Universidad Simón Bolívar Departamento de Cómputo Científico y Estadística CO3121 Probabilidad para Ingenieros Preparaduría Semana 9.

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1 Universidad Simón Bolívar Departamento de Cómputo Científico y Estadística CO3 Probabilidad para Ingenieros Preparaduría Semana 9..(5.6) Supongamos que y y y tienen la siguiente función de densidad de probabilidad: f y, y = ky y, y, y, otro caso a. Encuentre el valor de k para el cual la expresión es una función de densidad de probabilidad. f y, y dy dy = ky y dy dy = k y dy = k 4 = k = 4 b. Encuentre la función de distribución conjunta para y, y. Para y < o y <, Para y y y Para y > y y Para y > y y Para y > y y > En resumen F y, y = y y F y, y = dy dy = y y F y, y = F y, y = y y F y, y = F y, y = y 4st ds dt = t y dt = y y 4st ds dt = y t dt = y 4st ds dt = y s ds = y 4st ds dt = t dt =, y <, y < y y, y, y y, y >, y y, y >, y, y >, y >

2 c. Encuentre P y, y P y, y = 4y y dy dy = 9 64 P y, y = 9 64 d. Encuentre las funciones de densidad marginal de y y y. f y = f y, y dy = 4y y dy = y f y = y f y = f y, y dy = 4y y dy = y f y = y e. Encuentre P y y P y y = P y y P y P y y = 4y y dy dy = 7 64 P y y = P y = 4y y dy dy = 7 6 f. Encuentre la función de densidad condicional de y = 6 64 = 4 P y y = 4 f y y = f y, y f y = 4y y y = y f y y = y g. Encuentre la función de densidad condicional de y. f y y = f y, y f y = 4y y y = y f y y = y h. Encuentre P y y = P y y = = f y y = dy = y dy = 9 6 P y y = = 9 6

3 i. Son independientes y y y? Se tiene que las distribuciones marginales son f y = y, f y = y f y f y = y y = 4y y = f y, y El producto de las marginales es la distribución conjunta, por lo tanto, son independientes. j. Encuentre E y. E y = y 4y y dy dy = y dy = 3 E y = 3 k. Encuentre Var y. Var y = E y E y 3 E y = y 4y y dy dy = y dy = Var y = 3 = 8 Var y = 8 l. Encuentre E y y. E y y = E y E y E y = y 4y y dy dy = m. Demuestre que Cov y, y =. 4 3 y dy = 3 E y = 3 E y y = 3 3 = E y y = Cov y, y = E y, y E y E y E y, y = y y 4y y dy dy = 4 3 y dy = 4 9 Cov y, y = = Cov y, y =.(5.4) En seguida se muestra la función de probabilidad conjunta relacionada con los datos obtenidos en un estudio sobre los accidentes de automóvil en las que viajaba un niño (de menos de 5 años de edad), de los cuales por lo menos uno resulto fatal. El estudio se concentró en determinar si el niño sobrevivió y el tipo de cinturón de seguridad que llevaba puesto, si acaso lo utilizaba. Se define y =, si el niño sobrevive, si el niño no sobrevive, y =, si no tenia puesto el cinturón de seguridad, si utilizaba cinturón de seguridad de adulto, si utilizaba cinturón de seguridad de bebé

4 Observe que y representa la cantidad de muertes de niños y, como los asientos para bebé por lo común tienen dos cinturones, y representa el número de cinturones de seguridad utilizados en el momento del accidente. y y,38,7,55,4,,6,4,5,9,76,4 a. Cerciórese de que la función de probabilidad satisfaga el Teorema 5.. Se cumple que p y, y para todo y, y entro del cuadro, además de que también se cumple que p y, y =,38 +,4 +,4 +,7 +, +,5 = y,y Por lo que se cumple el teorema 5. en esta función de distribución. b. Calcule F,. Cuál es la interpretación de este valor? F, = p, + p, =,38 +,4 =,5 F, =,5 La interpretación de este valor es la probabilidad de que el niño sobreviva sin utilizar el cinturón de seguridad para bebé. c. Proporcione las funciones de probabilidad marginal de y y y. p y = p y, y y y = p y = = p, + p, +, =,76 y = p y = = p, + p, + p, =,4 En resumen y p y,76,4 d. Encuentre las probabilidades condicionales y p y,55,6,9 En resumen P y y = = P y y = P y = y y,5,7,8,8,3, =,38,76,,4,76,,4,76

5 y y,69,875,83,3,5,7 e. Cuál es la probabilidad de que un niño sobreviva si viajaba en un asiento para bebé? P y = y = = P y = y = P y = =,4,9 =,83 P y = y = =,83 La probabilidad de que un niño sobreviva si viaja en un asiento para bebé es de,83. f. Son independientes y y y? La independencia de variables aleatorias discretas exige que P y, y = P y P y para toda elección de y, y. Por lo tanto, si esta igualdad se viola en cualquier par de valores y, y, las variables aleatorias son dependientes. Se tiene que P, =,38, por otro lado P =,76 y P =,55, entonces P P =,76,55 =,48,38 = P, Por lo tanto y y y son dependientes. 3.(5.6) Un sistema electrónico tiene cada uno de los dos tipos diferentes de componentes en operación conjunta. Si y y y representan las duraciones aleatorias de los componentes y, respectivamente, la función de densidad conjunta está determinada por la expresión f y, y = 8 y exp y + y, y >, y >, otro caso Las mediciones se expresan en cientos de horas. a. Calcule P y >, y >. P y >, y > = = 8 y exp y + y 4 y e y y + e dy dy dy dy Ya que e y +y = e y e y. Sea y = y, dy = dy, y = y =, y = y =, entonces 4 y e y e y e Ya que y ~Exponencial β =, entonces dy dy = 4 y e y e dy

6 y exp y + dy = y exp y + dy = e y e y dy Se colocó y porque el límite inferior es, y se hace el siguiente cambio: y = y, dy = dy, y = y =, y = y =, entonces e y y + e dy = e y ye dy + y e dy = e + = 3 e Ya que y~exponencial β = y E y = β =, por lo tanto, P y >, y > = 3 e b. Calcule la probabilidad de que la vida útil de un componente tipo supere las horas. Probabilidades marginales. f y = f y = y 8 exp y + y y 8 exp y + y dy = 4 y e y dy = 4 e y y e dy y dy y e = 4 y e y f y = 4 y e y = 4 e y f y = e y Ya que E y =. Ahora f y = y e dy Se hacen los siguientes cambios: y = y, dy = dy, y = y =, y = y =, entonces e y dy = e y dy = e,3679 f y,3679 La probabilidad de que la vida útil de un componente tipo supere las horas es de,3679. c. Son independientes y y y? Se tiene que las distribuciones marginales son: f y = 4 y e y, f y = e y

7 Entonces f y f y = 4 y e y e y = 8 y e y +y = f y, y El producto de las marginales es la distribución conjunta, por lo tanto y y y son independientes. d. Una forma de medir la eficiencia relativa de los dos componentes consiste en calcular la razón y y. Determine E y y. Como ya se demostró, y y y son independientes, entonces se puede escribir E y E y. y = E y E y = y f y dy = y e y dy = Ya que es la esperanza de una distribución exponencial con β =, entonces E y =. E y = f y y = y 4 y e y dy = y e dy = Ya que en,y ~Exponencial β = lo cual integra a uno, por lo tanto E y =. Por lo tanto E y y = = E y y =