CLICK AQUÍ Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 LÍMITES RESUELTOS DE LAS FORMAS

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2 SERIE CORONEL 01 (C) Serie Coronel, 2012 (C) Pedro Pablo Coronel Pérez / Pablo Josué Coronel López DEPÓSITO LEGAL: lf ISBN: Diagramación interna: Estudiográfico, 2012 Diseño de portada: Elkin J. Calle Cortés CORRECCIÓN DE TEXTOS Lcdo. Pedro A. Coronel L. IMPRESIÓN: Litoformas, San Cristóbal [Octubre, 2012] TIRAJE: 500 ejemplares. TIPO DE SOPORTE: Papel Bond base 20 gr/cm 2 Las observaciones, sugerencias y correspondencia se ruega hacerlas llegar a los siguientes correos electrónicos: pedro_coronel1955@hormail.com / pablocoronel19@hotmail.com Impreso en la República Bolivariana de Venezuela Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela Las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Protocolo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos. 2 3

3 A mis hijos Pedro A. Coronel L. y Pablo J. Coronel L. A mis padres Ángel I. Coronel A. y María del C. Pérez de Coronel. A mis padres Pedro P. Coronel P. y Marisol López G. La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes ( ) / Filósofo y matemático francés 4 5

4 ÍNDICE Prólogo Breve fundamento teórico Bibliografía Límites Algebraicos Indeterminados de la forma matemática Límites Trigonométricos Indeterminados de la forma matemática Límites Indeterminados de la forma matemática Límites Indeterminados de la forma matemática Límites Indeterminados de la forma matemática Ejercicios complementarios

5 PRÓLOGO El propósito de este libro, es presentar a los alumnos que inician sus estudios universitarios una serie de problemas sobre límites, muy representativos y resueltos en forma detallada. Evidentemente será de gran utilidad para estudiantes de Ingeniería, Ciencias, Tecnología o cualquier especialidad donde el Cálculo Matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estudio. Por otra parte, la gran cantidad de ejercicios, permite que el material también pueda ser utilizado como texto guía tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este importante tema de cálculo. Todos los problemas que aquí se presentan están relacionados con límites de las formas que son las indeterminaciones más frecuentes aunque también han sido cuidadosamente incluidos algunos límites que se pueden resolver en forma inmediata. Los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que el alumno adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante. Los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados para la resolución de cada uno de los problemas. Sin embargo, de manera intencional, en algunos se ha omitido ciertos pasos explicativos, con la finalidad de obligar al alumno a reflexionar sobre algunos conocimientos básicos del álgebra elemental o sobre procedimientos que ya han sido utilizados en problemas previos con la única finalidad de contribuir a mejorar el proceso de aprendizaje. 8 9

6 BREVE FUNDAMENTO TEÓRICO Propiedades de los límites Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades: Límite de Expresión Una constante La función identidad El producto de una función y una constante Una suma Una resta Un producto Un cociente Una potencia Un logaritmo El número e 10 11

7 Indeterminaciones Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): Productos con infinito: Infinito por un número Operación Indeterminación Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes con infinito y cero: Cero partido por un número Definición del teorema del encaje o teorema del emparedado que dice: Operaciones con Infinito Sumas con infinito: Un número partido por cero Un número partido por infinito Infinito partido por un número Infinito más un número Cero partido por infinito Infinito más infinito Infinito partido por cero Infinito menos infinito Cero partido por cero 12 13

8 Infinito partido por infinito BIBLIOGRAFÍA Potencias con infinito y cero: Un número elevado a cero Cero elevado a cero Infinito elevado a cero Cero elevado a un número Un número elevado a infinito Larson R, Hostetler R. Y Edwards B. (1995). Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill. Zill G, Dennis (1985). Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica. Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004). Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill. Pita R, Claudio. (1998). Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana. Universidad Nacional Abierta (2011) Matemática II: Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real. Caracas, Autor. Cero elevado a infinito Infinito elevado a infinito Uno elevado a infinito 14 15

9 LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

10 SOLUCIONARIO

11 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

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14 LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

15 LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

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18 LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

19 LÍMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

20 LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

21 LÍMITES ALGEBRAICOS INDETERMINADOS DE LA FORMA MATEMÁTICA

22 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

23 SOLUCIONARIO

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25 (C) Serie Coronel [No. 01], 2012 La presente edición, que consta de 500 ejemplares, se imprimió en San Cristóbal, Venezuela, en los talleres gráficos de Litoformas, C.A., durante los meses de octubre-noviembre de Impreso en la República Bolivariana de Venezuela [Printed in the Bolivarian republic of Venezuela] 48 49

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