19. Indica la medida de todos los ángulos x tales que se verifiquen :a) senx=- ; b)cosx=0;
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- Juan Carlos San Martín Acuña
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1 Boletín II trigonometría 1. Existe un ángulo "x" tal que senx=1/ y cosx=1/? Razona tu respuesta. Puede valer el seno de un ángulo 9/8? Razona tu respuesta. Existe algún ángulo que cumpla senx=1/ y tgx=1/9? Razona tu respuesta.. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α: a) senα=1/ y α está en el primer cuadrante; b) senα=/ y α está en el tercer cuadrante.. Calcula en cada caso el valor de las demás razones trigonométricas considerando que x está en el primer cuadrante: a) senx= / ; b) cosx=0,8; c) tgx=. 6. Sabiendo que sen, y que α pertenece al º cuadrante halla el resto de las razones trigonométricas. 7. Sabiendo que cos y que α pertenece al º cuadrante, halla el resto de las razones trigonométricas 8. Sabiendo que tg, y que α pertenece al º cuadrante halla el resto de las razones trigonométricas 9. Calcula el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante del ángulo de 1.110º relacionándolo con un ángulo agudo. 10. Dibuja los ángulos que cumplan las siguientes condiciones y calcula el valor de sus razones trigonométricas. a) senα=/; tgα>0; b) tgβ=1; cos β< Calcula senx, tgx, secx, cosecx, y cotgx, si cosx=0,6 y tgx<0. 1. Para qué angulos es senα=-cosα?. 1. Halla las demás razones trigonométricas en los siguientes casos: a) Si el seno de α es 0,8 y el ángulo α no pertenece al primer cuadrante. b) Si la tangente de α es 1/ y el ángulo α pertenece al tercer cuadrante. c) Si sec α = - y α no pertenece al tercer cuadrante. 1. Calcula en función de las razones trigonométricas de ángulos agudos conocidos las razones trigonométricas de: 10º, 1º, 10º, 180º, 10º, º, 0º, 70º, 00º, 1º, 0º 1. Sin utilizar la calculadora calcula las razones trigonométricas de los ángulos: a) 76º b) 0º 16. Sabiendo que sen 7º=0,6. Calcula sus restantes razones trigonométricas y las razones trigonométricas de los ángulos de º y 1º 17. Las razones trigonométricas del ángulo de 0º son: sen0º=0,; cos0º=0,9; tg0º=0,6. Escribe las razones trigonométricas de 70º. 18. Basándote en las razones de ángulos conocidos y sin utilizar calculadora halla: a)sen10º b) cos (-0) c) tg 1º d) sen º e) tg(º) f) tg 10º g) sen 00º h) cos1º i) tg 10º j) sen (0º) k) cos 10º l) tan 00º; m) sen 6; n)tg(-80) ñ)sen 0º; o) cos 10º; p) tg º; q)cos 10º; r) tg 0º; s)sen 0º; t) tg 0º; u) sen 1800º; v) tg(0); x) cos(0) 19. Indica la medida de todos los ángulos x tales que se verifiquen :a) senx=- ; b)cosx=0; c) tgx=1; d) tgx=-- e) senx= - 0. Sin usar calculadora halla las siguientes razones trigonométricas: a) sen1; b)tg960; c)cos ; d) sen ; e) tg 1. Con ayuda de la calculadora averigua x en los siguientes casos a. tg x= x pertenece al primer cuadrante b. sen x= 0 x pertenece al º cuadrante c. cosx=0 6 x pertenece al cuarto cuadrante 1
2 . Sabiendo que cos α = ¼, y que 70º <α <60. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.. Sabiendo que tg α =, y que 180º < α <70. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.. Sabiendo que sec α =, 0< α < /, calcular las restantes razones trigonométricas. Expresa las razones trigonométricas de º en función de las de -º. 6. Expresa el seno, coseno y tangente de 70º, 160º, 00º y 0º en función de las de 0º. 7. Sabiendo que senx=1/ calcula las siguientes razones: a) cos(180-x); b) tg(180+x); c)sen(60-x); d)ctg(60+x); e)sec(180+x); cos(90-x) 8. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o son falsas. Razona tu respuesta. a) La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante b) El coseno es positivo en el primer y segundo cuadrante c) tg / d)sec(0º)=sec(0º) e) El seno de 100º es igual al seno del ángulo de 10º f) El ángulo de 780º tiene el mismo seno que el ángulo de 60º g) El seno de 90º es igual a 1 h) El coseno de 180º es igual a i) tg º = 1 j) Si sen a =1, el ángulo a vale 90º k )tgx=1/ctgx l) senx=1/cosx m)tgx.ctgx=1 n) En el tercer cuadrante todas las razones son negativas ñ) El seno de un ángulo es igual al de su suplementario o) El coseno de un ángulo es igual al de su complementario p) El seno de un ángulo es siempre menor que 1 q) El coseno de un ángulo puede valer 9 8 r) La tg de un ángulo puede valer -9 8 s) La secante de un ángulo puede valer 0 7 t) El seno de un ángulo puede valer u) senx=-sen(π-x) v) cos x= cos(π-x) w) tgx=tg(π+x) x)senx=cos(90-x) y) Si tgx<0 y senx<0 entonces x pertenece al tercer cuadrante z) Si tgx<0 y secx>0 entonces x pertenece al º cuadrante 1 9. Simplifica: cos x tg x cos x Solución: 0 cos x 0. Simplifica: ( 1 cos x )(1 cos x) Solución: sen x senx 1. Simplifica: cos cos sen sen Solución: tg SOLUCIONES 1. NO. (1/) +(1/) = 1/ + 1/16 = /16 Esto contradice la propiedad fundamental, que cumplen todos los ángulos. NO. 9/8>1 y el seno de cualquier ángulo es menor que uno (y mayor que : propiedad fundamental). NO. Despejando en la fórmula de tg x = sen x/cosx, obtenemos que cos x= IMPOSIBLE. a) cos x= 1 /, tg x= 1 / 1 ; b) cos x= /, tg x= /. a) cos x= 1/, tg x= ; b) sen x= 0 6, tg x= 0 7; c). sen x=, cos x=
3 6. Solución: cos, tg 7.. solución: 7 7 sen, tg solución: cos, 1 1 sen º= 60º * + 0º Por lo tanto las razones son las de 0º. Sen 1110º = 1/, cos 1110º = /, tg 1110º= /, cosec 1110º=, sec 1110º= /, cotg 1110º= 10. a) α= 180º + 0º= 10º ; cos α = - /, tg α= / b) β = 180º + º= º sen β = cos β = sen x= -0 8, tg x= - /, sec x = /, cosec x = - /, cotg x= α = 180º - º = 1º y α = 60º - º = 1º y para sus múltiplos:1º+ 60ºk y 1º + 60ºk; k Z 1. a) α está en el º cuadrante, cos α= -0 6, tg α = - /, sec α = - /, cosec α = /, cotg α =- 0 7 ; b) sen α =, cos α =, cosec α= -, sec α = - /, cotg α=, C) α está en el º cuadrante, cos α = - 1/, sen α = /, tg α = -, cosec α = / 1. cotg α = - / Ángulo 10º 1º 10º 180º 10º º 0º 70º 00º 1º 0º Cuadrante º º º º º º º º º Relacionado 60º º 0º 0º º 60º 60º º 0º Seno 1/ 0 / / Coseno / Tangente - / / - / - / - / 0 - / - / / - / - / 1-1/ 0 1/ - / - / / / - / 1. A) 76º Mismas razones que º: sen 76º = cos 76º = / tg 76º= 1 B) Mismas razones que 10º: sen -0º= / cos -0º = -!/, tg -0º = - / 16. Cos 7º = 0 8, tg 7º= 0 7 = /, cotg 7º = / Sen º = 0 8, cos º = 0 6, tg º = / (SON COMPLEMENTARIOS) sen 1º = 0 6, cos 1º = - 0 8, tg 1º = (SON SUPLEMENTARIOS) 17. Sen 70º= cos 0º= 0 9, cos 70º= sen 0º = 0, tg 70º = cotg 0º = 1/ tg 0º= 1/ 0 6 = =0/ a) sen10=sen0=1/; b) cos(-0)=cos0= /; c) tg(1)=-tg=; d) sen()=-sen= = - /; e) tg()=tg=1; f) tg10=-tg0= / ; g)sen(00)=-sen60=- /;h) cos1=-cos= =- /; i) tg10=tg=tg=1; j)sen(0)=sen(10)=sen0= 1/ ; k) cos(10)=-cos0=- /; l)tg(00)=-tg60= - /; m)sem(6)=sen(1)=sen= /; n) tg(-80)=tg(0)=tg(0)=tg(60)= = / ñ) sen(0)=-sen0=/; o) cos(10)=-cos(60)=/; p) tg=tg=1; q) cos(10)=-cos0=
4 =- / r) tg0=tg=tg=1 s) sen0=-sen60=- / ; t) tg 0=tg=1; u) sen1800=sen0=0; v) tg(0)=tg0=tg(60)= / ;x) cos(0)=cos(10)=-cos0=- / 19. :a) senx=- x=0+60k o x=00+60k; b)cosx=0 x=90+60k o x=70+60k c) tgx=1 x=+60k o x=+60k d) tgx=-- x=10+60k, x=00+60k e) senx= - x=+60k o x=1+60k 0. a) sen1=-sen=- ; b)tg960=tg0=tg60= ; c)cos =cos =0; d) sen =Sen = ; e) tg =tg60º= 1 a) x= 68º11 ; b) x= 16º ; c) x= 06º 1. sen α= : tg α=- 1; sec α=; cosec α=- ; ctg α=-. cos α=- : sen α=- ; ctg α=1/; sec α= ; cosec α=-. cos α=1/; sen α= ; tg α= ; ctgα= : cosec α=. sen()=-sen(-); cos()=cos(-); tg()=-tg(-); sec()=sec(-); cosec()=-cosec(-) 6. sen(70)=cos(0); cos(70)=sen(0); tg(70)=ctg(0) Sen(160)=sen0; cos(160)=-cos(0); tg(160)=-tg(0) Sen(00)=-sen(0): cos(00)=-cos(0); tg(00)=tg(0) Sen(0)=-sen(0); cos(0)=cos(0); tg(0)=-tg(0) 7. Primero calculamos todas las razones de x: cosx= ; tgx= : secx= ; cosecx=; ctgx= 8. Ahora calculamos las que pide el ejercicio Cos(180-x)=-cosx=- ; tg(180+x)=tgx= ; sen(60-x)=-senx=/; ctg(60+x)=ctgx= 8; sec(180+x)=-secx=- ; cos(90-x)=senx=1/ 8. a) La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante V b) El coseno es positivo en el primer y segundo cuadrante F (1ºyº) c) tg / V d)sec(0º)=sec(0º)v e) El seno de 100º es igual al seno del ángulo de 10º V f) El ángulo de 780º tiene el mismo seno que el ángulo de 60º V g) El seno de 90º es igual a 1 V h) El coseno de 180º es igual a V i) tg º = 1 V j) Si sen a =1, el ángulo a vale 90º F (90+60k) k )tgx=1/ctgx V l) senx=1/cosx F(1/cosx=secx) m)tgx.ctgx=1 (V son inversas) n) En el tercer cuadrante todas las razones son negativas (F tg y ctg son positivas) ñ) El seno de un ángulo es igual al de su suplementario V o) El coseno de un ángulo es igual al de su complementario F (cosx=sen(90-x) p) El seno de un ángulo es siempre menor que 1 F ( senx 1) q) El coseno de un ángulo puede valer 9 8 F( cosx 1) r) La tg de un ángulo puede valer -9 8 V (la tg puede tomar cualquier valor)
5 s) La secante de un ángulo puede valer 0 7 (F la secante es menor o igual que o mayor o igual que 1) t) El seno de un ángulo puede valer V( senx 1) u) senx=-sen(π-x) F(son iguales) v) cos x= cos(π-x) V w) tgx=tg(π+x) V x)senx=cos(90-x)v y) Si tgx<0 y senx<0 entonces x pertenece al tercer cuadrante F (al cuarto) z) Si tgx<0 y secx>0 entonces x pertenece al º cuadrante V 1 9. cos x tg x cos x cos x = = = cosx. cosx = = 0 cosx = ( 1 cos x )(1 cos x) senx = = = senx cos cos = ( ) sen sen =. = = tgα ( ).
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