R R f '( ) l función f () se le llm función deivd de f(), tl que si somos cpces de clcul est función l deivd de f() en un punto es f ( ), es deci l imgen de f () en el punto. pti de definición de deivd l función f() se obtiene plicndo l definición de deivd p un genéic: f '( ) lim h f ( h) h f ( ) Clculo de lgun función deivd: ) f() - f ( h) f ( ) ( h) f '( ) lim lim h h h ( h) h h lim h h h h ) f()k (cte) f ( h) f ( ) k k f '( ) lim lim lim h h h h h h Si bien p el cálculo de l función deivd veemos en el siguiente ptdo l tbl de deivds ls egls necesis p eli culquie tipo de deivd. 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

61 Unidd. Funciones. Deivbilidd. Deivds de oden supeio En todos los puntos del dominio de f () (donde f() es deivble) podemos conside ot función f (), que sign cd punto de el vlo de l deivd de f () en este punto. f '': R R f ''( ) f ''( ) lim h f '( h) f h L función sí definid ecibe el nombe de segund deivd de f(), f (). De fom nálog podemos defini l tece deivd f (), cut f (IV (), etc.. Deivd de funciones elementles. Opeciones con deivds. Deivds de ls funciones elementles Se puede clcul pti de l definición vist en el ptdo nteio l función deivd de ls funciones elementles. Vemos en l siguiente tbl l deivd de lguns funciones elementles. Deivd elementles Función Función deivd Ejemplo f()k f () f()-e f () f() n f ()n n- f() f () '( ) f()e f ()e f() f () ln() f() f () ln() f()ln() f ()/ f()log () f () ln( ) f()log () f () ln( ) f()sen() f ()cos() f()cos() f ()-sen() f()tg() f ()tg () cos ( ) f()c sen() f () f()c cos() f () f()c tg() f () José Luis Loente gón 7

62 Unidd. Funciones.Deivbilidd. Opeciones con deivds plicmos l definición de l deivd ls popieddes de los límites se obtienen ls egls que pemiten deiv funciones que son esultdo de ope con ots funciones deivbles. P ve ls popieddes de ls deivds vemos ot tbl: Popieddes de ls deivds Popiedd Sum: (fg) ()f ()g () Ejemplo ( -cos()e ) --sen()e Constnte po un función: (kf) ()kf () (c sen()) Poducto: (f g) ()f () g()f() g () ( sen()) sen() cos() Cociente: f g ' f '( ) g( ) f ( ) g'( ) ( ) g ( ) 7 ln( ) ' 7ln( ) 7 ln ( ) 7 ln( ) 7 ln ( ) Función compuest (egl de l cden): (g º f) ()(g(f()) g (f() f () ' cos ( ) cos ( ) ( e ) e cos( ) ( sen( )) pti de ls deivds elementles de ls popieddes de ls deivds es sencillo clcul l deivd de tod función, sólo h que plic ls popieddes con oden. Ejecicio : clcul ls deivds siguientes ) D[( -) ]( -) ( -) b) D[() / ] () / c) D[ ] ln() ( ) d) D[(e ) ] (e ) ( e )8 (e ) (e ) e) D[ln(- ) ] ( ) ( 6) ( ) f) D ( ) 6 g) D 6 ( ( ) ( 6) ( ( ) ( ) 7 ) / ( ) ( ) 6) ( ) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

63 h) D [( ) ] Unidd. Funciones. Deivbilidd ( ) ( ) i) D[sen ()] sen () cos() j) D[sen( )]cos( ) k) D ( ) ( ) ( ) l) D[sen ( )]sen( ) cos( ) sen( ) cos( ) m) D [ c sen( ) ] ( ) 7 7 ( 7) ( 7) ( 7) 7 7 n) D 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 7 ( 7)( 7) 7 o) D [ c tg( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) p) D ln ( ) ( ) ( ) ( )( ) q) D [ sen () cos ()] sen () cos() cos () sen () cos() sen() 6 sen () cos() cos () 6 sen () cos() sen() ) D [ c sen( tg( )) ] tg tg ( ) ( ). Deivción logítmic Cundo ls funciones en fom de eponente, donde tnto l bse como el eponente son funciones, f()(g()) h(). El cálculo de l deivd debe de hcese siguiendo el siguiente pocedimiento (usemos el ejemplo f()(7 ) cos() ). Tommos logitmos en mbos ldos: ln(f())h() ln(g()) Ejemplo: ln(f())cos() ln(7 ). Deivmos mbos ldos de l iguldd: Ejemplo: f '( ) h( ) g'( ) h'( ) ln( g( )) f ( ) g( ) f '( ) cos( ) cos( ) sen( )ln(7 ) sen( )ln(7 ) f ( ) 7 José Luis Loente gón 9

64 Unidd. Funciones.Deivbilidd h( ) g'( ). Despejmos f (): f '( ) f ( ) h'( )ln( g( )) g( ) Ejemplo: f () sen( ) ln(7 Ejecicio : clcul l deivd: ) D[ ] f(). ln(f()) ln() f (' ). ln( ) f ( ). f () (ln()) b) D[ ln() ] f() ln(). ln(f())ln() ln()ln () f '( ). ln( ) f ( ) ln( ). f () ln cos( ) ) (7 7 ) cos( ) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

65 Unidd. Funciones. Deivbilidd Ejecicios del tem Ejecicio : Estudi l deivbilidd de. L función es continu en R, pues es un í cúbic que eiste p númeos negtivos. Vemos l deivbilidd: f () ( ) / (6 ) ( ) Se nul el denomindo en, estudiemos l deivbilidd en estos puntos f () lim 9 6 f '( ) lim f '( ) lim ( ) ( ) f '( ) lim f () ( ) lim 9 6 f '( ) lim ( ) es deci l tngente es un ect plel l eje OY. No deivble deivble m-, Not: un función deivble en un punto si eiste l deivd, unque est se infinito. Vemos l gáfic p intepet los esultdos en José Luis Loente gón 6

66 Unidd. Funciones.Deivbilidd Ejecicio : estudi l deivbilidd de Vemos pimeo l continuidd: lim / lim g ( ) lim e Continu / e lim / e Vemos ho l deivbilidd po l definición: g () h g( h) g() / lim lim e h h h h No es deivble en Vemos l gáfic: h lim h ( e / h / en. lim h ( e ) lim h ( e / h / h ) ) Ejecicio 6: Deiv l función f() ln(cos()) e sen( ) f () e e tg( ) e ( ) cos( ) Ejecicio 7: Clcul un punto de l función f() en l que l ect tngente se plel l ect - Si l ects son plels mism pendiente, luego l ect tngente tiene pendiente m, po tnto buscmos el punto donde f () f () P(,f())(,7) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

67 Unidd. Funciones. Deivbilidd Ejecicio 8: Hll b c p que f() se continu deivble en (,) f ) b c ( si si <. Continuidd: ls funciones definids en los dos toos son polinomios po tnto el único punto h que estudi l continuidd es en. lim lim f ( ) lim f ( ) f ( ) b c () b c. Deivbilidd: si b c cumplen l nteio ecución f() continu podemos clcul l deivd en todos los puntos del dominio f '( ) b si < si < < Volvemos tene dos polinomios, sí que el único punto donde tenemos que estudi l continuidd es en : lim f '( ) 9 lim f '( ) lim f ( ) b Resolviendo el sistem b-9 c9 () 9 b Ejecicio 9: Dd l función f() ) hll, b p que f() se continu. b) Clcul los puntos donde es deivble) si f() b si < si > ) Ls funciones son continus en R. L función b seá continu en (,] dependiendo de b. Vemos los vloes de b p que se continu en lim f ( ) b b lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) P estos vloes de b es continu en (,] que en este intevlo es mo de ceo. Luego si - b l función f() continu en R, podemos clcul f () José Luis Loente gón 6

68 Unidd. Funciones.Deivbilidd b) f () Deivbilidd en Deivbilidd en si < si < < si > f '( ) lim f '( ) f '() No deivble f '( ) lim f '( ) f '( f '() f '( ) lim ) lim f '( ) deivble en f '( ) Luego f() deivble en R-{} Ejecicio : Clcul los puntos donde l ect tngente --6 plel l ect 6- Si es plel tienen mism pendiente, es deci m6. Como l pendiente de l ect tngente es f () se tiene que cumpli que f ()6 f ()6 6-6, -. P (,f())(,-8) P (-,f(-))(-,7) Ejecicio : Dd l función f() - encont los puntos donde l ect tngente est función se plel l ect que cot l cuv en, Si son plels tienen l mism pendiente, clculemos ls dos pendientes f () f () Pendiente ect secnte en, m Pendiente ects tngentes f ()- Luego - / P(/,-/) Ejecicio : Hll los vloes de b c p que l ect tngente l cuv con función bc en el punto P(,) se pependicul -. Pime condición l cuv ps po P, es deci f() 9bc Segund condición l se pependicul l pendiente de l ect tngente seá l inves con signo menos m-/(-.) p l ect tngente en f () 6b b-,c 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

69 Unidd. Funciones. Deivbilidd Ejecicio : Estudi l deivbilidd de f()/( ), clcul f () ) f() es continu en todo R pues el denomindo no se nul l función vlo bsolut es continu en R. Clculemos l deivd, p esto pimeo ponemos l función definid toos confome los vloes del que cmbin el signo de : f() si si > ( ) f () ( ) si si < > El único punto donde h que estudi l deivbilidd es en, donde cmbi de epesión nlític, que los denomindoes no se nuln en ningún punto donde estén definids. lim f '( ) o lim f '( ) lim f '( ). o lim f '( ) o o Función deivble en R, pues ( ) f (). continu si <, ( ) Como es deivble en R podemos defini l segund deivd: continu si > si < ( ) b) f () en l función f() no es dos veces deivble pues si > ( ) lim f ''( ) lim f ''( ) o o Ejecicio. Se f() ) estudi los vloes de que hcen continu f(), b) ve p estos vloes si l función es deivble: f() si si > ) Los dos toos de definición de f() son polinomios luego continuos en todo R en po tnto en su dominio de definición. Sólo nos flt po estudi l continuidd en : lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) - -, b) f() f ( )f ( - ) Luego es deivble en. si si > f () si < si > José Luis Loente gón 6

70 Unidd. Funciones.Deivbilidd Vemos l gáfic f() si si > f () si < si > f ( - )f ( ), luego es deivble en. Vemos l gáfic: 66 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

71 Unidd. Funciones. Deivbilidd Ejecicios de l P..U. Septiembe. Pueb. PR- ) Se f l función dd po f() -, estúdiese l deivbilidd de f en medinte l definición de deivd si ) f ( ), R. si < f ( h) f () h h lim lim f ( h) f () h lim h h h No deivble. h h f ( h) f () h h lim lim h h h h Septiembe. Pueb PR-. ) Estúdiese l deivbilidd de Pimeo tenemos que estudi l continuidd de f(): los dos toos de l función son continuos, pues el gumento del logitmo es siempe positivo. De est fom sólo tenemos que ve l continuidd en lim f ( ) ln() lim f ( ) lim f ( ) f(), luego es continu en R podemos clcul l función deivd en todos los puntos:, > f '( ), < Los dos toos son continuos pues uno es un polinomio el oto es un denomindo que nunc se nul. Sólo tenemos que clcul l deivbilidd en : f ( )f ( - ) luego es deivble en po tnto en R Junio 6. Pueb B. C-. Se f() b cd. Detemínense, b, c d p que l ect se tngente l gáfic de f en el punto (,-), l ect -- se tngente l gáfic de f en el punto (,-). Condiciones:.- Rect - m Ps po (,-). f()d-.. f ()c.- Rect - m Ps po (,-) José Luis Loente gón 67

72 Unidd. Funciones.Deivbilidd. f()b--, f ()b. Resolviendo el sistem:, b- Septiembe 6. Pueb B. C- Clcúlense ls ecuciones de ls ects tngente noml l gáfic de l función f() en el punto. ( ) f () l pendiente de l ect plel es mf (), es ( ) ( ) deci plel l eje OX, l de l ect noml es m, plel l eje OY. Ls dos psn po el punto P(,f()) P(,) ) Tngente en (-) (eje OX) b) Noml (eje OY) Vemos l gáfic de f(): Septiembe 7. Pueb C-.- Detemin en qué puntos de l gáfic de l función -, l ect tngente l mism es plel l ect 7. Si ls ects son tngentes mism pendiente. L pendiente de l ect 7 es m. L pendiente de l ect tngente es igul f () -6. Obliguemos que l pendiente se clculemos el vlo de l coodend de los puntos buscdos: -6 (-6), P (,f()) P (,) P (,f()) P (,-) Junio 8. Pueb C-.- Detemin el vlo de p que l ect tngente l función f() en el punto se pependicul l ect. Si l ect tngente es pependicul --, entonces l pendiente es m-/-. L pendiente de ls ects tngente en es f (). Igulndo l deivd l vlo de m obtenemos que. 68 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

73 Unidd. Funciones. Deivbilidd Pueb B PR- Dd l función f(), se pide ) Estudi l continuidd deivbilidd de l función f() Continuidd: sólo h que estudi l continuidd en que es donde l función cmbi de epesión nlític donde se nul en denomindo de l pime. sen( ) lim f ( ) lim ( L Hopitl tem ) lim f ( ) lim f ( ) f() es po tnto continu en R Deivbilidd: como es continu en R podemos defini l función deivd : sen( ) f () cos( ) si si > < Sólo h que estudi l deivbilidd en f ( sen( ) sen( ) ) lim cos( ) lim ( L Hopitl tem ) f ( - )- Luego no es deivble en L función f() es deivble en R-{} José Luis Loente gón 69

74 7

75 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd TEM. PLICCIONES DE L DERIVD.. Monotoní. Cecimiento dececimiento de un función. Etemos eltivos. Optimición. Cuvtu. Punto de Infleión 6. Popieddes de ls funciones deivbles 6.. Teoem de L Hopitl 6.. Teoem de Rolle José Luis Loente gón 7

76 Conteto con l P..U. Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. En los eámenes de selectividd suele hbe un poblem en cd opción en donde se pide clcul el cecimiento /o l cuvtu de un función. Po lo genel ls funciones que pecen son, en un opción, un fcción polinómic, en l ot, o un eponente o un logitmo. unque de pimes puede pece que ls funciones eponenciles o logítmics son más complicds, po lo genel suelen se más sencills, que ls deivds, en especil l segund, son más fáciles de igul ceo, sí estudi l cuvtu o el cecimiento. Otos poblems que pecen son los de optimición. Po lo genel estos poblems son eltivos l mimición o minimición de funciones (áes máims o mínims, pendiente mínim o máim ). Un cuestión mu común en los eámenes de selectividd son los límites, que se clculn pti de L Hopitl. Tmbién se utili L Hopitl en el estudio de síntots de ls funciones, l continuidd l deivbilidd de funciones (ve tem nteio). 7 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

77 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. Monotoní. Cecimiento dececimiento de un función En el tem nteio elcionmos ls deivds con l pendiente de ls ects tngentes l gáfic descit po l función, es deci, f ( ) es l pendiente de l ect tngente l gáfic f() en. Vmos elcion el signo de mf ( ) con el cecimiento o dececimiento de l función; p esto nos vlemos del siguiente ejemplo: f() - f () - (-) () (-,-) - (-,) (, ) Signo f () - Cecimiento José Luis Loente gón 7

78 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. Clmente vemos que cundo f ( )> l ect tngente es ceciente, pues l pendiente es positiv, po lo tnto f() es ceciente en. De igul fom si f ( )< l ect tngente es dececiente, pues su pendiente es negtiv, po lo tnto f() es dececiente en Conclusión: ) Si f ( )> l función f() es estictmente ceciente en b) Si f ( )< l función f() es estictmente dececiente en. Etemos eltivos ntes de elcion los etemos eltivos con l deivd definámoslos. Definición: Etemo eltivo de un función f() es todo punto tl que, p todo entono del punto E(,), se cumple que l función en este intevlo cece decece. Según cec ntes o después de, distinguimos dos tipos de etemos eltivos: ) Máimo eltivo en : l función cece hst decece pti de. b) Mínimo eltivo en : l función decece hst cece pti de. Está clo que si es un etemo eltivo de f(), en este punto l gáfic ni cece ni decece, luego un condición necesi es que f ( ), sí l pendiente de l ect tngente es m, siendo po tnto plelo l eje. Peo está no es l únic condición. Es necesio, que demás, se cumpl un segund condición que demás nos pemite disceni si es máimo o mínimo eltivo: Se un punto de un función en el que se cumple ) f ( ) b) f ( )< entonces (,f( )) es máimo eltivo Se un punto de un función en el que se cumple ) f ( ) b) f ( )> entonces (,f( )) es mínimo eltivo En l páctic, si se cumple que f ( ) viendo el cecimiento de l función ntes después del punto podemos ve si es punto eltivo si es máimo o mínimo. En el cso de que f ( ) peo tmbién f ( ) (esto ocue cundo es í doble o de mo multiplicidd de f ()), no podemos segu que este punto se etemo eltivo h que estudi ls deivds de oden supeio. Tendemos que clcul ls deivds en, hst l pime deivd no nul. P ve si l función tiene etemo eltivo o no vemos el siguiente esquem: 7 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

79 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd f ( n ( ) con n imp Punto de Infleión ( n f '( ) f ''( ) f ( ) f ( n ( ) > mínimo f n ) n p ( ( f ( n ( ) < máimo Ejemplo: Estudi si en ls siguientes funciones h máimo, mínimo o punto de infleión en ) f() f () en f () f ()6 en f () f ()6 en f ()6 Como l pime deivd no nul es l tece (imp), tenemos un Punto de Infleión en P. I (,f())(,) b) f() f () en f () f () en f () f () en f () f IV IV () en f ( ) Como l pime deivd no nul es l cut (p), tenemos un Punto eltivo en IV. demás como f ( ) > seá mínimo m(,f())(,) Vemos ls gáfics de e : José Luis Loente gón 7

80 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. Ejecicio : Estudi l monotoní, los etemos eltivos de ls siguientes funciones: ) f() - 6- Vemos el signo de l deivd: f ()6-6 f () -6(-) (-), f ()- (-,) (,) (, ) Signo f () - Cecimiento (,f())(,6) (,f())(,) f ()< Máimo f ()> Mínimo Máimo M(,f())(,6) Mínimo m(,f())(,) M m b) /ln() Pimeo estudiemos el dominio. Vemos los puntos que no petenecen l dominio ) > (po el logitmo nepeino) b) Denomindo es ceo: ln() e, síntot veticl Dom(f())(, )-{} ln( ) f () ln ( ) ln( ) ln ( ) ln()- e f () ln ( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln ( ) ln( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) 76 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

81 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd demás de los puntos donde se nul l pime deivd h que ñdi los puntos que no petenecen l dominio, que en ellos puede cmbi el cecimiento. En este cso ñdimos. Not: ls síntots veticles no suelen cmbi l monotoní unque si l cuvtu. (,) (,e) e (e, ) Signo f () - - Cecimiento Mínimo m(e,f(e))(e,e) Dom( f ( )) (e,f(e))(e,e) f (e)/e> Mínimo m c) f ( ) DominioR-{} 8 f (), ( ) 8 f () ( ) 8 Signo de f (): 8 No solución no etemos eltivos (f ()> ) Sólo tenemos que ve el cecimiento ntes después de, que no petenece l dominio: José Luis Loente gón 77

82 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. (-,) (, ) Signo f () Do min io Cecimiento. Optimición En muchs situciones se plnten poblems de optimición, es deci hce que un función se máim o mínim p uns pemiss impuests. Los csos de optimición que tbjemos es cundo l función depende de un sol vible. Psos segui p optimi:. Epes l función que desemos optimi en función tods vibles.. Si l función tiene más de un vible elcion ls vibles con los dtos del poblem obtene un función de un sol vible (medinte l función ligdu).. Deiv l función, igull ceo sí obtene los puntos eltivos. Compob, medinte l segund deivd, si estos puntos son máimos o mínimos. Ejemplo: Se quiee constui botes de enlt de fom cilíndic de litos de cpcidd. Clcul ls dimensiones p que el gsto se mínimo Vπ (función ligdu) /(π ) El gsto es popocionl l supeficie (función optimi): Gsto(,)K SupeficieK( π π ) G()K [π π (/π )]K[π /] G ()K[π-/ ] π-/ π - π dm h π π dm G ()π/ G ( π )> Mínimo 78 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

83 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd Ejecicio : Descompone el númeo 8 en dos sumndos tl que el quíntuplo del cuddo del pimeo más el sétuplo del cuddo del segundo se mínimo. 8 (ligdu) 8- f(,) 6 (función optimi) f() (8-) 6-8 f ()-8 /, 88/ f () f (/)> Mínimo Ejecicio : Un hoj de ppel debe contene 8 cm de teto impeso, mágenes supeio e infeio de cm lteles de cm. Obtene ls dimensiones que minimin l supeficie del ppel 8 (ligdu) 8/ e(,)() () (función optimi) ()() (8/)86/866/ ()-6/ cm 6cm ()7/. Cuvtu ()> mínimo Dimensiones: cm cm Vemos ls definiciones de los dos tipos de cuvtus posibles en un función: Definición : Un función es cóncv hci ls positivs o cóncv hci ib en un punto P(, ), si l ect tngente en este punto está po debjo de los puntos póimos P. Gáficmente tiene fom de Definición : Un función es cóncv hci ls negtivs o cóncv hci bjo en un punto P(, ), si l ect tngente en este punto está po encim de los puntos póimos P. Gáficmente tiene fom de. José Luis Loente gón 79

84 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. Podemos sbe si un función es cóncv hci ib o hci bjo pti de l segund deivd: Si f ( )>, entonces f() es cóncv hci ib en el punto (,f( )). (Recod l cuvtu de f() como f ()>) Si f ( )<, entonces f() es cóncv hci bjo en el punto (,f( )). (Recod l cuvtu de f()- como f ()-<) Ejemplo: f() f ()6, si > cóncv hci ib si < hci bjo Cóncv hci bjo Cóncv hci ib. Puntos de Infleión Uno de los puntos más impotntes l ho de epesent un función son los puntos de infleión; vemos que es un punto de infleión: Definición: Se dice que f() tiene punto de infleión en (,f( )) si en ese punto cmbi l cuvtu de l función, es deci ps de se cóncv hci ib cóncv hci bjo o l evés. En este punto l ect tngente l función cot l función. Vmos ve l elción ente los puntos de infleión ls deivds de l función, en el siguiente teoem: Si f() cumple en que l segund deivd es nul (f ( )) demás l tece deivd es distint de ceo (f ( ) ), entonces l función f() tiene un punto de infleión en (,f( )). En el cso de que tnto f ( ) como f ( ), tendemos que ecui ls deivds de oden supeio, ve el oden de l pime no nul en. Como vimos en el ptdo. f n ) con n imp Punto de Infleión ( ( 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

85 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd ( n f '( ) f ''( ) f ( ) f ( n ( ) > mínimo f ( n ( ) n p f ( n ( ) < máimo Ejemplo: Estudi el cecimiento, puntos eltivos, l cuvtu los puntos de infleión de l función f() Pimeo estudiemos el dominio Dom(f)R-{-} ( ) f () ( ) ( ) Vemos que siempe es positiv p todo vlo de que petenec l dominio: (-,-) - (-, ) Signo f () No eiste - Dom(f) Cecimiento No Punto eltivo Clculemos ho l cuvtu los puntos de infleión f () ( ) El signo de l segund deivd es: (-,-) - (-, ) Signo f () No eiste - Dom(f) - Cocvidd No P.I. José Luis Loente gón 8

86 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. Ejecicio : Estudi monotoní cuvtu de f() Pimeo vemos el dominio de f(), como -(-), entonces Dom(f)R-{} ( f '( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () (-,) (,) (, ) Signo f () - No eiste - Cecimiento m(,f())(,) Dom(f) ( ) ( f ''( ) ( ) f ()> Mínimo ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( )( ) 8 6 8] ( ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) Se nul en -/ ) ( )( 6 ( ) ) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

87 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd (-,-/) -/ (-/,) (, ) Signo f () - No eiste Concvidd PI(-/,f(-/)) (-.,/9) Dom(f) f (-/) PI m Not: dse cuent que en este ejemplo en l síntot veticl si cmbi l cuvtu, psndo de ceciente dececiente, esto es poque es un í doble del denomindo. Cundo esto ocue cmbi l monotoní peo no l cuvtu. José Luis Loente gón 8

88 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. Ejecicio : sen f(), g() h() ; detemin si en h un P.I. o un punto eltivo. ) f () f () f ()6 f () f ()6 f ()6 n P.I.(,) b) g () g () g () g () g () g () g ( g ( > n Punto eltivo Mínimo m(,) c) h () h () h () h () h ()6 h () h ( () h ( () h ( () h ( () n P.I. (,) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

89 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd José Luis Loente gón 8 6. Popieddes de ls funciones deivbles 6.. Teoem de L Hopitl Y hemos visto en el tem nteio que h límites que, p clcullos, es necesio utili el teoem de L Hopitl, vemos en que consiste: Teoem: Sen f() g() continus deivbles en que veificn: ) ) ( lim ) ( lim g f b) ± ) ( lim ) ( lim g f entonces se cumple: ) ( ' ) '( lim ) ( ) ( lim g f g f Est egl es válid p R, o -. Est egl se puede plic sucesivs veces si el límite sigue siendo / o / Ejemplos: ) ) cos( lim ) ( lim ' sen H L b) ) cos( lim ) ( lim ) cos( 6 lim ) ( lim ' ' ' sen sen H L H L H L c) lim lim ) ln( lim ' H L d) lim lim / ) ln( lim ) ln( lim ' H L e) ) ( cos ) ( lim ) ) cos( ( lim ) ( cos lim ) ( cos lim ) ( lim ) ( lim ' ' ' sen sen tg tg H L H L H L π π π π π π π π π π π

90 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. 6.. Teoem de Rolle Un teoem mu impotnte es el denomindo teoem de Roll que nos demuest que cundo un función deivble ps dos veces po l mism ltu entonces tiene un punto eltivo ente estos dos puntos: Teoem de Rolle: Se f(), que cumple ls siguientes condiciones: continu en [,b] deivble en (,b) f()f(b) entonces eiste l menos un punto c (,b), tl que f (c) (es deci tiene l menos un máimo o mínimo eltivo) Vemos cómo es fácil de intepet este teoem, si lo hcemos de fom gáfic, es semejnte l de Bolno Intepetción gáfic: Puede ocui que h dos o más puntos que cumpln el teoem (f (c)) c c b 86 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

91 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd Ejecicios PU: Sólo veemos los que están elciondos con l optimición con L Hopitl, los eltivos l cecimiento l cuvtu se veán en el tem siguiente ) Optimición Septiembe. Pueb B. PR.- ) Dd l función f()/ln() definid en [,e], clcul l ect tngente con mo pendiente. Escibi ecución de dich ect L pendiente de ls ects tngentes viene dd po l deivd de f() f ()-/ /. Como tenemos que busc el vlo con mo pendiente, l función optimi es f (), que llmemos g(), g()f (). Optimicémosl g () - [,e] Vemos si es máim o mínim: g ()/ -6/ g ()/-/8< máimo L pendiente máim es m m g()f ()-///; est es l pendiente de l ect tngente en el punto P(,f())(,/ln()) L ect tngente es po tnto: -(/ln())/(-). ln() Junio 6. Pueb. PR- Considéense ls funciones f()e, g()-e -. P cd ect pependicul l eje OX, sen B los puntos de cote de dich ect con ls gáfics de f g, espectivmente. Detemínese l ect p l cul el segmento B es de longitud mínim. Ls ects pependicules l eje OX son del tipo. Cote con ls gáfics ) f()e (,e o ) b) g()-e - B(,-e -o ) Longitud segmento B d(,b) ( ) B (, e d( ) e e. Como tiene que se distnci mínim, clculemos l deivd de d( ) e igulemos ceo e d ( ) e e e e -. ) e e Vemos si es mínim o máim d () e e d ()> Mínimo Po tnto l ect es. Cot con f() en (,e )(,) con g() en (,-e - )(,-) sí l ect que minimi l distnci ente ls dos funciones es e e José Luis Loente gón 87

92 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. e (,) B(,-) -e - Septiembe 8. Pueb B PR-. Hll, de ente los puntos de l pábol de ecución -, los que se encuentn distnci mínim del punto (-,-/) Los puntos de l pábol son P(, -). L distnci ente P es: d (, P) P, ( ) ( ) 7 d ( ) Not si buscmos el vlo que minimice l distnci se cumpliá tmbién que p ese vlo d tmbién seá mínim, (siendo l función mucho más sencill l quitnos l í): f()(d()) 7 f ( ) - P(-,) Vemos que es mínimo f (), f (-)>, es mínimo 88 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

93 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd Otos ejecicios optimición: Ejecicio 6: sen ls funciones f()- g()e, de tods ls ects plels l eje OX que cotn en g() B f(), clcul quell que minimi ls distncis ente los dos puntos. Ls ects plels l eje OX son de l fom t, que seá el pámeto libe. Los puntos B seán: t e t (ln(t),t) e B t t B(t,t) d(,b) B t ln( t),) ( t ln( t) ) t ln( t) L función que tenemos que mimi seá d(t)t--ln(t): d (t) t. t Compobemos que es un mínimo: d (t) t Luego l ect buscd es. d ()< Ejecicio 7: se l función f(), clcul el punto P de l gáfic tl que l odend en el oigen de l ect tngente dich función en P se máim. Los puntos de l gáfic seán P(t,f(t))(t, ) ls pendientes de ls ects tngentes p estos puntos vienen definids po mf (t)-t. De est fom ls ects tngentes son: : - m(- ) : (- )-t (-t) : (-t )( t ). Po lo tnto l odend en el oigen es n(t) t. Clculemos el vlo de t que minimi l función: José Luis Loente gón 89

94 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. n (t)-t t -t (t-t ) t(-t ) t, t ± Vemos cuál de estos vloes máimi l función: n (t) (t -8t ) n ()> Mínimo n ( ± )< Máimo. Luego los punto son P (, e -/ ), P (-, e -/ ) Ejecicio 8: clcul el ectángulo de áe máim inscit en un cicunfeenci de dio cm: Áe(,) (función optimi) (ligdu) () () - 6 cm cm (cuddo) Vemos que es máim: ( )<. Máimo 9 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

95 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd B) L Hopitl PU Septiembe 6. Pueb C-. sen( ) sen( ) ln(cos( )) cos( ) cos( ) lim lim L' H ( tg ( )) cos( ) lim L' H tg( ) sen( ) lim PU Junio 6 (Pueb ) C-. ln(cos()) lim sen() cos() lim ' H L tg() lim ( tg lim ' H L ()) PU Junio 6 (Pueb B)C-. Clcul b p que el límite se : b cos( ) b sen( ) b lim lim ( b p limite ) sen( ) L' H cos( ) sen( ) lim cos( ) cos( ) lim ' H cos( ) sen( L / ) PU Septiembe (Pueb ) C- lim tg() ( tg ()) ( tg ()) lim lim π (6 ) ' 6 ( (6 )) ( tg L H π tg π tg (6)) PU Junio (Pueb B) C- sen ( ) lim lim lim ( ) ( ) ' sen sen L H sen ( ) lim L ' H cos( ) cos( ) sen ( ) cos( ) sen ( ) cos( ) PU Septiembe (Pueb ) C-. Clcul λ p que el límite vlg -: sen( ) lim cos ( λ) sen( ) lim cos ( λ) L' H L' H cos( ) sen( ) lim λ λ cos ( λ) cos( ) lim λ sen( λ) cos( λ) λ λ λ±. José Luis Loente gón 9

96 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd. 9 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU PU Septiembe (Pueb B) C- ) ( ) cos( ) ) cos( ( lim ) cos( ) ( lim ) ( ) cos( lim ) ( ) ln( lim ) ( ) lim ln( ' ' sen sen sen sen sen sen H L H L PU Junio (Pueb ) C- / lim ) ln( lim ) ln( lim ' ' H L H L e e e PU Junio 7 (Pueb ). C- ) ln( lim ) )ln( ( lim ) ln( lim ) ln( ) ln( lim ) ln( lim ' ' H L H L PU Septiembe 7 (Pueb B) C- ) ( lim ) ( lim ) )( ( lim ) ( lim ' ' H L H L e e e e e e e e e e. PU Junio 8 (Pueb ). C-: ( ) 8 6 ) ( ) ( cos lim ) ) cos( ( lim ) ( lim ' sen sen sen H L PU Septiembe 8 (Pueb B). C-: Clcul p que el límite se 8 8 lim ) ( lim lim lim ' ' e e e e H L H L ±

97 Unidd. Funciones. plicciones de l deivd José Luis Loente gón 9

98 9

99 Unidd. Repesentción de funciones TEM. REPRESENTCIÓN DE FUNCIONES. Repesentción de funciones.. Dominio.. Puntos de cote con los ejes... Con el eje... Con el eje.. Signo de l función.. Peiodicidd simetí... Peiodicidd... Simetí.. síntots.6. Pime deivd, cecimiento puntos eltivos.7. Segund deivd, cuvtu puntos de infleión.8. Repesentción de l función. neo: epesentción funciones cicules José Luis Loente gón 9

100 Unidd. Repesentción de funciones Conteto con l P..U. En este tem plicemos lo visto en los tems nteioes p l epesentción gáfic de ls funciones. En el emen de l PU no se suelen pedi todos los psos que estudiemos p l epesentción de l función, po lo genel tendemos que esbo l gáfic pti de: Monotoní o Cecimiento Cuvtu síntots Po lo genel es suficiente con ests tes puts el esboo de l gáfic, si bien se ecomiend, unque no lo pid el emen clcul el dominio. Ls funciones que suelen epesentse son: Funciones fccionles, l mo dificultd es en l segund deivd, l cul h que fctoi p clcul los vloes que l nuln (puntos de infleión). Funciones eponenciles, l mo dificultd es esolve ls distints ecuciones eponenciles que pecen l igul ls deivds. Cundo estudiemos ls síntots hoiontles oblicus h que estudi los límites tnto cundo tiende o -, que no siempe dn el mismo esultdo, como ocue en ls funciones fccionles. Not: ecodemos que e f() siempe es mo que ceo, con independenci de f(). Funciones logítmics, cus complicciones con el cálculo de ls síntots son ls misms que ls eponenciles. Tmbién es impotnte el cálculo del dominio; ecodemos que los puntos del dominio son quellos en los que el gumento del logitmo es positivo. Funciones tigonométics: donde lo más complicdo es esolve ls ecuciones tigonométics. Se ecomiend ve el tem de ecuciones tigonométics del cuso nteio en culquie libo de pimeo. Tmbién es impotnte clcul el peiodo de l función, que pti del mismo l función se epite. 96 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

101 Unidd. Repesentción de funciones NEXO I: Resolución de ecuciones logítmics eponenciles ) Eponenciles: p quit l incógnit del eponente tommos logitmos mbos ldos de l iguldd b) Logitmos: gupmos todos los logitmos en uno pti de ls popieddes de los logitmos. P quit l incógnit del logitmo tommos eponente mbos ldos de l iguldd. Ejemplos: e e ln( ) ln( ) ln ln( / ) e NEXO II: Resolución de ecuciones tigonométics ± ln( / ) e P esolve ecuciones tigonométics lo más impotnte es epes tods ls ones tigonométics en función de un sol de ells plicndo ls igulddes: ) sen ()cos () b) tg()sen()/cos() c) tg ()/cos () Cundo los gumentos de ls ones son difeentes (es deci, ) h que plic ls tnsfomciones de ls sum de ones tigonométics en poductos, ángulos dobles, etc. No ttemos l coesponde l cuso nteio. Genelmente en los poblems de selectividd ests ecuciones con distinto gumento no pecen. Ejemplo: sen()cos() Pongmos sen() en función de cos() (o l evés) cos cmbio vible cos() (elevndo l cuddo) - - -, ) cos() ) cos() 6k Tenemos que compob que solución es válid (l elev l cuddo sugen veces soluciones no válidd): - 9 sen(9)cos(9) válid - 7 sen(7)cos(7)-, no válid - sen()cos(), válid NEXO II: peiodo de funciones tigonométics. El peiodo de un sum o multiplicción de funciones tigonométics es el mo de los peiodos. El peiodo de sen(k), cos(k), tg(k) es Tπ/k Ejemplo: f()sen() cos()cos() T π, T π/, T π f() peiodo Tπ. José Luis Loente gón 97

102 Unidd. Repesentción de funciones. Repesentción de funciones Medinte el odendo o lguns clculdos epesent un función es sencillo, peo sin ests hemients debemos estudi ccteístics pevis de l función ntes de epesentl. Los psos son: El dominio Puntos de cote con los ejes Signo de l función Simetí peiodicidd síntots Monotoní puntos eltivos Cuvtu puntos de infleión.. Dominio El pime pso es ve donde está definid l función, es deci los posibles vloes que puede tom l vible independiente (). Recodemos que el domino de los polinomios son todos los eles. Los csos en los que lgún punto no petenece l dominio son: (ve tem ) ) Se nuln denomindoes síntot veticl en el punto b) No eisten logitmo de númeos negtivos c) No eiste el logitmo del ceo síntot veticl, cundo el logitmo en el denomindo cundo el gumento tiende po l deech (log( - ) d) No eisten íces cudds o de oden p p númeos negtivos.. Punto de cote con los ejes... Con el eje OX Cot l el eje OX cundo. Obtendemos los puntos de cote con este eje igulndo l función ceo, viendo los puntos,, Dom(f()) que nuln l función. Los puntos (,), (,) son los puntos de cote con el eje OX... Con el eje OY Cot l el eje OY cundo, siempe que Dom(f()). Sólo puede cotse un ve con el eje OY. El punto de cote con el eje OY es (,f()) Ejemplo: f()ln( -) Con eje OX () ln( -) -e ± P (,) P (-,) Con eje OY() Dom(f()), luego no cot con el eje OY.. Signo de l función Estudi el signo de l función es ve los vloes de en los cules f()> o f()<. P obtene estos intevlos bst con estudi el signo ente los intevlos de los vloes de que nuln l función (cote eje OX) los puntos que no petenecen l dominio. En el cso que l función definid toos, tmbién se tomn los puntos donde cmbi de epesión nlític. 98 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

103 Unidd. Repesentción de funciones.. Peiodicidd simetí.. Peiodicidd: Ls funciones son peiódics cundo se epiten cd cieto intevlo, T, llmdo peiodo de l función (f()f(nt)). Los ejemplos clásicos son ls funciones tigonométics. Ejemplo: sen() su peiodo es Tπ, pues sen((nπ))sen(πn)sen().. Simetí L simetí puede se de dos tipos: ) Simetí p o especto l eje OY, l función es igul l iquied deech del eje OY. Es como si este eje hicie de espejo. Ocue cundo se cumple: f()f(-) b) Simetí imp o especto l oigen, l función l deech del eje OY es igul que l iquied peo con distinto signo. Ocue cundo se cumple: -f()f(-) Ejemplo: estudi simetí de ls siguientes funciones: f() - 6, g() - -, h(), i(), j() - ) f(-)(-) -(-) 6-6f() P b) g(-) (-) -(-) -(-) - -( - -)-g() Imp ( ) ( ) ( ) c) h(-) h( ) P ( ) ( ) ( ) d) i(-) ( ) - ( ) ( ) -i() Imp e) j(-)(-) -(-) (-)- - - j() de -j() No simetí Not: si no h denomindoes seá p cundo sólo tenemos epesiones n con n p (ecod que, luego es p). Seá imp cundo sólo tenemos epesiones n con n imp; si están mecldos téminos impes pes l función no tendá simetí. Si tenemos denomindoes, p que se simétic tnto el denomindo como el numedo hn de se siméticos. sí: - si numedo denomindo tienen l mism simetí (los dos p o los dos imp) l función simetí p (ve h()) - si numedo denomindo tienen distint simetí (uno p oto imp) entonces l función simetí imp (ve i()) José Luis Loente gón 99

104 Unidd. Repesentción de funciones. síntots Veticl L función f() tiene síntot veticl en cundo lguno de los límites lteles o los dos son infinitos: lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), L síntot veticl tiene de epesión nlític. L función f() se poim infinitmente l ect. En l páctic ls síntots son los puntos en los que se nul el denomindo o se nul un logitmo (cundo está en el numedo). Un función puede tene vis síntots veticles nunc se cotn po l gáfic. Hoiontl Un función f() tiene un síntot hoiontl en si se cumple un de ls siguientes condiciones (o ls dos): ) lim f ( ) (tiende l ect cundo ) b) lim f ( ) (tiende l ect cundo - ) Cundo l función tiene un síntot hoiontl se poim infinitmente l ect cundo tiende, - o los dos. Un función tiene como máimo síntots hoiontles, un cundo ot cundo -, unque po lo genel coinciden (funciones de fcciones lgebics). Ls funciones que son fcciones lgebics ( p ( ) ) tienen síntots hoiontles q ( ) cundo el gdo del numedo es meno l del denomindo (síntot ) o igul (síntot n /b n,con n b n coeficientes de mo gdo de p() q() espectivmente). Oblicu Un función f() tiene un síntot oblicu cundo se poim infinitmente un ect de l fom mn (m ). Eiste si se el límite f ( ) eiste es distinto de ± de. Si esto ocue: m f ( ) lim lim n lim f ( ) m po lo genel, si m m entonces n es un númeo el. Peo h lgún cso donde n es ; si esto ocue f() no tiene síntot oblicu (PU Septiembe 8) Si un función tiene síntot hoiontl no tiene síntot oblicu, po lo que no seí necesio su estudio. En l páctic ls síntots oblicus en ls funciones fccionis ocuen cundo el gdo del denomindo es un gdo infeio l del numedo Not: ls síntots hoiontles oblicus pueden se cotds po l gáfic de l función puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

105 Unidd. Repesentción de funciones Ejemplo: clcul ls síntots de ls siguientes funciones ) f() - síntot Veticl: -, -. - síntot Hoiontl: lim f ( ), lim f ( ). No síntot hoiontl f ( ) - síntot Oblicu: lim lim lim m n lim 8 6 f ( ) m lim lim 8. Luego l síntot oblicu es -8 b) g() - síntot Veticl: - -, - síntot hoiontl: lim, lim - No puede tene síntot oblicu l tene hoiontl José Luis Loente gón

106 Unidd. Repesentción de funciones ln( ) c) h() - síntot Veticl: ln( ) (se nul el logitmo) lim (se nul el denomindo) ln( ) lim ln() ln( ) ln() lim ln( ) ln() lim ln( ) / - síntot Hoiontl lim lim (cundo ) L' H ln( ) lim no eisten logitmos negtivos Luego l síntot hoiontl es, peo sólo eiste cundo - No síntot oblicu cundo l tene hoiontl. Vemos cundo - lim f ( ) ln( ) lim no tiene.6. Pime deivd. Cecimiento puntos eltivos P estudi el cecimiento dececimiento los puntos eltivos de un función f() tendemos que estudi el signo de l pime deivd, f (). Como vimos en el tem nteio: ) si f ()> ceciente b) si f ()< dececiente c) si f () punto eltivo (si f () ) En l páctic igulmos f () estudimos el signo de f () ente los puntos donde se nul l deivd los vloes que no petenecen l dominio. Si l función está definid toos tmbién tendemos que ñdi, ente estos puntos, quellos donde f() cmbi de epesión nlític puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

107 Unidd. Repesentción de funciones.7. Segund deivd. Cuvtu Puntos de Infleión P estudi l cuvtu los puntos de infleión de un función f() tendemos que estudi el signo de l segund deivd, f (). Como vimos en el tem nteio: ) si f ()> cóncv hci ib b) si f ()< cóncv hci bjo ) si f () punto de infleión (si f () ) En l páctic igulmos f () estudimos el signo de f () ente los puntos donde se nul l ª deivd los vloes que no petenecen l dominio. Si l función está definid toos tmbién tendemos que ñdi, ente estos puntos, quellos donde cmbi de epesión nlític.8. Repesentción de l función pti del estudio elido en los nteioes ptdos no debeí se difícil epesent un boceto de l función. Ejemplos: ) f() I) DominioR-{-} II) Puntos de cotes: ) Con el eje OY: Dom(f()) f()- P c (,-) b) Con eje OX: f(). P c (,) III) Signo de l función: se estudi el signo ente los puntos de cote con el eje OY los puntos que no petenecen l dominio: (-,-) - (-,) (, ) Signo f() - P c (,) IV) Simetí Peiodicidd No peiódic Simetí f(-) f() -f() No simétic V) síntots ) síntot Veticl: - José Luis Loente gón

108 Unidd. Repesentción de funciones b) síntot Hoiontl: lim f ( ) lim, lim f ( ) lim (cundo - ) c) síntot oblicu: no tiene l tene hoiontl VI) Pime deivd, cecimiento puntos eltivos ( ) f () ( ) ( ) Vemos que siempe es positiv p todo vlo de (-,-) - (-, ) Signo f () No eiste - Dom(f) Cecimiento No Punto eltivo VII) Segund deivd, cuvtu puntos de infleión ( ) f () ( ) ( ) El signo de l segund deivd es: Intevlo (-,-) - (-, ) Signo f () No eiste - Dom(f) - Cocvidd No P.I. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

109 Unidd. Repesentción de funciones VIII) Repesentción: ) f() I) Dominio - Dom(f())R-{-,} II) Puntos de cote con los ejes: ) Eje OY (), como Dom(f()) P c (,f()) P c (,) b) Eje OX (). P c (,) III) Signo de l función: Puntos epesenttivos -,, Intevlo (-,-) - (-,) (,) (, ) Signo f() - - P c (,) José Luis Loente gón

110 Unidd. Repesentción de funciones IV) Simetí Peiodicidd. No peiódic Simetí: f(-) f ( ) simetí imp, especto del oigen V) síntots ) síntots Veticl: -, b) síntot Hoiontl: lim f ( ) lim ± No síntot Hoiontl ± ± f ( ) c) síntot Oblicu: m lim lim,n lim f ( ) lim VI) Pime deivd Cecimiento Puntos eltivos: f () ( ), f () (doble, seá PI), ± (-, ) (,- ) - (-,) (,) (, ) (, ) f () cec M(, ) PI m(, ) M(-,-. ), m(,. ) VII) Segund deivd, cuvtu Puntos de Infleión: ( ) f (), f () ( ) ( ) El signo de l segund deivd es: Intevlo (-,-) - (-,) (,) (, ) Signo f () - - PI(,) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

111 Unidd. Repesentción de funciones VIII: Repesentción m PI M ) f() ln( ) I) Dominio: -> (-)()> Intevlo (-,- ) - (-,) (, ) (, ) Signo No Dom No Dom Dom No Dom No Dom No dom Dom Dom(f())(-,) (, ) II) Cote con los ejes: ) Cote con el eje OY ( Dom(f())) No cote eje OX b) Cote con el eje OX () f() ln( ) ± -, -, tes puntos petenecen l dominio (compob con l clculdo) los P c (-,), P c (,), P c (,) III) Signo de l función: -,,-,,, José Luis Loente gón 7

112 Unidd. Repesentción de funciones (-, ) (, -) - (-,) (, ) (, ) (, ) P c (,) P c (-,) P c (,) IV) Simetí peiodicidd ) No peiódic b) f(-)ln(- ) f() -f() No simétic V) síntots ) Veticl (donde se nul el logitmo) -,, b) Hoiontl lim f ( ), lim f ( ) no eiste No hoiontl f ( ) c) Oblicu lim lim L' H No oblicu VI) Pime deivd, cecimiento, puntos eltivos f () f (), ± ± - Dom(f()), peo 6 Dom(f()) (-,- 6 ) - 6 (- 6,) (, ) Signo f () - Cecimiento 6 ln(7 / ) M(-, VI) Segund deivd, cuvtu puntos de infleión f () No solución, no puntos de infleión ( ) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

113 Unidd. Repesentción de funciones (-,) (, ) Signo f () - - Cuvtu VII) Repesentción: M José Luis Loente gón 9

114 Unidd. Repesentción de funciones Ejecicios PU Septiembe 6, Pueb PR-.- ) Estúdiense los intevlos de cecimiento dececimiento de f()e -, sus máimos mínimos eltivos, síntots puntos de infleión. Demuéstese que p todo se tiene que f() /e ( puntos). b) Puébese que l ecución e tiene sólo un solución en (,]. ( punto) ) Dom(f())R ) síntots: No veticles Hoiontles: lim e lim lim ; L' H e e lim e Oblicu: no oblicu (sólo si tiende ) ) Cecimiento, puntos eltivos f ()e - - e - e - - e - e - (-) (-,) (, ) Signo f () - Cecimiento M(,e - ) ) Cuvtu Puntos de Infleión f ()-e - -e - e - e - (-) e - (-) (-,) (, ) Signo f () - Cecimiento PI(,e - ) puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

115 Unidd. Repesentción de funciones ) Repesentción gáfic: M PI Vemos que el máimo bsoluto es el máimo eltivo (,e - ), luego f() e - b) Deci si l ecución e - lgun solución en solución (,] g() e - plicmos Bolno: g() continu en (-,] g()e-<, g()> plicndo Bolno c (,) : g( c) Vemos que sólo h un: g ()e - e ln(), (-,ln) ln (ln, ) Signo g () - Cecimiento m(ln,-,) Luego ente (-,) l función decece cotndo en un único punto c en el eje OX. José Luis Loente gón

116 Unidd. Repesentción de funciones Septiembe 6. Pueb B PR-. Se f() ) Detemínese el dominio de f, sus síntots, simetís máimos mínimos eltivos. Esbócese su gáfic. (,7 puntos) ) Dom(f())R-{} ) síntots: Veticl Hoiontl: lim lim Oblicu: m lim n lim lim - ) Simetís: f(-) f ( ) Simetí Imp (especto l oigen) ) Monotoní puntos eltivos ( ) f () < Siempe dececiente. No puntos eltivos ) Repesentción puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

117 Unidd. Repesentción de funciones Junio 6. Pueb B PR-.- Dd l función, se pide: ) Detemínense los intevlos de cecimiento dececimiento, los de concvidd conveidd, los puntos de infleión ls síntots de f. Esbócese su gáfic. ( puntos) ) Dominio Dom(f())R-{-}. ) síntots V: - H: lim, lim O: No l tene hoiontl ) Cecimiento puntos eltivos: f () > Siempe cece no puntos eltivos ( ) Intevlo (-,-) - (-, ) Signo f () Cecimiento ) Cuvtu P.I.: ( ) f () ( ) ( ) f () (No P.I.) (-,-) - (-, ) Signo f () - Cuvtu No P.I. José Luis Loente gón

118 Unidd. Repesentción de funciones ) Repesentción Septiembe. Pueb PR-.- ) Estúdiese l deivbilidd de, sus intevlos de cecimiento dececimiento sus puntos de infleión. Esbócese su gáfic. ) Continuidd: ln( ), es continu en R. Vemos en lim f ( ) ln() f() Continu. Luego podemos hce l deivd de l lim f ( ) función: Deivbilidd: f ( ), ', > < f '( ) lim f '( ) Deivble f f '( ) lim f '( ) ( ), ', > I) Cecimiento: igulmos l deivd ceo (cd uno de sus toos) (, ) (-,]. Luego el único punto donde f () es. Este punto, demás, hbí que intoducilo igulmente l cmbi f() de epesión en puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

119 Unidd. Repesentción de funciones (-,) (, ) Signo f () - Cecimiento m(,) ) Cuvtu: como f() es deivble en R podemos clcul l segundd deivd ( ), f ''( ) ( ) > < Vemos si eiste l segund deivd en : f ( ) f ( - ): ( ), f ''( ) ( ) > f (), miemos los dos toos de definición ( ) ± solo válido, que - (, ) ( ) En los intevlos tenemos que conside (donde cmbi l epesión nlític): Intevlo (-,) (,) (, ) Signo f () - Cuvtu PI(,ln) PI m José Luis Loente gón

120 Unidd. Repesentción de funciones Junio. Pueb PR-.- ) Clcúlense los intevlos de cecimiento dececimiento de l función, sus etemos eltivos, puntos de infleión síntots. b) Esbócese l gáfic de f ) ) Dom(f())R ) síntots: Veticles: no Hoiontles: lim e e, lim e e (cundo - ) No oblicus que si tiene hoiontles. ) Cecimiento puntos eltivos f '( ) e Intevlos (-,) (, ) Signo f () - Cecimiento M(,e) ) Cuvtu: f ''( ) e e e ( ) ± Intevlo (-, ) (, ) (, ) Signo f () - Cuvtu PI(, e ) PI(, e ) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

121 Unidd. Repesentción de funciones b) Repesentción gáfic PI M PI Septiembe -Pueb PR- Se f l función dd po ) f ) Estúdiese l deivbilidd de f en medinte l definición de deivd. b) Detemínense los intevlos de monotoní de f sus etemos eltivos. c) Esbócese l gáfic de f. ) ( si si > Continuidd Sólo tenemos que estudi l continuidd en que en los demás puntos es continu l se los dos toos polinomios lim f ( ) lim f ( ) f(). Continu lim f ( ) Deivbilidd l se continu podemos defini l función f () si > si < Donde tenemos que estudi l deivbilidd en : f ( )- ; f ( - ) No deivble en (como ocue en ls funciones vlo bsoluto) Luego l epesent l gáfic en tendá un pico José Luis Loente gón 7

122 Unidd. Repesentción de funciones > b) Cecimiento de l función f (): < solución. solución estos dos puntos, / -/, tenemos que ñdi donde f() cmbi de epesión nlític. Intevlo (-,-/) -/ (-/,) (,/) / (/, ) Signo f () - No deivble - Cecimiento m(-/,-/) M(,) m(/,-/) El punto (,) es un punto donde h un cmbio de pendiente, po eso no es deivble. El cmbio de pendiente es tl que ps de se un función dececiente ceciente. Luego es un máimo eltivo. c) Podemos epesentlo viendo que son dos pábols ( - cundo > si <) o pti de ls infomciones nteioes. M -/ / m m 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

123 Unidd. Repesentción de funciones Junio - Pueb PR-.- Se l función -. ) Estúdiese su monotoní, etemos eltivos síntots. e f ) e e ( si < si Vemos pimeo si es continu p pode deiv l función toos: lim f ( ) e lim f ( ) lim f ( ) e : f() continu e si < f '( ). Vemos si deivble f ( ) f ( - )-. No deivble en e si >, luego en hbá un pico. Estudiemos donde se nul l deivd: f () e e. no no solución solución Es deci, el único punto ccteístico l ho de estudi monotoní es, que es donde l función cmbi de epesión nlític Intevlo (-,) (, ) Signo f () No deivble - Cecimiento M(,) El punto (,) es un punto donde h un cmbio de pendiente, po eso no es deivble. El cmbio de pendiente es tl que ps de se un función ceciente dececiente. Luego es un máimo eltivo. síntots: ) Veticles no tiene ) Hoiontles: lim f ( ) e síntot hoiontl (cundo - ) ; lim f ( ) e. Luego tiene José Luis Loente gón 9

124 Unidd. Repesentción de funciones Gáfic: Junio 7- Pueb PR-. Se l función ) Hll los intevlos de cecimiento dececimiento, cuvtu, puntos de infleión síntots. Esbo l gáfic ) DominioR-{-,} ) síntots: V:, - H: lim f ( ) lim f ( ) O: No tiene (cundo - ) ) Cecimiento puntos eltivos f '( ) f () No solución. Los únicos puntos ( ) ( ) epesenttivos p estudi l monotoní son, - (síntots veticles) Intevlos (-,-) - (-,) (, ) Signo(f ()) - Dom(f()) - Dom(f()) - Monotoní ) Cuvtu puntos de infleión ( ) ( ) ( f ''( ) ( ) f (). ) ( )( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

125 Unidd. Repesentción de funciones Intevlo (-,-) - (-,) (,) (, ) Signo(f ()) - Dom(f()) - Dom(f()) Cuvtu PI(,) ) Repesentción gáfic Junio 6- Pueb B PR-. f()e - Hll los intevlos de cecimiento dececimiento, los etemos eltivos, los intevlos de concvidd conveidd ls síntots. Esbo su gáfic ) Dom(f())R ) síntots: Veticl: no tiene Hoiontl: lim f ( ) e lim f ( ) e No síntot hoiontl ( que f ( ) e Oblicu: m lim lim n lim f ( ) lime e el eponentecece más ápido) José Luis Loente gón

126 Unidd. Repesentción de funciones Vemos si - f ( ) e lim lim e lim L' H Luego l síntot es (solo si ) ) Cecimiento puntos eltivos: f '( ) e '( ) e f -e - ; e - -ln() Intevlo (-,-) (, ) Signo(f ()) - Monotoní m(,) ) Cuvtu puntos de infleión f ''( ) e ''( ) f no solución pues e siempe positivo Intevlo (-, ) Signo(f ()) Cuvtu m puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

127 Unidd. Repesentción de funciones Junio - Pueb B PR-.- Se f()e ln(), (, ).) Estúdiense los intevlos de cecimiento dececimiento de f sus síntots. (,pto) b) Puébese que f tiene un punto de infleión en el intevlo, esbócese l gáfic de f. (, puntos) ) Vemos pimeo el Dominio, que es necesio p el esto de cálculos ) Dom(f())(, ), el logitmo sólo eiste cundo el gumento es positivo. ) Monotoní : f ()e / e -/, que en el dominio no tiene solución pues p > el eponente es positivo / negtivo. En el domino f ()>, po tnto l función ceciente en todos los puntos del dominio es deci en (, ). ) síntots: Veticles en (se nul el logitmo) Hoiontles lim f ( ). No hoiontles f ( ) e ln e / Oblicus m lim lim lim. L' H No oblicus b) f ()e -/. Vemos que en el intevlo [/,] se nul f (), p eso plicmos Bolno l función f (): f () es continu en [/,], que no petenece este intevlo f (/)<; f ()> Luego l cumpli Bolno eiste un punto c (/,) tl que f (c). PI José Luis Loente gón

128 Unidd. Repesentción de funciones Junio 8. Pueb PR- Se f()ln()/ siendo (, ). Se pide ) Clcul los intevlos de cecimiento dececimiento, los etemos eltivos ls síntots. Esbo l gáfic. ) Dominio: nos lo d el poblem: Dom(f())(, ) ) síntots: Veticles: en, pues se nul el denomindo el logitmo. ln( ) / Hoiontles lim f ( ) lim lim síntot (sólo si ) L' H Oblicus: no l tene hoiontles ) Cecimiento etemos eltivos: ln( ) f () ln()/ e / Intevlo (,e / ) e / (e /, ) Signo(f ()) - Monotoní M(e /, ) Luego f() cece en (e /, ) decece en (,e / ). En el punto M(e /, ) h un máimo eltivo. Vemos l gáfic: M puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

129 Unidd. Repesentción de funciones Septiembe 8. Pueb B PR-.- Se f () ln con (, ). ) Detemin los intevlos de cecimiento dececimiento, los etemos eltivos, los intevlos de concvidd conveidd ls síntots de f. Esbo l gáfic de f. b) Pob que eiste un punto c (/e,) tl que f (c). ) Pimeo vemos el dominio: ) Dominio: Dom(f())(, ) ) síntots: Veticles: en (se nul el logitmo) Hoiontles lim f ( ) lim ln( ). No tiene f ( ) ln( ) Oblicu m lim lim lim L' H n lim f ( ) lim ln( ). No oblicu ) Etemos eltivos: f ()-/. Intevlo (,) (, ) Signo(f ()) - Monotoní M(,) Cece en (,) decece en (, ). En el punto M(,) h un máimo eltivo ) Cuvtu: f ()-/ Nunc se nul f ()< luego siempe es cóncv hci bjo M José Luis Loente gón

130 Unidd. Repesentción de funciones. Repesentción de funciones cicules. No es noml que en l PU h funciones cicules, peo lgún ño si hn slido. Po ejemplo en ño9 en septiembe (pueb B). Vemos los psos segui con lgún ejemplo, el del citdo emen oto: PU Septiembe 9. Pueb B PR. f()sen()cos() en [,π] Dom(f())[,π] No síntots No simetí (sen() es imp cos() p): f(-)sen(-)cos(-)-sen()cos() f() f() Monotoní f ()cos()-sen() cos()sen() cos(). Elevmos l cuddo, ecodndo que entonces h que compob ls soluciones. cos -cos cos / cos(). L compobción se hce cundo se obtengn ls soluciones de (los ángulos) cos() d Compobción de ls soluciones: cos() d d d cos( )sen( Si cos( )sen( No cos( )sen( Si cos( )sen( No Intevlo [, ) (, ) (, π] Sig(f ()) - Monotoni M(, ) m(, ) Cuvtu: f ()-sen()-cos() -cos()sen() -cos() cos -cos cos / cos(). cos() d cos() d d d Compobción de ls soluciones (l elev l cuddo puede hbe soluciones no válids): -cos( )sen( No -cos( )sen( si 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

131 Unidd. Repesentción de funciones -cos( )sen( no -cos( )sen( si Intevlo [, ) (, ) 7 (, π] Sig(f ()) - - Cuvtu PI(, ) PI(, ) P epesent vemos los vloes de lgún punto epesenttivo: π/ π - π/ - π M PI PI π/ π/ π π/ π/ π/ 7π/ π m José Luis Loente gón 7

132 Unidd. Repesentción de funciones ) f()cos()cos() en [,π] Dom(f())[,π] No síntots Simetí p (cos() es p): f(-)cos(-)cos(-)cos()cos()f() P Monotoní f ()-sen()-sen() (ngulo doble) -sen()-sen() cos() -sen()[cos()] d sen() 8 π d cos().8 d 6.d Intevlo (,.8).8 (.8, ) (,.).., Sig(f ()) - - Monotoni M(,) m(.8,.) M(, ) m(.,-. 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

133 Unidd. Repesentción de funciones José Luis Loente gón 9

134 Mtemátics II (pepción p l PU) Tomo II (Integles Álgeb) José Luis Loente gón

135 mi muje, Ruth, mi hijo Dvid. Muchs gcis l coecto, el oto José L. Loente

136 ÍNDICE: Tem. Funciones eles. Definición límites Tem. Funciones. Continuidd Tem. Funciones. Deivbilidd Tem. plicciones de l deivd Tem. Repesentción de funciones Tem 6. Integles indefinids Tem 7. Integles definids. Áes. Tem 8.Mtices Tem 9. Deteminntes Tem. Sistems de ecuciones lineles. Tem.Espcios Vectoiles Tem.Ecuciones de ect plno Tem. Poducto escl, vectoil mito. plicciones BLOQUE I. NÁLISIS BLOQUE II. ÁLGEBR LINEL BLOQUE III. GEOMETRÍ

137

138 Unidd 6. Integles Indefinids TEM 6. INTEGRLES INDEFINIDS. Definición de Integl. Pimitiv de un función.. Popieddes de ls integles.. Integles inmedits. Métodos de integción.. Obtención de integles inmedits.. Cmbio de vible.. Po ptes.. Funciones cionles.. Funciones tigonométics. José Luis Loente gón

139 Unidd 6. Integles Indefinids Conteto con l P..U. En csi todos los eámenes de l PU en un opción, e incluso veces en ls, tendemos que eli un integl, bien se indefinid o bien definid p clcul un áe. L integción pece como un cuestión de punto o un ptdo del poblem de funciones. P el cálculo de áes el de integles definids (que veemos en el siguiente tem) es necesio el cálculo ntes de integles indefinids. Po lo genel si nos piden clcul un áe l integl clcul seá más sencill que si nos piden clcul diectmente l integl indefinid. Po lo genel l lumno l elición de integles le esult costos l pincipio. Peo un ve que el lumno empiece coge soltu eli los ejecicios, compendeá el método de integción plic no le esultá ecesivmente complicdo puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

140 Unidd 6. Integles Indefinids. Definición de integl. Pimitiv de un función. L integl es l opeción conti de l deivd. sí si f() entonces g() es su deivd; de igul fom l integl de g() es f(). deivd f() integl g() Definición: un función F() es un pimitiv de ot función f dd, si l deivd de F() es f(): F pimitiv de f F ()f() El poceso medinte el cul obtenemos un pimitiv de un función f() se denomin integción. sí como dd un función f() su función deivd es únic, eisten infinits pimitivs de un función. Tods ls pimitivs se difeencin po un constnte. sí si F() es un pimitiv de f() tod función de l fom G()F()K es tmbién pimitiv, que G ()(F()k) F ()f(). Definición: l integl definid de un función f es el conjunto de tods ls pimitivs de f, se epesent po: f ( ) d F( ) C donde F() es un pimitiv de f() C es un constnte (constnte de integción). El símbolo integl siempe v compñdo del difeencil, d, que nos indic sobe que vible se eli l integl.. Popieddes de l integl Vemos ls siguientes popieddes básics p eli ls integles: P: l integl de un númeo el po un función es igul l númeo po l integl de l función, es deci ls constntes se pueden sc fue de l integl: k f ( ) d k f ( ) d P.: L integl de l sum o difeenci de dos funciones es igul l sum o difeenci de ls integles de dichs funciones: ( ( ) g( ) ) d f ( ) d f ± ± g( ) d José Luis Loente gón

141 Unidd 6. Integles Indefinids. Integles inmedits l igul que ls deivds tenemos un tbl de integles inmedits, es fácil de estudils que es l plicción inves l deivd. En est tbl demás de ls integles inmedits veemos l pimitiv compuest, donde en ve de peceá f() en ve de d pece f ()d. T B L D E I N T E G R L E S I N M E D I T S PRIMITIV SIMPLE PRIMITIV COMPUEST EJEMPLO d C ( ) f ( ) f '( ) d f ( ) C ( ) sen ( ) sen ( ) cos( ) d C e d e C f ( ) f ( ) e f '( ) d e C e d e C f ( ) f ( ) d C ln( ) f '( ) d C ln( ) tn( ) tn( ) d C cos ( ) ln() d ln( ) C f '( ) d ln( f ( )) C f ( ) d ln( ) C sen ( ) d cos( ) C sen ( f ( )) f '( ) d cos( f ( )) C sen ( ) d cos( ) C cos(ln( )) cos( ) d sen( ) C cos( f ( )) f '( ) d sen( f ( )) C d sen(ln ) C ( tg ) d tg( C ( tg f ( ) ) f '( ) d tg( f ( C ( tg ( )) d tg( C ) d tg ( ) C cos ( ) )) ) f '( ) d tg ( f ( C d tg( C )) cos ( f ( )) ) cos ( ) ( cotg ) d cotg( C ( cotg f ( ) ) f '( ) dcotg( f ( C ( cotg () ) d cotg( C ) d cot g ( ) C sen ( ) )) f '( ) )) sen ( f ( )) d cot g ( f ( C ) ) ( cotg ( ) ) dcotg( C d f '( ) d d csen( ) C csen ( f ( )) C csen(ln( )) C f ( ) ln ( ) d f ( ) d d ctg ( ) C ctg ( f ( )) C f ( ) ctg ( ) C ( ) puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

142 Unidd 6. Integles Indefinids. Método de Integción.. Obtención de integles inmedits El método consiste en desoll ls funciones, intoduci fctoes, o mnipul ls funciones plicndo ls dos popieddes de ls integles vistos en el ptdo p obtene un integl inmedit fácilmente clculble: Vemos lgunos ejemplos: 6 () (7 6 ) d ( ) d C 7 () sen ( 7) d 7 sen(7) d cos(7) C ln( 6) () d d C 6 6 () d ( ) d C tg tg () d d tg( ) C sen sen (6) tg ( ) C ( ) ( ) ln(cos( ) cos( ) cos( ) (7) ( ) sen( ) d ( ) sen( ) d cos( ) C (8) d d d d ( ) ( ) ( ) d csen( ) C csen( ) C ( ) José Luis Loente gón

143 Unidd 6. Integles Indefinids (9) d d d ( ) d ( ) ( ) 6 ctg( 6 ) C d ( ) ( ) () d ( ) ( ) C. Cmbio de Vible El método de cmbio vible consiste en sustitui l vible po un función g(t) (g(t)). De est fom dg (t)dt. l eli est sustitución l función solo debe depende de t, el objetivo es que l función obtenid se más sencill que l oiginl. Un ve elid l integl en t, se deshce el cmbio de vible tg - (). En l páctic el cmbio se utili cundo en l integl tenemos un función composición de f(), H(f()) l deivd f () (o un función popocionl ést) dividiendo. De est fom con el cmbio f()t, ddt/f () tendemos l integl de H(t) que debeí de se más sencill que l integl oiginl si queemos que este método se útil. Este método nos pemite esolve integles semejntes ls clculds en el ptdo nteio, peo de fom más sistemátic. Vemos lgunos ejemplos: tg tg( t ) t () d t dt ( tg ( t) ) dt tg( t) C tg( ) C t d dt d dt tdt dt sen( t) dt () ( ) sen( ) d ( ) sen( t) cos( t ) C cos( ) C t ( dt )ddt d d d d 6 dt () ( ) t 6 t 6 6 ctg ( t) C ctg( ) C 6 6 t d dt d dt ( ) ( ) dt 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

144 Unidd 6. Integles Indefinids d dt dt () ln( t) C ln(ln( )) C ln( ) t t ln()t d dt ddt. Integl po Ptes El método de integl po ptes se bs en l utilición de l siguiente iguldd: u dv u v v du Not: egl nemotécnic Un Dí Vi Un Vc Vestid De Unifome En l páctic se utili cundo en un integl g ( ) f ( ) d u dv, donde l función f()ddv g()u se cumple:. f() es fácil de integl p obtene sí v f ( ) d F( ) b. l deiv g(), obtenemos dug ()d cumpliéndose que l integl v du F ( ) g' ( ) d es más sencill que l oiginl. Medinte este método se clculn los siguientes tipos de integles: Tipo : P( ) e d, llmndo up()polinomio dve d se cumple los equisitos:. L integl e v e d es inmedit b. dup () bj un gdo el polinomio, con lo que P' ( ) e d es más sencill de clcul. Debeemos eli l integl po ptes tnts veces como el gdo de P() hst que que tmbién es inmedit l últim integl eli se v du ke d Ejemplo: () ( ) e d u du()d e dve - d v ( ) ( ) e e d u dud dv e - d v e José Luis Loente gón 7

145 Unidd 6. Integles Indefinids e ( e ) ( ) e d e ( )C e 7 (6) ( ) e d (9 6 ) Tipo : e ( e e ) ( ) C (Hce po el lumno) P ( ) sen( ) d o P( ) cos( ) d, llmndo up() dvsen() d se cumple los equisitos:. L integl v cos( ) sen( ) d o sen( ) v cos( ) d es inmedit sen( ) b. dup ()d bj un gdo el polinomio, con lo que P' ( ) d o cos( ) P' ( ) d es más sencill de clcul que l nteio. Debeemos eli l integl po ptes tnts veces como el gdo de P() hst que l últim integl eli se v du k sen( ) d o k cos( ) d que tmbién es inmedit. Ejemplo: (7) sen() d u dud cos( ) dvsen() v cos() cos() d cos() sen() C 9 (8) ( ) cos( ) d cos() sen() 8 lumno) (hce po Tipo : e sen( b) d o e cos( b), podemos llm ue dvsen(b). En este cso podemos llm u dv l evés. Se tiene que hce dos veces l integción po ptes, de fom que volvemos obtene l integl inicil. Despejndo l integl obtenemos el esultdo de l mism. Se llm sí vulgmente l pescdill que se muede l col. (9) I e sen() d ue - du-e - d cos( ) dvsen() v 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

146 Unidd 6. Integles Indefinids cos() e cos() e ue - d du-e - d sen( ) dvcos() v cos() sen() e e e sen() cos() sen() e e e sen() I cos() sen() e I e I cos() sen() e I e I e sen() d cos() sen() e sen e - e cos( ) ( ) C e () I e cos( ) d ( cos() sen() ) (hce po el lumno) Tipo : P ( ) ln( ) d, llmndo dvp() uln() se cumple los equisitos:. L integl v P( ) d es inmedit (integl de un polinomio) b. du d con lo que eliminmos el logitmo de l integl tendemos que clcul l integ de oto polinomio. Ejemplo: 7 () ( )ln() uln() du d 8 7 dv ( ) v ( ) ( ) ln()- d 8 ( ) ( ) ln() ( ) d ( ) ln() c () ( )ln( ) ln( ) C (hce 7 po el lumno) José Luis Loente gón 9

147 Unidd 6. Integles Indefinids. Integles cionles El método de integles cionles consiste en descompone un fcción polinómic en fcciones simples cus integles son o logitmos nepeinos o cotngentes. Ls integles que desemos esolve son del tipo: P( ) I d Q( ) neo: vmos esolve pimeo ls integles que peceán en ls integles cionles: ) d ln( ) Ejemplo: d ln( ) n ) d ( ) d n ( ) ( ) n ( n) n Ejemplo: ( ) ( ) ( n ) d ( ) ( ( ) ) m n ) d (con bc sin íces eles) cotngente logimo, b c vemos con un ejemplo Ejemplo: I d ( buscmos l deivd en el numedo) 8 8 d d I ln( 8) 8 8 I d d 8 ( ) I ln( d 8) I ctg ctg c d puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

148 Unidd 6. Integles Indefinids José Luis Loente gón Cso : gdo(p()) gdo(q()) hcemos l división de fom que tendemos que integl el cociente (que es un polinomio) obtenemos ot función cionl peo donde ho gdo del numedo meno que el del denomindo po tnto estmos en el cso. Ejemplo: () I d ) ( I d d d () I d I d d d ) ( Cso : gdo(p())<gdo(q()). Distinguimos ente csos: ) El denomindo se puede descompone po poducto de fctoes simples distintos: Q()(- ) (- ) (- n ) d d P d Q P n n n... ) )...( ) ( ( ) ( ) ( ) (

149 Unidd 6. Integles Indefinids puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejemplo: continumos ls integl () del ejemplo nteio: () I d ) ( ) ( ) )( ( C B. Clculo de, B, C: ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( C B ) ( ) ( ) )( ( C B -- - si : si -: B B - si -: -C- C I C C d d d ln ) ln( ) ln( (6) I C d ) ln( ) ln( (hce po el lumno) b) El denomindo se puede descompone po poducto de fctoes, lguno de ellos no simple: Q()(- ) n (- ) (- n ) ( ) ( ) d d P d Q P n n n n n n ) )...( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ejemplo: (7) d I ) ( ) ( ) ( C B ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( C B - ) ( ) ( ) )( ( C B si : B- B-/ si -: 6C C/8 si : -BC B C

150 Unidd 6. Integles Indefinids d d d I C ln( ) ln( ) 8 ( ) 8 8 ( ) 8 (8) I d ln( ) ln( ) C (hce po el lumno) ( ) ( ) c) El denomindo se puede descompone po poducto de fctoes, lguno de ellos es un fcto de segundo gdo: Q()(- ) (- ) ( bc) P( ) P( ) C D d d... d Q( ) ( ) ( )...( b c) ( ) b c Ejemplo: (9) d ( ) C D ( ) ( ) -( )(CD) - si : si : -8CD 6CD - si -: -8C-D -C-D Resolviendo el sistem C, D C D d ( ) ( ) ( C D) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) I d d ln( ) ) ( ) ( ) 8 ) d d d d ( ln( ln( ) ) ( ) d / d ln( ln( I ln() ln( ) ctg C ( ) d ) ctg C José Luis Loente gón

151 Unidd 6. Integles Indefinids ctg () d ln( ) ln( ) C ( )( ) I I B C ( )(BC)(-) ( )( ) ( ) / -C C-/ 9BC B-/ d ( )( ) d d I ln( ) I d d d d d ln( ) d I d d d d ( ) ( ) d ( ) t dt d I dt dt cot g( t) cot g ( ) t ( ( )) d ln( ) ln( ) cot g ( ) C ( )( ). Integles tigonométics. Ls integles tigonométics no están en l pogmción de l PU de l moí de ls comuniddes, si bien se d en muchos institutos en ls ces con signtus de mtemátics. Podemos distingui vios tipos: Tipo : imp en el seno o coseno Son integles donde sólo pecen senos cosenos multiplicndo o dividiendo, donde se cumple que l potenci del seno, del coseno o de los dos (mbos siempe con mismo gumento) se imp. Se esuelve con el siguiente cmbio de vible: ) Si seno imp coseno p cos()t b) Si coseno imp seno p sen()t c) Si mbos impes sen()t ó cos()t puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

152 Unidd 6. Integles Indefinids Vemos lgunos ejemplos: () sen ( ) cos ( ) d sen()t cos() ddt d dt cos() 7 dt 6 t t t cos ( ) t cos ( ) dt t ( sen ( )) dt ( t t ) dt C cos( ) 7 sen ( ) sen ( ) C 7 7 sen ( ) () d cos ( ) cos()t -sen() ddt d dt sen() sen ( ) dt sen ( ) ( cos ( )) ( t ) t dt dt dt t sen( ) t t t t cos ( ) t dt t cos( ) t - ( t ) Tipo : p en el seno o coseno cos( ) t Son integles con poductos cocientes de senos cosenos con eponentes pes, p esolve ests integles se utili l elción del coseno del ángulo doble: cos()cos ()-sen () : cos()- sen () sen cos() () cos() cos ()- cos cos() () Vemos lgunos ejemplos: cos() sen( ) () sen ( ) d cos() () sen ( ) d d (( cos() cos ()) d sen() cos () cos() ( ) sen() d sen() sen( ) sen() sen() 8 8 t José Luis Loente gón

153 Unidd 6. Integles Indefinids Tipo : cmbio genel. Este cmbio se puede plic en culquie integl tigonométic, tnsfomndo est en un integl cionl, si bien sólo se ecomiend utili cundo no se pueden utili ls egls nteioes (genelmente cundo h sums o ests). Se utili el siguiente cmbio: tg( / ) t tg ( / ) d dt dt t sen( / ) cos( / ) sen( ) sen( / ) cos( / ) sen ( / ) cos ( / ) sen sen( / ) cos( / ) cos ( / ) tg( / ) t ( / ) cos ( / ) tg ( / ) t cos ( / ) cos ( / ) sen ( / ) cos ( / ) sen ( / ) cos ( / ) tg ( / ) t cos( ) cos ( / ) sen ( / ) cos ( / ) sen ( / ) cos ( / ) sen ( / ) tg ( / ) t Conclusión: cos ( / ) tg( / ) t dt t t sen( ) t t cos( ) t Ejemplo: t t sen( ) cos( ) t t dt t t sen( ) t t ( t t ) ( t t () d Que es integl cionl. dt ) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

154 Unidd 6. Integles Indefinids Poblems Clcul ls integles ) ( ) d ( ) d C b) ( ) d 8 7 / ( ) d ln( ) C 7 ( ) c) d d ln( ) C 8 d) d e) 8 d d C ln( ) d d / / 6 d 6( ) d ( ) C f) sen cos() d sen cos() d sen () cos() d sen () C 8 g) d 9 t d d 9 t t ln()ddt dt d ln() dt t ln() ln() ctg( t) ln() ctg( ) C José Luis Loente gón 7

155 Unidd 6. Integles Indefinids e h) e t e d dt e d d dt t e t dt dt d t e C e t t ln( ) ln( ) t sen() i) cos( ) d dt cos()t -9sen()ddt d 9sen() sen() sen() dt t 9sen() / / d dt t dt t cos() 6 6 t / ( cos() ) C j) ctg d ctg d ctg d ctg C ln( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ctg() du d dvd v t k) ( e ) d u() du()8 e dve - d v e ( ) d ( ) e ( ) e d ( ) e e ( ) u() du dve - d v d ( ) e d ( ) e e e d ( ) e ( ) e e e C e C ( ) C 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

156 Unidd 6. Integles Indefinids José Luis Loente gón 9 l) C sen e d e ) cos( ) ( ) cos( Po l pescdill m) d { C d d ) ln( n) d ) ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( 6 C B (-)()B()C(-) B B - - C-8 C- - -BC- C d d d d ) ln( ) ( ) ln( ) ( ) ( ) ( 6 o) d 6 { ( ) d d d d 6

157 Unidd 6. Integles Indefinids B ()B(-) ( )( ) ( ) ( ) - / - - B/ / ( ) / ( ) d d d ln( ) ln( ) I ln( ) ln( ) C ln( ) ln( ) C p) d ( ) csen C ( ) t ( ) t d d dt d dt ( ) d t dt csen( t) 6 ln ( ) ln ( ) q) d C 6 ln(ln( )) ) d ln()t d dt d dt ln(ln( )) t d dt t dt t t dt t t t C ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln(ln( )) ln( ) uln(t) du dt t dvdt vt puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

158 Unidd 6. Integles Indefinids PU Junio. Pueb C-.- De tods ls pimitivs de l función f()tg() sec (), hállese l que ps po el punto P(π/,) sen sen F ( ) ( ) ( ) tg( )sec ( ) d d d dt t cos( ) cos ( ) cos ( ) t t C C cos ( ) cos( ) t sen( ) d dt π Vemos el vlo de C p que pse po P(, ). F(π/)C C- F ( ) cos ( ) Oto método dt d sen( ) t F( ) tg( )sec ( ) d t sec ( ) cos ( ) dt t t tg ( ) C tg ( ) t d dt d cos ( ) dt cos ( ) π Vemos el vlo de C p que pse po P(, ). F(π/)C C F() tg ( ) Not: Ls dos funciones son l mism, pues sec tg dt t Junio. Pueb B C-.- Clcúlese ( ) d d C d / C José Luis Loente gón

159 Unidd 6. Integles Indefinids Junio 8. Pueb- PR-- b) Clcul ln( ) d ln( ) ln( ) d ln( ) u d du d dv v d ln( ) d C Septiembe. Pueb-B PR-.- b) Dd l función f:[,e] R definid po f()/ln(). Clcúlese un función pimitiv de f() que pse po el punto P(e, ). F( ) I ln( ) d ln( ) d ln( ) d d ln( ) d ln( ) I ln( ) u ln( ) du d dv d v ln( ) ln( ) C Clculemos C : F(e)e-eC C. F() ln( ) ln( ) Septiembe. Pueb-B C-.- Clcúlese. d d d dt ctg( t) C ctg t C ( ) t d dt d dt puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

160 Unidd 6. Integles Indefinids Septiembe 8 Pueb- C-. Clcul d ( ) d d ln( ) ln( ) C ln ( ) ( ) B B B ( ) B ( ) C Septiembe 8 Pueb-B C-. Clcul d d dt csen ( t ) C csen C 9 ( ) t t d dt José Luis Loente gón

161 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

162 Unidd 7. Integles definids. Áes TEM 7. INTEGRLES DEFINIDS. ÁRES.. poimción de áes bjo un cuv. Límite de l definición, integl definid.. Áe compendid po un función el eje OX.. Áe compendid ente vis funciones José Luis Loente gón

163 Unidd 7. Integles definids. Áes Conteto con l P..U. Los poblems elciondos con áes en selectividd pecen, bien en cuestiones de un punto, o bien en un ptdo de un poblem de funciones. Po lo genel, cundo ls integles definids pecen en cuestiones de un punto, se suelen pedi ls áes enceds ente pábols ects; cundo están en un ptdo de un poblem de funciones, el áe es l compendid ente l función del poblem el eje OX. NEXO: Repesentción de pábols: f() bc: - Vétice en V(, ), donde -b/ f( ) - Si > función cóncv hci ib ( ), si < cóncv hci bjo ( ) - Los puntos de cote con el eje OX son ls soluciones de l ecución de segundo gdo bc. Not: Ejemplo: 6 Si > >,no cot con el eje OX Si < <,no cot con el eje OX V(, ):.; f(-.)-.. Po tnto V(-.,-.) Puntos de cote (-,), (-,) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

164 Unidd 7. Integles definids. Áes. poimción de áes bjo un cuv. Límite de l definición, integl definid. H infinidd de funciones etíds del mundo el (científico, económico, físic ) p ls cules tiene especil elevnci clcul el áe bjo su gáfic. Vmos ocupnos del cálculo de ests áes. Vemos un ejemplo páctico; imginemos que l función v(t) epesent l velocidd de un cuepo en el tiempo, con l siguiente gáfic: v b t Queemos clcul el espcio ecoido ente t tb, po dicho cuepo. El espcio seá igul l áe compendid ente l gáfic el eje de bsciss en el intevlo [,b]. Un ide, utilid desde l ntigüedd p medi áes, consiste en dividi el intevlo ( b ) [,b] en n pequeños tmos mplitud ε. Estos tmos tienen po etemos los n siguientes puntos: < < < n b, donde ε, ε Podemos poim el áe como l sum de los ectángulos con bse ε de ltu m i o M i, donde m i es el meno vlo de l función en el intevlo [ i, i ], M i el mo vlo de l función en el intevlo [ i, i ]. Vemos gáficmente ls áes clculds: ) Sum supeio b) Sum infeio José Luis Loente gón 7

165 Unidd 7. Integles definids. Áes Designemos l áe clculd en ) como sum supeio de Riemn, S(f()), siendo l clculd en b) l sum infeio de Riemn, s(f()). Se cumple: S(f()) áe s(f()) Los vloes de ls sums de Riemn son: S(f())M ( - )M ( - ) M n ( n - n- ) s(f()) m ( - )m ( - ) m n ( n - n- ) Es fácil dse cuent que cunto mo se el númeo, n, de intevlos, po tnto cunto meno se ε, más se poimán l áe ect S(f()) s(f(). sí si n, s(f())es(f()). Se cumple sí que lim s ( f ( )) lim S( f ( )) f ( ) d, que es l integl definid de n f() con etemos b. n Regl de Bow: Si F() es un pimitiv de f(), el vlo de l integl definid de f() b es: Áe f ( ) d F( b) F( ) Ejemplo, se un movimiento con celeción constnte, v v t. Se v m/s g-m/s v(t)-t. Queemos clcul el espcio ecoido desde t hst que el cuepo se pe ts: v b S f 8 ( t ) dt t t [ v t t ] s s ( ) ( ) 8 m S t. Áe compendid po un función el eje OX En el ptdo nteio l función f() siempe estb sobe el eje OX (f()>). En el cso de que l función po debjo del eje OX (f()<) el áe que obtendemos po el método de l integl definid seá l mism peo negtiv. De est fom, p clcul el áe compendid ente l función f() el eje OX, tendemos que ve pimeo los intevlos donde l función es positiv, cundo es negtiv. Supongmos que queemos clcul el áe de l siguiente cuv el eje OX: 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

166 Unidd 7. Integles definids. Áes c d c e f ( ) d f ( ) d c f ( ) d d d Conclusión, psos p clcul el áe ente un cuv el eje OX: ) Clcul los puntos de cote de l función con el eje OX ) Estudi el signo de l función ente los puntos de cote ) Clcul un pimitiv de f(), F(). ) Clcul el áe en cd intevlo sumls. Ejemplos: Septiembe del. Pueb. PR-.b) Clcúlese el áe delimitd po l gáfic de f() ls ects -,,. Siendo f() ln, Cote con eje OX: f() ln( ) e Intevlo (-,) (,) Signo f() b Áe d ln( ) d d u. u F ln( ) d ln( )- d ln( )-ctg() d uln( ) du d dvd v ln( ) d F() F() ( ln() ctg() ) ( ln( ) ctg() ) José Luis Loente gón 9

167 Unidd 7. Integles definids. Áes ln()- π/-( )ln()π/-,6 u /ln()π/- ln()π/-/,6 u Not: el esultdo de los cotngentes, cosenos cocosenos se dn en dines. ud p el cálculo de F(): d d ctg( ) { Junio del 6. Pueb B PR-. b) Clcúlese el áe de l egión limitd po f() ls ects,,. Cote con eje OX: f() Intevlo (,) (,) Signo f() - Áe - d d d [ ln( ) ] [ ( ln() ) ( ln() )] ( ln() ),7 u puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

168 Unidd 7. Integles definids. Áes d [ ln( ) ] ( ln() ) ( ln() ) 9 ln() ln( ) d d 8-ln()ln(),67 u d ln( ) u,u Ejecicio Clcul el áe compendid ente el eje, -, 7 l función f() Cote con el eje OX: f() Intevlos (-,) (,7) Signo f() - Áe d 7 d F ( ) d ln( ) [ ln( ) ] ( ln() ) ( ln() ) d [ ] ln(),7 u 7 7 d [ ln( ) ] ( ln() ) ( ln() ) [ ] ln(),9 u ln()ln(),6 u. Áe compendid ente vis funciones Cundo queemos clcul el áe compendid ente dos funciones, f() g(), tendemos que est l áe de l función que está po encim menos l función que está po debjo. Psos José Luis Loente gón

169 Unidd 7. Integles definids. Áes Clcul los puntos donde se cotn ls dos funciones. Estos se obtienen esolviendo l ecución f()g(), En los intevlos definidos po los puntos de cote vemos si f() está po encim de g() f()>g() o po debjo f()<g(). El áe en cd intevlo es l integl definid con etemos los del intevlo función de integción (f()-g()) si f()>g() ó (g()-f()) si f()<g() Ejemplo gáfico: b c d Intevlo (,b) (b,c) (c,d) Encim g() f() g() Debjo f() g() f() Áe b g ( ) f ( ) ) c b f ( g( ) g ( ) f ( ) c d Ejecicios: Septiembe 6. Pueb C-. Estudi el áe del ecinto limitdo po l cuv - su ect tngente en. ) ect tngente, mf () (,f())(,) Puntos de cote f() - g() - -, Gáfico de l función f() l ect tngente: puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

170 Unidd 7. Integles definids. Áes Cundo no nos dn los intevlos de integción en, entonces se supone que el áe pedid es el áe ente sus dos puntos de cote. Intevlo (,) Encim Debjo - Áe ( ) 8 ( ) d 7 ( ) 88 7 u 6,7 u Junio 6. Pueb C-.- Hállese el áe del ecinto limitdo po l pábol - l ect -. Puntos de cote f()- g()-, - Intevlo (-,) Encim - Debjo - ( ) Áe ( ) d José Luis Loente gón

171 Unidd 7. Integles definids. Áes ( ( ( ) ( )) d ( ) ) u,7 u d Junio, Pueb B C-.- Hállese el áe del ecinto limitdo po ls gáfics de ls funciones f(), g() /, h() Puntos de cote gáfics f() g() / f() h(), g() h() /, / puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

172 Unidd 7. Integles definids. Áes Intevlo (,) (,) Encim Debjo / / Áe ( ) d ( ) ( ) d d ( ) d 8 u, u 6 6 ( ) u d 6 u,7 u Septiembe de, Pueb C-.- Hállese el áe del ecinto limitdo po ls pábols de ecuciones espectivs f()6- e g() -. Vemos los puntos de cote: , Intevlo (,) Encim 6- Debjo - Áe ( ( ) ) 6 d 8 6 ( 6 ) ) d ( 8 ) d 6 ( ) u, u José Luis Loente gón

173 Unidd 7. Integles definids. Áes Septiembe de, Pueb B C-.- Hállese el áe limitd po ls gáfics de ls funciones f()-, g()- Vemos los puntos de cote: , - Intevlo (-,) encim - debjo - Áe ( ( ) ) d, u ( ) ) d ( ) ) d 8 9 Junio de 7, Pueb B C-. Hállese el áe limitd po ls gáfics de ls funciones cus epesiones nlítics son f() -, g()-6 Puntos de Cote: --6 -,. Intevlo (,) Encim -6 Debjo - Áe ( 6 ( ) ) d ( 6 ( ) ) d ( ) d 8 ( 6 ) ( ).7 u 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

174 Unidd 7. Integles definids. Áes Junio. Pueb PR-. Se l función e -. b) Clcúlese el áe de l egión pln compendid ente l gáfic de l función ls ects -. e e e si si < Vemos si f() cot el eje OX: () e - no solución. Luego sólo h que conside en el intevlo el vlo (donde cmbi de epesión nlític). Se cumple que f()> en todo intevlo: Intevlo (-,) (,) Áe d e e d e F( ) e e G( ) e e e e d F() F( ) e,86 u d G() G(),86 u,7 u Junio. Pueb PR-.- b) f(), clcúlese. f ( ) d ( e d F() F() e t dt t F( ) e e dt e 8 e ). dt t dt dt José Luis Loente gón 7

175 Unidd 7. Integles definids. Áes Junio. Pueb B PR-.- Se f() bc. Detemínense, b c de modo que f() teng un etemo eltivo en, l ect tngente l gáfic de f() en se plel l ect -, el áe compendid po l gáfic de f(), el eje OX ls ects,, se igul. Clculemos ls deivds f () b ) Etemo eltivo en f ()b b b) Rect tngente en plel f () / c) f(). c (. c) d c c Junio 7. Pueb PR- b) Se f(),. 6 6 c7/. Clcul el áe de l egión limitd po dich gáfic ls ects Vemos en este intevlo si l función está po encim o debjo del eje OX f(). demás tiene síntots veticles son en -. Peo ninguno de estos vloes de están en el intevlo (-,-) po esto f() mismo signo en este intevlo: Intevlo (-,-) Signo(f()) - Áe - d F( ) d d ln( ) - d -(F(-)-F(-))-(.ln()-.ln()),ln(),8u 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

176 Unidd 7. Integles definids. Áes Junio 8. Pueb B PR- Se f(), π b) Clcul π Como π, π cumple que ó ó π π cos( ( ) ( ) π sen π f d d sen( ) d π π ) π Junio 7. Pueb π π (cos(π cos( π )) ( ( )) π sen( ) d C-.- Clcul el áe del ecinto limitdo po l cuv de ecución ln(), el eje OX ls ects. Tenemos que ve el signo de l función en el intevlo (,): ln() e. Como (,) l función no cmbi de signo, vemos el signo: Intevlo (,) Signo(f()) Áe ln( ) d d F( ) ln( ) ln( ) dv d ( ln( ) ) u ln( ) du v ln( ) d F()-F()[ ln()--(ln()-)]ln()-.9 u Septiembe 7. Pueb B PR-.- Se l función eje OX ls ects -,. d. El áe de l egión limitd po l gáfic de f, el Tenemos que ve el signo de l función en el intevlo (-,): f(). Como (-,) cmbi de signo: Intevlo (-,) (,) Signo(f()) - Áe - d d José Luis Loente gón 9

177 Unidd 7. Integles definids. Áes F ( ) d ln( d d ln() ln( 8) ln(). - [ ] - d [ ln(8) ln() ] ln(). u ln(),7 u ) u Septiembe. Pueb B PR-.- Se P(, sen ) un punto de l gáfic de l función f()sen() en el intevlo [,π]. Se p l ect tngente dich gáfic en el punto P p el áe de l egión detemind po ls ects p,, π,. Clcúlese el punto P p el cul el áe p es mínim. (Not: Puede sumise, sin demost, que l ect p se mntiene po encim del eje X ente π) Clculemos l ect p : mf ()cos() que ps po P(, sen()) p : cos()(-)sen()cos()- cos()sen() π ( cos( ) cos( ) sen( ) ) cos( ) π π cos( ) πsen( ) cos( ) d cos( ) π ( cos( ) sen( )) π cos( ) πsen( ) Luego l función minimi es f() cos( ) π π cos( ) πsen( ) f () sen( ) π πsen( ) π cos( ) π cos( ) sen( )( π π / ) π-π π /, sen() sólo. Sólo π (,π) Demostemos que p este vlo de el áe es máim f ()cos()(π-π /)πsen() f ( π )> mínimo. π Luego l ect es cos π - π cos π sen π p :. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

178 Unidd 7. Integles definids. Áes José Luis Loente gón

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180 Unidd 8. Mtices TEM 8. MTRICES.. Definición de Mtices tipos de Mtices. Opeciones con Mtices.. Iguldd de Mtices.. Sum de Mtices.. Poducto de un Mti po un númeo (escl). Poducto de Mtices. Tnsposición de Mtices. Mtices simétics ntisimétics. Mti inves.. Definición... Cálculo 6. Resolución de ecuciones mticiles J José Luis Loente gón

181 Unidd 8. Mtices Conteto con l P..U. En este tem comien el Bloque II de Álgeb Linel. Po lo genel en los eámenes de l P..U. suele hbe un poblem elciondo con l esolución de sistems de ecuciones lineles, que veemos en el tem, un o dos cuestiones eltivs : esolución de ecuciones mticiles, este tem dd un mti cálculo del vlo de n, este tem cálculo de deteminntes, tem 9 compob si un mti es invesible o no, tem 9 Po lo genel tnto el poblem como ls cuestiones eltivs este bloque que ho empemos suelen se metódics, po tnto sencills. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

182 Unidd 8. Mtices. Definiciones de Mtices tipos de Mtices El concepto de Mti es sencillo, es un tbl con m fils n columns de númeos eles odendos (m,n N). Vemos un definición más mtemátic de ls mtices Definición: se llm mti de dimensión mn l conjunto de númeos eles dispuestos en m fils n columns de l siguiente fom:... m... m n n con ij elemento de l mti situdo en l fil i column j... mn Muchs veces l mti se denot tmbién como ( ij ) Definición: El conjunto de tods ls mtices con m fils n columns se denot como M nm(r). sí 6 M (R) Definición: dimensión de un mti es el númeo de fils columns de l mism, en el ejemplo nteio, es de dimensión Tipos de mtices:. Mtices cudds: son ls mtices que tienen igul númeo de fils que de columns (mn), que como veemos son ls únics que pueden multiplicse ente sí en culquie de los dos posiciones. El conjunto de tods ls mtices cudds con n fils columns se denotn como M nn(r) o M n (R). Ejemplo: B, B M (R) ó B M (R) Elementos de ls mtices cudds:. Digonl pincipl: elementos de l fom ii, es deci en l digonl que v desde hst nn b. Digonl secundi: elementos de l fom ij donde ijn, es deci los elementos en l digonl que v desde n hst n Digonl pincipl ij Digonl secundi ij J José Luis Loente gón

183 Unidd 8. Mtices 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU. Mtices tingules supeioes e infeioes: son ls mtices cudds tl que:. Supeio: elementos debjo digonl de l pincipl son nulos ij si i>j b. Infeio: elementos encim de l digonl pincipl son nulos ij si i<j eio tingul B eio tingul inf sup 8. Mtices digonles: mtices cudds donde todos los elementos fue de l digonl son ceo. D. Mti escl: mti digonl en el que todos los téminos de l digonl son igules: E. Mti unidd o mti identidd: mti escl cuos elementos son. Se denot como I o Id: Id I (mti identidd de oden ) Id I (mti identidd de oden ) Id I (mti identidd de oden ) 6. Mti column: tod mti con un sol column M m (R) C C M (R) 7. Mti fil: tod mti con un únic fil M n (R) ( ) F F M (R)

184 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 7 notciones: Tod mti digonl es tingul, tnto supeio como infeio, pues los elementos po encim po debjo de l digonl son nulos. Tod mti escl es digonl. L mti identidd es un mti escl. Ejecicio. Escibi mtices de los siguientes tipos: ) De dimensión b) Cudd de dimensión c) Tingul infeio de dimensión d) Digonl de dimensión e) Qué tipo de mti es de dimensión? Pon un ejemplo. Cuál seá l mti identidd de dimensión? Solución:. 7 7 b c. 8 d. e. fil un column los númeos eles M (R)R, ejemplos,-., l identidd es. Ejecicio.Deci que tipo de mtices de que dimensión son ls siguientes mtices: ) 7 b) 7 c) d) 7 7 7

185 Unidd 8. Mtices. Mti cudd, tingul supeio, dimensión (M (R)) o cudd de dimensión. b. Mti column de dimensión (M (R)) c. Mti ectngul de dimensión (M (R)) d. Mti cudd, escl de dimensión (M (R)) o simplemente mti cudd de dimensión.. Opeciones con mtices. Iguldd de mtices Definición: dos mtices M N se dicen que son igules (MN) si se cumplen: - mism dimensión - elementos que ocupn el mismo lug son igules.. Sum de mtices Solo se pueden sum mtices de l mism dimensión, vemos en qué consiste l sum de mtices: Definición: l sum de dos mtices de dimensión B es ot mti que se denot como B con mism dimensión que ls ots dos definid como B( ij )(b ij )( ij b ij ). Es deci B se obtiene sumndo los elementos que ocupn l mism posición en ls dos mtices que sumn. Vemos un ejemplo de dos mtices,b M (R) B b b b b b b b b b b b b Popieddes de l sum de mtices: como l sum de mtices definids pti de l sum de númeos eles cumple ls misms popieddes que estos, es deci: - socitiv: (BC)(B) C - Elemento neuto, con O l mti de igul dimensión que con todos sus coeficientes igules ceo - Elemento opuesto: (-), con (-)(- ij ) es deci los elementos opuestos los de l mti. - Conmuttiv: BB Ejemplo de elemento opuesto:, 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

186 Unidd 8. Mtices. Poducto de un mti po un númeo (escl) Definición: Se k R (escl) ( ij ) un mti de dimensión mn ( M mn (R)).El poducto de k po es ot mti k de mism dimensión tl que: k k( ij )(k ij ), es deci l mti k se obtiene de multiplic po k cd elemento de l mti. Ejemplo: M (R): Popieddes: - k(b)kkb - (kt) k t - k(t)(kt) - k 9 k k k k k k 6 6 k k k 6 Ejecicio : sc fcto común un escl de ls siguientes mtices de fom que ésts se simplifiquen B 6 C 8 D Id Not: siempe que de fom sencill se pued sc fcto común, simplificndo l mti, se ecomiend sc éste, que se simplificn los cálculos, especilmente en l multiplicción de mtices, como veemos en el ptdo siguiente. Ejecicio : Clcul el vlo de, b, c d: 7 b7b b c-cd cd- c-6 dd d- 7 J José Luis Loente gón 9

187 Unidd 8. Mtices puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejecicio : dds ls mtices, B C clcul ls siguientes opeciones: C B ) B b) -B-C c) B-6C 7 9 Ejecicio 6: esolve los siguientes sistems ) () () Y X Y X Llmemos B ()- () Y6Y-B Y/7(-B) XBY 7 7 b) 6 () () Y X Y X Llmmos B 6 ()() XB X/(B) 8 Y-X

188 Unidd 8. Mtices c) () X Y () X Y Llmmos B ()-() -Y-B Y-/(-B) XB-Y 8. Poducto de Mtices El poducto de mtices es un opeción más complej que ls nteioes. P pode multiplic dos mtices es necesio que el nº de columns de l pime mti del poducto se igul l nº de fils de l segund mti. Vemos l definición del poducto de mtices: Definición: El poducto de l mti ( ij ) M mn B(b ij ) M np es ot mti C B M mp, con igul nº de fils que de columns que B, tl que el elemento de l mti C que ocup l fil i column j, c ij se obtiene multiplicndo l fil i-esim de l pime mti con l column j-ésim de l segund. Result más sencillo compende el poducto de mtices pti de vios ejemplos: 7 ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) 7 J José Luis Loente gón

189 Unidd 8. Mtices puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU No se puede multiplic, pues l pime mti tiene columns l segund fils. Not: Vemos l utilidd de sc fcto común en el poducto de mtices con un ejemplo: 9) ( 9) ( 9 Más simple ) ( ) ( Ejecicio7: ve todos los poductos posibles con ls siguientes mtices clcullos:, B, C M, B M, C M, solo posibles los siguientes poductos: B 8 C C B 6 8 Ejecicio 8: multiplic B B, Qué ocue? B

190 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón B B Not: en ls mtices cudds, no siempe cumplen que B B, es deci no se cumple l popiedd conmuttiv del poducto de mtices. Eisten lgún tipo de mtices que si conmutn, BB, si esto ocue se dice que B conmutn Ejecicio 9: Clcul -B, (B) (-B) siendo B ls siguientes mtices:, B ) nótese que no coincide con elev l cuddo cd témino de B -B - b) (B) (B) (B) 7 c) (-B) (-B) (-B) Not: l no se conmuttivo el poducto de ls mtices se cumple que ls igulddes notbles no son ciets cundo B son mtices (B) B BB B B (-B) B -B-B B -B

191 Unidd 8. Mtices puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejecicio : Clcul los vloes de e que veificn ls siguientes igulddes: ) 6 b) - Ejecicio. Deci si son veddes o flss ls siguientes identiddes p B culquie mti: ) (B) B B Fls B B (B) B BB B B b) (-B) B -B Fls B B (-B) B -B-B B B c) (B)(-B) -B Fls B B (B)(-B) -B -BB Ejecicio : Clcul ls mtices que conmuten con l mti B, siendo:, B ) Si conmutn se cumple que XX t t t t t R conmut con culquie t t t t,,, b) Si conmutn se cumple que BXXB

192 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón f c e b d c b i i h f f e c c b i h g f e d c b i h g f e d c b R g d con conmut d g d h d i e f b c f c e b i d i h c b f f e c c b,,,,,, Ejecicio. Se clcul n. Clcul, 97 Vemos lo que vle,, pti de sus vloes busquemos el vlo de n : Id (-Id)- (-Id)(-Id)Id Id () n es ente n dividi de esto el k n Id es ente n dividi de esto el k n es ente n dividi de esto el k n Id es ente n dividi de esto el k n sí -Id, que el esto de dividi ente es. 97, que el esto de dividi 97 ente es Ejecicio : Se clcul n. ) b) c)

193 Unidd 8. Mtices 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU )... 8 n n n n n n b) c)... n n... n n

194 Unidd 8. Mtices Ejecicio. Se un mti que conmut con B C. Demost que es ciet l iguldd (B C) (B C) Si B conmutn BB Si C conmutn CC (B C) B (C )B ( C)(B ) C( B) C (B C) Ejecicio6 Es posible que p dos mtices B no cudds puedn eisti B B? Se M mn (R) B M pq (R). Si eiste B np Si eiste B qm Sólo eiste B B si M mn B M nm. Un cso pticul es cundo mn, es deci ls dos mtices son mtices cudds.. Tnsposición de Mtices.Mtices simétics ntisimétics Definición: se un mti M mn (R) se llm mti tnspuest se escibe como t M nm (R) que esult de cmbi ls fils po ls columns. Ejemplos: t 6 B C 7 Popieddes: t B ( t ) t ( ) t C. (B) t t B t. (k ) t k t. ( B) t B t t J José Luis Loente gón 7

195 Unidd 8. Mtices 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ls tnsposiciones de mtices nos pemiten defini dos tipos de mtices: simétics ntisimétics. Definámosls: ) Mti simétic: es tod mti cudd M nn (R) tl que coincide con su tnspuest t t, es deci los elementos siméticos especto l digonl son igules, vemos un ejemplo de dimensión : c b c b t b) Mti ntisimétic: es tod mti cudd M nn (R) tl que coincide con el opuesto de su tnspuest - t - t, es deci los elementos siméticos especto l digonl son opuestos, los de l digonl son ceo. Vemos un ejemplo de dimensión : t Ejecicio 7. Demost ls popieddes de mtices tspuests pti de ls siguientes mtices: B P: ( ) t t t P: ) ( t t t t t B B P: (k ) t k k k k k k k k k k k k k k k t t t P:( B) t t t t t B

196 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 9 Ejecicio 8: Escibi un mti simétic ntismétic de dimensión, ntisimétic S simétic ntismétic S simétic ntismétic S simétic Ejecicio 9. Encont tods ls mtices ntisimétics S simétics de oden que veificn Id S Id Si es ntisimétic de oden entonces es de l siguiente fom, R - imposible, es deci no h ningun mti ntismétic de oden que l cuddo se igul l Id. Si S es simétic de oden es de l siguiente fom S,,, R S () () () de l ecución obtenemos () o - cso : ±, ±,,, S S S S cso : - ± S S 6, se cumple siempe que - (dicndo positivo).

197 Unidd 8. Mtices Ejecicio. Descompone tod mti cudd como sum de un mti simétic ot ntisimétic Se B M nn l mti cudd, vemos ls siguientes mtices: t B B S demostemos que es simétic S t B B t t t B B S t B B demostemos que es ntismétic t t B B Tendemos que compob que l sum de S sumn B: t t B B B B S. Mti inves. Definición B t t B B B B t Definición: l mti inves de un mti cudd M nn (R) es ot mti cudd de mism dimensión que se denot como - M nn (R) tl que se cumple: - - Id con Id M nn (R) No tods ls mtices cudds tienen inves, sí ls mtices que tiene inves se llmn mtices egules ls que no tienen inves se denominn mtices singules.. Cálculo de l inves El método más sencillo p el cálculo de l inves lo veemos en el tem siguiente, cundo definmos el deteminnte de ls mtices. P mtices podemos clcul l inves pti de l definición: Ejemplo: 7 t 7 t t 7 7t Tenemos ecuciones con incógnits, que podemos gupls en dos sistems de dos ecuciones con dos incógnits: () () t () 7 () 7t 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

198 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 6 Los sistems son: () () 7 () t () 7t Ls soluciones son 7/8, -/, -/8 t/, con lo que 7 8 Compobción: - Id Ejecicio. Clcul l inves de ls siguientes mtices ) t t t () () t () () Solución t / Compobción: - Id b) t t t t () () t () () t () -, / () () t, t-/ () t / /

199 Unidd 8. Mtices 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU c) 8 t 8 t 8 8 t t () () t () 8 () 8t () no solución () 8 () t no solución () 8t Luego l mti no tiene inves, po lo que es un mti singul. 6. Resolución de ecuciones mticiles 6. Definición Definición: son ecuciones lgebics donde los coeficientes ls incógnits son mtices. Ejemplos (PU JUN PRUEB, C-) X BBB - siendo B (PU SEP PRUEB B, C-) P - B P siendo, P 6. Resolución de ecuciones. Tenemos que obtene l mti incógnit, que genelmente se denot como X, despejándol de l iguldd. P conseguilo tenemos ls siguientes egls: ) Si un mti está sumndo un ldo de l iguldd ps estndo l oto ldo de l iguldd l evés. XBC XC-B X-BC XCB

200 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 6 ) Si multiplicmos un mti po l iquied un ldo de l iguldd tmbién lo tenemos que hce en el oto ldo de l iguldd po l iquied. Igul po l deech. XB - X - B Id X - B X - B X B X - B - X IdB - XB - Ejemplo: vemos l esolución de los dos nteioes ejemplos: (PU JUN PRUEB B, C-) X BBB - oto miembo B psmos X BB - -B ldeech po B mos multiplic X B B - (B - -B) B - X Id(B - -B) B - XB - B - -B B - B - B - -Id Clculndo B - tenemos que B - con lo que X - (PU SEP PRUEB B, C-) P - B P l iquied po P po multiplicmos P P - B PP Id B P P B PP po l deech P po multiplicmos B P P - P P - BP P - Clculndo P tenemos que l mti B buscd es: B Ejecicio : Ls mtices tl que se llmn idelpotentes, clcul ls mtices idelpotentes de oden c b b b c bc b bc b b c b b c b b c b b c b c b bc b b bc b b () () () () () () son igules bb(c) cso : -c ; cso b

201 Unidd 8. Mtices 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Cso -c Sustituendo en () (-c) b (-c) b c c ± ± ± c c c c c c c [,] (que son los vloes de c donde el dicndo es positivo) c c c c c c, c c c c c c Cso b Sustituendo en (), Sustituendo en () c c c, Esto nos gene soluciones:,,, 6 Ejecicio. Se l mti. Clcul k tl que se cumpl l siguiente iguldd (-kid) (-kid) k k k 6 ) ( k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ki Tenemos 9 ecuciones con un incógnit, tods ls ecuciones tienen un solución común k. Si l solución fue distint en lgun ot ecución no tendí solución

202 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 6 Ejecicio. Clcul l mti X, en l ecución mticil B(Id)XB siendo B B(Id)XB miembo B oto psmos B(Id)-BX BX po iquied po multiplicmos - B - X - B X po l deech multiplicmos - B - X - - B X Clculndo - (tem siguiente) 7 X - B Ejecicio. Pueb que --I siendo. Clcul - pti de l nteio iguldd: --Id Id -Id (-Id)Id Id) ( - Id - Id) ( - - Ejecicio 6. Si B son dos mtices digonles de oden demuest que BB. Hll ls mtices digonles que cumpln Id ), B t B t, B t b), ±, ± Luego h soluciones:,,,

203 Unidd 8. Mtices Ejecicios PU: Junio.Pueb B C--Dd l mti B hállese un mti X que veifique l ecución XBBB-. X BBB - psmos B oto miembo X BB - -B multiplic mos po B l deech X B B - (B - -B) B - X Id(B - -B) B - XB - B - -B B - B - B - -Id Clculndo B - tenemos que B - con lo que X - Septiembe. Pueb B C-) Dds ls mtices, hállese l mti B sbiendo que P - BP. P - B P multiplicmos po P po l iquied P P - B PP Id B P P B PP multiplicmos P po l deech po B P P - P P - BP P - Clculndo P tenemos que l mti B buscd es: B Junio. Pueb B C-.- Dds ls mtices, C, hállense ls mtices X que stisfcen XCC. XCC siendo C XCC psmos l oto miembo XCC - multiplicmos po C po l deech XC C - (C -) C - X(C -) C - XId( -) C - 66 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

204 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 67 Clculemos. Luego sustituendo en l ecución mticil tenemos: XId(-) C - Id Junio 6. Pueb C-- Hállense ls mtices cudds de oden, que veificn l iguldd: es equivlente ve ls mtices que conmutn con Po esolución de ecuciones no podemos obtenel, que no podemos despej, que p eliminl del pime miembo debeímos multiplic po -, peo entonces tendímos - en el segundo miembo. P solucion esto definmos l mti como t. sí l iguldd es de l siguiente: t t t t t () () () t t ()tt Luego seá tod mti, R. Compobción:

205 Unidd 8. Mtices 68 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Junio 6. Pueb B C-.- Dds ls mtices P, hállese ondmente l mti B sbiendo que BP. B P B P P - P - B P - Clculndo P - (tem siguiente): P -. Entonces B Septiembe 7. Pueb C-.- Sen X un mti, I l mti identidd B. Hll X sbiendo que BXBB I. I B B BX B I B BX ( ) B I B B BX B ) ( B B B B B X I B B X Clculndo B - X Junio 8. Pueb C-.- Sen B C 8 8 clcul sbiendo B C Vemos lo difícil que seí esolve el sistem de l siguiente fom t t t t t t t t t t t t t t t t t t 8 8 Tendemos que pens en un fom más sencill p encont l mti : Si B C, entonces se cumple que C B CB B - C Clculndo B

206 Unidd 8. Mtices J José Luis Loente gón 69

207 7

208 Unidd 9.Deteminntes TEM 9. DETERMINNTES.. Conceptos pevios, pemutciones. Definición genel de deteminntes. Deteminnte de mtices de oden oden... Deteminnte mtices cudds de oden.. Deteminnte mtices cudds de oden. Deteminnte de lguns mtices especiles. Popieddes de los deteminntes 6. Otos métodos de clcul los deteminntes. Deteminnte de mti de oden 6.. Po djuntos 6.. Hciendo ceo un fil o un column 6.. Deteminnte de Vndemonde 7. Cálculo de l mti inves. 8. Rngo de un mti José Luis Loente gón 7

209 Unidd 9.Deteminntes Conteto con l P..U. El cálculo de deteminntes es mu impotnte, que se utiliá en el tem siguiente en l esolución de sistems de ecuciones lineles, poblem que genelmente sle en un de ls opciones del emen de P..U. demás de l impotnci eltiv su utilición en los poblems del siguiente tem, tmbién es fecuente que en los eámenes de selectividd h cuestiones elcionds diectmente con est unidd, tles como: Cálculo de deteminntes plicndo popieddes. Cálculo de deteminntes Clculo de invess Detemin si un mti invesible 7 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

210 Unidd 9.Deteminntes. Conceptos pevios. Pemutciones ntes de estudi el deteminnte vemos pimeo lo que signific l pemutción, que nos v sevi p luego defini el deteminnte. Definición: ddo n elementos difeentes, pemutciones son ls distints posibles odenciones de estos elementos. El conjunto de tods l pemutciones se denot como S n el númeo totl de pemutciones es de n!n (n-) (n-) Ejemplos: El conjunto de pemutciones de tes elementos, S, vienen definids po ls siguientes!6 pemutciones: σ id, σ, σ, σ, σ, σ. Definición: el índice de un pemutción es el mínimo númeo de modificciones que debemos eli sus elementos p lleg l pemutción identidd, donde todos los elementos están odendos de meno mo (ejemplo σ id en S ). Se denot como i(σ) donde σ es l pemutción Ejemplos: σ i(σ ) σ i(σ ) pemutndo el el obtenemos l pemutción identidd σ i(σ ) pemutndo el el, luego el el obtenemos l pemutción identidd. Definición genel de deteminnte Definición: Se ij un mti cudd de oden n ( M nn (R)) definimos como deteminnte de se denot como o det() l siguiente númeo el: i( σ ) det( ) ( )... (l sum tiene n! téminos) n n nn σ S n σ () nσ ( n). Deteminnte de Mtices de oden En este ptdo vmos ve pti de l definición del ptdo nteio el vlo del deteminnte de ls mtices. Deteminnte de mtices cuds de oden. Se l mti M definid de fom genéic como deteminnte pti de l definición: det( ) σ S ( ) i( σ ) σ () σ () ( ) i( σ ) ( ) i( σ ), clculemos el José Luis Loente gón 7

211 Unidd 9.Deteminntes Ejemplos: ( ) ( 9) 9 9 B B ( ).. Deteminnte de mtices cudds de oden. De l mism fom que en el ptdo nteio vemos como clcul el deteminnte de ls mtices cudds de oden. En este cso el númeo de sums seá!6. Veemos un egl nemotécnic, egl de Sos, p ecod como clcullo. Se M (R) definido de fom genéic como. ntes de plic l definición de deteminnte vemos ls pemutciones sus índices: σ i(σ ) p σ i(σ ) imp σ i(σ ) p σ i(σ ) imp σ i(σ ) p σ i(σ ) p De est fom: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) Regl de Sus : puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

212 Unidd 9.Deteminntes Ejemplos: ( ) ( ) ( 8 96) ( 8 7) [ ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( 86) Ejecicio. Clcul los siguientes deteminntes ) ( ) b) ( 8) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) [ ] [ ] e) [ ( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 79 m f) [ m ( ) m ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) m m] m m m. Deteminnte de lguns mtices especiles En este ptdo clculemos de fom sencill el vlo de los deteminntes de lguns mtices cudds especiles.. Deteminnte de l mti nul L mti cudd nul es quell en l que todos los coeficientes son ceo, se denot como. i( σ ) ij i,j {,,,n} ( )... σ () nσ ( n) σ S n José Luis Loente gón 7

213 Unidd 9.Deteminntes. Deteminnte de l mti identidd Recodemos que l mti identidd es quell donde todos los elementos fue de l digonl son nulos los de l digonl vle. Id Es fácil compob que el vlo del deteminnte identidd es l unidd, veámoslo pti de l definición de deteminnte: Id σ S i( σ ) ( ) σ ()... n σ ( n) ( )... n. Deteminnte de l mti digonl nn... Mtices digonles son quells donde los elementos fue de l digonl son nulos, pudiendo vle culquie vlo los elementos de l mism. D nn Es fácil de ve que el vlo del deteminnte de l mti digonl es igul l poducto de los elementos de l digonl. Es fácil demostlo pti de l definición de deteminnte. D i( σ ) ( ) σ ()... n σ ( n) ( )... nn σ S n. Deteminnte de l mti tingul Recodemos l definición de mti tingul supeio e infeio:... nn T s n n... nn T i... n... n nn El vlo del deteminnte de ls mtices tingules, tnto supeio como infeio, es igul l poducto de los elementos de l digonl. L demostción es más complicd que ls nteioes. T s nn T i nn 76 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

214 Unidd 9.Deteminntes. Popieddes de los deteminntes En este ptdo veemos ls popieddes más impotntes de los deteminntes, pti de ls cules seá fácil clcul el vlo de los deteminntes de lguns mtices. P este ptdo usemos l siguiente notción: M nn (R) fomdo po n fils (F,,F n ) con F i fil i-ésim fomdo po n columns (C,,C n ) con C i l column i-ésim. Ejemplo: 6 (F,F,F ); (C,C,C ) donde C ( ), C ( 6) C (7 8 9) F, 7 F, 8 F 6 9 Popiedd : el deteminnte de un mti es igul l deteminnte de de l mti tnspuest: det()det( t ) Impotnte: pti de est popiedd tods ls popieddes de los deteminntes que elcionen columns sen ciets tmbién p ls fils l evés. Popiedd : si los elementos de un fil (o column) de un mti se le multiplicn po un númeo el deteminnte de l nuev mti qued multiplicdo po dicho númeo: det(f,f,,kf i,,f n ) k det(f,f,,f i,,f n ) det(c,c,,cf i,,c n ) k det(c,c,,c i,,c n ) Ejemplo: B C 6 B 6 C - José Luis Loente gón 77

215 Unidd 9.Deteminntes 78 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Popiedd : Si un mti M nn (R) l multiplicmos po un númeo k (Bk ), el deteminnte de l nuev mti, B, es k n veces el deteminnte de : det(k )k n det() Demostción: pti de l popiedd es fácil de ve est popiedd: det(k )det(k C,k C,,k C n )k det(c,k C,,k C n ) k det(c,c,,k C n ) k n det(c,c,,c n ) Ejemplo: B B Popiedd : Si los elementos de l column i-esim (o un fil) de un mti cudd se puede descompone como sum de columns (o fils), su deteminnte seá igul l sum de los deteminntes de ls mtices que tienen ls demás columns (fils) igules l i-ésim de cd uno de ells un de ls columns de l sum det(f,f,,f i F i,,f n ) det(f,f,,f i,,f n ) det(f,f,,f i,,f n ) det(c,c,,c i C i,,c n ) det(c,c,,c i,,c n ) det(c,c,,c i,, C n ) Ejemplos: det(c,c C,C ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) Popiedd : El deteminnte del poducto de mtices cudds es igul l poducto de los deteminntes de mbs mtices. det( B)det() det(b) Ejemplo:

216 Unidd 9.Deteminntes 6 6 Popiedd 6: Si un mti pemut dos columns (fils), su deteminnte cmbi de signo. det(f,f,,f i,, F j,,f n ) -det(f,f,,f j,, F i,,f n ) det(c,c,,c i,, C j,,c n ) -det(c,c,,c j,, C i,,c n ) Ejemplos: Popiedd 7 : Si un mti tiene un fil o un column fomd po ceos su deteminnte es ceo. det(f, F,,,, F n ) det(c, C,,,, C n ) Ejemplo: Popiedd 8: Si en un mti dos fils o columns son igules o popocionles su deteminnte es ceo: det(f,, F i,,k F i,,f n ) det(c,, C i,,k C i,,c n ) Ejemplos : det(f,f,f ) ; det(f,f,f ) ; det(c,c,c ); det(-c,c,c ) José Luis Loente gón 79

217 Unidd 9.Deteminntes Popiedd 9: Se un mti cudd donde los elementos de un fil (column) son combinción linel de ls estntes fils (columns) entonces su deteminnte es ceo: det(f, F,, λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n,, F n ) Fil i det(c, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) Ejemplos: Column i det(f,f F -F,F,F )det(f,f,f,f ) det(f,f, F,F ) det(f,-f,f,f ) det(c,c C -C,C,C )det(c,c,c,c )det(c,c,c,c )det(c,-c,c,c ) F F Popiedd : si en un mti su deteminnte es ceo, entonces un fil (column) es combinción linel del esto de fils (columns). det() F i λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n Conclusión: de l popiedd 9 un fil (column) es combinción linel del esto Popiedd : El deteminnte de l mti - es / det( - ) det( ) Se puede demost fácilmente pti de l popiedd : - Id det( - )det() det( - )det(id) det( - ) det( ) Popiedd : Si los elementos de un fil (column) se les sum un combinción linel de ots fils (columns), su deteminnte no ví. det(f,f,,f i,,f n )det(f,f,,λ F λ F λ i- F i- F i λ i F i λ n F n,, F n ) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

218 Unidd 9.Deteminntes RESUMEN DE PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES P : det()det( t ) P : det(f,f,,kf i,,f n ) k det(f,f,,f i,,f n ) det(c,c,,kc i,,c n ) k det(c,c,,c i,,c n ) P : det(k )k n det() con M nn P : det(f,f,,f i F i,,f n ) det(f,f,,f i,,f n ) det(f,f,,f i,,f n ) det(c,c,,c i C i,,c n ) det(c,c,,c i,,c n ) det(c,c,,c i,,c n ) P : det( B)det() det(b) P 6 : det(f,f,,f i,, F j,,f n ) -det(f,f,,f j,, F i,,f n ) P 7 : det(f, F,,,, F n ) det(c, C,,,, C n ) P 8 : det(f,, F i,,k F i,,f n ) det(c,, C i,,k C i,,c n ) P 9 : det(f, F,, λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n,, F n ) Fil i det(c, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) P : Column i det() F i λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n P : det( - )/det() P : det(f,f,,f i,,f n )det(f,f,,λ F λ F λ i- F i- F i λ i F i λ n F n,, F n ) José Luis Loente gón 8

219 Unidd 9.Deteminntes 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejecicios Ejecicio. Clcul el deteminnte de ls siguientes mtices: ) b) B B -7 c) C C - d) D D (-7)- (tingul) Ejecicio : Clcul el vlo de los siguientes deteminntes pti de conoce el deteminnte de : det() 98 ) B det(b) ) ( 8 b) C C ) ( 8 c) D D 98 7) ( ) ( 8

220 Unidd 9.Deteminntes José Luis Loente gón 8 d) E E 68 Ejecicio. Se (F, F, F, F), cuo deteminnte es det() -, clcul el vlo del deteminntes de ls siguientes mtices: ) B(F, F, F, F ) det(b) det(f, F, F, F ) -6 b) C( -F, F, F, F ) det(c)-det( F, F, F,F )- det( F, F, F,F ) - c) D D d) E (F, F,- F, F ) det(e) det(f, F,- F, F ) det(f, F,- F, F ) (-) det(f, F, F, F ) (-) det(f, F,- F, F )-6 8 Ejecicio. Resolve los siguientes deteminntes ) ) ( ) ( 8 c b c b c b c b c b c b c b b c c b c b P P F F P b) ) ( ) ( 8 d c b d c b d c b d d c b c c d b b b d c d c b c d b b d c d c b c d b b d c P P F F P P c) 8 bc c b b b c c bc bc bc c b b c bc bc c b b c bc P c bc b bc bc P c b

221 Unidd 9.Deteminntes 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejecicio 6 Demost ) Si entonces o - Si se cumple que entonces sus deteminntes son igules:. Po l popiedd, - b) Si t Id entonces o Si se cumple que t Id entonces sus deteminntes son igules: t Id. Po l popieddes de los deteminntes: t t Id, - Ejecicio 7. Encuent un espuest ond ls siguientes cuestiones: ) En un deteminnte elimos un ciet pemutción de fils o columns qué podemos deci del nuevo deteminnte? Si en un deteminnte el númeo de pemutciones es p, entonces el deteminnte no cmbi de vlo. Si el númeo de pemutciones es imp, entonces el deteminnte cmbi de signo. b) Se sbe que det() M cuánto vle det()? Po l popiedd como M (R) entonces c) Si B son invess,. cuánto vle B? Si B - po l popiedd B / / Ejecicio 8. Se sbe que. Clcul ) c b c b c b b) 8 8 c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b P P P

222 Unidd 9.Deteminntes EXÁMENES DE PU, RELTIVOS PROPIEDEDES DETERMINNTES Junio. Pueb C-.- Se tiene un mti M cudd de oden cus columns son espectivmente C, C C cuo deteminnte vle. Se conside l mti cus columns son (- C, C C, C ). Clcúlese ondmente el deteminnte de - en cso de que eist es mti M(C,C,C ) (-C,C C,C ) M det(-c,c C,C ) det(-c,c,c ) det(-c,c,c ) -det(c,c,c ) det(c,c,c ) -det(c,c,c )-6 - -/6 Septiembe. Pueb C-.- Se un mti cudd de oden cuo deteminnte vle, se l mti B. Clcúlese el deteminnte de l mti B. M (R) B B ( ) 9 Junio Pueb C-.- Se un mti de columns C, C deteminnte. Se B ot mti de deteminnte. Si C es l mti de columns C C C, clcúlese el deteminnte de l mti B C -. (C,C ) B: B C(C C,C ) det(c)det(c C,C )det(c,c )det(c,c ) det(c,c ) det(b C - )det((b) det(c - ) B / C //6 Septiembe. Pueb C-.- Se l mti. Clcúlese el deteminnte de sbiendo que - Id, donde Id es l mti identidd es l mti nul. bc b - Id c bc b b c c José Luis Loente gón 8

223 Unidd 9.Deteminntes 86 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU () () () c c b b bc de () de () c, sustituendo en () bb-b cieto b b Septiembe 8 Pueb C-.- Se un mti de columns C, C, C (en ese oden). Se B l mti de columns C C, C C, C (en ese oden). Clcul el deteminnte de B en función del de. B det(c C, C C, C )det(c, C C, C )det(c, C C, C ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) -(-) det(c,c,c )- 6. Métodos de cálculo del deteminnte. Deteminnte de oden. Si queemos clcul el vlo del deteminnte de un mti M (R) po l definición tenemos! poductos csi seguo que nos equivocemos. Tendemos que busc lgún oto método p clcul su vlo. P eso podemos plic ls popieddes vists en el ptdo nteio. 6. Po djuntos P clcul el deteminnte de un mti un método es el de los djuntos. El método consiste en tom un fil (o column), multiplic cd elemento de l fil (column) po su djunto, que es deteminnte que se obtiene eliminndo l fil column de dicho coeficiente, multiplicdo po - si es un elemento imp (filcolumnnº imp) P ve como clcullo veámoslo con un ejemplo, que desollemos po l pime column l segund fil: ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 6 (-) (-6) ) )( ( 6 ) ( 6 - (-7) -

224 Unidd 9.Deteminntes José Luis Loente gón Hciendo ceos un fil o column Podemos utili l popiedd hce que en un fil o un column todos los elementos menos uno (pivote) sen nulos. Desollndo los deteminntes po djuntos sólo contibue el del pivote, que el esto quedn multiplicdos po. P mti esté método vemos un ejemplo, clculndo el deteminnte de l mism mti del ejemplo del ptdo 6.. Vmos utili como pivote el elemento, que vle l unidd (que simplific los cálculos) hemos ceo todos los demás elementos de l pime column. 7 ) )( ( F F F F F F F F F F F Ejecicio 9: clcul po lguno de los dos métodos nteioes 6 Clculándolo Deteminnte de Vndemonde Se llm mti de Vndemonde tod mti de l siguiente fom n n n n n P este tipo de mtices se cumple ( n - ) ( n - ) ( n - n- ) ( - ) Ejemplo: (-) (-) (-) Ejecicio : Clcul los siguientes deteminntes )

225 Unidd 9.Deteminntes 88 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU b) ) ( c) c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b P F F F P ) ( ) ( ) ( ) ( c b c b c b c b d) ) ) ( ) ( ( 9 Vndemonde e) P ) ( ) ( ()(-) 7. Cálculo de l Mti Inves Medinte l definición de deteminnte l mti djunt se puede clcul de fom sencill l mti inves, en especil l inves de l mtices. Poposición: Un mti se dice egul, es deci, tiene inves si su deteminnte no es ceo. En cso contio l mti es singul: egul - singul / - P clcul de l mti inves, usemos como ejemplo:

226 Unidd 9.Deteminntes José Luis Loente gón 89 ) Clculmos el deteminnte ) Tsponemos t ) djunt de l tnspuest: ( t ) d ) Mti inves es ( ) ) ( d t Vemos un ejemplo de un mti ) ) t ) ( ) d t ) Ejecicio. Clcul l inves de ls siguientes mtices ) b)

227 Unidd 9.Deteminntes 9 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU d) 6 e) Ejecicio. Clcul l que hce singul l mti ) , -- b) , 7

228 Unidd 9.Deteminntes EXMENES DE PU, EJERCICIOS RELTIVOS MTRIZ INVERS Septiembe de. Pueb B C-.- Se. Detemínense los vloes de m p los cules mid no es invetible (donde Id denot l mti identidd). m Bm Id m b B B m m- m- ± m R-{-,-- } mti egul po tnto eiste B - Septiembe de 6. Pueb B C-. Dd l mti detemin los vloes de p que eist mti inves P P P P - - No solución, luego R eiste l mti inves de P. Junio 7 Pueb C-. Hll p qué vloes de es invesible l mti clcul l inves p L mti seá invesible si. Clculemos p qué vloes de se cumple est pemis: --, -. Luego R-{-,} l mti tiene inves. En conceto p es invesible -; ; ; José Luis Loente gón 9

229 Unidd 9.Deteminntes 8. Rngo de un Mti Definición: Meno de oden k de un mti M mn (R) es tod submti con k fils k columns petenecientes l mti Ejemplo: Meno de oden Meno de oden Meno de oden , 8 Meno de oden (6), (), 6 7, , 6 Definición de ngo de un mti M mn (R) es el oden del mo meno con deteminnte no nulo de l mti. Cómo obtene el ngo de un mti: ) Clculmos todos los meno de mo dimensión (kmin(m,n)) de l mti... Si lgún meno es distinto de ceo ng()k.b. Si todos los menoes son igules ceo ng()<k ) Clculmos los menoes de dimensión k-.. Si lgún meno es distinto de ceo ng()k-.b Si todos los menoes son nulos ng()<k- ( ) Esto temin cundo lgún meno es distinto de ceo, siendo los clculdos ntes de mo dimensión de ceo. 9 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

230 Unidd 9.Deteminntes José Luis Loente gón 9 Ejemplo: Clcul el ngo de Clculmos los menoes de oden min(,): ng()<. Clculemos los menoes de oden 9 ng() EXMENES DE PU, EJERCICIOS RELTIVOS L RNGO Septiembe de. Pueb. C-.- Discútse, según el vlo de, el ngo de l mti Si -/ ng() Si /, como ng() Septiembe de 7. Pueb B C-.- Discuti, en función del númeo el m, el ngo de l mti m m 8-m-m -6m6--m-m m6 m, m- Si m R-{-,} ng() Vemos el ngo si m. Como 7 ng()

231 Unidd 9.Deteminntes 9 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Vemos el ngo si m- Como ng() Conclusión: si m o m- el ng() si m R-{-,} el ng(). Junio de 8. Pueb B C-. Clcul el ngo de F F F F F F F Como ng()<. Vemos uno de los menoes de oden : 8 Hciendo todos los menoes de oden dn ceo. Rng()

232 Unidd 9.Deteminntes José Luis Loente gón 9

233 96

234 Tem. Sistems de Ecuciones UNIDD. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Definiciones, tipos de sistems distints foms de epesls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epesión de sistems en fom mticil. Sistems de Cme. Teoem de Rouchè-Föbenius. Discusión soluciones sistem. Resolución genel de sistems de ecuciones lineles po Cme... Sistems comptibles detemindos.. Sistems comptibles indetemindos. Resolución de Sistems homogéneos. 6. Resolución de sistems po Guss. José Luis Loente gón 97

235 Conteto con l P..U. Tem. Sistems de Ecuciones Po lo genel en los eámenes de selectividd, uno de los dos poblems de ls dos opciones es eltivo l estudio esolución de sistems. Suele se un poblem más o menos sencillo metódico, con los que podemos obtene puntos. Tmbién en lguns ocsiones un cuestión del emen (vlod en punto) está elciond con l esolución de sistems, po lo genel homogéneo. P l esolución de estos poblems es esencil el cálculo de deteminntes ngos de mtices que vimos en el tem nteio. 98 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

236 Tem. Sistems de Ecuciones. Definiciones, tipos de sistems distints foms de epeslos. Definiciones. Sistems equivlentes. Definición: se llm sistem de ecuciones lineles con n incógnits l conjunto fomdo po m ecuciones con n incógnits. n n b () n b n () m m mn m b m ij coeficientes del sistem b j téminos independientes j incógnits Ejemplo - () (m) () ecuciones incógnits --- () t () -t () ecuciones incógnits Resolve un sistem es obtene tods sus posibles soluciones. S soluciones de () S soluciones de () S soluciones del sistem S S S m (comunes tods) S m soluciones de (m) Definición: Dos sistems son equivlentes si tienen ls misms soluciones. Fom de obtene sistems equivlentes: ) Sum un constnte mbos miembos de l iguldd de un o vis ecuciones - S S S S - José Luis Loente gón 99

237 Tem. Sistems de Ecuciones ) Multiplic po un constnte, distint de ceo, mbos ldos de l iguldd de un o vis ecuciones - S S S - ) Sustitui un ecución po un combinción linel de l mism con ls estntes ecuciones S () ()-() 8 S ()- () - S S ) ñdi o quit ecuciones que sen combinción linel de ls estntes ecuciones: () () S () - () - S S S S ()()() 7.. Clses de sistems de ecuciones Dos citeios p clsific los sistems de ecuciones lineles:. Según el vlo de los téminos independientes: - Homogéneos: todos los téminos independientes son nulos - No homogéneos: lgún témino independiente es difeente de ceo Homogéneo No homogéneo -. Según el númeo de soluciones: - Comptibles: tienen solución Detemindos: únic solución Indetemindos: infinits soluciones - Incomptibles: sin solución. Ejemplos: Comptible detemindo - puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

238 Tem. Sistems de Ecuciones - Comptible indetemindo sin solución Incomptible.. Epesión de sistems en fom mticil Un mne más cómod útil de tbj con los sistems de ecuciones lineles es de fom mticil. El sistem visto en el ptdo. de fom mticil vendá definido como:... n b... n b m m mn n b... m { { Mti de coeficientes * Mti mplid ( b) X B... m... m X B n b n b mn bm Ejemplo: X b * XB. Sistems de Cme Definición: un sistem de ecuciones lineles se dice que es de Cme si cumple ls siguientes condiciones: - Mismo númeo de ecuciones que de incógnits nm - El deteminnte de l mti de coeficientes es distinto de ceo Los sistems de Cme son todos comptibles detemindos (un sol solución). José Luis Loente gón

239 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Eisten dos métodos de esolución de los sistems de Cme. Método: pti de l mti inves. El sistem de Cme se puede escibi en fom mticil como Xb, tl que tiene inves l se un mti cudd con deteminnte distinto de ceo. sí podemos epes ls soluciones como: X - B Ejemplo: - ecuciones incógnits, Sistem de Cme - X Método: po desollo de columns En este método no tendemos que clcul l mti inves, sino tntos deteminntes como incógnits suele esult más sencillo b b b nn n n n n b b b nn n n n n,, b b b n n n n Ejemplo: vemos el sistem nteio:,

240 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón Ejecicio : Resuelve los siguientes sistems pti de Cme si es posible Sistem de Cme pues tiene ecuciones incógnits 9 Método: X, -, Método : , Teoem de Rouchè-Föbenius. Discusión soluciones del Sistem Teoem: se un sistem con m ecuciones lineles con n incógnits, el sistem es comptible (tiene soluciones) si, sólo si, el ngo de l mti de los coeficientes es igul l ngo de l mti mplid Sistem comptible ng()ng(*) Según l elción ente el ngo el númeo de incógnits tenemos que el sistem seá comptible detemindo, comptible indetemindo o incomptible. Veámoslo en l siguiente tbl esumen:. ng() ng( * ) Sistem incomptible (no solución). ng()ng( * ) ) si n (nnº incógnits) Comptible detemindo b)si <n (nnº incógnits) Comptible indetemindo con n- pámetos libes

241 Tem. Sistems de Ecuciones. Resolución genel de sistems de ecuciones po Cme. En el ptdo vimos como esolve sistems con igul númeo de incógnits que de ecuciones cundo el deteminnte de l mti de los coeficientes es distinto de ceo. En este ptdo vmos se más genéicos, esolviendo po Cme todo tipo de sistem comptible; es deci sistems en los que ng()ng( * ) tnto si son comptibles detemindos como indetemindos. Vemos uno uno los dos csos:.. Comptible detemindo P que un sistem se comptible detemindo es necesio que el númeo de ecuciones m se mo o igul que el de incógnits n (m n), que se cump que ng()ng( * )n. De est fom sólo h n ecuciones independientes, tl que si el sistem tiene m ecuciones, m-n son dispensbles podemos eliminls. Es impotnte compob que ls n ecuciones escogids sen independientes, lo cul se compueb viendo que el ngo del nuevo sistem continúe siendo n. El nuevo sistem seá equivlente l nteio (mism solución) se puede esolve po Cme. Ejemplo: * 7 (S) el sistem no puede se de Cme pues n m ng() que 7 7, ng( * ) que * ng()ng( * )n (nºincógnits) Comptible detemindo. Como el ngo es, tenemos sólo ecuciones linelmente independientes, de fom que podemos elimin un de ls ecuciones, de mne que el ngo del sistem continúe siendo. Vmos quit l tece ecución pues, cundo clculmos el ngo de compobmos que, p los coeficientes de ls dos pimes ecuciones, el deteminnte es distinto de ceo (S ) - ng ( ) S S (misms soluciones) Solución: (S ) es ho de Cme puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

242 Tem. Sistems de Ecuciones.. Comptible indetemindo Se un sistem con m ecuciones n incógnits, tl que ng()ng( )<n, entonces el sistem es comptible indetemindo con n- pámetos libes. Tenemos sí que busc un sistem equivlente con ecuciones incógnits:. Tommos ecuciones independientes (ngo del sistem es ). Psmos n- incógnits l deech de l iguldd ls ttmos como pte del témino independiente (pámetos libes).. El sistem se esuelve po Cme con n- pámetos libes Ejemplo: -- (S) 6 * 6 Si clculmos los ngos se cumple que ng()ng( * ). Luego el sistem es comptible indetemindo con - pámeto libe. Tomemos l como pámeto libe ls pimes ecuciones: (S ) po lo tnto el ngo no seá, tenemos que o bien coge l ot ecución o cmbi de pámeto libe. Cmbiemos de pámeto tomndo l : - - (S ) ng ( ) S S (misms soluciones) Tenemos sí que S se puede esolve po Cme: 6 Es lógico que no pudiémos tom l como pámeto libe, pues tiene un vlo fijo, po tnto, no podemos pone ls demás vibles en función de l. José Luis Loente gón

243 Tem. Sistems de Ecuciones. Resolución de sistems homogéneos. Recodemos que los sistems homogéneos son los que tienen todos sus téminos independientes nulos. n n () n () m m mn m (m) Un de ls ccteístics más elevntes es que todo sistem homogéneo es comptible, que l últim column de l mti mplid, *, es nul, con lo que siempe ng()ng( * ). demás, es fácil ve que todo sistem homogéneo tiene como solución l denomind solución tivil o impopi n. P discuti obtene l solución del de un sistem homogéneo tenemos el siguiente esquem ng()ng( * ) con n incógnits: Si n, comptible detemindo. L únic solución l solución tivil Si <n, comptible indetemindo con n- pámetos libes ecuciones independientes. Ejemplo: C. Septiembe del 6, pueb. Estudi el númeo de soluciones del siguiente sistem en función de m, esolve cundo se posible: m m ( m ) Vemos el ngo de en función de m: -m m- m m m ) Si m ng (), sistem comptible indetemindo b) Si m ng(), sistem comptible detemindo,. Vemos ls soluciones si m (comptible indetemindo): λ µ λ µ 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

244 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón 7 EXÁMENES DE PU Junio 8. Pueb B. PR-.- Se conside el sistem donde es un pámeto el ) Discuti el sistem en función del vlo de b) Resolve el sistem p c) Resolve el sistem p Solución ), * Rngo de ng()<; ng() independientemente del vlo de. Rngo de * : vemos los menoes de * de oden ) ( Si ng() ) ( Si ng() ) ( Si ng() Luego Rng( * ) siempe que. Si ng(*)

245 Tem. Sistems de Ecuciones Conclusión: R-{} ng() ng( * ) S.C.I. S.I. El sistem es comptible indetemindo (infinits soluciones) con un pámeto libe si. Siempe que entonces el sistem seá incomptible (sin soluciones) b) Si no tiene solcuiones c) Si sistem incomptible indetemindo. Tenemos que busc un sistem equivlente con dos ecuciones un pámeto libe. Este sistem tiene que cumpli que ng()ng( * ). Como tomemos ls pimes ecuciones con e de incógnits: En este cso es sencillo esolve el sistem: - --(-)- Soluciones: t t t Septiembe 8. Pueb. PR-.- Se un pámeto el. Se conside el sistem ) Discuti el sistem en función del vlo de. b) Resolve el sistem p. c) Resolve el sistem p. 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

246 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón 9 ), * Rngo de : () Si {,-} entonces ng(). Si ng() Si - ng() Rngo de * Si {,-} entonces ng( * ). Si *,, ng( * ) Si - * ng( * ) Conclusión - R-{-,} ng() Rng( * ) S.I. S.C.I S.C.D.

247 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU b) Si tenemos que busc un sistem equivlente con dos ecuciones dos incógnits. Como podemos coge ls dos pimes ecuciones con e como incógnits: -; --(-)-- -t, --t, t c) Si - sistem incomptible sin soluciones Septiembe 6. Pueb B. P..- Discútse, en función del pámeto el k, el siguiente sistem de ecuciones lineles. Resolve cundo se posible. ) ( * k k k k k S k k k P estudi el sistem h que ve los ngos de ls mtices * en función del pámeto libe k.. Rngo de : El ngo mo de puede se. ng() k k o k o k Ls ecuciones que quedn son ls siguientes: ± k k k k k k P que el ngo se debeín de se todos los deteminntes nulos, como no eiste ningún vlo de k que hg todos los deteminntes nulos, entonces el ngo de siempe es. Luego k R ng(). Rngo de * : el ngo de * puede se como máimo.. ng(), 9 ± k k k k k k k R-{,, -} ng( * ) b. ng() solo puede se en k, o -. Vemos lo que ocue p estos vloes:

248 Tem. Sistems de Ecuciones * k, 9 ng( * ) k *, ng( * ) k- *, ng( * ) Se cumple sí que p k,, - el ngo de l mplid es dos. Conclusión: vmos ponos en est tbl p discuti el sistem de ecuciones: k k- k k R-{,,-} ng() ng( * ) Comp. Det. Comp. Det. Comp. Det. Incomptible El númeo de soluciones según k son: Si k,, - Sistem comptible detemindo Si k R-{,, -}Sistem incomptible. L segund pte del enuncido dice que lo esolvmos p los vloes de k que teng solución. Podímos esolvelo independientemente p los tes vloes de k, unque seí mu lboioso. Vmos esolvelo en función de k. Como el ngo de es, tendemos que busc dos ecuciones independientes, en los que el ngo se. k ( S') k k * k Vemos como dos ecuciones independientes p los tes vloes de k (ngo de es ): k-9 p k, -. k José Luis Loente gón

249 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Resolvmos el sistem: k k k k k k k k k Si k, Si k, - Si k- -/, -/ Junio 6. Pueb B. P..- Se conside el sistem de ecuciones lineles. ) Discútse el sistem según el vlo del pámeto el. b) Resuélvse el sistem p. Solución: ) ) ( ) ( * S Vemos el ngo de de * :. Rngo de ) ng() -,- R-{,-}, ng() b) Vemos el ngo cundo : (), ng(()) c) Vemos ho cundo - (-), ng((-))

250 Tem. Sistems de Ecuciones. Rngo de * ) ng( * ) siempe que R-{,-}. b) Vemos el ngo p de *, 6 ng( * ()) c) Vemos el ngo p - de * ng( * (-)) Luego el ngo de * es independientemente del vlo de. Vemos l siguiente tbl p discuti el sistem según el vlo de : - R-{,-} ng() Rng( * ) INC INC C.D. Conclusión: R-{,-} Sistem Comptible detemindo ( solución),- Sistem incomptible (sin soluciones) b) Solución cundo : el sistem es comptible detemindo, esolviendo po Cme tenemos que ls soluciones son,,. José Luis Loente gón

251 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Septiembe. Pueb B. PR-.- Se k un númeo el. Considéese el sistem de ecuciones lineles. ) Discútse según los vloes de k e intepétese geométicmente el esultdo. b) Resuélvse el sistem p k. Solución ) * ) ( k k k k k k k k S k k k k k Vemos un ngo de de * :. Rngo de ) ng() k -k(k-) (k) k,- k R-{,-}, ng() b) Cundo k: (k), ng((k)) c) Cundo k- (k-), ng((k-)). Rngo de * ) ng( * ) siempe que k R-{,-}. b) P k de *, ng( * (k)) c) P k- de *

252 Tem. Sistems de Ecuciones 9 ng( * (k-)) Estudiemos l siguiente tbl p discuti el sistem según el vlo de k: Conclusión: k- k k R-{,-} ng() Rng( * ) INC C. IND C.D. k R-{,-} Sistem Comptible detemindo ( solución) k- Sistem incomptible (sin soluciones) k Sistem comptible indetemindo con dos pámetos libes b) Solución cundo k: el sistem es comptible detemindo, esolviendo po Cme tenemos que l solución es -/, /, 9/. Junio. Pueb. PR-.- ) Discútse el sistem, en función del vlo de. b) P el vlo, hállese, si pocede, l solución del sistem. Solución: ) ( S) ( ) * Vemos un ngo de de * :. Rngo de ) ng() -,/ R-{,/}, ng() José Luis Loente gón

253 Tem. Sistems de Ecuciones 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU b) Rngo cundo : (), ng(()) c) Rngo cundo / (/) / / /, ng((/)). Rngo de * ) ng( * ) siempe que R-{,/}. b) Rngo p de *, ng( * ()) c) Rngo p / de * / / / / / / / ng( * (/)) Estudiemos l siguiente tbl p discuti el sistem según el vlo de : / R-{,/} ng() Rng( * ) INC INC C.D. Conclusión: R-{,/} Sistem Comptible detemindo ( solución), / Sistem incomptible (sin soluciones)

254 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón 7 b) Solución cundo : el sistem es comptible detemindo, esolviendo po Cme tenemos que ls soluciones son -6,, Septiembe. Pueb B. PR-.- Se conside el sistem de ecuciones lineles 6. ) Eiste lgún vlo del pámeto p el cul el sistem se incomptible? b) Eiste lgún vlo del pámeto p el cul el sistem se comptible detemindo? c) Resuélvse el sistem p. Solución: ) 6 6 ) ( 6 ) ( * S Clculemos los ngos de *. Rngo de ) ng() no h ningún vlo de que hg el deteminnte distinto de ceo, luego el ngo siempe es meno que. ng(): p que el ngo se tiene que hbe lgún meno de oden distinto de ceo. Clculndo los menoes: 6,, 6 Luego siempe que el ngo de seá. R-{} ng() b) Cundo () 6, ng(()). (ls tes fils son popocionles). Rngo de * 6 * Tenemos que busc un meno de oden no nulo p que se de ngo :

255 Tem. Sistems de Ecuciones 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU 6, 6. No h ningún meno de oden no nulo (l tece fil es sum de ls dos pimes), con lo que el ngo es meno que p culquie vlo de. Vemos si h lgún meno de oden no nulo: independientemente del vlo de. Luego el ngo de * es siempe, independientemente del vlo de. R-{} ng() ng( * ) INC C.I. Conclusión: R-{} Sistem Comptible indetemindo ( pámeto libe) Sistem incomptible (sin soluciones) b) Solución cundo : el sistem es comptible indetemindo, ) ( 6 S, tenemos sólo dos ecuciones independientes un pámeto libe. Si cogemos ls pimes ecuciones l como pámeto libe el sistem es el siguiente: ) ( ') ( tn ') ( ' ' ') ( S S to po ng S 6,

256 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón 9 Junio. Pueb B. PR-.- Se conside el sistem λ λ λ. ) Discútse según los vloes del pámeto λ. b) Resuélvse p λ. c) Resuélvse p λ Solución: ) ) ( * λ λ λ λ λ λ λ λ S Vemos el ngo de de * :. Rngo de ) ng() -λ λ- λ λ R-{}, ng() b) Cundo λ: (λ), ng((λ)). Rngo de * ) ng( * ) siempe que R-{}. b) P λ de *, ng( * (λ)) Vemos l siguiente tbl p discuti el sistem según el vlo de : λ λ R-{} ng() ng( * ) Com In C.D.

257 Tem. Sistems de Ecuciones Conclusión: λ R-{-} Sistem Comptible detemindo ( solución) λ Sistem comptible indetemindo (infinits soluciones) b) Solución cundo λ-: El sistem es comptible detemindo. Resolvemos po Cme. Solución: -, -, - c) Solución cundo λ: El sistem es comptible indetemindo con pámetos libes. Sólo ecución independiente, tomemos, como pámetos libes. Solución: -- Junio 7. Pueb B. 7 PR-- Sen ls mtices, B, C, D, E ) Hll l mti B T donde B T indic l mti tspuest de B. Es invesible? b) Hll el ngo de T D c) Clcul M que veific l ecución (B T C) ME Solución 7 No invetible pues B T (dos columns 6 6 popocionles) T ) B ( 7 ). Es un mti de, es deci un númeo, como es distinto de ceo el ngo es uno. b) T D ( ) 6 ng( T D ) c) (B t C)ME 7 6 ng(r)ng(r*) S.C.D. Resolviendo po Cme -6/7; ; - R puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

258 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón Septiembe 7. Pueb. PR-.- Se conside el sistem, donde es un pámeto el. ) Discuti el sistem en función del vlo de. b) Resolve el sistem p. Solución ) * Rngo de : --(-)(/) Si R-{,-/} ng() Si,, ng() Si -/ / /, / /, ng() Rngo de *: Si R-{,-/} ng() Si L column l column son igules, luego no todo meno de oden que esté fomdo po mbos es nulo. Vemos el que qued: ng( * ) Si -/ / / 9 / ng( * )

259 Tem. Sistems de Ecuciones Ognicemos l infomción en l siguiente tbl: -/ R-{,-/} ng() Rng( * ) S.I S.C.I S.C.D. Conclusión: Si -. el sistem no tiene solución Si el sistem tiene infinits soluciones con un pámeto libe P todo R-{,-/} un únic solución b) Si ng()ng( * ) SCD. Tenemos que encont un sistem equivlente con dos ecuciones dos incógnits, psndo l ot incógnit l témino independiente. Como el ngo del sistem equivlente h de se, tommos el sistem cus fils sen ls eltivs l deteminnte no nulo de oden que clculmos l estudi el ngo de. Es deci ls pimes ecuciones con, como incógnits. () () Podemos esolvelo fácilmente po educción: ()() - - ()-() Soluciones: t t t R puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

260 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón Otos Ejecicios Poblem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vloes del pámeto ( puntos) b) Resuelve el sistem cundo se posible ( punto) Solución * Estudio del ngo de R Estudiemos si eiste lgún vlo de p el cul ng(). P que esto ocu tiene que cumplise que todos los menoes de oden sen nulos, es deci que se nulen p el mismo vlo de : como no eiste un vlo de que nule todos los menoes (de hecho no eiste ninguno que nule estos dos menoes) se cumple que ng() R Estudio el ngo de * : Vemos cundo los tes menoes de oden (distintos de ) se nuln. El ngo seá si h lgún vlo de en el que se nulen los tes menoes de oden :, ) ( R Si ng( * ), si ng( * )

261 Tem. Sistems de Ecuciones Resummos los esultdos en l siguiente tbl R-{} ng() ng( * ) C.I. Inc Conclusión: Si sistem comptible indetemindo con un pámeto libe; si el sistem es incomptible, no tiene solución b) Sólo tiene solución si. Result que sólo h dos ecuciones independientes con un pámeto libe: ( S) ( S') ng( ') S S' Solución, Poblem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vloes del pámeto (.7ptos) b) Resuelve el sistem cundo cundo (. ptos) ud: fíjte en el sistem ntes de escibi * Solución Odenndo l segund ecución: * Estudio del ngo de - - 6, -/ Luego : ) o -/ ng() b) R-{,-/}ng () puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

262 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón Estudio el ngo de * : Si R-{,-/} ng() *,, ng( * ) / * 9 ng( * ) Resummos los esultdos en l siguiente tbl - R-{,- } ng() ng( * ) C.I. Inc C. D. Conclusión: sistem comptible indetemindo con un pámeto libe -/ incomptible, no solución R-{,-/}sistem comptible detemindo, un solución b) sistem comptible detemindo: * / -

263 Tem. Sistems de Ecuciones 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU sistem comptible indetemindo con un pámeto libe dos ecuciones independientes (S) (S ) ng( ) (S) (S ) -, // Poblem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vloes del pámeto (ptos) b) Resuelve el sistem cundo se comptible ( pto) Solución ), * Estudiemos el ngo de : , luego el ngo de no puede se p ningún vlo de, que el deteminnte siempe es ceo Po oto ldo, eiste un meno de oden dos no nulo, p culquie vlo del pámeto: ng() p culquie vlo de. Estudiemos el ngo de * : P que el ngo de * se meno que tienen que nulse los menoes, uno de ellos es, que como hemos visto siempe es ceo, vemos p que vloes de se nuln los otos menoes., ) ( ) (

264 Tem. Sistems de Ecuciones ± ( )( ( ))( ( )), - P que el ngo se meno que todos los menoes de * hn de se ceo, ésto ± sólo ocue si, que p - no se nul el º clculdo, p no se nuln ni el º, ni el º.. R-{} ng( * ) *., ng( * ()) Resummos los esultdos en l siguiente tbl R-{} ng() ng( * ) C.I. Inc Concluisón: R-{}el sistem incomptible po tnto no tiene soluciones Si el sistem es comptible indetemindo, con infinits soluciones con un pámeto libe. () b) () ( S) () Como el ngo es un pámeto libe, po tnto h que elimin un ecución pone un pámeto l oto ldo del igul: () ( S' ) ng (S ) (S). No hce flt utili Cme, () sustituendo po en (), ls soluciones son:, - José Luis Loente gón 7

265 Tem. Sistems de Ecuciones 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Poblem. Se el siguiente sistem : ) Discute según los vloes del pámeto (.7ptos) b) Resuelve el sistem cundo cundo (. ptos) Solución ) * Estudiemos el ngo de : - si,. R-{,} ng(). P : ng((). P : ng(() Estudiemos el ngo de *:. P R-{,} ng( * ), pues ng().. P *, tenemos que el meno de oden : ng( * ). P * Todos los menoes de de oden son nulos:

266 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón 9,, n( * ) pues Resummos los esultdos en l siguiente tbl R-{,} ng() ng( * ) Inc C.I. C. D. Conclusión: R-{,}, sistem comptible detemindo, si, sistem comptible indetemindo, si, sistem incomptible. b) ) ( () () () S tenemos que ng(),luego sólo h dos ecuciones independientes un pámeto libe ) ( ') ( ) ' ( () () S S ng S. Ls soluciones son, ) ( () () () S Comptible detemindo, esolvemos po Cme: -,,

267 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Poblem: Discútse el siguiente sistem esuelvs cundo se posible. * ) ( k k k k k k k k k k k k k k k k S k k k k k k k k k k. Rngo de * ) ng( * ) * k(k-) (k) k,-, Po lo tnto k R-{,-,} el ngo de * es b) Vemos el ngo p k. *, tomndo el meno: luego ng( * (k)) c) Rngo p k-, tomndo el meno: ng( * (k-)) d) Rngo p k ng( * (k)). Rngo de ) El ngo máimo es, luego p k R-{,-,}, donde el ngo de * es, el sistem es incomptible. Vemos p los demás vloes de k b) k ng((k)

268 Tem. Sistems de Ecuciones José Luis Loente gón k- ng((k-)) c) k ng((k)) Resummos los esultdos en l siguiente tbl: k k- k k R-{,-,} ng() < Rng( * ) Sistem C.D. C.D C.I. INCOM Conclusión: Si k, k- el sistem tiene un únic solución Si k el sistem tiene infinits soluciones con dos pámetos libes Si k R-{,-,}no tiene solcuiones b) Resolve si k: sistem homogéneo C.D. Resolve si k: Como el ngo es uno, nos quedmos con un ecución dos pámetos libes: -- s t s t t,s R Resolve si k- el ngo de es, luego nos quedmos con tes ecuciones; cundo vimos el ngo ls ecuciones en l (), l () l (). Po Cme,,

269 Tem. Sistems de Ecuciones Hce los siguientes poblems Poblem 6. Se el siguiente sistem: m m m ) Discute según los vloes del pámeto m (.7pto) b) Resuelve el sistem si m. (. ptos) c) Resuelve el sistem si m ( pto) Poblem 7. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vloes del pámeto (.7ptos) b) Resuelve el sistem cundo se posible (es deci no se incomptible). (. ptos) puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

270 Mtemátics II (pepción p l PU) Tomo III (Geometí nlític) José Luis Loente gón

271 mi muje, Ruth, mi hijo Dvid. Muchs gcis l coecto, el oto José L. Loente

272 ÍNDICE: Tem. Funciones eles. Definición límites Tem. Funciones. Continuidd Tem. Funciones. Deivbilidd Tem. plicciones de l deivd Tem. Repesentción de funciones Tem 6. Integles indefinids Tem 7. Integles definids. Áes. Tem 8.Mtices Tem 9. Deteminntes Tem. Sistems de ecuciones lineles. Tem.Espcios Vectoiles Tem.Ecuciones de ect plno Tem. Poducto escl, vectoil mito. plicciones BLOQUE I. NÁLISIS BLOQUE II. ÁLGEBR LINEL BLOQUE III. GEOMETRÍ

273

274 Unidd. Espcios vectoiles UNIDD. ESPCIOS VECTORILES.. Espcios vectoiles.. Definición.. Ejemplos. Subespcio Vectoil.. Definición.. Condición necesi suficiente.. Combinción Linel. Sistem Genedo. Dependenci e Independenci Linel.. Bse de un Espcio Vectoil. Teoem de l Bse. 6. Coodends de un vecto. José Luis Loente gón

275 Conteto con l P..U. Unidd. Espcios vectoiles Éste es un tem que unque en el índice se h incluido en el Bloque de Álgeb linel, podí tmbién incluise en el Bloque de Geometí. Petende sí sent ls bses teóics de los dos siguientes tems. unque en los eámenes de mtemátics de PU no suele hbe ningún ejecicio elciondo con este tem he considedo impotnte incluilo, tnto po est en el temio de l signtu como po su impotnci en ls ces de índole tecnológic como ingenieís, mtemátics, químics o físics.. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

276 Unidd. Espcios vectoiles. Espcios vectoiles.. Definición. Definición : Se V un conjunto; se llm opeción inten de V un plicción que nos elcion dos elementos de V con oto de V. El ejemplo más utilido es el de l sum: : VV V u, v uv Ejemplo: se VR el conjunto de los vectoes en el plno( R {(,):, R});vemos como l sum de vectoes en el plno es un opeción inten: : R R R u (, ), v ( ', ' ) u v (, ') Definición : Se V un conjunto, se llm opeción eten de V sobe R un plicción que nos elcion un elemento de V oto de R con oto de V. El ejemplo más utilido es el del poducto escl: : RV V λ, v λ v Ejemplo: se R el conjunto de los vectoes en el plno, vemos como el poducto de un escl un vecto en el plno es un opeción eten: : R R R λ, v (, ) λ v ( λ, λ) Definición: Un conjunto V es un espcio vectoil sobe R si cumple:. Tiene un opeción inten (sum) tl que cumple ls siguientes popieddes: u,v,w V :VV i) conmuttiv: uvvu ii) socitiv (uv)wu(vw) V iii) elemento neuto:eiste un elemento de V,que denotmos,tl que uu iv) elemento opuesto: p todo elemento u eiste oto, -u, tl que u(-u). Tiene un opeción eten (poducto escl) tl que cumple ls siguientes popieddes: λ, µ R, u,v V :RV i) Distibutiv con R: (λµ) uλ uµ u ii) Distibutiv con V: λ(uv)λ uλ v iii) socitiv: (λ µ) uλ (µ u) iv) Elemento neuto: uu V José Luis Loente gón

277 Unidd. Espcios vectoiles l conjunto V, con ls nteioes opeciones popieddes se le denomin espcio vectoil, se epesent po l ten (V,, R). Los elementos petenecientes V se les llm vectoes, siendo escles los petenecientes R (se suelen utili ls lets giegs minúsculs)... Ejemplos de Espcios Vectoiles En este ptdo vmos ve vios ejemplos de espcios vectoiles. El oigen de l estuctu mtemátic del espcio vectoil son el conjunto de los vectoes en el plno, R, el conjunto de los vectoes en el espcio, R, tnts veces utilidos en l físic (velocidd, celeción, posición ), si bien eisten muchos otos espcios vectoiles como veemos continución.. Conjunto de los vectoes en el plno con ls opeciones de l sum de vectoes el poducto escl (R,, R). Demostción. Opeción inten: u (,), v (, ), w ( ' ', ' ') : R R R u (, ), v ( ', ' ) u v (, ') i) Conmuttiv: u v ( ', ' ) ( ', ' ) v u ii) socitiv: ( u v) w (( ' ) '',( ') '' ) ( ( ' ' '), ( ')) u ( v w) iii) Elemento neuto: u (, ) (,) (, ) u iv) Elemento opuesto: u ( u) (, ) (, ) (,). Opeción eten: : R R R λ, v ( ', ' ) λ v ( λ, λ ) i) Distibutiv en R: ( λ µ ) u (( λ µ ),( λ µ ) ) ( λ µ, λ µ ) λ(, ) µ (, ) λ u µ u ii) Distibutiv en R : λ ( u v) λ( ', ') ( λ( '), λ( ')) λ (, ) λ ( ', ') λ u λ v iii) socitiv: ( λ µ ) u (( λ µ ),( λ µ ) ) λ ( µ, µ ) λ ( µ u) iv) Elemento neuto u (, ) (, ) u puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

278 Unidd. Espcios vectoiles. El conjunto de los vectoes en el espcio, R {(,,):,, R} con ls opeciones de l sum de vectoes el poducto escl (R,, R). Demostción: L demostción es equivlente l vist p los vectoes en el plno, con l slvedd de que h que ñdi un coodend más.. El conjunto de los polinomios con gdo n con coeficientes eles, P n (R), con ls opeciones de l sum de polinomios el poducto escl (P n (R),, R). Demostción:. Opeción inten: p() n n ; q() n n, h() n n : Pn(R)Pn(R) Pn(R) p(),q() p()q()( n n ) n ( ) i) Conmuttiv: p()q() ( n n ) n ( ) ( n n ) n ( )q()p() ii) socitiv: (p()q())h() (( n n ) n ) n (( ) ) ( n ( n n )) n ( ( ))p()(q()h()) iii) Elemento neuto: p()()( n ) n ( ) n n p() iv) Elemento opuesto: p()(-p()) ( n - n ) n ( ) n (). El conjunto de ls mtices en culquie dimensión, M nm (R), con ls opeciones de l sum del poducto escl (M nm (R),, R). Demostción: L demostción es tivil, plicndo ls popieddes de l sum el poducto de númeos eles en cd coeficiente de ls mtices. eli po el lumno en cs. Ejecicio : deci si son espcios vectoiles los siguientes conjuntos con ls opeciones indicds. ) Ls mtices cudds con opeción inten el poducto de mtices el poducto escl, como opeción eten b) R con el poducto escl como opeción eten l siguiente sum como opeción inten: : R R R (,),(, ) ( -( ),) ) Vemos si el conjunto de ls mtices cudds con el poducto de mtices como opeción inten es espcio vectoil:. Opeción inten: : M nn (R) M nn (R) M nn (R), B B José Luis Loente gón

279 Unidd. Espcios vectoiles i) Conmuttiv B B (po lo genel ls mtices no conmutn), luego no es espcio vectoil con el poducto como opeción inten (sí es espcio cundo l opeción inten es l sum de mtices, como vimos). b) Vemos si R, con l sum nteiomente definid como opeción inten, es espcio vectoil:. Opeción inten: i) Conmuttiv: tenemos que ve si se cumple que u vv u : u v ( ' ( '),) v u ( ' ( ' ),) ii) socitiv: tenemos que ve si (u v) wu (v w): v u v w ( ' ( '),) ( ' ', '' ) (( ' ) '' (( ') ' '),) ( ) u ( v w) (, ) ( ' ' ' ( ' '' ),) ( ( ' ' ') ( ( ' '' )),) iii) Elemento neuto: no eiste, pues se cul se este vecto, nos nul l segund coodend del vecto. Vemos, suponiendo que el elemento neuto es v (,): u ( ( ),) (,) u Luego no es espcio vectoil el conjunto de los vectoes en el plno con l sum como opeción inten.. Subespcio vectoil.. Definición Definición: Se (V,, R) un espcio vectoil W un subconjunto de V (W V). Se dice que W es subespcio vectoil de V si W, con ls opeciones definids en (V,, R), se compot como un espcio vectoil, es deci, cumple ls popieddes definids en ptdo nteio. En l páctic no es necesio volve compob nuevmente ls difeentes popieddes de ls opeciones inten eten sobe W. Vemos un condición necesi suficiente en el siguiente subptdo... Condición suficiente necesi Teoem: Se (V,, R) un espcio vectoil W un subconjunto de V (W V); (W,, R) es subespcio vectoil de V si cumple ls siguientes poposiciones: ) u,v W uv W (cedo con l sum). ) u V, λ R λ u W (cedo con el poducto escl). 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

280 Unidd. Espcios vectoiles Ejemplo: Estudi cules de los siguientes subconjuntos de R vectoiles son subespcios ) S{(,): R}. u (,), v (, ) S u v (, ' ) S, pues R l pime coodend es nul. u (,) S, λ R λ u (,λ ) S, pues λ R l pime coodend es nul Es subespcio, l cumpli ls dos condiciones. b) T{(,): R}. u (,), v (,) T u v ( ',) T, pues l segund coodend no es. No es subespcio, pues no cumple l pime condición. c) {(,):}, se puede epes de l siguiente fom: {(,-): R}.. u (,-), v (,- ) u v ( ', ( ' )) pues l segund coodend es l opuest l pime.. u (,-), λ R λ u (λ,-λ ), pues l segund coodend es l opuest l pime. Es subespcio l cumpli ls dos condiciones. Ejecicio : Deci si los siguientes subconjuntos son o no subespcios vectoiles ) Mtices simétics de dimensión n, S n (R) subespcio vectoil de ls mtices cudds de dimensión n (M nn (R),, R)..,B S n (R) ij t ji Bb ij B t b ji C C c t ij ( B) B t c ji ij b ji ij b ji como ij ji b ij b ji t C C B S n (R). λ R, S n (R) Dd ij λ λ ij λ ji d ji (λ )(λ ) t λ S n (R) Es subespcio vectoil (S n (R),, R) Ejemplo: (Iden mtices ntisimétics) b) Mtices tingules infeioes de dimensión n, T i n(r) subespcio vectoil de ls mtices cudds de dimensión n (M nn (R),, R). T i n(r) ij j>i (los elemento encim de l digonl son nulos).,b T i n(r) :Cc ij B ij b ij si j>i pues ij b ij B T i n(r). T i n(r) λ R: Dd ij λλ ij i>j pues ij λ T i n(r) Es subespcio vectoil (T i n(r),, R) (Iden tingules supeioes). José Luis Loente gón 7

281 Unidd. Espcios vectoiles c) El conjunto de polinomios de gdo meno o igul que m, P m (R), es subespcio vectoil del conjunto de polinomios con gdo meno o igul que n, P n (R),(n>m).. p(), q() P m (R) p()q() P m (R) (sumndo polinomios de gdo meno que m el esultdo es oto polinomio de gdo meno que m). p() P m (R) λ R λp() P m (R) (el poducto de un polinomio po un nº el es oto polinomio de mismo gdo) Ejecicio. Deci si son subespcios vectoiles de (R,, R) ) {(,,):, R} Subespcio. (,,),(,,) (,,)(,,)(,,), pues l tece coodend es nul l pime l segund son eles.. (,,), λ R λ(,,)(λ,λ,), pues l tece coodend es nul l pime l segund son eles. b) B{(,,--):, R} Subespcio. (,,--), (,,- - ) B (,,--) (,,- - ) (( ),( ),-(-- - )) B pues l tece coodend es l opuest l sum de ls dos pimes coodends. (,,--) B, λ R λ(,,--) (λ,λ,λ(--)) B pues l tece coodend es l opuest l sum de ls dos pimes coodends c) C{(,,): R} Subespcio. (,,), (,, ) C (,,)(,, ) (( ),( ),( )) C pues l segund coodend es el doble de l pime l tece el tiple de l pime. (,,) C, λ R: λ(,,)(λ,λ,λ) C, pues l segund coodend es el doble de l pime l tece el tiple de l pime d) D{(,,):,,, R}{(,-,):, R} No es Subespcio. (,-,), (,-, ) D (,-,) (,-, ) (,6-( ), ) D, pues l ª coodend no es como l del subespcio. e) E{(,,):,, R}{(,,/) :, R} No es Subespcio. (,,/),(,,/ ) E : (,,/) (,,/ ) (,,// ) D. Pues // /( ) f) F{(,,):,, R}{(,,):, R} No es Subespcio. (,,), (,, ) F : (,,)(,, )(,, ) F, pues ( ) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

282 Unidd. Espcios vectoiles. Combinción linel. Sistem Genedo. Definición: Un vecto v V es combinción linel de los vectoes {v,v,,v n }si se puede escibi de l siguiente fom: vλ v λ v λ n v n con λ, λ,,λ n R Ejemplos:. (7,) R es combinción linel de los vectoes { i (, ), j (,) }: (7,)7(,)(,) λ 7, λ. (,,-) R es combinción linel de los vectoes, {(,,) (,,)}: (,,-)(,,)-(,,) λ, λ -. es combinción linel de { u u,,, } : - λ,λ -,λ,λ. p() es combinción linel de {-, }: p() (-) ( ) λ, λ Definición: un conjunto de vectoes {v,,v n } de un espcio vectoil (V,, R), es sistem genedo de V si culquie vecto del espcio V se puede escibi como combinción linel de éstos. Ejemplos:. Los vectoes { i (, ), j (,) } genen el espcio vectoil R. Demostción: u u v (,) R vemos que es combinción linel de estos dos vectoes: (,)(,)(,) λ, λ λ j i v v. Los vectoes { u i (,,), u j (,,), u k (,,) } R. Demostción: λ son genedoes de v (,,) R vemos que es combinción linel de estos dos vectoes: (,,)(,,)(,,)(,,) λ, λ, λ. José Luis Loente gón 9

283 Unidd. Espcios vectoiles. Los vectoes (,,), (,,) no genen R pues, po ejemplo, el vecto (,,) no se puede epesse como combinción linel de estos, que no eisten vloes de λ, λ tl que (,,)λ (,,)λ (,,)(λ, λ, λ ). Vemos: λ λ No solución pues. λ Los vectoes (,), (,) si son genedoes de R : v (,) R vemos que es combinción linel de estos dos vectoes: (,)λ (,)λ (,) λ λ λ. λ, λ - (,)(,)(-)(,). Ls mtices,,, Demostción: son genedoes de M (R). Teoem : Un conjunto de vectoes {v,,v m } es genedo del espcio (V,, ), si el ngo de l mti B(v,,v m ) es igul l dimensión del espcio vectoil (qué se definiá en el ptdo de este tem). Ejemplo: Demost, que si los siguientes vectoes {(,,), (,,-), (,,), (,,-)} genen R. Como se demostá en el ptdo, l dimensión de R es. Vemos si el ngo de B es igul l dimensión: B ng( B) Genen Ejecicio : Deci si genen los siguientes vectoes de R {(,,), (,,), (,,-)} Tendemos que ve si p culquie vecto v(,,) R compobemos si es posible ponel como combinción linel de los tes vectoes: (,,)λ (,,)λ (,,)λ (,,-) λ λ λ λ λ -λ Tendá solución p culquie vlo de,, si el sistem es comptible; es deci, si ng(b). puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

284 Unidd. Espcios vectoiles B ng(b) No genen.. Dependenci e independenci linel. Definición: Los vectoes {v,v,,v n } son linelmente dependientes si podemos encont númeos eles, λ i, tl que: λ v λ v λ n v n en donde l menos un λ i Definición: Los vectoes{v,v,,v n }son linelmente independientes si no son linelmente dependientes; es deci, si cumple l siguiente iguldd λ v λ v λ n v n sólo ciet cundo λ λ λ n (solución tivil) Teoem : Si los vectoes {v,v,,v n }son linelmente dependientes, entonces, culquie de ellos se puede epes como combinción linel del esto. Si son linelmente independientes ninguno de ellos se podá epes como combinción linel del esto. {v,v,,v n } L.D. v i µ v µ i- v i- µ i v i µnv n {v,v,,v n } L.I. v i no se puede epes como combinción linel del esto. Teoem : Los vectoes {v,v,,v n }son linelmente independientes si el ngo de l mti B(v,,v n ) es igul l nº de vectoes, n, (ng(b)n). En el cso de que se meno, entonces, son linelmente dependientes ng((v,v,,v n ))n L. I. ng((v,v,,v n ))<n L. D. Ejemplos:. (,), (,), (,) vemos si son L.I. o L.D. : λ (,)λ (,)λ (,)(,) λ λ λ λ λ B λ, λ -, λ es solución. Linelmente dependientes. Teoem : (,)(,)-(,) Teoem : Es un sistem homogéneo comptible indetemindo( ng(b)) José Luis Loente gón

285 Unidd. Espcios vectoiles puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU. (,,), (,,), (,,) vemos si son L.D. o L.I.: λ (,,)λ (,,)λ (,,)(,,). B λ λ λ λ λ λ Tenemos que l únic solución es λ λ λ linelmente independiente, que el sistem es comptible detemindo. Teoem : (,,) µ (,,)µ (,,) Teoem : ng(b).. {,, } vemos son L.D. o L.I. λ λ λ ( ) B λ λ λ λ El sistem es comptible indetemindo; un solución distint de l tivil es λ, λ, λ -. Linelmente dependiente Teoem : Teoem : ng(b). Ejecicio : ve si son L.D. o L.I. ) (,,), (,,), (,,) λ (,,)λ (,,)λ (,,)(,,) B λ λ λ λ L solución es λ λ -λ, luego eiste lgun solución distint de l tivil (λ -, λ, λ ). Linelmente dependiente. Not: Siempe que en el conjunto de vectoes h dos igules o popocionles (como los dos pimeos), el sistem es linelmente dependiente Teoem : (,,)(,,)(,,) Teoem : ng(b)

286 Unidd. Espcios vectoiles José Luis Loente gón b) (,,), (,,), (,,) λ (,,)λ (,,)λ (,,)(,,) B λ λ λ λ λ L únic solución es λ λ λ, luego los vectoes son linelmente independientes. Teoem : (,,) µ (,,)µ (,,) Teoem : ng(b). c) (,,), (,,-) λ (,,)λ (,,-)(,,) B λ λ λ λ λ λ Únic solución es λ λ. Los vectoes son linelmente independiente Teoem : (,,) µ(,,-) Teoem : ng(b)nº vectoes d) (,,), (,,), (,-,) λ (,,)λ (,,)λ (,-,)(,,) B λ λ λ λ λ λ Tiene infinits soluciones, λ λ λ R. Po ejemplo un solución no tivil puede se λ λ, λ. Luego los vectoes son linelmente dependientes. Not: Siempe que uno de los vectoes se el vecto nulo, el conjunto de vectoes es linelmente dependiente Teoem : (,,) (,,) (,-,) Teoem : ng(b). Ejecicio 6: ve si son L.D. o L.I. ),, λ λ λ B λ λ λ λ λ λ

287 Unidd. Espcios vectoiles puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Tiene únic solución λ λ λ. Luego el conjunto de vectoes (mtices) son linelmente independientes. Teoem : µ µ Teoem : ng(b) b),,,,,, λ λ λ λ B λ λ λ λ λ λ λ λ λ Tiene infinits soluciones ( B ), po ejemplo λ λ, λ λ -. Luego el conjunto de ls mtices son linelmente dependientes. Teoem : Teoem : ng(b). Bse de un espcio vectoil. Teoem de l Bse Definición: Ddo un conjunto de vectoes {v,v,,v n } en un espcio vectoil (V,, R) fomn un bse si cumplen ls dos siguientes condiciones:. linelmente independientes. sistem genedo de V Teoem de l bse: Tods ls bses de un espcio vectoil V tienen el mismo númeo de vectoes. l númeo de vectoes se le llm dimensión del espcio vectoil. Ejemplos:. (R,, R) es espcio vectoil de dimensión, pues {(,), (,)}son bse l se linelmente independientes genen. demost po el lumno. (R,, R) es espcio vectoil de dimensión, pues {(,,), (,,), (,,)}son bse, l se linelmente independientes gene. demost po el lumno

288 Unidd. Espcios vectoiles. (M mn (R),, R) es espcio vectoil de dimensión m n. Ejemplo M (R) dimensión, pues {,,, } son bse l se linelmente independiente gene. demost po el lumno. P n (R) es un espcio vectoil de dimensión n, pues {,,,, n } son bse l gene se linelmente independientes. demost po el lumno Teoem : Si un conjunto de n vectoes {v,, v n }es bse de (V,, R), siendo l dimensión de V igul n : ) Se cumple que si son linelmente independientes, entonces son genedo de V; l evés, si genen son linelmente independientes. b) Se cumple que si son linelmente dependientes, entonces no genen V; l evés, si no genen son linelmente dependientes. De est mne, p ve si un conjunto de n vectoes en un espcio de dimensión n es un bse, sólo h que compob que son linelmente independientes o genen; no há flt compob ls dos condiciones. Po lo genel es más fácil ve que son L.I. Teoem : Un conjunto de vectoes {v,, v n } constitue un bse si l mti B(v,,v n ) es cudd (mismo nº vectoes que l dimensión) su deteminnte B (linelmente independientes). Teoem 6: Si el conjunto de vectoes {v,, v m }petenece l espcio vectoil (V,, R) de dimensión n<m, entonces estos vectoes son linelmente dependientes. Teoem 7: Si el conjunto de vectoes {v,, v m } petenece l espcio vectoil (V,, R) de dimensión n>m, entonces estos vectoes no genen V. Ejecicio 7: Compob si los siguientes vectoes son linelmente independientes, genen si son bse de sus espectivos espcios vectoiles. ) {(,), (,), (,)} son tes vectoes en un espcio vectoil de dimensión, luego los vectoes son linelmente dependientes, po lo tnto no son bse. Vemos si genen; p eso estudiemos el ngo de B B ng(b) Genen b) {(,), (,)} son dos vectoes l igul que l dimensión de R, pude sucede: ) Son bse, po lo tnto, linelmente independientes genen. b) No son bse, po lo tnto, linelmente dependientes no genen. P ve en qué cso nos encontmos mimos el deteminnte de B. estmos en el cso b) linelmente dependientes no genen José Luis Loente gón

289 Unidd. Espcios vectoiles c) {(,), (,)} son dos vectoes, igul que l dimensión de R, estmos en el mismo cso que en b). Vemos en este cso en qué situción nos encontmos: B - Luego son bse po tnto linelmente independientes genedoes. d) {(,,), (,,)} son dos vectoes en un espcio vectoil de dimensión, luego no son genedoes, po lo tnto, tmpoco son bse. Es fácil de ve que son linelmente independientes, que los dos vectoes no son popocionles. Oto método es ve el ngo de B: Rng(B)numeo de vectoes linelmente independientes. e) {(,,), (,,), (,,-)} son, igul l dimensión. Po lo tnto estmos en l mism situción que en b). Seán bse o no según el vlo de B : B son bse de R, po lo tnto, genen son linelmente independientes. f) {,-,- } bse de P (R) son vectoes en un espcio vectoil de dimensión. Vemos si son bse clculndo B B son bse de P (R), po lo tnto, genen son linelmente independientes. g) {,,, }bse de M (R) son mtices en un espcio pectol de dimensión ; vemos si son bse viendo el vlo de B 6. Coodends de un vecto. -7 son bse de M (R) Teoem 8: Se B{v, v,, v n } un bse del espcio vectoil (V,, R); entonces todo vecto u V se puede escibi de fom únic como combinción linel de los vectoes B. uµ v µ n v n. Los vloes (µ,µ,,µ n ) se llmn coodends de u en l bse B. Ejemplos: Ve ls coodends del vecto u (,, ) ) en l bse cnónic {(,,), (,,), (,,)}: 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

290 Unidd. Espcios vectoiles José Luis Loente gón 7 (,,-)(,,)(,,)-(,,) ls coodends,-. b) en l bse B{(,,), (,,-), (,,)} (,,-)µ (,,)µ (,,-)µ (,,) µ µ µ µ µ µ -7/, µ /, µ Luego ls coodends en l bse B son µ -7/, µ /, µ Mti de cmbio de bse, B, cmbio de bse inves, B - : Dd un bse W{v,v,,v n }, l mti B es l fomd po ls coodends de los vectoes de W. sí, cd column de B es un vecto de W B(v,,v n ). Ests mtices nos pemiten obtene de fom ápid:. B ls coodends de l bse cnónic cundo nos dn ls coodends en ot bse. B - ls coodends en un bse dd cundo tenemos el vecto definido en l bse cnónic. {Bse W} {Bse cnónic} Ejemplo: W{(,,), (,,), (,,)} B B Se w w v ) (,, un vecto de R en coodends de W; el vlo de v en coodends cnónics es : (7,,8) 8 7 t t v (,,)(,,)(,,) Obtene ls coodends de l bse cnónic en l bse de W: w t t w u ) (,, ) ( (,,)-(,,)(,,) B B -

291 Unidd. Espcios vectoiles 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU w t t w u ),, ( ) ( -(,,)(,,)(,,)(,,) w t t w u ) (,, ) ( (,,) Obtene ls coodends de u (,,) en l bse W: w t t w u ) (,, Ejecicio 8: Se el espcio vectoil P (R); demost que W{,(-),(-),(-) } es bse. Clcul ls coodends de p()- en dich bse. Como el númeo de vectoes de W es, seá bse si son linelmente independientes. Esto ocue si B. ) ( tingul B B Luego W es bse de P (R). L mti B es l mti de cmbio de bse de W l bse cnónic. P obtene ls coodends de p() en l bse W tendemos que clcul B - B p() w ) ( ) ( ) ( (,,,) w t t

292 Unidd. Espcios vectoiles Ejecicios: Espcios vectoiles Ejecicio 9. Deci si los siguientes conjuntos con sus opeciones son espcios vectoiles.. El conjunto de ls mtices cudds, M nn (R), con ls siguientes opeciones: Inten : M nn (R) M nn (R),B M nn (R) B(B) t Eten el poducto escl de un númeo po un mti b. El conjunto de los vectoes en el espcio, R, con ls siguientes opeciones: Inten: poducto vectoil :R R : R (,,),(,, ) ( -, -, - ) Eten: el poducto escl un númeo po un vectoes Subespcios vectoiles Ejecicio. Deci si son subespcios vectoiles. {p() :, R} subespcio de P (R) b. B{(,-,/): R} subespcio de R c. D n {mtices digonles} subespcio de M nn Ejecicio. Hll ls bses l dimensión de los siguientes subespcios de R. S{(,,): -,,, R} b. T{(,,): R} Ejecicio. Hll el vlo de b p que el vecto (,b,-) petenec l subespcio genedo po los vectoes {(,,), (,-,)}. Hll l fom genel de este subespcio. Combinción linel, genedoes, bse. Coodends Ejecicio. Deci si los siguientes conjuntos de vectoes son linelmente independientes, genedoes bse. c. {(,,-), (,-,), (,,), (-,,)} de R d. {,, } de P (R) e.,,, de M José Luis Loente gón 9

293 Unidd. Espcios vectoiles Ejecicio. Hll los vloes de que hcen que los siguientes vectoes{(,,), (,6,), (,,)} sen linelmente independientes Ejecicio. Estudi el conjunto de vectoes de R W{(,,),(,,), (,,)} fom bse de R. En cso fimtivo epes en est bse ls coodends de (,,) Soluciones: Ejecicio 9..) Tenemos que compob que l opeción inten definid cumple ls siguientes popieddes:,b,c M (R) i. Conmuttiv: B(B) t t B t B t t (B) t B ii. socitiv: ( B) C( t B t ) C( t B t ) t C t (B)C t (B C) (B t C t ) t (B t C t ) t t (BC) No se cumple l popiedd socitiv, luego no es espcio vectoil. b) Tenemos que compob que l opeción inten definid cumple ls siguientes popieddes: u, v, w R i. Conmuttiv: u v ( -, -, - ) v u ( -, -, - ) - u v u v Ejecicio No se cumple l popiedd conmuttiv, luego no es espcio vectoil..) Vemos si cumple ls dos siguientes popieddes p(), q(), λ R b.) i. p()q() ( ), pues tiene el témino independiente el de segundo gdo. ii. λ p()λ λ pues tiene el témino independiente el de segundo gdo. Es subespcio u, v B λ R; vemos si se cumple ls dos popieddes i. u v ( ', ( '), ) B, pues ' No es subespcio. ' ' c.),b D n (R) λ R; vemos si se cumple ls dos popieddes: ij si i j, Bb ij si i j i. Cc ij B ij b ij si i j B D n (R) ii. Dd ij λ λ ij si i j λ D n (R) Es subespcio. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

294 Unidd. Espcios vectoiles Ejecicio ) S{(,,): -,,, R}{(,,):, R} Todo vecto de S se puede pone como combinción linel de (,,), (,,): (,,) (,,) (,,), R. L dimensión es ( pámetos libes) L bse se consigue dndo vloes ls vibles (tntos como l dimensión), (,,), (,,) b) T{(,,): R} Todo vecto de S se puede pone como combinción linel de (,,): (,,) (,,), R. Dimensión ( pámeto libe). L bse se consigue dndo vloes ls vibles (tntos como l dimensión), (,,) bse de T Ejecicio (,b,-) <(,,), (,-,)> (,b,-)λ (,,)λ (,-,) λ λ 7 λ, λ λ Ejecicio 7 (,b-) (,,) (,-,)(,,-). Luego b Llmemos B l subespcio B{(,,)(,-,)(,-,), R} ) {(,,-), (,-,), (,,), (-,,)} son vectoes de R, cu dimensión es, luego no pueden se linelmente independientes, po lo tnto, son linelmente dependientes. P ve si son genedoes tenemos que estudi el ngo de l mti B. Si el ngo es entonces seán genedoes. B ng(b), luego son genedo de R. b) {,, }. L dimensión de P (R) es, igul que el númeo de vectoes. Pueden ocui dos coss: ) Son linelmente independientes genedoes, luego bse ) Son linelmente dependientes no genen, luego no son bse. P ve en cuál de los dos csos estmos vemos el vlo del deteminnte de B. B, det(b), luego estmos en el cso. José Luis Loente gón

295 Unidd. Espcios vectoiles puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU c),,,, l dimensión es, igul que el númeo de mtices, luego, l igul que en el ptdo nteio, tenemos que ve si el deteminnte de los coeficientes es distinto de ceo. B B. Ls mtices son linelmente independientes genedoes, po lo tnto bse. Ejecicio {(,,), (,6,), (,,)} linelmente independiente si el deteminnte de los coeficientes es distinto de ceo. ) ( 6 B ± R. Luego, independientemente del vlo de, los vectoes son linelmente independientes, po lo tnto bse. Ejecicio W{(,,),(,,), (,,)}, son bse que el deteminnte de B es distinto de ceo. 8 B / / / / / B (,,) w t t ), /, ( / / / / / /

296 Unidd. Espcios vectoiles José Luis Loente gón

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298 Unidd. Ecuciones de l ect el plno UNIDD. ECUCIONES DE RECT Y PLNO. Intoducción. Espcio fín... Vecto en el espcio. Vecto libe fijo... Opeciones con vectoes.. Dependenci e independenci de vectoes. Bse.. Relción ente punto vecto. Coodends. Ecuciones de l ect en el espcio.. Ecución vectoil.. Ecuciones pmétics.. Ecución en fom continu.. Ecución en fom implícit o intesección de dos plnos... Cso pticul. Conociendo dos puntos de l ect.. Ecuciones del plno.. Ecución vectoil.. Ecución en pmétics.. Ecución genel o implícit.. Cso pticul conociendo puntos del plno.. Posiciones eltivs.. Dos plnos.. Tes plnos.. Rect plno.. Dos ects José Luis Loente gón

299 Conteto con l P..U. Unidd. Ecuciones de l ect el plno Entmos con este tem en el último bloque del libo, l geometí. L impotnci de este bloque en l PU qued de mnifiesto ño ts ño. En los últimos ños uno de los dos poblems de. puntos de cd un de ls dos opciones es un poblem de geometí. Entmos en el bloque cuos poblems quiás sen los más complicdos del cuso, que en muchos csos se equieen un buen visión espcil de busc esttegis p esolve los poblems. Si bien en muchs ocsiones, csi tods ls cuestiones son poblems tipo, como los que vmos hce en estos dos tems. Un ve entendido el poblem, elbod l esttegi de esolución los cálculos son sencillos, no como los vistos en el bloque de nálisis. 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

300 Unidd. Ecuciones de l ect el plno. Intoducción. Espcio fín.. Vecto en el espcio. Vecto libe fijo. Como hemos estudido en el tem nteio el conjunto de los vectoes del espcio, con ls opeciones de l sum de vectoes el poducto escl de vecto po un númeo es espcio vectoil. De hecho l definición mtemátic de espcio vectoil suge p intepet ls popieddes de ls mgnitudes físics vectoiles (velocidd, celeción, fue ) sí (R,, ) es espcio vectoil, donde R {(,,):,, R}. El conjunto de los elementos que fomn pte de R se llmn vectoes en el espcio. Dento de los vectoes distinguiemos ente vectoes fijos libes:. Vecto fijo de oigen etemo B, es el segmento oientdo ccteido po tene ls siguientes ptes: - Diección: es l ect que une los dos puntos o culquie plel - Sentido: es l oientción que tiene, desde hst B - Modulo: es l longitud del segmento oientdo - Punto de plicción: el punto B Coodends de vecto fijo: Si (,, ), B( b, b, b ) son ls coodends de los puntos que fomn el vecto, ls coodends del vecto son ls que se obtiene estndo ls coodends de B menos ls de : B-(,, )-( b, b, b ) ( b -, b -, b - ) Módulo del vecto: es igul l distnci ente B. Utilindo Pitágos tendemos que B Rect de diección l oigen B etemo ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) José Luis Loente gón 7

301 Unidd. Ecuciones de l ect el plno b. Vecto libe: Sen los vectoes con igul módulo, diección (situds en ects plels) sentido (,, ), estos vectoes se llmn equipolentes. Todos los vectoes equipolentes tienen misms ls coodends. El conjunto de todos los vectoes equipolentes uno ddo definen un vecto libe. Se suele epesent como el vecto fijo equipolente situdo en el oigen. B B B v B.. Opeciones con vectoes libes Vemos ls opeciones más impotntes con los vectoes..sum Es l opeción inten desde el punto de vist de espcio vectoil. L sum de dos vectoes v v ' (,,)(,, )(,, ) L intepetción geométic de est opeción puede vese como el vecto que esult de polog v ' l etemo de v, o po l egl del plelogmo: v ' Puedes imginlo viendo l fue esultnte de ots dos fues (que son vectoes) con distint diección (po ejemplo dos cbllos stndo un bc cd uno po un oill)..poducto escl v v v v' Es l opeción eten desde el punto de vist de espcio vectoil. El poducto de un vecto v po un constnte λ es: λ v λ (,,)( λ,λ,λ). v ' 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

302 Unidd. Ecuciones de l ect el plno L intepetción gáfic es tl que si: ) λ> es un vecto con l mism diección, sentido con módulo λ v λ v b) λ< es un vecto con l mism diección, sentido contio módulo λ v λ v c) λ el vecto nulo (,,).. Dependenci e independenci linel. Bse. El concepto de linelmente independiente dependiente es el mismo que el estudido en el tem nteio. sí como el de bse. Recodemos que l dimensión de R es, sí que el númeo de vectoes que fomn l bse seí de. l se de dimensión, el númeo máimo de vectoes linelmente independientes es, de mne que si tenemos o más vectoes, seguo que son linelmente dependientes. Tes vectoes son linelmente independientes si cumplen lguno de los siguientes equisitos: ) λ v λ v λ v unic solución l tivil λ λ λ b) v µ v µ v, v µ v µ v, v µ v µ v c) ng( ' ' ' '' '' ) '' Dos vectoes son linelmente independientes si cumplen lguno de los siguientes equisitos: ) λ v λ v λ λ b) v µ v, v µ v c) ng( ' ' ) '.. Relción ente punto vecto. Coodends. P locli un punto en el espcio necesitmos un sistem de efeenci, es deci ects (genelmente pependicules) que se cotn en un punto llmdo oigen. El sistem de efeenci más utilido es el sistem de efeenci ctesino, este está fomdo po tes vectoes unitios (modulo ) pependicules, que fomn un bse. L notción usd es l siguiente: {, i, j, k }, siendo i (,,), j (,,), k (,,). En este sistem de efeenci tenemos tes ects o ejes ctesinos que contienen cd uno de los tes vectoes. Estos ejes se denotn OX (eje de ls ) que contiene i, OY (eje de ls ) que contiene j OZ (eje de ls Z) que contiene k. José Luis Loente gón 9

303 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Coodends en un punto un vecto: Todo punto en el espcio se puede detemin conociendo l posición que ocupn sus poecciones sobe los ejes, es deci ls coodends del punto. Los puntos se suelen denot po lets músculs P(,, ) Ls coodends de un vecto nos muestn el gdo de vnce de dicho vecto en ls tes diecciones del espcio, sí v (,-,) implic un unidd de vnce en el sentido positivo del eje X, en el negtivo del eje Y no vn en el eje Z Se cumple que ls coodends del punto P son ls misms que ls coodends del v vecto v OP (,, ) (,, i j k ) P i k v v OP j Coodends del puno medio de un segmento: Se un segmento B, con (,, ) B( b, b, b ) los etemos del mismo. El punto medio M seá el que está en el segmento tl que l distnci de M se l mism que de M B. es deci. P ve ls coodends de M fijémonos en l siguiente figu: M B i k v j O OM OB ( B -, B -, B - ) ( M -, M -, M - ). Luego ls coodends del punto medio son: M B, M B, M B puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

304 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicios : Ejecicio.- Sen los puntos (,,) B(,,8) ) Hll ls coodends de los vectoes (,,8 ) (,,) (,, 8) (,, ) - b) Hll dos puntos C D tles que el vecto se equipolente l vecto Tenemos que busc dos puntos C D tl que ls coodends de sen (-,-,). Fijndo un punto obtendemos el oto. Po ejemplo si C(,,) D(-,-,). c) Hll el etemo F de un vecto tl que se equipolente, siendo E(-,6,-9) (, 6, 9) (,,) E(-,,-6) d) Hll el oigen G de un vecto fijo tl que se equipolente, siendo H(,,9) (,,9 ) (,,) G(,,6) Ejecicio.- Sen,,,, dos vectoes libes. Se pide: ) Dibuj cd uno de ellos su sum u (,,); v (,,); u v (,,) u u v v b) Cuál es el etemo de si (,,)? (,, ) u v (,,) (,,) (9,,) c) Cuáles son ls coodends del vecto? u (,,6) u v (, 6,9 ) (, 6,) B(9,-,) José Luis Loente gón

305 Unidd. Ecuciones de l ect el plno. Ecuciones de l ect en el espcio Ls ects son vieddes lineles de dimensión ( pámeto libe). Quedn deteminds po: ) Un punto de l ect un vecto plelo ést (vecto diecto de l ect) b) Dos puntos no coincidentes de l ect. Foms de epes l ect en el espcio:. Fom vectoil ctesin. Pmétics. Ecución continu. Ecución genel o como intesección de dos plnos... Ecución vectoil: Se (, ) P, un punto culquie de l ect, con vecto diecto (todo vecto plelo l ect) v v, v, v ). L ecución vectoil de l ect es: X OP λ v (, o (,, ) ( ) ( v ),, λ, v, v con λ R (pámeto libe). (,,) v OP o P o v Ejemplo del punto de l ect (,,) cundo λ-.. Ecuciones pmétics: Ptiendo de l ecución vectoil, opendo e igulndo coodend coodend, λ v : λ v λ R (pámeto libe) λ v puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

306 Unidd. Ecuciones de l ect el plno.. Ecución en fom continu: Despejndo λ de ls tes ecuciones pmétics e igulndo, se obtiene l fom continu de l ect. : v v v Not: cundo lgun o lguns de ls coodends del vecto diecto de l ect son nuls, l fom de epesent l ecución en continu se modific p no dividi ente. P ve como se modific vemos el siguiente ejemplo: P(,-,), v (,-,) : ;.. Ecución genel o como intesección de dos plnos: Ptiendo de l ecución en fom continu, se esuelven ls dos ecuciones: v v ( ) v ( ) ( ) v ( ) ' B C' D D' Como se veá en el ptdo siguiente, se coesponde con ls ecuciones de plnos que se cotn en est ect. Se cumple que el vecto diecto de l ect es pependicul de los vectoes diectoes de los dos plnos, se obtiene con el poducto vectoil de los vectoes cus coodends son los coeficientes que multiplicn,, de los dos plnos: v (, B,) ( ',, C') ( BC', C', B' ) Como veemos eisten infinits pejs de plnos cu intesección es l mism ect... Cso pticul, conocido dos puntos de l ect: Sen (,, ) (,, ) de l ect es v (, ) B dos puntos po los que ps l ect. El vecto diecto,. Con el punto el vecto diecto v se puede escibi de culquie fom l ect. Po ejemplo, l fom continu: Ejemplo: Dd l ect en fom de intesección de dos plnos, detemin el vecto diecto de l mism un punto. José Luis Loente gón

307 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Vmos epes l ect en pmétics, p ello tenemos que epes dos vibles en función de ot vible, podemos hcelo po sustitución, igulción o educción:. Los vloes de, son cietos p culquie vlo de. Llmndo λ obtendemos l ect en pmétics: λ λ : λ. : λ. λ λ sí el vecto diecto es,, es, po ejemplo, (,, ), que se obtiene hciendo que λ. o uno popocionl: (,, ). Un punto de l mism Compobemos que el vecto diecto es igul l poducto vectoil de los vectoes nomles de los dos plnos: (,,-) (,,)(,--,- )(,-,-), que es,, popocionl ( ) Ots foms de obtene l ecución en pmétics son: ) Clculndo puntos de l ect. Los puntos de l ect se obtienen esolviendo el sistem fijndo un vlo de (o culquie de ls vibles). ) Clculndo un punto de l ect (de l fom indicd en ) el vecto diecto medinte el poducto vectoil de los vectoes nomles de los plnos v(,b,c) (,B,C ) P v P kv j i puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

308 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Gáfic de l ect como intesección po dos plnos: (,B,C) π (,B,C ) P (v,v,v ) π Ejecicio.- Epes tods ls ecuciones de l ect, en tods sus foms posibles, sbiendo que ps po el punto P (,-,) tiene como vecto diecto (,,-) - Ecución vectoil (,,)(,-,)λ(,,-) - Pmétics: - En fom continu: λ λ λ 7 - Genel: 7 Ejecicio.- Epes l ecución de l ect en tods sus foms posibles, sbiendo que ps po el punto P (,-,) po el punto P (-,,). pti de los dos puntos podemos obtene un vecto. Cogemos el punto P, el vecto P P (-,,-). - Ecución vectoil (,,)(,-,)λ(-,,-) - Pmétics: λ λ λ José Luis Loente gón

309 Unidd. Ecuciones de l ect el plno - En fom continu: -Genel o intesección de dos plnos: Ejecicio.- Hll ls ecuciones de l ect continu. en pmétic En fom pmétic: esolvemos el sistem (comptible indetemindo) en función de l vible : ()() > - - Sustituendo en () -.Llmndo λ, l ecución en pmétics es: λ : λ λ Un punto de l ect es cundo λ; P(,,), un vecto diecto es v (,,) Ejecicio 6.- Hll l ecución de l ect que ps po el punto P(,,) tiene como vecto diecto,,. Obtene 6 puntos que petenecn l mism ect: Ecución vectoil (,,)(6λ,λ,λ) Seis puntos: λ (,,) λ (7,7,7) λ- (-,-,-) λ (,,) λ- (-,-8,-) Ejecicio 7. Hll l ecución de l ect que ps po los puntos P(,,) Q(,,) PQ (,, ). Ecución vectoil (,,)(,-λ,λ) 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

310 Unidd. Ecuciones de l ect el plno José Luis Loente gón 7 Ejecicio 8.- Estudi si los puntos (,-,), B(,,) C(-,,6) están linedos L ecución de l ect que ps po B es. El punto C está linedo si petenece l ect, es deci, si se cumple l siguiente iguldd: 6. Como l iguldd no es ciet, C no petenece l ect que ps po B, po lo tnto, no están linedos. Conclusión: puntos están linedos si se cumple l iguldd: Ejecicio 9.-Un ect ps po el punto P(,,) es plel l vecto (,-,). Compueb que los puntos (,-,), (,-), (6,7,), (,,) (6,-,) petenecen est ect Vemos l ecución de l ect en continus:. Los demás puntos peteneceán l ect si sustituendo los vloes de,, de los puntos en l nteio iguldd, ést se cumple, compobémoslo: (,-,) petenece, (,,-) petenece, (6,7,) 7 6 no petenece, (,,) no petence (6,-,) 6 petenece. Ejecicio.- Epes ls siguientes ect en tods ls foms que conocs ) Un punto es P(,,) el vecto diecto ),, ( v Ecución vectoil (,,)(λ,-λ,λ) Pmétics λ λ λ Continu: Genel o intesección de dos plnos: 6

311 Unidd. Ecuciones de l ect el plno b) Vmos ve un método distinto l visto en l teoí. Buscmos dos puntos de l ect, pti de los mismos, obtenemos ls ecuciones pmétics vectoiles. c) Ejemplos: si -6/, /. si -8/, / P(,-6/,/) Q(,-8/,/) v (, 6 / 8 /, / / ) (,/,/) (,,) Ecución vectoil (,,)(λ,-6/λ,/λ) Pmétics Continu: λ 6 / λ / λ 6 / / t t Un punto es P(,,) un vecto v (,,) t Vectoil: (,,)(λ,-λ,λ) Continu Genel o intesección de dos plnos: Ejecicio.- Detemin el vlo de m n sbiendo que los puntos (,,), (,,) (m,,n) están linedos m m m n n n Ejecicio.- Hll ls ecuciones de ls medins del tiángulo de vétices (,,), B(,,7) C(,,) Clculemos l medin del vétice C (el esto de medins se hcen de igul fom): 7 M c punto medio B (,, ) (,,). L medin del punto C ps po C(,,) M c (,,): (,, ) (,,) :(,,)(,,)λ(,,) 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

312 Unidd. Ecuciones de l ect el plno José Luis Loente gón 9. Ecuciones del plno. Un plno es un viedd linel de dos dimensiones, qued detemindo po: ) Un punto P (,, ) un vecto pependicul l plno Π n (,B,C) b) Un punto P (,, ) vectoes plelos l plno ),, ( ),,, ( u u u u v v v v no popocionles. Π n u v c) Tes puntos no coolineles P (,, ), P (,, ), P (,, )., P P u P P v Vemos ls tes foms de epesent un plno en el espcio:.. Ecución vectoil L ecución vectoil de un plno que ps po un punto P (,, ) tiene vectoes plelos l plno ),, ( ),,, ( u u u u v v v v no popocionles es: ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( : u u u v v v u v OP OX µ λ µ λ π.. Ecuciones pmétics Consiste en sep l ecución vectoil en coodends u v u v u v : µ λ µ λ µ λ π.. Ecución genel o implícit Eliminndo λ µ de dos de ls tes ecuciones de ls pmétics sustituendo en l tece ecución, obtenemos l ecución genel: BCD. Est ecución se obtiene de desoll el siguiente deteminnte: u v u v u v π Ot fom es obtene, B, C, que son ls coodends de un vecto pependicul ),, ( C B u v. Conociendo, B C podemos obtene D obligndo que el punto P (,, ) petenec l plno: B C D. P conoce D tmbién podemos clcull pti de l ecución π: (- )B (- )C (- )

313 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Gáfic de un plno, sus vectoes diectoes vecto noml: v P u n π.. Cso pticul conociendo tes puntos del plno pti de tes puntos no colineles del plno, podemos obtene l ecución de l siguiente fom: Dejmos un punto fijo obtenemos los dos vectoes diectoes con oigen el punto fijdo etemos los otos dos. Si los puntos son P, P P un punto del plno es P, dos vectoes diectoes P P P P. Tmbién podemos obtene el vecto noml l plno n Π (,B, C) P P P P Ejemplos:. Epes ls ecuciones del plno detemindo po los puntos P (,,) los vectoes diectoes v (,,) u (,,): - Vectoil: π : (,,)(,,)λ(,,)µ(,,) λ µ - Pmétic π: µ λ - Genel: π: -- Ot fom v u (,,)(,,)(-,,)(,B,C) π:-d Ps po P (,,) -D D- π:-- puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

314 Unidd. Ecuciones de l ect el plno. Hll ls ecuciones del plno que psn po los puntos (,,-), B(,-,) C(-,,-). Lo pimeo es obtene dos vectoes diectoes. Dejemos fijo el punto (,,-) sí B (,,6) C,,. - Vectoil π: (,,)(,,-)λ(-,-,6)µ(-,,) - Pmétics π: λ µ λ 6 λ µ - Implícit o genel: π: 6 6. Hll l ecución del plno que ps po el punto (,,) es pependicul l ect :. π Tenemos que el vecto diecto de l ect es (,,-), que es igul l vecto noml del plno n Π (,,-). Luego el plno tendá po ecución genel l siguiente epesión: -D. Como ps po (,,) -D D l ecución genel del plno es π: - P ponelo en pmétics despejmos un vible en función de ls ots dos:, llmndo λ e µ obtenemos l ecución en pmétics: λ π : µ λ µ Luego dos vectoes diectoes son u (,,) v (,, ) u v (,,) que es popocionl n (,,-). Π (se cumple que. Hll l ecución del plno que ps po los puntos P(,,-), Q(,-,) tiene como vecto diecto u (,, ) Hll otos dos puntos Podemos obtene el segundo vecto diecto pti de los dos puntos PQ (,,). De est fom l ecución vectoil es: π: (,,) (,,-)λ(,,)µ(,-,). José Luis Loente gón

315 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Los puntos se obtienen dndo vloes λ µ. Ejemplos: (λ, µ) (,,); (λ, µ) (,-,) Ejecicio.- Hll l ecución de los plnos detemindos po ls siguientes condiciones: ) Plno que ps po el punto P(,-,) tiene como vectoes diectoes,,,, π: (,,)(,-,)λ(,,)µ(,-,) b) Plno que ps po los puntos P(,-,) Q(,-,) contiene l vecto,, π: (,,)(,-,)λ(-,-,-)µ(,,) (,-,)λ(-,,)µ(,,) c) Plno que ps po los puntos (,,), B(-,,), C(,-,) π: (,,)(,,)λ(-,--)µ(,-,-) Ejecicio.- Hll l ecución del plno que ps po el punto P(,-,) contiene l ect : Si contiene l ect, el vecto diecto de l mism es vecto diecto del plno, peo todví nos fltí oto vecto diecto. Podemos tom un punto de l ect fom oto vecto diecto con el oto punto que nos dn (no podemos hce lo mismo con dos puntos de l ect que seí un vecto diecto popocionl l oto vecto de l ect). v (,,) Q(,,) (,6,) Con esto l ecución del plno seá (,,)(,-,)λ(,-,)µ(,6,) v P Q u Ejecicio.- Escibi ls ecuciones pmétics del plno π: - π: -. Tenemos que esolve l ecución, es deci, pone un vible en función de ls ots dos: -. λ, µ: λ π: λ µ µ puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

316 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicio 6.- Pueb que l ect : epesentn l mism ect 7 6 s: Vmos pone un epesiones en fom pmétics obtene puntos, si estos petenecen l ot ect, seán l mism ect. λ s : λ λ Vemos si h dos puntos igules en ls dos ects: λ (,-,) λ (8,,-) Luego son l mism ect., petenece ls dos ects 8, petenece ls dos ects Ejecicio 7.- Sen ls ects : s:. Hll l ecución del plno que ps po es plelo s. Hll l intesección de este plno con los ejes coodendos. Podemos obtene dos vectoes diectoes pti de ls dos ects, el punto del plno se un punto de : De l pime ect tenemos el vecto diecto (-,,) el punto (,,). De l segund ect podemos hll el vecto diecto pti del poducto vectoil de los vectoes nomles los plnos que l intesectn: (,-,) (,,-)(-,,7) L ecución vectoil es entonces π: (,,)(,,)λ(-,,)µ(-,,7) P ve l intesección con los ejes pongmos l ecución en fom lgebic: π π Cote eje X () -9/ (-9/,,) Cote eje Y () -9/ (,-9/,) Cote eje Z () 9/8 (,,9/8) José Luis Loente gón

317 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicio 8.- Hll l ecución del plno que contiene l ect de ecución es plel l ect que ps po los puntos R(,,) S(,,) L ect ps po P(,,) v (,, ) espectivmente, un punto un vecto diecto del plno. que son, El plno es plelo l vecto que ps po los punto R(,,) S(,,). Luego oto vecto diecto del plno es el que une los dos puntos RS u (,, ). pti de los dtos nteioes tenemos que el plno vendá definido po l siguiente ecución en pmétics: R u S λ µ Π λ µ λ P v u Ejecicio 9.-Ddos el plno π:- l ect ecución del plno que contiene l ect es pependicul π hll l ps po P(,,-) v (,,) que son espectivmente un punto un vecto diecto de l ect del plno que buscmos. Po oto ldo el vecto noml l plno, n (,, ), es un vecto diecto del plno que π buscmos, pues este vecto es plelo l plno. Luego oto vecto diecto del plno que buscmos es u n π (,, ). pti de estos dtos tenemos que l ecución del plno en pmétics. λ µ Π' λ µ λ µ u n π P u n π v puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

318 Unidd. Ecuciones de l ect el plno. Posiciones eltivs.. Dos plnos Sen dos plnos de ecuciones geneles: BCZD B C ZD nli ls posiciones eltivs de estos plnos consiste en ve si se cotn, son plelos o coincidentes. Podemos eli el estudio pti del teoem de Rouche- Föbenius, estudindo el ngo de, mti de los coeficientes del sistem, de *, mti de l mplid del mismo sistem. ' B B' C C' * ' B B' C C' D D' Según los ngos tenemos los csos siguientes: ng() ng(*) Soluciones Posición eltiv Relción coeficientes Infinits pámetos libe Infinits pámeto libe Coincidentes, B C D ( pámetos libes) ' B' C' D' Se cotn en un ect B C / o ( pámeto libe) ' B' ' C' No solución Son plnos plelos ' B C B' C' D D' ) Coincidentes b) Se cotn en un ect c) Plelos José Luis Loente gón

319 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejemplo: Estudi l posición eltiv de los siguientes plnos: ) - - Son plelos pues b) - ---, po lo tnto, el ng() ng( * ) Se cotn en un ect pues po tnto ng()ng( * ). L ecución de l ect es.. Posición eltiv de tes plnos Sen tes plnos, cus ecuciones geneles son ls siguientes: BCZD B C ZD B C D P estudi ls posiciones eltivs de estos tes plnos plicmos el teoem de Rouche-Foubenius p el sistem, siendo * ls siguientes mtices: ' ' B B' B' C C' C' * ' '' B B' B'' C C' C'' Según los ngos tenemos los csos siguientes: D D' D'' ng() ng(*) Soluciones Posición eltiv Infinits pámetos libe Infinits pámeto libe ) Los coincidentes ( pámetos libes) b) Se cotn los en un ect o c) coincidentes el º les cot (*) No solución No solución d) Son plnos plelos o e) dos plelos oto coincidente(**) f) Los plnos se cotn dos o g) dos o son plelos el oto les cot (***) Solución únic h) Son plnos secntes en un punto 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

320 Unidd. Ecuciones de l ect el plno (*) se compueb si dos de ellos son coincidentes, es deci, si sus coeficentes el témno independiente esult se popocionles. (**) Se compueb pti de los coeficientes de los plnos si son todos plelos, o si lguno es coincidente oto (dos ecuciones popocionles). (***) Se compueb pti de los coeficientes si dos de ellos son plelos o no. ) Coincidentes en un plno b) Se cotn en un ect c) Dos coincidentes el oto les cot d) Tes plnos plelos e) Dos coincidentes el oto plelo f) Se cotn dos dos g) Dos plelos el oto secnte h) Secntes en un punto José Luis Loente gón 7

321 Unidd. Ecuciones de l ect el plno 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU Ejemplo: Estudi l posición eltiv de los siguientes tes plnos ) Π Π Π '' ' * ng() ng( ). demás ningún plno es coincidente con oto (no son popocionles los coeficientes), luego son tes plnos coincidentes en un ect cu ecución en fom genel: b) Π Π Π '' ' * ng()ng( * ) cotn en un punto. P ve el punto debemos esolve el sistem. Si nos fijmos bien tenemos un sistem homogeneo, luego l solución es, es deci, los tes plnos se cotn en el oigen (,,) c) Π Π Π '' ' * ng(), ng( * ). No tienen puntos en común. Pueden se dos csos, o se cotn dos dos o dos son plelos el oto cot los otos dos. En este cso como los coeficientes de,, no son popocionles en ningun pej de plnos, entonces no son plelos po lo tnto se cotn dos dos... Posición eltiv de un ect un plno Consideemos l ect epesd como intesección de dos plnos, el plno de fom implícit: D C B D C B D C B π C B C B C B D C B D C B D C B *

322 Unidd. Ecuciones de l ect el plno José Luis Loente gón 9 Hciendo uso del teoem de Rouche-Röbenius, estudindo el ngo de de *, tendemos ls siguientes posiciones eltivs ng() ng(*) Soluciones Posición eltiv Infinits pámeto libe L ect contenid en el plno No solución Rect plno son plelos solución Se cotn en un punto Not: no puede ocui que ng(), pues entonces los dos plnos que definen l ect seí plelos o coincidentes, po tnto no descibián tl ect. ) Rect contenid en el plno b) Rect plno son plelos c) Se cotn en un punto Ejemplos ) : : Π * ng() ng( * ) son plelos b) 7 : : Π 7 7 * ng()ng( * ) se cot en un punto Resolviendo el sistem tenemos que, 8/7. Luego el punto intesección es P(,8/7,)

323 Unidd. Ecuciones de l ect el plno puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU.. Posición eltiv de dos ects Considendo dos ects epesds en fom genel, como intesección de dos plnos: ' ' ' ' : ' ' ' ' : D C B D C B D C B D C B Ls posiciones eltivs de dos ects en el espcio pueden se ls siguientes, según el vlo del ngo de de * ' ' ' ' ' ' C B C B C B C B * ' ' ' ' ' ' ' ' D C B D C B D C B D C B ng() ng(*) Soluciones Posición eltiv Infinits pámeto libe Los ects son coincidentes No solución Son plels solución Se cotn en un punto No solución Se cun en el espcio Ot fom de ve su posición eltiv más sencillmente, es pti de estudi el ngo de los siguientes vectoes: v (v,v,v ) vecto diecto de l ect ),, ( u u u u vecto diecto de l ect (w,w,w ) vecto que une un punto P de con oto Q de ng( v,u ) ng( v,u, PQ ) Soluciones Posición eltiv Infinits pámeto libe Los ects son coincidentes No solución Son plels solución Se cotn en un punto No solución Se cun en el espcio

324 Unidd. Ecuciones de l ect el plno José Luis Loente gón ) Coincidentes b) Plels c) Se cotn en un punto d) Se cun Ejemplos: Estudi ls posiciones eltivs de ls siguientes dos ects ) : : * ng()ng( * ), se cotn en un punto. Estudindo l solución po Cme (eliminndo ecución) es /,, -/. Luego el punto de cote es R(/,,-/). Vmos hcelo pti de l ecución en pmétics: -, --- λ λ λ P(,,), u (,-,-) estndo ls ecuciones -/,/ / / µ µ Q(/,,-/), v (,,) Vemos l elción de incidenci pti de lo siguientes ngos: ng(u, v ) ng ng(u, v, PQ )ng / /

325 Unidd. Ecuciones de l ect el plno El punto de cote se hce igulndo,, de ls dos ects: () λ/µ () -λµ De () λ/, sustituendo en () o en () µ () -λ-/ Luego sustituendo λ en o µ en /,, - R(/,,-/) b) Ls ects: λ λ 6 6 λ de l ect P(-,,-), u (,,) de l ect Q(,,6), v (6,,) Estudindo los ngos obtenemos l elción fín de mbs ects: ng( u, v )ng 6, ng( u, v, PQ )ng 6 mism ect. Ejecicio.- Detemin l posición eltiv de ls ects : -- s:, : v (,, ), P(,,) λ s λ Q (,,) u (,,), Q(,,) ng ( u, v ) ng ng ( u, v, PQ) Si ng ( u, v ) ng( u, v, PQ ), entonces ls dos ects se cun. puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

326 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicio.- Detemin el vlo de m de n p que los plnos que tienen como ecuciones se coten en un ect. m * m n Estudi l posición eltiv de los tes plnos no es sencillo l hbe dos pámetos, lo que sí es más fácil es oblig que los tes plnos se coten en un ect: ng()ng( * ) que ningún plno se coincidente. ng() m m- ng( * ) entonces se tienen que nul todos los menoes de oden (con m): n n n n n n n Luego, si n, todos los menoes de oden tes se nuln, po lo tnto ng( * ). Ejecicio.- Se l ect :, el plno π: - el punto P(,,), obtén un ect s que se plel que pse po el punto P. Clcul l intesección ente s π. ) El vecto diecto de l ect buscd es el mismo que l se plels v (,,), como ps po el punto P(,,) s: (,,)(,,)λ(,,). b) Vemos l intesección con el plno π:-. Sustituendo en l ecución de π ls ecuciones en pmétics de l ect tendemos el vlo de λ, pti del cul podemos obtene el punto de cote: (λ)-λ(λ) 6λ- λ-/6 (-/6)-/8 (-/6)-9/6 (-/6)-/6 Luego el punto de cote es (-/8,-9/6,-/6) José Luis Loente gón

327 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicio.- Hll l ecución del plno que contiene ls ects : s: Tenemos posibiliddes:. Son plels: tommos el vecto diecto de un de ls ects (que son popocionles) obtenemos el oto vecto diecto del plno pti de dos puntos, uno de cd ect.. Se cotn, los vectoes diectoes de ls dos ects no son popocionles, po lo tnto son los dos vectoes diectoes del plno buscdo.. Se cun, entonces no eiste ningún plno que pse po ls dos ects P ve en cuál de ls situciones nos encontmos estudiemos el ngo de los dos vectoes diectoes de los mismos el vecto que se obtiene de uni un punto de cd ect. P ve los vectoes diectoes de ls ects lguno de sus puntos psemos ls ecuciones pmétics: estndo ls dos ecuciones ()-() -- /. Sustituendo en () (/)/. De est fom en pmétics λ : λ v (,, ) (,,), P(,,) λ s ()-(): -7-7 /7. sustituendo en () -(/7)-8/7 8 λ 7 8 : λ u (,, ) ( 8,7,), Q(,, ) λ PQ (,,) ng ( u, v ) ng ( u, v, PQ) Se cun, entonces no h ningún plno que ls conteng puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

328 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicio.-Hll ls ecuciones de l ect plel los plnos, que psn po el punto P(,,) H dos opciones: ) Los plnos se cotn en un ect l ect buscd es plel ést: b) Los dos plnos son plelos o coincidentes, entonces eisten infinits ects que psn po el punto son plels los plnos: Estmos en el pime cso, que los plnos se cotn ( ) ; vemos el vecto diecto de l ect en l que se cotn, cu ecución es: : v (,,) (,,)( -, -, - )(,-,-). Conociendo el vecto diecto de l ect s, v (,-,-) un punto de l mism P(,,), l ecución de l ect en pmétics viene ddo po s:(,,)(,,)λ(,-,-) José Luis Loente gón

329 Unidd. Ecuciones de l ect el plno Ejecicio.- Hll ls ecuciones de l ect que es plel l ect ps po el punto P(,,6) Vmos obtene ls coodends del vecto diecto de l ect, pti de ls ecuciones en pmétics: Restndo ls dos ecuciones se nos v l vible : -- -, sustituendo en l ª ecución tenemos (-)- λ : λ v (,, ). λ Luego l ecución de l ect buscd tiene el mismo vecto diecto (es plel) ps po el punto P: s:(,,)(,,6)λ(,,) Ejecicio 6.- Siendo l ect : n de modo que π : m n : ) cote con π ng()ng( * ), m * el plno π:mn, hll m m n ng() m-m7m m -/7 ng( * ) siempe que el ngo de se, luego, p que se coten m -/7, n R. b) sen plelos Entonces ng() m-/7 ng( * ), es deci lguno de los menoes de oden de l mti * es distinto de ceo. Vemos los vloes de n que hcen ng( * ): 7n 9 n 9/7 ; 9 8 n n 9/7; n 7 n 7 n n 7 7 n 9/7. Ecepto cundo n9/7 que se nuln los menoes el ngo de * es. Po esto, p que π plels n R-{9/7} m-/7 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

330 Unidd. Ecuciones de l ect el plno c) esté contenid en π está contenido en π si ng()ng( * ), lo que ocue si m-/7 n9/7. Ejecicio 7.- Hll l ecución del plno que ps po P(,,) contiene l ect de ecuciones : P obtene ls ecuciones del plno buscdo tenemos que consegui dos vectoes diectoes. Como l ect está contenid en el plno el vecto diecto de es el vecto diecto de π. Podemos obtene oto vecto diecto uniendo el punto del plno P con un punto culquie de l ect, siempe que P no petenec dich ect, que si sí fuese este vecto seí popocionl l pimeo. Psemos l ect pmétics ()() 9-7 7/9/9 Sustituendo en () -(7/9/9)- /9/9 7 λ 9 9 : λ λ u PQ (,, ) (7,, ) 9 9 v 7 (,, ) (,9,), Q (,, ) pti de estos dtos l ecución genel del plno es : π : π: Ejecicio 8.-Estudi l posición eltiv de ls siguientes ects en función de m : s: m Este ejecicio es equivlente l elido en el tem 9 (sistems de ecuciones), sólo que tenemos que d un intepetción l esultdo cundo ls ecuciones coesponden dos ects. ng() * m ng( * ) si * * m6 m -. Si m ng( * ). José Luis Loente gón 7

331 Resumen posiciones eltivs Unidd. Ecuciones de l ect el plno PLNOS π B C D π ' ' B' C' D' ngom ngom * Coincidentes ngom ngom * Plelos ngom ngom * Secntes ngom ngom * Coincidentes π,π ' PLNOS π B C D π ' ' B' C' D' π '' ' ' B'' C' ' D' ' ngom ngom * ngom ngom * ngom ngom * coincidentes plelo plelos Secntes en un ect plelos secnte Secntes POSICIONES RELTIVS EN EL ESPCIO RECTS P Q ' u v RECT Y PLNO B C D B C D π B C D ngom ngo ngo ngo ngo ngo ngom * ( u, v ) ( u, v, PQ) ngo ngo ( u, v ) ( u, v, PQ) ngo ( u, v) ( u, v, PQ) ngom ( u, v ) ( u, v, PQ) ngom * Secntes en un punto Coincidentes Plels Secntes Cuds Contenid en el plno ngom Plel l ngom * plno ngom ngom * Secnte l plno 8 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

332 Unidd. Ecuciones de l ect el plno José Luis Loente gón 9

333 6

334 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. UNIDD.PRODUCTO ESCLR, VECTORIL Y MIXTO. PLICCIONES. Poducto escl de dos vectoes libes.. Definición.. Intepetción geométic.. Epesión nlític. Poducto vectoil de dos vectoes libes... Definición.. Intepetción geométic.. Epesión nlític. Poducto mito de vectoes libes.. Definición.. Intepetción geométic.. Epesión nlític. plicciones.. plicciones con vectoes... Módulo vecto unitio... Ángulo de dos vectoes. Vectoes pependicules... Vecto noml un plno diecto de un ect.. Ángulo ente elementos del espcio... Ángulo ente dos ects... Ángulo ente dos plnos... Ángulo ente un plno un ect.. Distncis ente elementos del espcio... Distnci ente dos puntos... Distnci de un punto un ect... Distnci de un punto un plno... Distnci de un ect un plno... Distnci ente dos plnos..6. Distnci ente dos ects.. Poecciones... Poección de un punto sobe un plno... Poección de un punto sobe un ect... Poección de un ect sobe un plno.. Elementos siméticos... Simético de un punto especto oto punto... Simético de un punto especto un plno... Simético de un punto especto un ect... Simético de un ect especto un plno.6. Rects que se pon sobe ots dos ects.6.. Se pon en ls dos ects ps po oto punto.6.. Se pon en ls dos ects son plel ot ect.7. Cálculo de áes volúmenes.7.. Áe del plelogmo del tiángulo.7.. Volumen del plelepípedo el tetedo. José Luis Loente gón 6

335 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. Conteto con l P..U. Este tem es l continución del nteio. Mients que en el tem se desciben ls epesiones que identificn, puntos, ects plnos, sí como ls posiciones eltivs, en el tem que nos encontmos se estudi ls elciones métics ente estos elementos. l finl del tem se elin los ejecicios del bloque de Geometí de los últimos eámenes de l PU. 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

336 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio.. Poducto escl de dos vectoes... Definición En el cuso nteio se estudió l definición de poducto escl p vectoes en el plno, en éste lo etendeemos l espcio (si l tece coodend de los vectoes es nul podemos pticuli l poducto escl en el plno). Definición: El poducto escl de dos vectoes libes v w es un númeo el (escl) definido como: v w v w cos ( ( v, w ) ), donde: - v w son los módulos de los vectoes ( v v v v ) - cos ( ( v, w ) ) es el coseno del ángulo que fomn los vectoes v, w si se plicn desde el mismo punto Si ecueds, en Físic el tbjo elido l despl un ms es igul l poducto escl de l fue el desplmiento W F d F d cos( α ) v w El ángulo que fomn dos vectoes ( v, w ) es el que v del pimeo l segundo en el w sentido hoio v Popieddes del poducto escl de dos vectoes: - El poducto escl de un vecto po sí mismo es igul l cuddo del módulo: v v v v cos ( ( v, v ) ) v v cos() v - El poducto escl es conmuttivo v w w v pues cos( ( v, w ) )cos( ( w, v ) ) ( pues ( v, w ) 6º- ( w, v ) el coseno cumple cos(α)cos(6-α) - El poducto escl es distibutivo especto l sum de vectoes: v ( w u )v w v u - El poducto escl de dos vectoes es nulo si sólo si son pependicules o lguno de los vectoes es ceo: v w v w, ( w, v ) 9º ó 7º ó v /o w José Luis Loente gón 6

337 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio... Intepetción geométic del poducto escl Se puede elcion geométicmente el poducto escl de dos vectoes con l poección de un vecto sobe el oto: v w po v ( w) v po w ( v) w donde : - po v (w) es el vlo de l poección de w sobe v - po w (v) es el vlo de l poección de v sobe w Demostción: P v ( v, w ) po w (v) Q w po w (v) PQ v cos( ( v, w)) multiplicndo w v w cos( ( v, w)) v w v po w (v).. Epesión nlític del poducto escl. pti de l popiedd distibutiv del poducto escl del poducto escl de los vectoes unitios, podemos obtene l epesión nlític del poducto escl de dos vectoes culesquie. Vemos pimeo el poducto escl de los vectoes unitios: i i cos() j j cos() k k cos() i j j i i k k i j k k j cos(9) De est mne el poducto de dos vectoes v v, v, v ) w ( w, w, w ) viene definido nlíticmente como: v w v w v w v w Demostción: v w ( vi v j vk) ( wi w j wk) v i ( w i w j w k) v j ( w i w j w k) v k ( w i w ( j w k) v w v w v w Ejemplos: (,,-) (,,) - son pependicules (,,) (,,-) (-) (,,) (,,-) cos(α) α cos 6 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

338 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio.. Poducto vectoil de dos vectoes.. Definición Definición: El poducto vectoil de dos vectoes libes v w es oto vecto que designemos como v w que se define pti de ls siguientes popieddes: - módulo v w v w sen( ( v, w )) - diección l pependicul simultánemente v w - sentido el de vnce deechs de un sccochos gindo de v w (*) (*) Sentido del poducto vectoil Popieddes del poducto vectoil: - El poducto vectoil es nticonmuttivo. El módulo l diección no cmbin, peo el sentido es el opuesto (ve egl sccochos). ( v w) ( w v) - El poducto vectoil es distibutivo con l sum: u ( v w) u v u w - El poducto vectoil es nulo siempe que se cumple un de ls dos siguientes condiciones: ) uno de los dos vectoes o los dos son nulos b) son vectoes plelos ( v, w )º que sen() José Luis Loente gón 6

339 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio... Intepetción geométic del poducto vectoil Sen dos vectoes v w con oigen común. Si tsldmos el vecto w sobe el etemo de v el de v sobe el etemo de w se fom un plelogmo (ve figu) v ( v, w ) w v ) h v sen( (, w) El áe del plelogmo es w h siendo h v sen( (, w) ). sí el áe del plelogmo es igul l módulo del poducto vectoil de los dos vectoes que lo fomn v plelogmos w v sen( (, w) ) v w v..epesión nlític del poducto vectoil P clcul l epesión nlític del poducto vectoil vemos el poducto vectoil de los vectoes unitios: k i j k j k i k i j j i k k j i i k j pti de estos poductos vectoiles de l popiedd distibutiv podemos clcul de fom sencill el poducto vectoil de dos vectoes v (v,v,v ), w (w,w,w ) v w (v i v j v k ) (w i w j w k )v w v w k -v w j - -v w k v w v w i v w j -v w i v w ( v w - v w ) i ( v w -v w ) j (v w -v w ) k Se puede clcul fácilmente pti del siguiente deteminnte: i j k v w v v v w w k i w j i j 66 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

340 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. (,-,) (,,) (,,) i j k Ejemplo: (,,) (,,) i j k (,, ). Poducto Mito de vectoes...definición El poducto mito de tes vectoes poducto vectoil escl. u, v, w es un vlo numéico definido pti del Definición: El poducto mito de vectoes, u, v, w que se design como [ u, v, w ], se obtiene del poducto escl del pime vecto po el vecto esultnte de multiplic vectoilmente los otos dos: u, v, w u ( v w) [ ] Popieddes del poducto mito: - Si pemutmos dos vectoes del poducto mito este cmbi de signo: u, v, w -[ v, u, w] [ w v, u ] u, w, v [ ], [ ] - El poducto mito es distibutivo especto l sum de vectoes: [ u u', v, w ] [ u, v, w] [ u', v, w] u, v, w si lgún vecto es nulo o son coplnios (linelmente dependientes). - [ ].. Intepetción geométic del poducto mito. Consideemos los tes vectoes u, v, w plicdos sobe el mismo oigen, de mne que fomen un plelepípedo (con sus poecciones). Se cumple que el volumen del plelepípedo es igul l vlo bsoluto del poducto mito de los tes vectoes que lo fomn V plelepipedo e bse h v w u cos( ( u, v w) )[ u, v, w] v w h u v w José Luis Loente gón 67

341 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio... Epesión nlític del poducto mito plicndo l epesión nlític del poducto vectoil escl de los ptdos nteioes, es fácil ve como el poducto mito se puede pone pti del siguiente deteminnte: u, v [ u v, w] w u v w u v w Ejemplo: [(,,),(-,-,),(,,)] son coplnios, es deci linelmente dependientes. Ejecicio. Sen los vectoes,,,,,,, 7 ) Clcul los poductos escles ente los tes vectoes u (,,) v (,,) w (,, 7) u v u w v w 6 b) Detemin el módulo de los tes vectoes u ( ) 9 8 v w 9 c) Hll el ángulo que fomn ente ellos u v 9 ( u, v) cos cos 9º7' 7' ' u v 8 9 u w ( u, w) cos cos º ' 7,' ' u w 8 v w ( v, w) cos cos º ',' ' v w 9 68 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

342 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. José Luis Loente gón 69 Ejecicio.- Sen los vectoes,,,,. Hll todos los vectoes de módulo unidd que fomen un ángulo de º con de º con,,,,,,,,. ) ( ; () () () () () ) ( ) ( ) ( cos( ) ) cos( ) ( 6 ) ( ) ( cos( ) cos( ) ) ( ),, ( v v Ec v w v v w v Ec u w u u w u Ec w w soluciones Dos Ejecicio. Clcul un vecto que cumpl en cd cso ls siguientes condiciones: ) Se popocionl l vecto,, demás u (k,-k,k) ), (, 6 6,) ) (,,, ( u k k k k k k k k u v b) Se pependicul los vectoes,, 8,, demás u (,,): u 96 (Ec ) v u (Ec ) 8 v u (Ec ) 8 () () 6 () () -, () 8--(-) , () ±

343 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio u u (78,9, 6) 89 (78,9, 6) 89 Ot fom más sencill: el poducto vectoil de dos vectoes es un vecto pependicul mbos i j k u k ( v w) k k (7,8 6) 8 u k (7 8 6 ± )96 k 89 u u (78,9, 6) 89 (78,9, 6) 89 c) Que se pependicul l eje OZ cumpl 9, siendo,, (,,-) u (,,) u k (Ec ) u v -9 (Ec) u w -- (Ec ) Resolviendo el sistem u (,-,) Ejecicio.- P los vectoes,,,,,,, clcul u (,,), v (,,), w (,,) i j k i j k uv 7i 7 j 7k ( u v) w i j 7k i j k i j v w i j 7k u ( v w) k 7 Not: en el poducto vectoil no se cumple l popiedd distibutiv i j 9k 7 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

344 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. José Luis Loente gón 7 Ejecicio.-Ddo los vectoes,,,,,,, clcul ( ) Es el poducto mito [ ] 7,, ) ( w v u w v u Ejecicio 6.- Ddos los vectoes, se cumple ) sus módulos son, espectivmente,, b). Clcul ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6, (, (, ( cos, ( cos, ( cos, v u sen v u sen v u v u v u v u v u v u v u v u. plicciones.. plicciones con vectoes En este ptdo veemos ls plicciones del módulo, del poducto escl, vectoil mito eltivos ls popieddes de los vectoes. Recodemos que muchs mgnitudes físics, como l posición, velocidd, l fue son vectoes, de quí l gn impotnci de este punto.... Módulo vecto unitio pti del poducto escl es fácil clcul el módulo el vecto unitio de dicho vecto. Módulo: v v v v v v Po oto ldo, el vecto unitio de un vecto v es oto vecto con l mism diección sentido, peo con módulo unidd. P clcullo se divide el vecto po su módulo:,, v v v v v v v v v v v v v v v u.. Ángulo de dos vectoes pti del poducto escl o del módulo del poducto vectoil es fácil clcul el ángulo que fomn dos vectoes: ), ( cos ), ( v u v u sen v u v u v u v u

345 Luego, si dos vectoes - u v - u v u v Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. u, v son pependicules, se cumple:.. Vecto noml un plno diecto de un ect ) Ddo un plno con ecución genel π:bcd, demostemos lo dicho en el tem nteio, esto es que el vecto (,B,C) es pependicul l plno π: Se P (,, ) π B C D () Se P (,, ) π B C D () Restndo ()-() ( - )B( - )C( - ) Podemos epes est iguldd pti del siguiente poducto escl del vecto n π (,B,C) el vecto P P (( - ),( - ),( - )), contenido en el plno: (,B,C) (( - ),( - ),( - )) n π P P, luego es un vecto pependicul culquie vecto contenido en el plno,, po lo tnto n π es pependicul π. n π P P ) Se l ect dd como intesección de dos plnos π, π : : B B C C D D Se cumple que l ect está contenid en π π, luego el vecto diecto de l ect, v es pependicul π π, v nπ v n π luego v se puede epes como el poducto vectoil de n π n : v n n π π i j B B k C C, π Ejemplo: : nπ (,,), i j k v i j k n π (,, ) 7 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU

346 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio... Ángulo ente los elementos del espcio En este ptdo clculemos los ángulos que fomn los distintos elementos del espcio, vectoes, ects plnos. P su cálculo usemos el poducto escl de los vectoes ccteísticos de ellos, el vecto diecto de l ect el noml del plno... Ángulos ente dos ects. Sen dos ects cuos vectoes diectoes son v v ; el ángulo que fomn ests dos ects es el mismo que fomn sus vectoes diectoes: (, ) ( v, v ) cos v v v v Not: ls dos ects fomn dos ángulos que sumn 8º (son suplementios). El ángulo que fom que se d es el meno de ellos, es deci el que es meno o igul que v 9º. De est fom si α v cos es un ángulo mo que 9º el ángulo de l v v ect es el suplementio (8º-α) Csos: ) ects pependicules ( ) v v b) ects plels ( ) v v v v v λ v,.. Ángulos ente dos plnos. Sen dos plnos π π, cuos vectoes nomles son n π n, π, espectivmente. Si llmmos α l ángulo ente los dos vectoes nomles, el ángulo que fomn los dos plnos es 8º-α. ( π, π ) 8º ( n π, n π ) 8º cos n n Not: los dos plnos fomn dos ángulos que sumn 8º (son suplementios). El ángulo que fom que se d es el meno de ellos, es deci el que es meno o igul que v 9º. De est fom si α8- v cos es un ángulo mo que 9º el ángulo de v v l ect es el suplementio (8º-α) π π n n π π José Luis Loente gón 7

347 Unidd. Poducto escl, vectoil mito. plicciones en el espcio. Csos: ) plnos pependicules: ( π π ) nπ n π n π n π b) plnos plelos: ( π π ) nπ n, π n π n π n π n π n π λ n π.. Ángulos ente un ect un plno. Se un ect con vecto diecto v un plno π con vecto noml n π. Si llmmos α el ángulo que fomn v n π, el ángulo que fomn l ect el plno seá 9º-α: nπ v ( π, ) 9º ( n, v ) 9º cos π nπ v Not: l ect el plno fomn dos ángulos que sumn 8º (son suplementios). El ángulo que fomn que se d es el meno de ellos, es deci el que es meno o igul que v 9º. De est fom si α v cos es un ángulo mo que 9º el ángulo que v v estmos 9º en l fómul es el suplementio (8º-α) n π α v 9-α π 7 puntes de Mtemátics II p pep el emen de l PU