logarítmica y trigonométrica
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- Miguel Ángel Sebastián Álvarez Martin
- hace 6 años
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1 8 Función exponencial, logarítmica y trigonométrica LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Algunas enfermedades adquieren carácter epidémico cuando afectan a numerosas personas al mismo tiempo, y el crecimiento del número de afectados suele ser exponencial.
2 John Neper y los logaritmos Los logaritmos se hallan presentes en numerosas situaciones de la vida real y son una herramienta muy utilizada en contextos científicos. Busca en la web Historia de los logaritmos Enlace a la biografía de John Neper
3 Esquema de contenidos Función exponencial y logarítmica Función exponencial Tipo Otras y=a x Interés compuesto Logaritmos Función logarítmica Función inversa
4 Función exponencial La función exponencial es del tipo: y=a x donde a es un número real positivo y distinto de 1 ( a > 0 y a 1). La imagen de 0 vale 1 : (0,1) La imagen de 1 vale a: (1,a) La función es creciente si a > 1 La función es decreciente si 0 < a < 1
5 Función exponencial Representamos: y=2 x y= 1 2 x x y=2 x y= 1 2 x 0,125 0,25 0, ,5 0,25 0,125
6 Función exponencial Las funciones del tipo y=a k x : con k un número cualquiera distinto de 0, son de forma exponencial, donde la base es. a k y=a k x = a k x k=2 k= 1 2
7 Función exponencial Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Las funciones y=a x b son del tipo exponencial.
8 Función exponencial Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Son iguales que la función y=a x y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente: b unidades hacia arriba si b es positivo. b unidades hacia abajo si b es negativo. Las funciones y=a x b son del tipo exponencial.
9 Función exponencial Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Son iguales que la función y=a x y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente: b unidades hacia arriba si b es positivo. b unidades hacia abajo si b es negativo. Las funciones y=a x b son del tipo exponencial.
10 Función exponencial Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Son iguales que la función y=a x y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente: b unidades hacia arriba si b es positivo. b unidades hacia abajo si b es negativo. Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Son iguales que la función y=a x y se obtienen trasladando la gráfica anterior horizontalmente: b unidades a la izquierda si b es positivo. b unidades a la derecha si b es negativo.
11 Función exponencial Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Son iguales que la función y=a x y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente: b unidades hacia arriba si b es positivo. b unidades hacia abajo si b es negativo. Las funciones y=a x b son del tipo exponencial. Son iguales que la función y=a x y se obtienen trasladando la gráfica anterior horizontalmente: b unidades a la izquierda si b es positivo. b unidades a la derecha si b es negativo.
12 Función exponencial Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. y=4 x 5 4 y=4 x y=4 x 5 y=4 x 5
13 Función exponencial Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. y=4 x 6 6 y=4 x y=4 x 5 y=4 x 5
14 Función exponencial Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. y=4 x 6 6 y=4 x y=4 x 5 y=4 x 5 5 unidades abajo
15 Función exponencial Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. y=4 x 6 6 y=4 x y=4 x 5 y=4 x 5 5 unidades abajo 5 unidades derecha
16 Función exponencial Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. y=4 x unidades abajo 6 unidades derecha y=4 x y=4 x 5 y=4 x 5 5 unidades abajo 5 unidades derecha
17 Interés compuesto El capital final, C f, obtenido al invertir un capital C a un rédito r durante un tiempo t a interés compuesto, es: C f =C 1 r 100 r Para calcular el capital que tenemos en cada momento, conocidos el capital C y el rédito r, en función del tiempo t, se puede considerar la fórmula anterior como una función de tipo exponencial donde la variable dependiente es C f y la variable independiente es el tiempo transcurrido.
18 Interés compuesto El capital final, C f, obtenido al invertir un capital C a un rédito r durante un tiempo t a interés compuesto, es: C f =C 1 r 100 r Para calcular el capital que tenemos en cada momento, conocidos el capital C y el rédito r, en función del tiempo t, se puede considerar la fórmula anterior como una función de tipo exponencial donde la variable dependiente es C f y la variable independiente es el tiempo transcurrido.
19 Logaritmos Dados dos números reales positivos a y b ( a 0), el logaritmo en base a de b es el exponente al que hay que elevar a para que el resultado sea b. log a b=c a c =b Cuando los logaritmos son de base 10 se llaman logaritmos decimales. log =log 10 2 =2 Cuando los logaritmos son de base el número e = 2,7182 se llaman logaritmos neperianos. log e e 3 =ln e 3 =3
20 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 b log 0,001
21 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 log 2 8=x 2 x =8 b log 0,001
22 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 log 2 8=x 2 x descom ponem os =8 2 x =2 3 8 en potencias de b log 0,001
23 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 descom ponem os 8 en potencias de log 2 8=x 2 x =8 2 x =2 3 x=3 log 2 8=3 b log 0,001
24 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 descom ponem os 8 en potencias de log 2 8=x 2 x =8 2 x =2 3 x=3 log 2 8=3 b log 0,001 log 0,001 =x 10 x = 0,001
25 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 descom ponem os 8 en potencias de log 2 8=x 2 x =8 2 x =2 3 x=3 log 2 8=3 b log 0,001 log 0,001 descomponemos 0,001 =x 10 x = 0,001 en potencias de10 10 x = 10-4
26 Logaritmos Calcular los siguientes logaritmos: a log 2 8 descom ponem os 8 en potencias de log 2 8=x 2 x =8 2 x =2 3 x=3 log 2 8=3 b log 0,001 log 0,001 =x 10 x = 0,001 descomponemos en potenciasde10 0, x = 10-4 x= 4 log 0,001= 4
27 Propiedades de los logaritmos LOGARITMO DE: UN PRODUCTO UN COCIENTE UNA POTENCIA LA UNIDAD CAMBIO DE BASE PROPIEDAD log a b c =log a b log a c log a b c =log a b log a c log a b n =n log a b log a 1=0 log a b= log c b log c a
28 Propiedades de los logaritmos a log b log 0,1 log 100
29 Propiedades de los logaritmos a log log 4 128=log =log =log =log = 1 =log log 4 2=3 log 4 4 log 4 4=3 log =3 1 2 log 4 4=3 1 2 =5 2 b log 0,1 log 100
30 Propiedades de los logaritmos a log log 4 128=log =log =log =log = 1 =log log 4 2=3 log 4 4 log 4 4=3 log =3 1 2 log 4 4=3 1 2 =5 2 b log 0,1 log 100 log 0,1 log 100=log 10-2 log10 2 = 2 log10 2 log10= = 2 2=0
31 Función logarítmica Una función logarítmica es del tipo: y=f x =log a x donde a es un número real positivo, a > 0, y distinto de 1 (a 1). Esta función verifica que: El logaritmo solo existe para valores positivos. Dom f = ( 0, + ). La imagen de 1 es 0, pasa por (1,0), ya que La imagen de a es 1, pasa por (a,1), ya que log a 1=0 log a a=1 La función es creciente cuando a > 1 y es decreciente cuando a < 1.
32 Función logarítmica Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. f x =ln 3 x 3 f x =ln x 3 f x =ln 3 x
33 Función logarítmica Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. f x =ln 3 x 3 f x =ln x 3 f x =ln 3 x
34 Función logarítmica Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. f x =ln 3 x 3 f x =ln x 3 f x =ln 3 x
35 Función logarítmica Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica. f x =ln 3 x 3 f x =ln x 3 f x =ln 3 x
36 Función inversa Una gráfica es inversa de otra cuando ambas son simétricas respectivamente de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Otra forma de averiguar que dos gráficas son inversas es comprobando que si el punto (a, b) pertenece a la gráfica de la primera función, entonces (b, a) pertenecerá a la gráfica de la segunda.
37 Función inversa Son inversas las funciones siguientes? f x =2 x g x =log 2 x
38 Función inversa Son inversas las funciones siguientes? f x =2 x g x =log 2 x x f ( x ) g ( x ) 3 0, ,25 1 0, ,58
39 Función inversa Son inversas las funciones siguientes? f x =2 x g x =log 2 x x f ( x ) g ( x ) 3 0, ,25 1 0, ,58
40 Función inversa Son inversas las funciones siguientes? f x =2 x g x =log 2 x x f ( x ) g ( x ) 3 0, ,25 1 0, ,58 Son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, por lo que son INVERSAS.
41 Función definida a trozos La expresión analítica requiere de varias fórmulas, cada una de las cuales rige el comportamiento de f(x) en un cierto tramo. Ejemplo: f x = { x si x 2 1 si x 2 1 si x 0 y=sgn 0 si x=0 x ={ 1 si x 0
42 Función valor absoluto f x = x = { x si x 0 x si x 0
43 Función parte entera La parte entera de un número y=e(x) = [x], se define como el primer número entero menor o igual que él. La función y= x-[x] se denomina parte decimal.
44 Función trigonométrica: seno y=f x =sen x * Dom f = R * Como 1 sen x 1 Im f = [-1,1] * Periodo T= 2 sen x=sen x 2k, k R * Máximos en Mínimos en 2 2k, k R 3 2k, k R 2 * Impar: f(-x)=sen (-x)= - sen x=- f(x). Es simétrica respecto del origen de coordenadas
45 Función trigonométrica: coseno y=f x =cos x * Dom f = R * Como 1 cos x 1 Im f = [-1,1] * Periodo T= 2 sen x=cos x 2k, k R 0 2k, k R * Máximos en Mínimos en 2k, k R * Par: f(-x)=cos (-x)= cos x= f(x). Es simétrica respecto del eje Y.
46 Función trigonométrica:tangente tg x= sen x cos x * Dom f = La tg x no está definida si cos x= 0 R { 2 k, k Z } * Como 1 cos x 1 Im f = [-1,1] * Periodo T= tg x=tg x k, k R * Es siempre creciente * Impar: f(-x)=tg (-x)= -tg x= -f(x). Es simétrica respecto del (0,0).
47 Función trigonométrica: inversas tg x= sen x cos x * Dom f = La tg x no está definida si cos x= 0 R { 2 k, k Z } * Como 1 cos x 1 Im f = [-1,1] * Periodo T= tg x=tg x k, k R * Es siempre creciente * Impar: f(-x)=tg (-x)= -tg x= -f(x). Es simétrica respecto del (0,0).
48 Enlaces de interés La revista Números Ayuda el alumno IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB
49 Actividad: La velocidad y el tiempo, magnitudes inversas Dirección: En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad del programa Excel usa la proporcionalidad inversa de la relación velocidad-tiempo. Para conocerlo, sigue este enlace.
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