Observabilidad. U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 2

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Vicente Víctor Olivares Pérez
hace 6 años
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1 Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 1 Inroducción Concepo: "observr" el esdo del sisem prir de su relción enrd-slid. u) Sisem y) x) U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 2 1

2 Observbilidd: ejemplo R 1 C 1 R 2 C 2 u c2 x) u R 1 R 2 C 1 C 2 u c1 y=x 1 -x 2 se puede conocer x) conocido y)=x 1 )-x 2 )? en el supueso R 1 C 1 R 2 C 2 : se puede conocer x ) conocido yτ)=x 1 τ)-x 2 τ) pr <τ? o bien cd esdo inicil disino gener un slid disin? y si y)=3x 1 )-5x 2 )? y pr R 1 C 1 =R 2 C 2? exisen esdos en los que y)=? U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 3 Definiciones: 1/1) observbilidd de un puno del esdo x es observlble en [ o, 1 ], si y sólo si priendo de x )=x, el conocimieno de l enrd uτ) y l slid yτ) en el inervlo o τ 1, permie segurr que x )=x x es observlble, si y sólo si pr odo insne inicil exise un inervlo finio [ o, 1 ], l que x es observble en [ o, 1 ]. U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 4 2

3 Definiciones: 1/2) observbilidd de un sisem Un sisem es observlble en [ o, 1 ], si y sólo si odos los punos del espcio de esdo son observlbles en [ o, 1 ], Un sisem es observlble si y sólo si odos los punos del espcio de esdo son observlbles U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 5 Observbilidd de sisems lineles: inroducción En un sisem linel e invrine: y) = C)x) + D)u) = C), )x + " C), )B )u )d + D)u) grupndo érminos que no dependen de x : y) y) " C),% )B% )u% )d% + D)u) = C), con lo que el objeivo de l observbilidd es el cálculo de x prir de y ) o slid del sisem ne enrd nul )x U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 6 3

4 Observbilidd de sisems lineles: eorem Ddo el sisem: x) & = A)x) + B)u) y) = C)x) + D)u) es observlble en [ o, 1 ] si y solo si el grmino de observbilidd V o, 1 ) es inverible, definido como: 1 T T V 1, ) = ", )C )C )", ) d U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 7 Observbilidd de sisems lineles: demosrción V -1 1, ) sisem observlble en [, 1 ] suficiene ) : = 1 1 " T T x V 1, ), )C )y ) d por no se puede clculr el esdo inicil x necesri ): si no exise V -1 1, ) enonces priendo de x ) igul l el vecor propio de V socido l vlor propio, se obiene: y 1 ) = por no exisen esdos cuy slid es indisinguible con l slid desde el origen U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 8 4

5 Observbilidd de sisems lineles: esdos no-observbles definición: esdos no-observbles son quellos prir de los cules su slid es permnenemene nul ne enrd nul y ) = > si exisen esdos no-observbles, ningún esdo del sisem es observble si el sisem no es observble, exisen esdos no-observbles U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 9 Observbilidd de sisems lineles e invrines: eorem Ddo el sisem: x) & = Ax) + Bu) y) = Cx) + Du) es observble si y solo si l mriz P es de rngo máximo n). & C CA 2 P = CA M n'1 % CA " U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 1 5

6 Observbilidd de sisems lineles e invrines: demosrción rngo P) = n sisem es observble necesrio ): y ) = " )C + " 1 )CA " n1 )CA n1 por no si el rngop)<n, exisen esdos iniciles x, les que y ) = suficiene ): [ ] x si no es observble exisen vecores P por no si no es observble el rngop) < n U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 11 Sisems lineles invrines: Suespcio no-observble Todos los punos no-observbles formn un subespcio, denomindo subespcio noobservble El subespcio no-observble es generdo por el nucleo de P vecores x/ Px=) de dimensión n-r P, siendo r P =rngop) U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 12 6

7 Subsisem no-observble: lem Ddo un sisem linel e invrine con dimensión del subespcio no-observble n-r P <n, exise un mriz de cmbio de bse T l que: & = ' 1 T AT = % b C = CT = [ C ] bb " en el que el subsisem es observble ) C ~ de dimensión r P xr P siendo T=[T T b ], donde T b es un bse del subespcio no-observble del sisem U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 13 Subsisem observble: represención gráfic D u) x~ y) B ~ C ~ & = % b C = [ C ] bb " Observble No observble B ~ b A ~ b x~b bb U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 14 7

8 Seprción del subsisem conrolble y observble: lem Ddo un sisem linel e invrine con rngoq)=r Q y rngop)=r P, exise un mriz de cmbio de bse T l que: = ' 1 T donde: AT = & c b bb bc cc % dc && %% b & B ~, " % B ~ bd dd B ~ ", " = T ' 1 & B ~ B ~ B = b % " C = CT = [ C C c ] el subsisem de dimensión r Q xr Q es conrolble bb && & B ~,, C ~ %% cc " % " [,B ~ C ~ ] b [ C ~ ] " [ C ~ ] " el subsisem c de dimensión r P xr P es observble el subsisem, es conrolble y observble c U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 15 Seprción del subsisem conrolble y observble: mriz T siendo l mriz del cmbio de bse: T=[T T b T c T d ] donde: T T b es un bse del subespcio conrolble T b T d es un bse del subespcio no-observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 16 8

Conrolble B ~ b b bb x~b c bc cc dc dd x~c x~d

9 Seprción del subsisem conrolble y observble: gráfic u) Conrolble B ~ y observble x~ C ~ Observble y) & c = b bb bc bd cc % dc dd " & B ~ B ~ B ~ = b % " C ~ = CT = [ C ~ C ~ ] c Conrolble B ~ b b bb x~b c bc cc dc dd x~c x~d C ~ c bd U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 17 9

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