GUÍA CONTRASTES de HIPÓTESIS

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1 GUÍA CONTRASTES de HIPÓTESIS 1

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3 TEÓRICO El contenido de una proteína se distribuye en individuos sanos según una N(,,5). En individuos con individuos con la enfermedad E se cree que la sistribución normal sigue siendo razonable pero se sospecha que su valor medio podría alterarse. Supondremos que no cambia la variabilidad, por lo que el contenido de la proteína en presencia de E, variable aleatoria X, sigue una normal N(,,5). Por lo costoso de las determinaciones de dicha proteína se toma una muestra de 5 individuos con la enfermedad y se obtienen los siguientes valores:,, 1, 18,8, 1,5,,5. a) Con un nivel de confianza del 95%, se puede admitir que la media de la proteína para los individuos con la enfermedad E se altera?. H: H 1: contraste bilateral,5 /,5 z 1,96 estadístico teórico,5,5 Muestra: n5 x,8 x N, N, n 5 Intervalo de confianza: z., z. n n,5,5 1,96., 1,96. (19,56,,44) 5 5 x,8 (19,56,,44) No se acepta la hipótesis nula H, con un nivel de confianza del 95% 3

4 También se podría haber realizado de la siguiente forma: Región aceptación: ( 1,96, 1,96),5 z/ z,5 1,96 Región crítica: (, 1,96) (1,96, ),5 Bajo la hipótesis nula H:, x N, N, N(,,) n 5 x En consecuencia, P 1,96 z 1,96 1,95, x Hay una probabilidad de,95 de que el valor se encuentre entre 1,96 y 1,96., estadístico contraste z x,8 3,64 ( 1,96, 1,96),, Se rechaza H En definitiva, se toma la decisión de rechazar la hipótesis nula, rechazando que la media es y aceptando la hipótesis alternativa que es distinta de. Las probabilidades conocidas, a priori, en esta forma de decidir son: PRechazar H : = siendo cierta H,5 PAceptar H : = siendo cierta H,951 Pudiendo rellenar parte de la tabla siguiente: Realidad Cierta H 1,95 Decisión H H 1,5 Error tipo I Cierta H 1 4

5 ,5 Bajo la hipótesis H 1: 1, x N, N1, N(1,,) n 5 19,56 1 x 1,44 1 P19,56 x,44p P6,54 z,54,,, P,54 z 6,54 Pz,54 Pz 6,54,554 Adviértase que PAceptar H H es falsapaceptar H H es cierta,554 1 Se define como la probabilidad de cometer un Error Tipo II: 1 PETIIP Aceptar H H es falsa P Aceptar H H es cierta Se define la Potencia del contraste como Pot 1 Pot 1 PRechazar H H es falsapaceptar H H es cierta 1 1,554 Pot 1 1,554,9945 Pudiendo rellenar la tabla: Realidad Decisión H H 1 Cierta H 1,95,5 Error tipo I Cierta H 1,554 Pot 1,9945 Error tipo II Potencia contraste 5

6 Tanto como son probabilidades condicionadas. Las probabilidades de ambos errores no pueden calcularse en sentido absoluto. Para calcular es necesario asumir que Hes cierta y para calcular se asume que H 1 es cierta. En cualquier prueba de hipótesis lo más conveniente será que ambos tipos de errores sean lo más pequeño posible, pero esto no es fácil de lograr, porque al intentar disminuir uno el otro aumenta proporcionalmente. Al aumentar el tamaño n de la muestra es posible disminuir la probabilidad de cometer un Error Tipo II, manteniendo constante la probabilidad de cometer un Error Tipo I, en la figura adjunta se refleja como al aumentar el tamaño de la muestra se reduce la varianza de las distribuciones e igualmente el valor de, mientras que el valor de se mantiene en,5. POTENCIA Pot 1 P(ET II) 1 La potencia es mayor cuánto más alejada se encuentre la media verdadera 1 del valor supuesto. Cuanto menor sea menor es la potencia, es decir, si se reduce la probabilidad de cometer un error Tipo I, se incrementa la probabilidad de un error Tipo II. Cuanto mayor es la varianza de la población menor es la potencia, cuando se tiene más variabilidad resulta más difícil detectar pequeñas desviaciones del valor real respecto del valor supuesto. Cuanto mayor sea el tamaño muestral mayor es la potencia del contraste, esto es, cuanto más información se tiene sobre la población más sencillo resulta detectar pequeñas desviaciones del valor real respecto de la hipótesis nula. 6

7 Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen es,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue 6, con un nivel de confianza del 95%? Solución: H: 6 H 1: 6 contraste bilateral,5 z 1,96 Estadístico teórico: z 1,96,5,5 Intervalo de confianza: z., z. n n,4,4 6 1,96., 6 1,96. (5,, 6,78) x 5,6 (5,, 6,78) Se acepta la hipótesis nula H, con un nivel de confianza del 95% x Estadístico de contraste: z / n x x Se acepta H si: z z z z / n / n / / / Es decir:,5 /,5 z 1,96 Región aceptación: ( 1,96, 1,96),5 5,6 6 1,96 1,96 1,96 1 1,96,4 / 36 Se acepta que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95% Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 1 euros con una desviación tipica de 4 euros. Se toma una muestra de 1 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 18 euros. Se puede aceptar, con un nivel de significación de,1, la afirmación de partida?. Solución: H: 1 H 1: 1 contraste unilateral,1 z 1,8,1 Intervalo de confianza:, z. n 4,1 1,8. (,15,1) 1 7

8 18 (,15,1) No se acepta la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 9% x Estadístico de contraste: z / n Estadístico teórico: z x ,8 z / n 4 / 1 Se acepta H si: z z z Es decir:,1 z 1,8 Región aceptación: (, 1,8),1 Como (, 1,8) No se acepta la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 9% La duración de las bombillas de 1 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 1 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 8 horas. Se escoge al azar una muestra de 5 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 75 horas. Con un nivel de significación de,1, habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía? Solución: H: 8 H 1: 8 contraste unilateral,1 z,33,1 Intervalo de confianza: z., n 1 8,33., (76,46, ) 5 x 75 (76,46, ) No se acepta le informe con una fiabilidad del 99% x 75 8 / n 1 / 5 Estadístico de contraste: z,946 x x,33 z,1 / n / n Se acepta H si: z z z z,946 Es decir,,1 z,33 z,33 Región aceptación: (,33, ),1,1 Como,946 (,33, ) No se acepta la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 99% 8

9 Un laboratorio desea estudiar el porcentaje de personas que tienen somnolencia al tomar un medicamento. Se ha realizado un estudio con una muestra de 1 individuos, y se ha obtenido que el 15% ha tenido dichos efectos secundarios. El laboratorio desea afirmar que solo un 1% de pacientes tiene dichos efectos. Puede realizar esta afirmación con un nivel de confianza del 99%? Solución: H: p,1 H 1: p,1 contraste bilateral 1,99,1 z z,58 estadístico teórico,1/,5 p.q Intervalo de confianza: p z., p z. n p.q n / /,1.,9,1.,9,1,58.,,1,58. (,3,,65) 1 1 ˆp,15 (,3,,65) Se acepta la hipótesis nula H (1% de los pacientes tendrá efectos secundarios) con un nivel de confianza del 99% Estadístico de contraste: z ˆp p p.q/n 9

10 ˆp p ˆp p Se acepta H si: z z z z p.q/n p.q/n / / /,1 z z,58 región aceptación: (,58,,58),1/,5,15,1,58,58,1.,9,58 1,83,58 1 Se acepta que la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 99% Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 3 nueces al azar y se detectaron 1 vacías. a) Con un nivel de significación del 1%, se puede aceptar la afirmación de la marca? b) Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y el nivel de confianza es del 95%, qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1%? Solución: H: p,6 H 1: p,6 contraste unilateral,1 z,33 estadístico teórico,1 Intervalo de confianza:,pz. p.q n,6.,94,,6,33. (,,9) 3 1 ˆp,7 (,,9) Se acepta la hipótesis nula H 3 con un nivel de confianza del 99% Estadístico de contraste: z ˆp p p.q/n pˆp pˆp p.q/n p.q/n Se acepta H si: z z z 1

11 ,1 z,33 región aceptación: (,,33),1,7,6,6.,94 3,79,33 Se acepta que la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 99% p.q ˆ ˆ b) I ˆ 1 (p) p z /. 1,95 z/ z,5 1,96 n,7.,93,1,7.,93,651,1 1,96.,51 n 1,96 n n,651,651,51 n.5 n.51 n,51 11

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13 Se quiere estudiar el tiempo medio de reacción a un determinado estímulo visual. Sabiendo que el tiempo medio de reacción para una muestra de 5 observaciones resultó ser,9 con una cuasi desviación típica de,8 sg, contrastar en hipótesis de normalidad, si el tiempo medio es menor de 3 sg, para un nivel de confianza del 95% Solución: H: 3 H 1: 3 contraste unilateral,5 n 5 t t 1, 711 estadístico teórico,n1,5, 4 región aceptación: ( 1,711, ) s Intervalo de confianza: t,n1., n.8 3 1,711. (,73, ) 5 x,9 (,73, ) Se acepta la hipótesis nula H con una fiabilidad del 95% x,9 3 s/ n,8/ 5 Estadístico de contraste: t,65 t,65 ( 1,711, ) Se acepta la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 95%. El tiempo medio de reacción es de 3 sg. 13

14 OTRO MÉTODO H: 3 H 1: 3 contraste unilateral,5 n 5 t t 1, 711 estadístico teórico,n1,5, 4 región aceptación: (, 1,711) Intervalo de confianza:, t,n1..8, 3 1,711. (, 3,7) 5 s n x,9 (, 3,7) Se acepta la hipótesis nula H con una fiabilidad del 95%. El tiempo medio de reacción es de 3 sg. x,9 3 Estadístico de contraste: t,65 s/ n,8/ 5 t,65 (, 1,711) Se acepta la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 95%. El tiempo medio de reacción es de 3 sg. Las puntuaciones en un test que mide la creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal de media 11,5. En centro escolar que ha implado un programa de estimulación de la creatividad de 8 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: A un nivel de confianza del 95%, puede afirmarse que el programa es efectivo? Solución: H: 11,5 H 1: 11,5 contraste unilateral,5 n 8 t t 1, 73 estadístico teórico,n1,5, 7 región aceptación: (, 1,73) Muestra: x 13,1 3,95 s 3,1 s 5,66 x x x 14

15 s Intervalo de confianza:, t,n1. n 5,67, 11,5 1,73. (, 13,3) 8 13,1 (, 13,3) Se acepta la hipótesis nula H con una fiabilidad del 95% x 13,1 11,5 s/ n 5,66/ 8 Estadístico de contraste: t 1,49 t 1,49 (, 1,73) Se acepta la hipótesis nula H con un nivel de confianza del 95%, es decir, no hay evidencia de que el programa de estimulo de creatividad sea efectivo. 15

16 Una agencia de alquiler de automóviles, bajo la hipótesis de normalidad, necesita conocer con un 9 % de fiabilidad si la flota presenta una desviación típica de 7 km/día. A tal fin, en varios días de la semana toma los recorridos de 5 vehículos de la flota y obtiene que la media muestral es de 165 km/día, y la cuasivarianza estándar muestral de 6 km/día. Solución: MÉTODO I El intervalo de confianza para la varianza poblacional viene dado por: I( ) (n 1).s (n 1).s, x x x /,n1 1 /,n1 (n 1).s x n. x s cuasivarianza muestral n 5 /,5 36,415 13,848 /,n1,5,4 1 /,n1,95,4 sx 36 (n 1).s x (n 1).s x I( ),, [3,73, 6,39] /,n1 1 /,n1 36,415 13,848 El intervalo de confianza para la desviación típica poblacional : (n 1).s x (n 1).s x I( ), 3,73, 6,39 4,87, 7,9 /,n1 1 /,n1 16

17 Como la desviación típica poblacional 7 4,87,7,9 se puede afirmar con un 9% de fiabilidad que la desviación típica poblacional es de 7 km/día. MÉTODO II El contraste de hipótesis bilateral para la varianza de la población: H : 49 H : 49 1 (n 1).s Se acepta H si, x n1 1 /,n1 /,n1 (n 1).s x 4.36 n ,848, 36,415 Con un nivel de confianza del 9% se acepta que la varianza poblacional es 49, en consecuencia se acepta que la desviación típica poblacional es de 7 km/día. (n 1).s La cuasivarianza muestral s (x x) es tal que el estadístico n 1 x x i n1 n 1 i1 (n 1).s x (n 1) Psx 6P P 4 P4 17,63, ,659 33,196,9,1 17,537,8,8. 15,566 x,1,81 17,63 33,196 x,1 15,566 x,1 17,537 17

18 A 1 alumnos de una clase se les separa en dos grupos, aquellos que practican habitualmente un deporte y los que no practican ninguno, formando cada grupo 6 y 4 alumnos, respectivamente. Se miden las alturas, y se obtiene para el primer grupo una media de 1,8 m y desviación típica,8 m, y para el segundo grupo, una media de 1,76 m y desviación típica,1 m. Suponiendo que la variable aleatoria altura sigue una distribución normal en los dos grupos, es posible afirmar con un nivel de confianza del 95% que hay diferencia de altura entre los alumnos que practican algún deporte y los que no? Solución: Se trata de un contraste bilateral para la igualdad de medias poblacionales con muestras grandes y varianzas poblacionales desconocidas. H: 1 H: 1 1 1,95 /,5 z 1,96,5 región aceptación: ( 1,96, 1,96) Muestra x1 1,8 m n1 6 1,8 m x 1,76 m n 4,1 m Cuasivarianzas y cuasidesviaciones típicas muestrales: 18

19 n. 1 (n 1).s1 6.,8 59.s1 s1,65 s1,81 n. (n 1).s 4.,1 39.s s,13 s,11 x x 1,8 1,76 1 Estadístico de contraste: z,91 s,65,13 1 s n n Se acepta la hipótesis nula H si el estadístico de contraste se encuentra en la región de aceptación:,91 ( 1,96, 1,96) Concluyendo que, con un nivel de confianza del 95%, la media poblacional de los alumnos que practican algún deporte y de los que no lo practican es diferente. 19

20 Las notas obtenidas en el Análisis de Datos de cinco individuos elegidos al azar del grupo G1 y de 6 individuos, elegidos también al azar, del grupo G son: G1: G: Suponiendo que la variable aleatoria en estudio sigue una distribución normal en los dos grupos, puede concluirse a un nivel de confianza del 95% que las puntuaciones medias de ambos grupos son iguales? Solución: Se trata de un contraste bilateral para la igualdad de medias poblacionales con muestras pequeñas n n 11 siendo n n, varianzas poblacionales desconocidas que se suponen iguales. 1 1 H: 1 H: 1 1 1,95 t t,6 /, n1n,5, 9 región aceptación: (,6,,6) Muestra G1: x1 5,8 n1 5 s1 6, G: x 4,83 n 6 s 4,96 Media ponderada de las cuasivarianzas muestrales: s (n 1).s (n 1).s 1 1 p n1 n 4.6,5.4,96 sp 5,51 sp 5,51,35 9 x x 5,8 4, sp,35. n n Estadístico de contraste: t,681 1 Siendo,,681 (,6,,6),6,681,6 Se acepta la hipótesis nula H, por consiguiente se puede afirmar con una fiabilidad del 95% que no existe diferencia entre la media poblacional de ambos grupos.

21 Una central lechera recibe diariamente leche de dos granjas, A y B. Para analizar la calidad de la leche se eligen dos muestras al azar de la cantidad suministrada por cada una de las granjas, se analiza el contenido de la grasa y se obtienen los datos: Número muestras Media muestral Cuasivarianza Granja A n 1 x,35 s, Granja B n 16 x,318 s,7 Bajo la hipótesis de normalidad de los datos, con una fiabilidad del 9%, Son las dos granjas semejantes desde el punto de vista del contenido en grasa de la leche que emiten a la central lechera? Solución: Se trata de un contraste de igualdad de medias, con muestras pequeñas y se necesita comprobar si las varianzas poblacionales y son o no iguales. 1 Contraste de igualdad de varianzas de dos poblaciones normales: 1

22 H: H: s,34 Estadístico de contraste: F 1,6 s,7 1 s Se acepta H si F F ; F 1 s 1 /,n11,n1 /,n11,n1 1 1 F1 /,n11,n1 F,95,11,15,37,1 /,5 F,5, 15, 11,7 F/,n 11,n1 F,5,11,15,51 s Siendo F 1,6,37;,51 se acepta la hipótesis de que 1, s 1 es decir, las varianzas son iguales. Es un contraste de igualdad de medias poblacionales con varianzas iguales y muestras pequeñas n n , se establecen las hipótesis: 1 H: H: Media ponderada de las cuasivarianzas muestrales: s (n 1).s (n 1).s 1 1 p n1 n 11.,34 15.,7 sp,3 sp,3,173 6 x1 x,35,318,13 Estadístico de contraste: t, ,661 sp,173. n n Estadístico teórico: t t,56 /, n1 n,5, 6 Como,1967 (,56,,56),56,1967,56 Se acepta la hipótesis nula H y se concluye que las dos granajas son semejantes desde el punto de vista del contenido en grasa de la leche, con un nivel de confianza del 9%.

23 Un Instituto de Alimentación animal quiere comparar estadísticamente dos tipos de dietas. Selecciona al azar una muestra de veinte animales de una población de animales comparables. A doce de ellos se les suministra la dieta primera y a los ocho restantes la dieta segunda. Los resultados del aumento de peso en una semana son: Número muestras Media muestral Cuasivarianza Dieta primera n 1 x 4,3 kg s, Dieta segunda n 8 x 3,6 kg s 3,61 Con un nivel de confianza del 9%, se puede afirmar que la primera dieta es mejor que la segunda? Solución: Se trata de un contraste unilateral de igualdad de medias, con muestras pequeñas y se necesita comprobar si las varianzas poblacionales y son o no iguales. 1 Contraste de igualdad de varianzas de dos poblaciones normales: 3

24 H: H: s,81 Estadístico de contraste: F, s 3,61 1 s Se acepta H si F F ; F 1 s 1 /,n11,n1 /,n11,n1 1 1 F1 /,n11,n1 F,95,11,7,33,1 /,5 F,5,7,11 3,1 F/,n 11,n1 F,5,11,7 3,6 s Siendo F,,33 ; 3,6 no se acepta la hipótesis de que 1, s 1 es decir, las varianzas poblacionales son distintas. Es un contraste de unilateral de medias poblacionales con varianzas poblacionales distintas 1, se establecen las hipótesis: H: H: x x 4,33,6 1 Estadístico de contraste: t,97 s,81 3,61 1 s n n Estadístico teórico: t,f donde f es la aproximación de Welch 1 s s,81 3,61 n n f 1 8 9, s,81 3,61 1 s n n 1 n 1 n 1 1 t,ft,1,11, Se acepta H si t,97 t 1,37,1,1 Se acepta la hipótesis nula H y se concluye que no existe evidencia estadística de que la primera dieta sea mejor que la segunda. 4

25 Una empresa farmacéutica está interesada en la investigación preliminar de un nuevo medicamento con posibles propiedades reductoras del colesterol. Para ello, toma una muestra al azar de seis personas comparables, determinando el contenido en colesterol antes y después del tratamiento. Los resultados obtenidos han sido: Antes: Después: Bajo el supuesto de normalidad de la variable aleatoria en estudio, se puede afirmar la bondad del medicamento, con un nivel de confianza del 95%? Solución: Se trata de un experimento de datos apareados, siendo los valores de las diferencias: x Antes i y Después i d x y i i i 6 6 i d i d i1 i1 1 1 d d,5 s (d d) 45,1 s 45,1 6,

26 Es un contraste bilateral de igualdad de medias en el caso de datos apareados. Se establecen las hipótesis: H: d 1 H 1: d 1 d,5 Estadístico de contraste: t,91 s / n 6,71/ 6 d Estadístico teórico, n6, /,5 t t,15 /, n1,5, 5 Siendo t,91,15 t se acepta la hipótesis nula y se,5, 5 concluye que no se puede afirmar estadísticamente la bondad del medicamento en la reducción del colesterol. 6

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29 En un test de 7 niños se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson entre sus años y las respuestas inadecuadas que tiene, obteniéndose una correlación inversa de,74. Con un nivel de confianza del 95%, están las dos variables incorreladas? Solución: H: H 1: variables incorreladas r,74 Estadístico de contraste: t 5,5 1r 1,74 n 7 Estadístico teórico:,5, n 7 t,6,5, 5 t5,5,6t,5, 5 Se rechaza la hipótesis nula con una fiabilidad del 95% Los años y las respuestas inadecuadas están correlados 9

30 En la tabla adjunta se muestran las puntuaciones que obtuvieron en un examen de aptitud previo a su contratación (X) y la venta mensual de los agentes comerciales (Y) en de diez mil euros. X: Y: a) Se deduce de estos datos que la puntuación en el examen previo influye en la venta mensual?, con que grado de predicción? b) Con una fiabilidad del 95%, es ocasional la correlación de las variables X e Y? Solución: xy a) La recta de regresión de Y sobre X: y y (xx) xi xi i1 111 i a1 x 74 a 585, a a 585, ,7 39,7 18,14 x 1 x x yi yi i1 165 i a1 y 11 a 16, a a 16,3311 5,33 5,33,3 y 1 y 15 x.y i i i xy a y 84 a a.a yy (xx) y 11 (x 74) y 4,71,85 x 39,7 xy x La pendiente byx,85 indica un aumento de 85 euros menuales de venta. El grado de predicción, indicando un grado de asociación directa entre las puntuaciones del examen de aptitud y las ventas mensuales, viene determinado por el coeficiente de correlación lineal r 8. 18,14.,3 xy r r,67 x y x xy. y b) Para aceptar o rechazar el hecho de que el grado de predicción, o asociación lineal de las variables, no es meramente una coincidencia, es necesario realizar un contraste de hipótesis. 3

31 Bajo el supuesto de que las variables en estudio son una muestra aleatoria simple y que se distribuyen normalmente en la población, se establece el contraste: H: H 1: variables incorreladas r,67 Estadístico de contraste: t 3,5 1r 1,67 n 15 Estadístico teórico:,5, n 15 t,16,5, 13,5, 13 Se rechaza la hipótesis nula con una fiabilidad del 95% t 3,5,16 t indicando que la correlación r,67 es significativa y las variables sí tienen un estrecho grado de predicción yi a yi b x i.yi i1 i1 i , , syx 1,84 n 15 El error estándar de la regresión es menor de 184 euros mensuales. Para medir la dispersión de la ecuación de regresión también se utiliza la desviación estándar de la variable dependiente s, aunque es más preciso el error estándar de la regresión s YX desviación estándar de Y: s Y 15 i1 Y i yi yi n i1 i1 (y y) n1 n yi yi i1 i1 n s 15 Y,39 n1 151 La desviación estándar de las ventas es aproximadamente de 39 euros. Es menor el error estándar de la regresión s 184 euros (s s ) YX YX Y 31

32 Para un valor dado x se obtiene el valor yab.x ˆ donde, s s 1 (x x) ŷ YX n n n 1 xi xi n i1 i1 1 (x x) s s 1 n 1 y YX n n xi xi n i1 i1 Un vendedor promedio que saque 77 puntos en el examen venderá mensualmente ( ), con un nivel de confianza del 95%: YX ˆ x 77 y 4,71,85. x 4,71, ,55 1 (x x) 1 (77 74) s s 1,84.,48 1 ŷ YX n n n 1 15 xi x i n 15 i1 i1 Estadístico teórico:,5, n 15 t,16,5, 13 (yˆ t.s ) (11,55,16.,48) 1,1 1,3 YX /, n yˆ YX YX 3

33 Un vendedor promedio que saque 77 puntos en el examen venderá mensualmente entre 11 y 13 euros, con un nivel de confianza del 95%. C ualquier vendedor que saque 77 puntos en el examen venderá mensualmente (Y), con un nivel de confianza del 95% : 1 (x x) 1 (77 74) s s 1 1, ,9 1 y YX n n n 1 15 xi x i n 15 i1 i1 Y (yˆ t. s ) Y (11,55,16. 1,9) 7,15 Y 15,36 /, n y Cualquier vendedor que saque 77 puntos en el examen venderá mensualmente entre 715 y 1536 euros, con un nivel de confianza del 95%. 33

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