Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

Transcripción

1 Físic Generl Proeco PMME - Curso 7 Insiuo de Físic Fculd de Inenierí UdelR TITULO MOVIMIENTO DE PROYECTIL AUTORES Andre Ferreir, Dieo Fonn, Ausin Mimbcs. INTRODUCCIÓN El siuiene rbjo r sobre el esudio del moimieno de un hombre bl; moimieno que se crceriz por ser de proecil. Medine ese nálisis se preende l comprensión de ese ipo de moimienos, de los cules es mu imporne conocer sus crcerísics, que son comúnmene uilizdos con diferenes fines. Se resolerá el ejercicio l cómo esá plnedo, lueo, se procederá relizr cmbios en ls disins ribles, como posición elocidd iniciles, ánulo de prid, ec., imponiendo condiciones iniciles diferenes ls plneds, con el fin de ornr l resolución más proechos pr l comprensión de ese ipo de problems en el fuuro. EJERCICIO: En un circo, un hombre bl sle de un cñón debe errizr en un red L meros bjo l boc del cñón. Si sus componenes de elocidd inicil son: o hci rrib o horizonl, l que o. o A) Cuáno durr en el ire? B) dónde debe esr l red? C) Si Lm o m/s, sl le muro? o ) j i ) L 5 5 3/L o 5/L D FUNDAMENTO TEÓRICO El siuiene fundmeno eórico se eplici con el fin de fcilir l comprensión del proceso de resolución del ejercicio plnedo. El mismo se r del moimieno de un prícul lnzd - -

2 oblicumene en el ire, cu celerción consne es diriid hci bjo. Es un clro ejemplo de moimieno bidimensionl: un moimieno de proecil. Si un prícul se muee solmene en un plno, podemos ubicr los ejes coordendos seún un oriención rbirri, esudir el moimieno medine ls componenes,, z. Considerremos hor el cso especil del moimieno con celerción consne. Al moerse l prícul, l celerción no rí ni en mniud ni en dirección. Por lo no ls componenes de l mism mpoco rín. L prícul se muee, en enerl lo lro de un recori cur. Es siución enerl puede describirse como l sum de ls res componenes del moimieno que se presenn en form simuláne con un celerción consne, lo lro de cd un de ls res direcciones perpendiculres. Eso puede ser sí, ún si un de ls componenes de l celerción, por ejemplo, es cero, que l componene correspondiene l elocidd dimos, iene un lor consne que pudier no ser cero. Un ejemplo de es úlim siución es el moimieno de un proecil que siue un recori cur en un plno ericl, desprecindo los efecos de l resisenci del ire, esá sujeo un celerción consne diriid hci bjo lo lro del eje ericl solmene. Suponiendo que el plno es ericl con el eje horizonl el ericl, por lo no se cumple que mienrs que -. PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN: Pueso que z es mbién cero que esá en el plno, de modo que z es iul cero, l componene de l ecución o + nos dice que z es en odo momeno podemos, por no, cenrr nuesr ención lo que sucede en el plno. Al plner l relción ecoril obenemos que los moimienos seún mbos ejes son olmene independienes. Seún el eje l celerción es nul, siendo por lo no un moimieno recilíneo uniforme. Mienrs que en el eje nos enconrmos frene un moimieno con celerción consne, es decir un moimieno recilíneo uniformemene celerdo, cu celerción es. Pr resoler ls ecuciones correspondienes necesimos l elección prei del sisem de coordends, que pesr de ser rbirri, por cuesiones de prcicidd siumos el orien en el puno donde el proecil comienz su uelo. Es elección implic que. L elocidd en, insne en que el proecil comienz moerse es su dirección de slid form un ánulo θ con respeco l eje posiio (o se respeco l horizonl). De es mner obenemos que ls componenes de l elocidd son ls siuienes: sen o cos o θ θ Siendo ls condiciones iniciles de nuesro problem : Posición: Velocidd: Acelerción: r r r f D + C + o o o - Y que no h un componene horizonl de l celerción, l componene horizonl de l elocidd es consne, reiene su lor inicil durne el uelo, + cos. θ. L componene ericl de l elocidd rí con el iempo debido l celerción consne hci bjo, de modo que + senθ, por lo no l componene. ericl de l elocidd es l correspondiene un moimieno de cíd libre. - -

3 El ecor elocidd es nene l recori de l prícul en odo puno, su ánulo θ formdo con l horizonl pr odo insne esá ddo por +. n θ su mniud Hbiendo rdo en delle celerción elocidd del moimieno. Psremos pues l esudio de l posición. L coordend de l posición de l prícul en culquier momeno, con es + + ( cos ). θ ; ; sen es ( sen ). ; ; cos θ L coordend, con θ Lo que ráficmene (pr los dos del ejercicio) sinificrí:. θ. X(m) 5 4 3,5,5,5 3 3,5 4 4,5 iempo (s).coordend de l posición en función del iempo Y (m) 3 -,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5, iempo (s).coordend de l posición en función del iempo - 3 -

4 Trs obener ls ecuciones, poseriormene los ráficos pr mbs coordends de l posición podemos comprobr lo nes menciondo, l independenci de los moimienos pr cd coordend. Pr l coordend l ráfic linel represen su moimieno recilíneo uniforme con celerción nul; pr l coordend el ráfico nos muesr un moimieno uniformemene celerdo, como er esperdo, que como condición inicil l celerción en er l consne. Ls ecuciones ráfics neriores epresn mbs coordends en función del prámero común, iempo de uelo. Es ineresne esudir l recori del cuerpo, es decir, el lur eomérico de odos los punos por los cules ps l prícul. Pr ello debemos combinr ls ecuciones, eliminndo el iempo de ells: ( ) ( ) o o n θ cos θ L cul relcion con es l ecución de l recori del proecil. Pueso que, θ son consnes, es ecución iene l form b-c² de seundo rdo en por lo no represen un prábol de concidd nei, de quí que l recori de un proecil se prbólic. Y (m) Trecori Y(X) X (m) Sobre es recori precen rios punos de inerés: l disnci en que lcnz l lur máim, l propi lur máim l disnci recorrid hs que lle nuemene l mism coordend de prid (es úlim iene bsne impornci recibe el nombre de lcnce, simbolizd por lo enerl como R, proeniene del inlés rne ). En el cso de un proecil idelizdo l recori es siméric en orno l puno de lur máim. Pr el iempo en cul lcnz l lur máim resul que l elocidd ericl se hce. Resul que por lo no. hmá hmá Plnendo ls ecuciones obenemos el iempo en q lcnz l lur máim: ) ) - ) -+ o o - 4 -

5 r + o +C r o r o r + o h má -+ o o s Lueo l disnci ericl horizonl recorrid en ese iempo sure de reemplzrlo en ls ecuciones siendo: sen θ má máz má sen θ cos θ má má L simerí de l cur hce que el lcnce se el doble que má : R sen θ cos θ sen má θ r o o o o o + + r h má L úlim ecución presen simerí respeco l ánulo θ 45 º ánulo pr el cul es máimo el lcnce resulndo el lcnce máimo de un proecil iul Cundo lle L en o s: ) - ) -- o o r -L - o r o - o r - o +L - 5 -

6 Tiempo del primer rmo Tiempo del seundo rmo o ± o + L o + L o + o + L o o + Tiempo que dur en el ire o + o + L s b) Pr clculr dónde debe esr l red uilizmos l ecución R () susiuimos l rible por el iempo q dur en el ire: o r o + o + L. o + o o + L m c) Lm o m/s o m/s Pr sber si el hombre bl sl el muro, clculmos el iempo q demor en recorrer 3/ L (eje ) q es donde se encuenr el muro: r 3 L 5, 5s el hombre bl sl el muro sii pr,5s r es mor esrico muro),5,5 9 r ( ) + ( ) + m el hombre bl sl el muro 5 L 5m (lur del - 6 -

7 Como seund insnci resul ineresne que ms llá del ejercicio nos deenmos en lo que se refiere los prámeros ls disins mners en que influen o no nuesro moimieno. Pr ello nos deuimos en el nálisis de insncis límies limies en el ejemplo, como lo son quells en que el hombre bl pens sl el muro, eniendo en cuen ls condiciones del muro les como esán plneds en l ler del ejercicio. Con el muro fijo, ls riciones se dieron en l posición, no pr su coordend como Posición inicil: Posición: Velocidd: Acelerción: r r 6 o - o ) - ) -+ o 5 5 r + o +6 r +C + o ± {.5;.6} D r T ol + + l ol T 4.36s D r T m posición de l red ol 6 L posición de l red rir siempre, ddo que cmbi el iempo en que el hombre bl uele psr por l coordend de donde prió cundo se rí ; l influenci l cmbir es direc en l ecución de r, modificndo el lor de l consne C. Además se si se rí l posición inicil en o en, el moimieno se e influido de form proporcionl l cmbio. Si rimos l posición en, siempre cundo sle el muro, l disnci del cñón l red será l mism pr que es cumpl su comeido, debido es influenci direc del en l consne C de l coordend de l posición. En cmbio l rir l posición en, si bien mbién se cumple cier proporcionlidd, que l rir (con ls demás condiciones iniciles fijs) de 6 +,l disnci de l red umen pr lurs cd ez ms rndes. Velocidd ánulo inicil: Posición: Velocidd: Acelerción: r r α o - o - 7 -

8 ) - ) -+α o r 5 +α o + r +α o s α + 5α 6.5 α.7 θ.7. 7 º 6. 7 pens pse el muro. θ depende de l relción θ 6º α.7 θ lores pr que el hombre bl lores necesrios pr que el hombre bl sle el muro (debemos ener en cuen que ods ls conclusiones neriores son álids pr el moimieno IDEAL de un proecil, con supues lur inicil iul ) Ddo que pr un mejor comprensión del moimieno de proecil lo idelizmos de l mner que no conmos con l presenci del rozmieno del ire, resul ineresne nlizr que ocurrirí en un siución más rel. Enonces Qué ocurrirí si pr el esudio del moimieno de proecil uiérmos en cuen el rozmieno del ire? Pr ener en cuen el rozmieno del ire, mos suponer q ese es proporcionl l mniud de l elocidd diriido en senido opueso és. Por lo no l celerción ener dos érminos, uno, iso nes, l celerción de l redd, oro debido l iscosidd: ( V iˆ V ˆj ) r j ˆ γ + El seundo érmino sure de l epresión ecoril de l celerción producid por l fuerz r r iscos que por definición es: γ (donde l dimensión de γ l surir del cociene enre l celerción l elocidd, se deduce:[ T ] ), que desrrolld en componenes conduce l resuldo nerior. L ecución ecoril se rduce en que, pr sus componenes debe ler: γ γ En cuno ls elociddes, si inermos ls disins componenes de l celerción nomos que l independenci enre ls ecuciones se mniene: γ o γ γ o + γ + γ ln γ γ ln + γ Obeniendo ls siuienes ecuciones pr l elocidd: o - 8 -

9 γ γ γ oe oe ( e ) γ Pero l descripción de un moimieno, no ermin en l epresión de l elocidd en función del iempo, sino que es necesrio enconrr el ecor posición (o sus componenes) en función del iempo. Pr ello, inermos ls ecuciones de elocidd seún mbos ejes, sumiendo que l posición inicil sobre le eje es nul; resul: o + γ ( e ) γ o o + o + γ e γ γ Ecuciones que rs un nálisis memáico donde se prooc que γ iend cero, ls ecuciones resuln ls nes mencionds pr el moimieno de proecil en condiciones ideles. Donde nomos clrmene l influenci de es nue condición es en un ráfico de recori del moimieno de proecil con sin fuerz de rrsre, pr condiciones iniciles iules. γ Y(m) X(m) SIN ROZAMIENTO CON ROZAMIENTO 4.Gráfic de recori de un moimieno de proecil (hipoéico) con sin rozmieno De ellos reslrímos que un ez que es enido en cuen el rozmieno del ire el lcnce se reduce noorimene l iul que l lur máim por lo no el lor de r pr los que es lcnzd. Tmbién simple is podemos er como l recori no solo dej de ser siméric sino que el moimieno descendene es mucho ms empindo que el scendene,lo que se debe que en enemos celerción, no sí en, lo que produce un mor reducción de l elocidd en es componene por lo que el ánulo con el que choc el piso dej de ser iul θ pr ser un nueo θ θ