III. Campo eléctrico y conductores

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Gabriel Soto Piñeiro
hace 5 años
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1 III. Cmpo léctrico y conuctors. El prolm l potncil Gril Cno Gómz, G 9/1 Dpto. Físic F Aplic III (U. Svill) Cmpos Elctromgnéticos ticos Ingniro Tlcomunicción

2 III. Cmpo léctrico y conuctors Gril Cno G Gómz, 9/1 1. Conuctors n quilirio lctrostático tico. El prolm l potncil Plntminto l prolm Formulción mtmátic Prolm l potncil pr un conuctor Sistm os conuctors Connsor sférico Connsor plno Connsor cilínrico 3. Coficints cpci léctric 4. Circuitos quivlnts 5. Enrgí lctrostátic tic n sistms con conuctors

Gril Cno G Gómz, 9/1 Plntminto l prolm Dscripción n l sistm

M, con crgs léctrics Q 1,, Q M conuctors C M+1,, C N potncil

cómo son ls rlcions ntr crgs y potncils n l sistm?

3 Gril Cno G Gómz, 9/1 Plntminto l prolm Dscripción n l sistm conuctor rfrnci C s xtin hst l infinito conuctors islos C 1,, C M, con crgs léctrics Q 1,, Q M conuctors C M+1,, C N potncil fijo V M+1,, V N conctos funts potncil otrs posils funts cmpo: istriución ρ (r) n rgión F. Custión n gnrl s posil ncontrr l potncil (r) cro por l sistm? cómo son ls rlcions ntr crgs y potncils n l sistm? (cpcis léctrics) C M CM? C M+1 Q C M Q M = C C = V F ρ (r) C1? (r)? Q 1 Q M+1? Q N? =V CM+1 M+1 = CN = lim ( r) = r C N 3

4 Gril Cno G Gómz, 9/1 Formulción n mtmátic tic Ecución n ifrncil n l vcío: () r = (Lplc) ρ () r n F : () r = (Poisson) Conicions contorno n conuctors potncil fijo { = V, cts. } C i i n conuctors crgos = Solución n (Th. unici) xist (r) ÚNICO qu stisfc ls conicions l prolm ε (Dirichlt) i= M+ 1,, N, n i ε C C i 1,, M i i = (Numnn) n M Q M C M+1 = Q M C C S C M C M F () r = () r = = V = lim ( r) = ρ ε r Q Q 1 C =V M+1 M+1 C N =V N = n 1 1 = S C 1 C N 4

5 Gril Cno G Gómz, 9/1 Prolm l potncil pr un conuctor (I) Ejmplo: sfr conuctor suprfici conuctor C: r = l crg s istriuirá uniformmnt 1 r simtrí sféric: r r = r (r)=(r) () r = A + B lim() r = r r Conicions sor l conuctor Conuctor islo y crgo solución n r 5 (P) Conuctor potncil fijo conición tipo Dirichlt = V = ( = ) = conición tipo Numnn q A = = ε C = ε = 4π r r A C r= solución n l prolm l potncil: solución n l potncil y crg n C: q q ( r ) = ; 4π ε V = q 4 πε r = V = V ( r ) = ; Q = C 4πε r C V r u r = n X Z O (r<)= )=V q (r) (r )= Y C: (r)= V

6 Gril Cno G Gómz, 9/1 Prolm l potncil pr un conuctor (II) Rlción n crg potncil suprfici C crg o potncil fijo no hy más conuctors o crgs xtriors líns l cmpo s Chst r (r) potncil n l xtrior crg y potncil n suprfici conuctor: Q = ε n S V = ( r) C C Cpci léctric s l rlción crg potncil n C Propis sólo pn l gomtrí fijo l vlor l crg n C, trmin l l potncil y vicvrs C = Q V = C V = F (frio) unis (SI): ( ) ; C = ( Q V) C [ ] [ ] [ ] C (r) n C C: (r)=v E int = int =V ρ int = int = (r ) E(r) 6

7 Gril Cno G Gómz, 9/1 Sistm os conuctors: connsor Solución n l prolm l potncil mixts Nu- mnn s (r) solución l prolm plnto vrific cución Lplc: ( r) = (n l xtrior) : (r)=v 1 ε cumpl conicions n suprficis y C ( r) V ( r) Conuctors n influnci totl tos ls líns E(r) vn C crgs léctrics opusts n los conuctors C1 = ; = V 1 C 1 n C n C1 Q= S = S = Q 1 1 C1 C = ( r ) ; = ( r ) ε ls suprficis C formn un connsor cpci léctric (prámtro gométrico) Dirichlt n 1 n (r) C = 1 (r ) (r ) C : (r)=v Q1 V V 1 = C 1 C Q V V 1 τ 1 S 1 E(r) S τ 7

8 Gril Cno G Gómz, 9/1 Sistm os conuctors: connsor sférico Solución n l prolm l potncil suprficis conuctors :r = y C : r = prolm l potncil n <r< (vcío) solución con simtrí sféric 1 r r = () r = A r+ B r r conicions contorno mixts (p..) Q1 = = ε solución n r C1 4π r r= Q1 ( r) () r = V = V 4 r + πε C =( r= ) Cpci l connsor y C n influnci totl: Q = Q 1 vlor l cpci léctric: 4πε V 1 = ( r= ) C Q1 = = V V ( ) 1 h 8 xt h Q C xt (r) C Q 1 C xt n 1 n O Q1 1 E(r) δ V jr jr.. 3..c Q xt

9 Gril Cno G Gómz, 9/1 Sistm os conuctors: connsor plno Potncil ntr conuctors plno prllos prllos iscos rio R, scción S y sprción suprficis Π 1 : z = / y C Π : z =/ prolm l potncil ntr iscos, pr R >> : quivlnt suprficis infinits (r) (z) ( r) = ( z) = Az+ B z solución n / z /: conicions contorno Dirichlt : + () r () z = z + = = V ; = == V C1 z= / 1 C z= / Cpci l connsor nsis crg n y C 1= ε ( z) = = ε ( V V ) 1 n influnci (csi)totl Q ε S 1 Q 1 = S 1 = Q C = = V V 1 9 C (r) E = = ε 1 = u z R Z n O Z V V V V E xt (r) S 1 1 n 1 E xt (r) ρ << R V V 1

10 z z o x quipotncils (r) E q xt j l R t r Δ Δ z xt h f c g p o s V k n m V 1 i ρ R/=1.5 Fl LINEAS DE POTENCIAL Y zoom(,-1.5*c,.5*c,.5*c Flx LINEAS DE POTENCIAL Y C mx 1. zoom(,-1.5*c,.5*c,.5*c) u : 1. t :.9 mx 1. s :.8 u : 1. r :.7 t :.9 q :.6 s :.8 p :.5 r :.7 o :.4 q :.6 n :.3 p :.5 m :. o :.4 l :.1 n :.3 k :. m :. j : -.1 l :.1 i : -. k :. h : -.3 j : -.1 g : -.4 i : -. f : -.5 h : -.3 : -.6 g : -.4 : -.7 f : -.5 c : -.8 : -.6 : -.9 : -.7 : -1. c : -.8 min -1. : -.9 : -1. min -1. F MÓDULO E zoom(,-1.5*c,.5*c,.5 z z o x p E int i h j l m t q = V C s g C 1 k n V t f C =V C 1 =V 1 Δ = Δ z r int c ρ FlxPDE LINEAS DE POTENCIAL (tll) zoom(,-1,,) mx 1. u : 1. t :.9 s :.8 r :.7 q :.6 p :.5 o :.4 n :.3 m :. l :.1 k :. j : -.1 i : -. h : -.3 g : -.4 f : -.5 : -.6 : -.7 c : -.8 : -.9 : -1. min -1. FlxP CAMPO E (fctos or) zoom(4,-1,,) Gril Cno G Gómz, 9/ E xt x o ρ E int C E, ct. C ρ

C 1 c 4. 3.. Gril Cno G Gómz, 9/1 -.6 -.9 E xt 3.9 4. 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6.

11 Distriución l cmpo E (móulo) n los ors l connsor z.9.6 E xt o Dnsi suprficil crg n conuctor C x E int E, ct. C 1 c Gril Cno G Gómz, 9/ E xt ρ c ^ ^^ ^ x c

Gril Cno G Gómz, 9/1 Sistm os conuctors: connsor cilínrico Solución n l prolm l potncil suprficis conuctors :ρ = y C : ρ = prolm l potncil n < ρ < (vcío) simtrí cilínric (h >> ) (r) (ρ) 1 () r = ρ =

12 Gril Cno G Gómz, 9/1 Sistm os conuctors: connsor cilínrico Solución n l prolm l potncil suprficis conuctors :ρ = y C : ρ = prolm l potncil n < ρ < (vcío) simtrí cilínric (h >> ) (r) (ρ) 1 () r = ρ = ρ ρ ρ ( ρ ) = Aln ρ+ B conicions contorno Dirichlt (p..) = V1 = (ρ=) solución n ρ C1 V1 ρ ( ρ) = ln = ln C = (ρ=) Cpci l connsor ( ) crg léctric n y C 1= = V1 ln( ) Q 1 = Q vlor l cpci léctric: C = Q ( 1 V V ) = πhε ln 1 ( ) Q C (r) C Z n 1 n O Q 1 1 E(r) h 1

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