MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 18

Transcripción

1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 18

2 Funciones racionales MATE 3171 DeÖniciÛn Una funciûn racional es de la forma: r (x) = donde y son funciones polinûmicas. Nota:En general, las funciones P y Q no tienen factores en com n dom (r) = fx 2 RjQ (x) 6= 0g Nota Cuando se graöca una funciûn racional, se debe prestar atenciûn especial a aquellas valores de x que anulan a Q. Ejemplos r (x) = x + 2 x 2 una funciûn racional, & 4 dom (r) = fx 2 Rjx 6= r (x) = x + 2 x & 4x 3/2 g una funciûn racional P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 18

3 3.7.3 La funciûn racional f (x) = 1, tiene dominio fx 2 Rjx 6= 0g, para x graöcarla considere: x f (x) x f (x) &1/10 1/10 &1/100 1/100 &1/1000 1/1000 # # # # Se acerca a Se acerca a Se acerca a Se acerca a x f (x) x f (x) &10 10 & & # # # # Se acerca a Se acerca a Se acerca a Se acerca a P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 18

4 x f (x) &2 &1/2 &1 &1 &1/2 &2 1/ /2 En el ejemplo anterior se utilizû: Símbolo SigniÖcado x! a & x se aproxima a a por la izquierda x! a + x se aproxima a a por la derecha x!& x va hacia el negativo x! x va hacia el positivo P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 18

5 DeÖniciÛn de asìntotas 1 La recta x = a es una asìntota vertical de la funciûn y = f (x) si y!) cuando x se acerca a a por la derecha o izquierda. 2 La recta y = b es una asìntota horizontal de la funciûn y = f (x) si y! b cuando x!). P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 18

6 3.7.4 Dada la siguiente gr Öca Indique: a. Interceptos con el eje X: b. Interceptos con el eje Y: c. AsÌntotas verticales: d. AsÌntota horzontal: P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 18

7 Pasos para hallar las asìntotas Considere la funciûn racional: r (x) = a nx n + a n&1 x n&1 + ***+ a 1 x + a 0 b m x m + b m&1 x m&1 + ***+ b 1 x + b 0 1 Las asìntotas verticales de r son las rectas x = a, donde a es un cero del denominador, pero no anula al numerador. 2 Las asìntotas horizontales se hallan de la siguiente manera: a. Si n < m, entonces r tiene como asìntota horizontal a la recta y = 0. b. Si n = m, entonces r tiene como asìntota horizontal a la recta y = a n b m. c. Si n > m, entonces r no tiene asìntota horizontal. P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 18

8 3.7.5 Halle las asìntotas verticales y horizontal de f (x) = 2x & 4 x 2 & 36 = 2x & 4 (x& )(x+ ) dom (f ) = AsÌntotas verticales: posibles x = x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès AsÌntota horizontal: el grado del numerador es menor que el del denominador, por lo tanto la asìntota horizontal es la recta y = Halle las asìntotas verticales y horizontal de f (x) = x 2 + 2x & 8 (x+ )(x& ) x 2 = + x & 12 (x& )(x+ ) dom (f ) = AsÌntotas verticales: posibles x = x = : anula al denominador y al numerador, por lo tanto no lo Ès. x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. AsÌntota horizontal: El grado del numerador es igual al del denominador, por lo tanto la asìntota horizontal es la recta y = 1 1 = 1. P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 18

9 Pasos para graöcar funciones racionales 1 Factorice al numerador y denominador. 2 Halle el dominio de la funciûn. 3 Encuentre los interceptos con los ejes coordenados. 4 Determine las asìntotas verticales y analice el comportamiento de y, es decir si se aproxima a ) en cada lado de la asìntota vertical. 5 Halle la asìntota horizontal si existe. 6 Bosqueje la gr Öca de la funciûn racional. P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 18

10 3.7.7 Trace la gr Öca de f (x) = 2x + 3, indicando su dominio, 3x & 12 interceptos con los ejes y asìntotas. dom (f ) = Interceptos: X : y = 0 ) Y : x = 0 ) AsÌntotas: Vertical: x =, el numerador no se anula. Comportamiento cerca de x = x! el signo de y = 2x + 3 3x & 12 es y! Horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = = P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 18

11 y x P. V squez (UPRM) 8 Conferencia 11 / 18

12 3.7.8 Trace la gr Öca de f (x) = 2x 2 + 2x & 4 x 2, indicando su dominio, & 3x & 4 interceptos con los ejes y asìntotas. f (x) = 2x 2 + 2x & 4 2 (x + 2)(x & 1) x 2 = & 3x & 4 (x & 4)(x + 1) dom (f ) = Interceptos: X : y = 0 ) Y : x = 0 ) y = AsÌntotas Verticales: posibles x =, x = x =, anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. x =, anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. Comportamiento cerca de x =, x = x! el signo de 2 (x + 2)(x & 1) y = (x & 4)(x + 1) es y! AsÌntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a2 P. V squez (UPRM) = = Conferencia 12 / 18

13 y 1 x P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 18

14 3.7.9 Trace la gr Öca de f (x) = x 2 + 3x x 2, indicando su dominio, + x & 6 interceptos con los ejes y asìntotas. f (x) = x 2 + 3x x 2 + x & 6 = x (x + 3) (x + 3)(x & 2) = x x & 2 dom (f ) = Interceptos: X : y = 0 ) Y : x = 0 ) AsÌntotas Verticales: posibles x =, x = x =, anula al denominador y al numerador, no lo Ès. x =, anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. Comportamiento cerca de x =, x = x! el signo de x (x + 3) y = (x + 3)(x & 2) es y! AsÌntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a 2 = = P. V squez (UPRM) b 2 Conferencia 14 / 18

15 7 y x P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 18

16 AsÌntotas oblicuas Si r (x) = P (x) es una funciûn racional en la cual el grado del numerador Q (x) excede en 1 al grado del denominador, usando el algorìtmo de la divisiûn la funciûn se puede expresar en la forma: r (x) = ax + b + R (x) Q (x) donde el grado de R es menor que el grado de Q y a 6= 0, y por lo tanto esto signiöca que cuando x!, R (x)! 0, es decir para valores Q (x) grandes de x, la gr Öca de y = r(x) se aproxima a la gr Öca de y = ax + b, que se le llama asìntota oblicua. P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 18

17 .7.10 Trace la gr Öca de f (x) = x 2 + 2x, indicando su dominio, x & 1 interceptos con los ejes y asìntotas. f (x) = x 2 + 2x x & 1 = x x &1 dom (f ) = R & f1g Interceptos: X : y = 0 ) x 2 + 2x = x (x + 2) = 0 ) x = 0, x = &2 Y : x = 0 ) y = 0 AsÌntotas Verticales: posibles x = 1 x = 1, anula al denominador, pero no al numerador, si lo Ès. Comportamiento cerca de x = &1 x! 1 & 1 + el signo de y = x 2 + 2x x & 1 = x x &1 es + + & + y! & AsÌntota oblicua: y = x + 3 P. V squez (UPRM) Conferencia 17 / 18

18 y y=x+3 x x= P. V squez (UPRM) Conferencia 18 / 18