Tema 4. Modelos multivariantes recursivos. Variables exógenas. Modelos uniecuacionales. Causalidad en sentido de Granger.

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1 Tem 4. Modelos mulivrines recursivos. Vribles exógens. Modelos uniecucionles.. El Modelo VARp escionrio. Cuslidd en senido de Grnger.. Esimción de modelos VAR 3. Modelos VAR con vribles exógens. Modelo VAR recursivos. 4. Modelos uniecucionles dinámicos: Muliplicdores de impco de lrgo plzo

2 . Modelo VARp escionrio. Cuslidd en senido de Grnger. Objeivo: Describir ls relciones dinámics enre dos o más vribles económics recogids en el vecor W de dimensión nx. populridd de los modelos VAR pr modelizr sisems dinámicos de vribles económics es debid Sims 98 que criic los modelos economéricos esrucurles.

3 Vmos considerr, por ejemplo, el siguiene modelo pr un sisem bivrine de dos vribles: Si inenmos esimr cd un de ess dos ecuciones por MCO, los esimdores serán no consisenes ddo que exise correlción enre los regresores l perurbción. u u α α α α ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ u E u E u E u u E u E α α α α

4 El problem surge por un fl de idenificción de ls relciones conemporánes. Un lerniv pr poder esimr es resringir de form decud los prámeros del modelo: i Imponer resricciones sugerids por l Teorí Económic ii Trbjr con modelos de series emporles

5 Pr es segund opción vmos considerr l siguiene expresión lerniv del modelo nerior: α α α α u u BW W W B Φ AW W AW U ε B U

6 Vmos ver como son ls perurbciones del nuevo modelo: covrinz enre solo será cero cundo u u u u ε ε u u u u ε ε ε ε

7 En ese úlimo modelo l relción conemporáne prece modelizd como covrinz enre ls perurbciones en lugr de precer explícimene en el modelo. Se pierde l relción de cuslidd.

8 El modelo VARp viene ddo por: W C ΦW... Φ pw p donde E E ' s, Ω, s s Ω es un mriz siméric definid posiiv.

9 Ejemplo: Modelo VAR pr un sisem bivrine Cd vrible prece regresd en su propio psdo en el psdo de ls demás vribles. Tods ls regresiones ienen ls misms vribles explicivs.

10 En un modelo VAR ls relciones conemporánes enre ls vribles del sisem se recogen en l mriz Ω.Dichs relciones no represenn relciones de cuslidd. σ σ Ω σ σ σ Cundo no h relciones conemporánes enre ls vribles e

11 El modelo VARp puede escribirse lernivmene como p I Φ... Φ p W C El modelo es escionrio si ls ríces de l p ecución I Φ... son esricmene x Φ px mores que uno en módulo. El modelo VARp puede esimrse consisenemene ecución por ecución. Si h un componene de MA, l esimción debe relizrse por MV.

12 Ejemplo: Φ x x x x x I x x x x x x I Φ..8 x x x

13 Cuslidd en senido de Grnger En un sisem bivrine, l vrible no cus l vrible en el senido de Grnger si pr odo s>, el error cudráico medio ECM de l predicción de s ddo,..., es el mismo que el ECM de l predicción de ddo s,...,,,..., cuslidd en el senido de Grnger es mejor inerprerl en el senido de predicción que en el de cuslidd propimene dich.

14 Pr conrsr l cuslidd de Grnger se reliz el siguiene conrse c... α p p... p p α ε H :... p

15 En un modelo VAR, l no cuslidd en senido de Grnger signific que ods ls mrices son ringulres. Ejemplo: En el modelo VAR nerior Φ i

16 . Esimción esimción del modelo VARp puede hcerse por Máxim Verosimiliud esimndo el sisem compleo. Sin embrgo, ddo que no exisen componenes de Medis Móviles, l esimción MCO ecución por ecución es consisene sinóicmene norml si se cumple un de ls siguienes condiciones: i no h prámeros igules cero en el modelo ods ls ecuciones ienen ls misms vribles. ii mriz de vrinzs covrinzs de l perurbción es digonl.

17 3. Modelos VAR con vribles exógens. Modelos recursivos. El objeivo de l exogeneidd es simplificr el nálisis economérico pr reducir el número de ecuciones que enemos que considerr en el sisem. Un vrible es exógen cundo el nálisis que se preende relizr, puede hcerse sin necesidd de modelizr expresmene l ecución de dich vrible. Vmos considerr dos ipos de exogeneidd: Exogeneidd débil cundo el objeivo es l predicción de prámeros. Exogeneidd fuere cundo el objeivo es l predicción.

18 Decimos que h exogeneidd débil cundo los prámeros en λ son de vrición libre λ no iene elemenos comunes. Además, los prámeros que queremos esimr solo dependen de λ Pr que h exogeneidd fuere, demás de ls dos condiciones neriores, no debe hber cuslidd en senido de Grnger. En ese cso, f Y, Z Y, Z, λ f Y Y, Z, λ f Z Z, λ Cundo h vribles fueremene exógens, se obiene lo que se conoce como modelo VARX.

19 Modelos recursivos En los modelos recursivos ls ecuciones del modelo se pueden ordenr de l form que un vrible endógen de orden superior no influe, ni coneporánemene ni desfsd, en un vrible endógen de orden inferior. El modelo se dice que es recursivo cundo i es posible ordenr ls vribles del modelos VARX de form que ls mrices engn un esrucur ringulr lguns vribles no cusn ors en senido de Grnger ii l mriz de vrinzs covrinzs es digonl.

20 Ejemplo: Ω 3 σ σ σ

21 En ese cso, no es cusd ni por ni por Además, no es cusd por 3 Finlmene, no exisen relciones conemporánes enre ls res vribles

22 Cundo se cumple l hipóesis de recursividd, ods ls vribles explicivs de culquier ecución son fueremene exógens. El modelo puede ser esimdo ecución por ecución por MCO sin perder eficienci.

23 4 Modelos uniecucionles dinámicos: rerdos disribuidos f. de rnsferenci Si en un sisem de vribles, ods ls vribles excepo un son exógens, obenemos el modelo uniecucionl de regresión dinámic. Vmos considerr, dos formulciones lernivs de modelos dinámicos uniecucionles suponiendo que el sisem iene dos vribles que un de ells es fueremene exógen: Modelo de rerdos disribuidos Modelo de función de rnsferenci

24 Modelo de rerdos disribuidos En ese cso, el modelo viene ddo por: u c α... α p p z z... pz p os resuldos clásicos del esimdor MCO se mnienen pr ese modelo. Ese modelo es el modelo de regresión dinámico clásico unque pueden plnerse problems en su esimción por l posible mulicolinelidd enre los rerdos de ls vribles explicivs. El muliplicdor de lrgo plzo viene ddo por α /

25 Modelo de función de rnsferenci Alernivmene se puede plner lo que se conoce como modelo de función de rnsferenci en el que se diferenci l relción dinámic enre ls vribles exógens l vrible endógen del compormieno dinámico de l perurbción leori. ν z ν c z... N

26 Cundo precen vrios rerdos de un vrible signific que cmbios en l vrible z fecn l vrible en vris eps. Por ejemplo, un gso en publicidd en un periodo deermindo, fecrá ls vens fuurs durne vrios periodos de iempo. s perurbciones de ese modelo esrán, en generl, uocorrelcionds, ddo que esán recogiendo l dependenci de con respeco su propio psdo.

27 Por lo no el modelo de función de rnsferenci podrí expresrse como: p q r r s s z z θ δ δ ψ

28 Ejemplos: s, r, q, p b s, r, q, p z z z θ θ z θ δ

29 Vmos inerprer el polinomio,,,... os coeficienes de dicho polinomio se conocen como función de respues un impulso. Pr definir un impulso vmos considerr que esmos en un siución de equilibrio en l que l perurbción es cero l vrible exógen om un vlor consne, c. En un momeno del iempo, l vrible exógen iene un cmbio unirio rnsiorio en su vlor. Es decir, N θ q p z c, c,...

30 Cundo ls vribles esán expresds en logrimos, es l elsicidd conemporáne i es l elsicidd de l vrible con respeco l vrible x rs i periodos de desfse. Vmos ver cuáles son los efecos de un impulso sobre l vrible endógen. Pr ello vmos empezr suponiendo modelos sencillos pr el polinomio...

31 r s Función de respues: p q z θ e c e e e c c c c c,,, i i i i

32 Ejemplo: Vmos suponer que el vlor de equilibrio de z es, en consecuenci, el vlor de equilibrio de mbién es Impulso v3.5

33 El efeco puede durr ms periodos de iempo mbién precer después de un lpso de iempo Impulso v.534

34 b r s p q z θ δ... δ... δ... δ δ δ i i

35 Ejemplo: δ 3.8 δ Impulso v3/ Impulso v3/-.4

36 Como nes puede hber lpsos de iempo nes de que h efecos demás podemos ener lgunos periodos durne los cules los efecos no sen sisemáicos: δ Impulso v3/-.8

37 Si ls ríces del polinomio esán fuer del círculo unidd, vriciones rnsioris de l vrible expliciv no pueden ener efecos permnenes en l vrible endógen. El polinomio s lrg l esrucur sin efecos sisemáicos mienrs que el polinomio lrg dich esrucur imponiendo un deermindo prón de compormieno. δ r δ r

38 Función de respues un esclón Ahor vmos considerr que l vrible expliciv iene un cmbio unirio permnene en el momeno, es decir, z c, c, < función de respues un esclón viene dd por los coeficienes V i que miden el impco sobre l vrible endógen de dichos cmbios. e... c e V i

39 A cd uno de esos coeficienes se les conoce con el nombre de muliplicdores, si ls vribles esán en logrimos, pueden inerprerse como elsiciddes cumulds... V c c e 3... V c c e i j j V i

40 gnnci o muliplicdor de lrgo plzo viene ddo por g s δ V j j r

41 Ejemplos: Esclón v Esclón v.534

42 6 4 δ Esclón v3/ δ Esclón v3/-.4

43 δ Esclón v3/-.8

44 A prir del modelo de rnsferenci, es posible obener el modelo de rerdos disribuidos pero l conrrio. r q r q r q r q p s p r p q r s z z z z z α ϕ α ϕ ϕ α δ θ δ θ δ

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