6.7 Teorema de Convolución y la delta de Dirac 409

Transcripción

1 6.7 Teorem de Convolución y l del de Dirc Teorem de Convolución y l del de Dirc En el nálisis de sisems lineles, como en los sisems vibrorios (mecánicos y elécricos), uno de los objeivos es conocer l respues (o slid) del sisem provocd por un función de excición (o enrd). En secciones neriores modelmos sisems vibrorios medine ecuciones diferenciles de l form x./ C ˇx.y/ C x./ D f./; donde f./ es un función de excición (o enrd) del sisem, mienrs que x./ es l respues (o slid) es excición. De es mner, el propósio de resolver un PVI es deerminr cómo l ED (un cj negr) rnsform un función de enrd f./ en un slid x./ cundo se conocen ls condiciones iniciles x./ & x./. L siguiene figur es un represención de esos elemenos f./ Enrd o excición ED x./ Slid o respues En ese cpíulo, un PVI x./ C ˇx.y/ C x./ D f./ con x./ D & x./ D : (6.3) h sido resuelo, plicndo TL l ED nerior. No obsne, exisen problems que llevn PVI similres (6.3) los cules no siempre permien enconrr l solución de mner direc. L rzón es que no se conoce, con precisión, cómo fec l cj negr l función de enrd. Pr resolver ese ipo de incógnis, se inroducen l sisem funciones de enrd que se conocen como impulsos y, un vez conocid l respues esos impulsos, se obiene l slid x./ medine un operción llmd convolución que es un exensión, básicmene, de l propiedd de superposición. L del de Dirc Consideremos un fuerz f./ que cú sólo durne un inervlo de iempo muy pequeño b, con f./ D pr odo vlor de fuer del inervlo. Ejemplos ípicos de ese ipo de fuerzs serín l fuerz impulsiv de un b que golpe un pelo (el impco es csi insnáneo) o bien un rápido umeno de volje (resulne de l descrg de un ryo), por ejemplo. En les siuciones, el principl efeco de l fuerz depende sólo del vlor de l inegrl p D b f./d (6.4) y ése no es influencido por l form precis en que vrí f./. El número p de l ecución (6.4) se llm impulso de l fuerz f./ sobre el inervlo Œ; b. Ahor bien, en el cso de un fuerz f./ que cú sobre un prícul de ms m consne, se iene por l segund ley de Newon: f./ D mv./ D d d Œmv./ : De donde, por el eorem Fundmenl del Cálculo: p D b f./ d D b d d Œmv./ d D mv./ b D mv.b/ mv./: A cd érmino en el miembro derecho del resuldo nerior se le llm momeno linel, sí que el impulso de l fuerz es igul l vrición del momeno linel de l prícul. En l prácic, el cmbio en el

2 4 Ecuciones diferenciles momeno linel es el único efeco que ineres, por lo no sólo necesimos conocer el impulso de l fuerz; no necesimos conocer ni l función precis f./ ni el lpso exco durne el cul cú l fuerz. Si hor seleccionmos un número fijo " > que se proxime l durción de ese lpso y reemplzmos f./ por si C "I " ı ;"./ D (6.) si Œ; C " I enonces, pr b D C ", el impulso de ı ;"./ sobre el inervlo Œ; b es p D b ı ;"./d D C" d D : " Así, f./ D ı ;"./ iene un impulso unirio, culquier que se el número " >. Observemos el compormieno de ı ;"./ cundo "!, por medio de ls siguienes gráfics: ı ;"./ ı ;"./ ı ;"./ C " ƒ ƒ C " C " " D " D " D Como el lpso preciso durne el cul cú l fuerz no prece ser imporne, resul endor pensr en un impulso insnáneo que ocurr precismene en el iempo D. Así, prece rzonble pensr que es ide l conseguirímos bjo un proceso de límie, concremene cundo "!. Si dopmos ese proceso, endrímos: ı. / D lím ı ;"./: "! Encmindos por ls considerciones formles, si mbién pudiérmos inercmbir el límie con el signo de inegrl: ı. /d D Pero el límie, cundo "!, en (6.) d: ı. lím ı ;"./d D lím "! / D "! C" { C si D I si : ı ;"./d D : (6.6) (6.7) Es clro que ningun función puede sisfcer l vez ls condiciones (6.6) y (6.7). En primer lugr, l sol presenci del símbolo C nos hce ver que ı no es un función en el senido usul. Además, cepndo ver en el símbolo C un número, l función cuyo vlor es cero en ods pres con l excepción de un solo puno proporcion cero como vlor de l inegrl y no como hemos obenido. Alrededor de 9, después de que los ingenieros y físicos hbín esdo usndo mpli y frucífermene l función del durne unos ños sin un jusificción riguros, el memáico frncés Luren Schwrz desrrolló l eorí memáic de ls funciones generlizds que proporcionó el fundmeno lógico pr ls écnics bsds

3 6.7 Teorem de Convolución y l del de Dirc 4 en l del de Dirc. El símbolo ı. /, se llm del de Dirc en, en honor l físico eórico briánico P.A.M. Dirc que en los primeros ños de l décd de 93 l inrodujo suponiendo que disfrub de ls propieddes (6.6) y (6.7). Como ı. / no es un función, soslyremos el problem de su definición yendo en odo cso l considerción de su efeco operivo. El siguiene cálculo moiv el significdo que le signremos. Si h./ es un función coninu en un inervlo que coneng Œ; C ", enonces el eorem del Vlor Medio pr inegrles implic que C" h./d D "h. /; pr lgún puno en el inervlo Œ; C ". De es mner: lím "! h./ı ;"./d D lím "! C" h./ ( ) ( ) d D lím "h. / D lím h. / D h./: " "! " "! En l úlim iguldd hemos uilizdo l coninuidd de h. Si en el cálculo nerior pudiérmos inercmbir el límie con l inegrl [como y hemos supueso en (6.6)], enonces endrímos que: h./ı. / d D h./: (6.8) Observmos pues que, si se plic un impulso p en D, enonces l fuerz plicd se puede modelr por f./ D pı. /. Ejemplo 6.7. Clculr l TL de f./ D ı. /. Usndo (6.8), con h./ D e s : Lfı. /g D e s ı. / d D e s : De cuerdo ls considerciones neriores, formlmene podemos decir que l derivd de l función esclón unirio es l del de Dirc. Es decir: u. / D ı. /: (6.9) En efeco, observmos: ı ;"./ D Œu. / u. "/ ; " de donde: ı. u. / u. "/ / D lím ı ;"./ D lím D "! "! " u. "/ u. / D lím D "! " (omndo h D " se iene que: "! ) h! ) u. C h/ u. / D lím D u. h! h /: Ahor podemos resolver el siguiene ejemplo, presendo en l inroducción.

4 ˆ 4 Ecuciones diferenciles Ejemplo 6.7. Un ms unid un resore se liber desde el reposo m por debjo de l posición de equilibrio y comienz vibrr. Después de s, l ms recibe un golpe que suminisr un impulso (momeno linel) sobre l ms de 8 Ns dirigido hci bjo. llr l posición de l ms en culquier insne. (Ése es el ejemplo 6..4 de l inroducción.) El sisem qued descrio por el siguiene PVI: Dividiendo enre m: mx./ C kx./ D 8ı. / con x./ D & x./ D : x./ C k m x./ D 8 m ı. / con x./ D & x./ D : Tl y como hicimos en el cpíulo sobre vibrciones, considermos w D k. Si plicmos TL en mbos m miembros de l ED obenemos: x./ C w x./ D 8 ı. /; m s X.s/ sx./ x./ C w X.s/ D 8 m e s : Así, l ener en cuen ls condiciones iniciles, enconrmos: de donde:.s C w /X.s/ D s C 8 m e s I s C 8 X.s/ D m e s D s s C w s C w C 8 e s m s C w : Lo único que res es obener x./ medine el cálculo de l TL invers. De es mner: x./ D L s C 8m s C w L e s D s C w D cos w C 8 u. mw / senœw. / D D cos w C p 8 u. mk / senœw. / : Observemos que, dd l presenci de l función u. /, el efeco que iene el impulso sobre el sisem sólo es deecble pr. L gráfic de l función de posición es l siguiene: x./ En l gráfic resul noori l perurbción que se imprime l sisem en el iempo D s por efeco del impulso plicdo. Obsérve que, en ese momeno, l ms esá debjo de l posición de equilibrio y se v dirigiendo hci es posición cundo recibe un golpe juso en l dirección conrri, lo que explic por qué l oscilción se minor y demás por qué se preci en ese insne un cmbio brupo en l dirección ngencil sobre l gráfic.

5 6.7 Teorem de Convolución y l del de Dirc 43 Convolución Como hemos indicdo, es posible deerminr l respues que sobre un sisem elécrico iene un impulso, llmdo mbién pulso, de cor durción. Así, si se exci l sisem con un pulso ı./, podemos obener su respues h./, llmd respues l impulso. Si el impulso se plic en el iempo D s, lo único que ocurre es un rerso en l slid y és será h. s/. Si hor, el impulso uviese un inensidd diferene de l unidd en D s, por ejemplo f.s/ı. s/, enonces por l linelidd l slid será f.s/h. s/. Si considermos l sum de ods ls enrds de ese ipo, enonces l función de excición es f.s/ı. s/ ds D f./ por l propiedd (6.8): Por oro ldo, como un exensión de l propiedd de superposición pr ED lineles, deducimos que l respues del sisem es x./ D f.s/h. s/ ds: (6.6) Ls figurs siguienes corresponden diferenes funciones de excición y slids correspondienes: ı./ ED h./ ı. s/ ED h. s/ Z f.s/ı. s/ ED f.s/h. s/ f.s/ı. s/ dsı. s/ ED Z f.s/h. El miembro derecho del úlimo resuldo (6.6) se conoce como convolución de f con h, y se escribe f./ h./; por lo no: x./ D f./ h./ D f.s/h. L form generl de convolución enre h./ & f./ puede simplificrse debido que l respues l impulso h./ cumple h./ D si <. De es form h. s/ D pr s >. De donde deducimos que podemos cmbir el límie superior de inegrción en lugr de. De es mner enemos l siguiene definición: s/ ds: L convolución de ls funciones y & h, escri como, y h se define medine: x./ D y.s/h. s/ds D y./ h./: Ejemplo Obener l convolución f g de ls funciones f./ D e & g./ D e, consne. s/ ds Si D, enemos: f./ g./ D f./ g./ D De es form: f.s/g. s/ ds D e s e. s/ ds D D [ e e. /s] D [ ] e e. / D D [ e e ] si : f.s/g. s/ ds D e s e. s/ ds D [ e e ] si I f./ g./ D e si D : e e. /s ds D e s e e s ds D e ds D e :

6 44 Ecuciones diferenciles En es sección enemos 3 resuldos impornes:. Pr un función h./ coninu: h./ı. / d D h./ con > :. L derivd de l función esclón unirio es l del de Dirc: 3. L respues x./ de un sisem de l form: u. / D ı. /: x./ C ˇx./ C x./ D f./ con x./ D & x./ D ; se puede hllr clculndo l convolución de l función excición f./ con l función respues l impulso h./, es decir: x./ D f./ h./ D f.s/h. Teorem 6.6 Ls siguienes propieddes se cumplen pr l convolución:. Conmuividd: f g D g f.. Asociividd:.f g/ h D f.g h/. 3. f./ g./! F.s/G.s/. Ejemplo llr l convolución de f./ D sen & g./ D ı./. Ejemplo 6.7. llr L Escribimos: f./ ı./ D. s 3 C 4s s/ ds: f.s/ı. s/ ds D f./ D sen : s 3 C 4s D s.s C 4/ D s s C 4 : Enonces, con F.s/ D s & G.s/ D disinguimos que f./! F.s/ & g./! G.s/, donde: s C 4 D & g./ D L f G.s/g D L D sen : s C 4 f./ D L f F.s/g D L s Por lo no: L D f./g./ D g./f./ D s 3 C 4s g.s/f. s/ ds D sen s ds D 4 cos s D Œ cos : 4 Observción. En lugr de clculr f./ g./, procedimos l cálculo de g./ f./ porque ése produce un inegrl más sencill de relizr. Ejemplo Resolver l ecución inegro-diferencil x./ D cos C x.s/. s/ ds:

7 6.7 Teorem de Convolución y l del de Dirc 4 Si f./ D, enonces l ecución puede ser escri como: Si hor plicmos TL en l ecución nerior: Lf x./g D Lf cos g C Lf x./ f./g ) s ) X.s/ D s C C X.s/ s [ ] s ) X.s/ D s x./ D cos C x./ f./: ) X.s/ [ s s C ) X.s/ D s 3 ] D s s s C ).s /.s C / D 4 s C 4 s C C s.s C / : donde el úlimo resuldo se obuvo por frcciones prciles. Por lo no, l plicr TL invers: x./ D L 4 C L s D 4 e C 4 e C cos : 4 C L s C s.s D C / Ejemplo L respues l impulso unirio de un sisem es h./ D e. Obener l respues x./ dd l función de excición y./ D u./ si ls condiciones iniciles son x./ D & x./ D. L respues se obiene rvés de l convolución: De modo que x./ D x./ D y./ h./ D h./ y./ D e s. s/u. s/ ds D h.s/y. s/ ds :. s/e s ds: Si hor inegrmos por pres, con u D s, dv D e s ds & consne, obenemos: x./ D. s/e s ( ) e s ds D C e s D C e : Ejercicios 6.7. Teorem de Convolución y l del de Dirc. Soluciones en l págin 477 Clculr l TL de ls siguienes funciones:.. f./ D e ı. /. b. g./ D ı. /. c. h./ D e ı. C /.. f./ D Z u/ cos u du. 3. g./ D Z u/eu du. Z 4. h./ D e. u/ sen u du.

8 46 Ecuciones diferenciles Clculr y./ en cd uno de los siguienes ejercicios:. y./ C Z. u/y.u/ du D. 6. y./ Z u/ y.u/ du D ; con y./ D. Z 7. y./ D C y.u/ sen. u/ du. Z 8. y./ C cos. u/y.u/ du D e. Z 9. y./ C y./ D sen. u/y.u/ du; con y./ D.. d y d C y D I ı./; con y./ D y./ D :. d y d C dy d C y D ı. /; con y./ D y./ D :. 3. d y d C dy d C 3y D sen C ı. 3/; con y./ D y./ D : d y d C y D ı. / cos ; con y./ D & y./ D : 4. Un ms de g se suje un resore cuy consne es k D 4 din/cm; l ms se pr del reposo en D 3 cm bjo l posición de equilibrio y se dej vibrr sin morigumieno ni perurbción hs que en el insne D se le d un golpe con un mrillo que le produce un impulso p D 8. Deerminr el movimieno de l ms.