4.1 Definiciones y propiedades básicas. f (x) = f (x) =lim h 0. ln(x+h) ln x. h 0 =lim. x h x = 1+ h x. sin(x+h) sin x. a b. sin.

Transcripción

1 Tema 4 Derivación 4. Definiciones y propiedades básicas Definición 4.. Dada una función f : D R R, diremosquef es derivable en un punto x 0 D, si existe el límite siguiente, que denotaremos f 0 (x 0 ) o df dx x 0 : f 0 f(x) f(x 0 ) (x 0 ) := lim x x0 x x 0 lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) x f(x 0 + ) f(x 0 ) = lim 0 f (x) = lim = lim 0 x 0 = f (x) x. El límite f 0 (x 0 ) se denomina derivada, respecto de x, de la función f en el punto x 0. Ejemplo 4.. Dada la función f (x) =lnx, suderivadaenunpuntox será: f 0 f(x+) f(x) ln(x+) ln x ln (x) = lim 0 = lim 0 = lim x+ x 0 = ln(+ lim x) 0 =lim 0 ln + x =lim 0 ln + x x x = lim 0 ln + x = ln x i lim x x x 0 + = ln e = x x x Ejemplo 4.. En el caso de f (x) =sinx: f 0 f(x+) f(x) (x) = lim 0 = lim 0 sin(x+) sin x Y, recordando que sin a sin b =cos a+b lim 0 sin(x+) sin x lim 0 cos x+ sin =lim 0 cos x+ sin = sin a b =lim 0 cos x+ sin lim 0 =cosx sin x Ya que, según se vió en el tema (Ejercicios resueltos):lim x 0 x =.

2 TEMA 4 Dado que la derivada es un límite, igual que existen límites laterales existen derivadas laterales: Definición 4.. Dada una función f : D R R,diremosqueenx 0 D admite: derivada lateral por la dereca, que denotamos f 0 (x) ó f 0 x + x + 0 : 0 f 0 (x + f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 ) := lim 0 >0 derivada lateral por la izquierda, que denotamos f 0 (x 0 ) ó f 0 (x) : x 0 f 0 (x f(x 0 ) f(x 0 ) 0 ):=lim 0 >0 Como en el caso de los límites laterales, la existencia de derivada implica la existencia, e igualdad, de las derivadas laterales. Recíprocamente si existen y coinciden las derivadas laterales, existe la derivada y coincide con ellas. En caso de que alguna de las derivadas laterales no exista, o en caso de que sean distintas, no existe la derivada. Igual que no existe el límite, si los límites laterales son distintos o alguno de ellos no existe. Teorema 4.. Dada la función f : D R R, tenemos: f derivable en x D f continua en x. Nota 4.. El recíproco del teorema precedente es falso, como puede verse, por ejemplo, con la función f (x) := x, enelpuntox =0: 4 3 y -4-0 x 4 lim x 0 + f (x) = lim x 0 + x = lim 0 0+ = 0 = lim 0 0 = lim x 0 x =lim x 0 f (x) Límites que coinciden con f (0), es decir f es continua en 0, pero:

3 4.3 3 f 0 (0 + ) = lim 0 >0 f 0 (0 ) = lim 0 >0 f(0+) f(0) f(0 ) f(0) = lim 0 >0 = lim 0 >0 0 0 =lim 0 >0 = lim 0 >0 = = Las derivadas laterales son diferentes, por lo que f no es derivable en Interpretación geométrica de la derivada Supuesto que la curva representada en la figura corresponde a la función de ecuación y = f (x), consideremos los puntos: P =(x, f (x)), A =(x + x, f (x)+ f (x)) Como podemos ver, considerando el triángulo AP B: f(x) = AB =tanα, x PB pero, cuando x 0, elpuntoa tiende a coincidir con el punto P,demanera que la cuerda AP pasa a ser la tangente a la curva en P y, en el límite, el ángulo α pasa a coincidir con el ángulo β, así f 0 f (x) = lim x 0 x = lim tan α =tanβ x 0 Por tanto la derivada de una función en un punto es, numéricamente, igual al valor de la tangente trigonométrica del ángulo formado, con el sentido positivo del eje OX, porlatangentegeométrica alacurvacorrespondiente, en el punto dado. En los puntos en que la curva admite dos tangentes distintas, la derivada no existe, pues tendría dos derivadas distintas, una por cada tangente. A ëf{x} P β α ëx B 4.3 Derivadas de las operaciones con funciones Teorema 4.3. Dadas dos funciones f,g : X R R, derivablesenun punto x X, con derivadas respectivas f 0 (x),g 0 (x) en tal punto, se verifica:

4 4 TEMA 4 i. f + g es derivable en x, siendo(f + g) 0 (x) =f 0 (x)+g 0 (x). ii. Dada una constante λ R, λf es derivable en x y (λf) 0 (x) =λf 0 (x). iii. f g es derivable en x, siendo(f g) 0 (x) ³ =f 0 (x) g (x)+f (x) g 0 (x). iv. f 0 es derivable en x si g(x) 6= 0,siendo f g g (x) = f 0 (x)g(x) f(x)g 0 (x). (g(x)) 4.4 Derivadas de funciones elementales Veremos algunas, las derivadas de las funciones cos x, tan x, cot x, sec x, csc x, se deducen de la derivada de la función sin x. Teorema 4.4. Se verifica: i. f (x) =cte f 0 (x) =0 ii. f (x) =x n f 0 (x) =nx n iii. f (x) =sinx f 0 (x) =cosx iv. f (x) =lnx f 0 (x) = x. 4.5 Regla de la cadena (Derivada de la función de función) Dada una función g (f), enlaquef a su vez es función de otra variable x, se trata de dar una regla que permita derivar g respecto de x. Por ejemplo si queremos derivar la función y =ln x +, con respecto a x, x podemos considerar las funciones f = f (x) = x + x siguiente teorema da una regla para calcular dy dx : Teorema 4.5. (Regla de la cadena)dadaslasfunciones: f : A R R, derivableenx A, conf (A) B g : B R R, derivable en y = f (x) B La función compuesta g f, es derivable en x; siendo: dg(f(x)) dx En el ejemplo precedente será: f =(g f) 0 (x) =g 0 (f (x)) f 0 (x) = dg df df dx dy dg (f (x)) = = dg dx dx df df dx = d ln f df x x x (x +) = x x 4 x + x x 4 =,yg = g (f) =lnf, el d x + x dx = x (x +) Como consecuencia inmediata de este teorema, resultan las reglas usuales de derivación:

5 4.6 5 f (x) =cosx =sin π x f 0 (x) = cos π x π x 0 = cos π x = sin x f (x) =u n (x) f 0 (x) =nu n (x) u 0 (x) f (x) =lnu (x) f 0 (x) = u0 (x) u(x) f (x) =a u(x),siendoa constante: ln f (x) =u (x) ln a f 0 (x) f(x) = u 0 (x)lna f 0 (x) =a u(x) ln a u 0 (x) f (x) =sinu (x) f 0 (x) =cosu (x) u 0 (x). 4.6 Derivadadelafuncióninversa Recordemos que, tal como se definió en el tema relativo a funciones y continuidad, dada una función f : A R R con f (A) :=B R, diremos que f admite una inversa f : B A, sif f (y) =y, y B es decir f f = B,yf f (x) =x, x A, of f = A, donde A,y B, representan las funciones identidad de A y B respectivamente, es decir A (x) =x, x A, y B (y) =y, y B. A f f El siguiente teorema da una regla de derivación de la función inversa de una dada: Teorema 4.6. Dada una función monótona f :[a, b] [c, d] =f ([a, b]), verificando: i. Es derivable en [a, b] ii. Admite inversa g Entonces g es derivable en [c, d], siendo: g 0 (y) = = y = f 0 (x) f 0 (g(y)) f (x) [c, d]. Debe tenerse cuidado con las variables que utilizan f y g: Ejemplo 4.6. Calcular la derivada de y =arcsinx Sea g (x) =arcsinx, eslainversadef (y) =siny, así aplicando el resultado anterior será: B

6 6 TEMA 4 g 0 (x) = obien: f 0 (y) g0 (x) = cos y Pero la derivada g 0 (x), debe darse en función de x, así que: g 0 (x) = = cos y sin = y x En casos como el precedente, puede utilizarse otro método: Dada y =arccosx, tenemos: cos y = x, derivando, de acuerdo con la regla de la cadena: sin y y 0 =,portanto: y 0 = = sin y cos = y x De todo lo anterior podemos deducir una tabla de derivadas: función f (x) u n (x) ln u (x) a u(x) sin u (x) cos u (x) tan u (x) cot u (x) sec u (x) csc u (x) arcsin u (x) arccos u (x) arctan u (x) función derivada f 0 (x) nu n (x) u 0 (x) u 0 (x) u(x) a u(x) ln a u 0 (x) cos u (x) u 0 (x) sin u (x) u 0 (x) [ + tan u (x)] u 0 (x) =sec u (x) u 0 (x) [ + cot u (x)] u 0 (x) = csc u (x) u 0 (x) sec u (x) tan u (x) u 0 (x) csc u (x) cot u (x) u 0 (x) u0 (x) u (x) u0 (x) u (x) u 0 (x) +u (x) 4.7 Teoremas de valor medio. Aplicaciones 4.7. Teoremas de valor medio Definición 4.7. Dada una función f : X R R diremos que x 0 X es un punto crítico (a veces estacionario) silafunciónf es derivable en x 0 y f 0 (x 0 )=0. Teorema 4.7. Dada una función f :[a, b] R R, verificando: i. f continua en [a, b] ii. f derivable en (a, b) En estas condiciones si f tiene un extremo (máximo o mínimo), local en x 0 (a, b) entonces x 0 es un punto crítico de f, esdecirf 0 (x 0 )=0.

7 4.7 7 Advertencia 4.7. El recíproco del anterior no es cierto, como podemos ver con la función: f (x) := x5 0 4x +x, suderivadaf 0 (x) = x4 8x + 4 se anula para x =donde f no tiene extremo y x Teorema 4.7. (De Rolle): Dada una función f :[a, b] R R, talque i. f continua en [a, b] ii. f derivable en (a, b) iii. f (a) =f (b) En estas condiciones existe al menos un c (a, b), talquef 0 (c) =0. Gráficamente este teorema asegura, de acuerdo con la interpretación geométrica de la derivada, que la curva representativa de la función dada, tiene al menos un punto en el que la tangente es paralela a OX : a c b Teorema (Del valor medio, odelosincrementos finitos de Lagrange): Dada una función f :[a, b] R R, talque i. f continua en [a, b] ii. f derivable en (a, b)

8 8 TEMA 4 En estas condiciones existe un c (a, b), talque f 0 (c) = f (b) f (a). b a Así en las ipótesis del teorema, podemos escribir: f (b) f (a) =f 0 (c)(b a), o bien poniendo a = x, b = x +, c = x + θ con θ (0, ):x f (x + ) f (x) =f 0 (x + θ) o f = x f 0 (x + θ x) Queeslafórmula de los incrementos finitos de Lagrange. Esta propiedad tiene una interpretación gráfica: existe un c (a, b), tal que la tangente a la curva, representada por f (x), enelpunto(c, f (c)), es paralela a la cuerda que une (a, f (a)), con(b, f (b)) {c,f{c}õ f{x+}_f{x} a c b Teorema (Del valor medio generalizado de Caucy) Dadas dos funciones f,g :[a, b] R R, tales que: i. f,g continuas en [a, b] ii. f,g derivables en (a, b), cong 0 (x) 6= 0 x (a, b) En estas condiciones existe un c (a, b), talque f 0 (c) g 0 (c) = f (b) f (a) g (b) g (a). 4.8 Aplicación al estudio de límites indeterminados Teorema 4.8. (regla de L Hôpital-Bernoulli): Dadas dos funciones f,g :(a, b) R R, tales que: i. f,g derivables en (a, b), cong 0 (x) 6= 0 x (a, b)

9 4.8 9 ½. limx a + f (x) =lim x a + g (x) =0 ii. Se verifica una de las condiciones:. lim x a + f (x) = lim x a + g (x) = En tal caso será lim f(x) x a + = lim g(x) x a f 0 (x) + g 0 (x) lim x a + f 0 (x) g 0 (x) = L. El resultado sigue siendo válido si se reemplaza lim x a + = L, siempre que exista el por lim x a El resultado anterior permite resolver directamente las indeterminaciones de tipo,o 0. Otras formas de indeterminación se estudiaron en la sección 0.4, de entre las resolubles usando la regla de l Hôpital-Bernoulli, tenemos: -Caso0 : lim x a f (x) =0, lim x a g (x) =, Podemos poner: f(x) lim x a f (x) g (x) = lim x a, que denotando G (x) =,resulta: g(x) g(x) f(x) lim x a f (x) g (x) = lim x a, y estamos en la forma 0: G(x) 0 En los casos sìguientes utilizamos la transformación, vista ya en.4: lim x a f (x) g(x) = lim x a e ln f(x)g(x) = lim x a e g(x)lnf(x) limx a g(x)lnf(x) = e -Caso0 0 : lim x a f (x) = 0, lim x a g (x) = 0, la transformación mencionada la transforma en e 0,dadoque: lim x a f (x) g(x) = e limx a g(x)lnf(x) = e 0 ( ) Con lo que estamos en el caso anterior -Caso 0 : lim x a f (x) =, lim x a g (x) =0, esta forma queda: lim x a f (x) g(x) = e lim x a g(x)lnf(x) = e 0 -Caso : lim x a f (x) =, lim x a g (x) =, esta forma puede resolverse como la anterior: lim x a f (x) g(x) = e lim x a g(x)lnf(x) = e 0 O bien tal como se indicó en.4, con la transformación lim x a f (x) g(x) = lim x a e g(x)[f(x) ] Ejemplo 4.8. Calcular lim x (x 4) ln (x ) Es del caso 0 : lim x (x ln(x ) 4) ln (x ) = lim x x 4 Aplicando la regla de L Hôpital: lim x (x 4) x(x ) = lim x =lim x x x (x 4)x (x ) x = lim x 0 4 =0 (x 4) =lim x (x 4) x(x )

10 0 TEMA 4 Ejemplo 4.8. Calcular lim x [ln (x )] ( x 4) Es del caso 0 : lim x [ln (x )] 4) (x = limx e 4) (x ln[ln(x )] =lim x e Aplicando la regla de L Hôpital: x ln[ln(x )] ln(x ) (x ) ln(x ) lim x =lim x x x =lim x 4 (x 4) x = (x 4) ln[ln(x )] x 4 (x lim 4) x = lim (x ) (x+) x(x ) ln(x ) x = lim x(x ) ln(x ) x (x )(x+) Por tanto lim x ln[ln(x )] x 4 x ln(x ) =0 =0. Esimportanterecordar,queellímite pedido no es este, sino lim x [ln (x )] ( x 4) =limx e lim x [ln (x )] ( x 4) = e 0 =. Ejemplo Calcular lim x (x 3) ln(x ) Es del caso : lim x e 3 ) [ln(x )](x = limx e 4) (x ln(x ) = lim x e Aplicando la regla de L Hôpital: ln(x ) x 4 x x 4 ) ln[ln(x )] x 4, así que: ln(x ) x 4 (x lim x e =lim x e 4) =lim x e (x x(x ) = limx e (x ) (x+) lim x e (x )(x+) x = e 0 =. x(x ) = 4.9 Determinación de extremos locales Vimos que si una función derivable en un punto x, tieneunextremoenx, su derivada en tal punto x es nula, es decir x es un punto crítico. Una función puede tener extremo en un punto x 0, y no ser derivable en él, por ejemplo y = x en el punto x = Criterio de la primera derivada Teorema 4.9. Dada una función f :[x 0, x 0 + ] R R, continua en [x 0, x 0 + ] yderivableen(x 0, x 0 ) (x 0,x 0 + ). En tal caso: i. Si x<x 0 f 0 (x) > 0 y x>x 0 f 0 (x) < 0: f tiene máximo local en x 0. ii. Si x<x 0 f 0 (x) < 0 y x>x 0 f 0 (x) > 0:f tiene mínimo local en x 0.

11 4.9 Definición 4.9. Diremos que una función f : I R R, es de clase C k en I, lo que se denota f C k (I), si la función y sus derivadas de orden menor o igual que k, soncontinuaseni Criterio de la segunda derivada Teorema 4.9. Dada una función f :[x 0, x 0 + ] R R, tal que: i. f C ([x 0, x 0 + ]). ii. f 0 (x 0 )=0 En estas condiciones:. f 00 (x 0 ) > 0 f tiene mínimo local en x 0.. f 00 (x 0 ) < 0 f tiene máximo local en x Caso de la segunda derivada nula Considerando una función f de clase C n, caso de tener extremo en un punto x 0, deberá ser f 0 (x 0 ) = 0, supongamos además que f 00 (x 0 ) = 0, o más generalmente que f (k (x 0 )=0, k<n, con lo que el criterio precedente no decide sobre la existencia de extremo. El siguiente teorema da un criterio basado en el orden de la primera derivada no nula en x 0 : Teorema Dada una función f : D R R, verificando: i f es de clase C n en un entorno [x 0, x 0 + ] de un punto x 0 D ii. f (k (x 0 )=0, k<n iii. f (n (x 0 ) 6= 0 En estas condiciones: ½ a. f. si n es par y (n (x 0 ) > 0 tiene mínimo local en x 0 b. f (n (x) < 0 tiene máximo local en x 0. si n es impar y ½ a. f (n (x 0 ) > 0 f es creciente en x 0 b. f (n (x) < 0 f es decreciente en x 0 En realidad este criterio incluye los dos anteriores. Ejemplo 4.9. Determianr los extremos de y = x4 x3 + 3x 5 3 y 0 = x3 3 x +3x, que se anula para x =0y x =3 y 00 = x 4x +3,parax =0vale 3, por lo que ay un mínimo en (0, 5) Pero para x =3,seanula. y 000 =x 4, que para x =3,vale+, por lo que al ser la primera derivada no nula (para x =3), de orden impar, y positiva, la función crece en x =3.

12 TEMA x Asíntotas Definición 4.0. Diremos que una recta es una asíntota de una curva de ecuación y = f (x) si la distancia entre un punto de la curva, y la recta tiende a cero, cuando la distancia entre tal punto de la curva y (0, 0), tiende ainfinito. Hay tres tipos de asíntotas: a. asíntotas orizontales: f tiene una asíntota orizontal y = b si lim x ± f (x) =b 6= b. asíntotas verticales: f tiene una asíntota vertical x = a 6= si lim x a f (x) = c. asíntotas oblícuas: f tiene una asíntota oblícua y = mx + n si la distancia entre esta recta y (x, f (x)) tiendeaceroaltenderx a ± Teorema 4.0. (Determinación de las asíntotas oblícuas): Si y := mx + n (0 6= m 6=,n6= ) es una asíntota oblícua de la curva representada por f (x) entonces: f (x) m = lim x x, n =lim f (x) mx x

13 4. 3 f(x) y=mx+n n x Advertencia 4.0. Suele decirse, que una curva que admite asíntota orizontal no admite asíntota oblícua, esto es cierto con matices: si ay asíntota orizontal con x + no ay asíntota oblícua con x +, pero puede aberla con x, lo mismo puede decirse si ay asíntota orizontal con x. Ver por ejemplo el ejercicio resuelto n o Concavidad Definición 4.. Diremos que una curva es cóncava acia arriba, (o convexa acia abajo), entorno de un punto x 0 si, entorno de x 0 la curva está situada por encima de la tangente a la curva en x 0. De manera análoga se define la concavidad acia abajo. Cuando, por el contrario, en un semientorno de x 0 la curva está por encima, y en otro por debajo de la tangente, diremos que en x 0 ay un punto de inflexión. Ejemplo 4.. En la figura adjunta, la curva tiene una concavidad de tipo en x 0 :

14 4 TEMA 4 B P f(x) y=f(xü)+f»(xü)(x-xü) xü x Teorema 4.. Dada la ecuación y = f (x), de una curva. Si entorno de un punto x 0 la función f es de clase C,y: i. f 00 (x) > 0 en tal entorno la curva es cóncava acia las YY positivas. ii. f 00 (x) < 0 en tal entorno la curva es cóncava acia las YY negativas. iii. f 00 (x) cambia de signo al pasar de valores menores que x 0 avalores mayores que x 0,enx 0 la curva tiene un punto de inflexión. 4.. Caso de la segunda derivada nula Teorema 4.. Dada la ecuación de una curva y = f (x). Sientornode un punto x 0, se verifica que f es de clase C n en tal entorno, con f 00 (x 0 )= f 000 (x 0 )=... = f (n (x 0 )=0, f (n (x 0 ) 6= 0: i. caso de ser n par:. si f (n (x) > 0 la curva es cóncava acia las YY positivas entorno de x 0.. si f (n (x) < 0 la curva es cóncava acia las YY negativas entorno de x 0. ii. caso de ser n impar, la curva tiene un punto de inflexión en x 0 siendo:. creciente si f (n (x 0 ) > 0. decreciente si f (n (x 0 ) < 0. Ejemplo 4.. En el ejemplo anterior (4.9.), lafuncióny = x4 x x 5 y 0 = x3 3 x +3x, y 00 = x 4x +3=(x ) (x 3), esnegativaen(, 3), porloquees cóncavaaciaabajo, y cóncava acia arriba,en (, ) (3, ), y 00 se anula x =y x =3. y 000 =x 4, que para x =3,vale+, por lo que al ser la primera derivada no nula (para x =3), de orden impar, y positiva, la función crece en x =3,

15 4. 5 alainversaenx =, es negativa por lo que decrece, abiendo punto de inflexión en ambos casos, como se aprecia en la figura. - x