Ejercicios de optimización:

Transcripción

1 Ejercicios de optimización: Problemas resueltos (paso a paso) de optimización: º Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máimo. Hallar las dimensiones de dica caja. º Un rectánulo esta acotado por los ejes por la ráfica de ( 6 ) / Qué lonitud debe tener el rectánulo para que su área sea máima? º Qué puntos de la ráfica de están mas cerca del punto (0,)? Dato: distancia entre dos puntos,, ( 0, ) : d ( ) + ( ) 0 0 ( 0 º Un rectánulo esta limitado por el eje por el semicírculo mínima su área? 5 Para qué lonitud ancura del rectánulo se ace 5º Dos postes de 8 metros de altura, distan 0 metros entre si. Ha que conectarlos mediante un cable que este atado en alún punto del suelo entre los postes. En que punto a de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor lonitud de cable posible? 6º Se pide calcular el volumen máimo de un paquete rectanular enviado por correo, que posee una base cuadrada cua suma de ancura + altura + lonitud sea 08. 7º Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada que tena un área total de 08 metros cuadrados de superficie. Qué dimensiones producen la caja de máimo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadranulares. 8º Una páina rectanular a de contener dm de teto, con márenes superior e inferior de.5 dm laterales de dm pulada, Qué dimensiones de la páina requieren la mínima cantidad de papel? 9º Con metros de alambre se desean construir un circulo un cuadrado. Cuanto alambre a que emplear en cada fiura para lorar que entre ambas encierren el área mínima posible? 0º Dado un cilindro de volumen m, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. º Inscribir en una esfera de radio m un cilindro circular que tena a) Volumen máimo b) Área lateral máima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base altura. º El alcance R de un proectil lanzado con velocidad inicial v0 con un ánulo θ respecto de la orizontal es R ( v 0 sin θ ) /, donde es la aceleración de la ravedad. Calcular el ánulo θ que produce alcance máimo. º Se lanza un cuerpo acia arriba con velocidad inicial 0m/s, Calcule cual es la máima altura que alcanzará si la aceleración ravitacional es 0m/s? Ecuación que describe la altura en función del tiempo: ( t) vt t º Hallar las dimensiones del rectánulo de área máima que tiene un lado sobre el eje está inscrito en el trianulo determinado por las rectas 0,,.

2 Soluciones: º Como a que optimizar el volumen de una caja abierta, la ecuación a optimizar es: V (,, z) z Donde define el anco de la caja, z lo laro e lo alto. Dicas variables como definen dimensiones, no pueden ser neativas. Tampoco pueden ser nulas porque no abría caja, por tanto: > 0 > 0 z > 0 Fijándonos en el dibujo adjunto de la cartulina, es posible deducir dos ecuaciones de liadura: z 8 Despejando en ellas z : 5 z 8 Dos variables an quedado liadas a una sola, aora utilizaremos las ecuaciones de liadura para que la ecuación del volumen de tres variables pase a ser de una variable: V( ) (5 ( Aora procedemos a calcular sus máimos mínimos con derivadas: V' ( V'( ± ± 8 0 / Dos valores candidatos a máimos, mínimos o puntos de infleión. Utilizando la derivada seunda: V''(0 / ) 6 / mínimo V' '( 5 + V''() 8 máimo Una vez determinado el máimo, el resto de dimensiones se alla con las ecuaciones de liadura: 5 z 8 6 Lueo la caja de volumen máimo tiene por dimensiones: 6 º Como tenemos que optimizar una función de área de un rectánulo, su epresión es: A (, Las dos variables por definir dimensiones deben ser maores que cero menores que los valores lóicos que vemos en la ráfica: 0 < < 6 < 0 < La ecuación de liadura es la que define la recta: ( 6 ) / Y con esto, sustituendo en la ecuación de área: ) (6 ) / (6 ) / Y aora derivando calculamos sus máimos mínimos. A '( ) A'( ) 0 0 Realizando la derivada seunda: A''( ) A''() máimo Se trata de un máimo, una vez allada la lonitud de su base ao la de su altura mediante la ecuación de liadura: ( 6 ) / /

3 º La ecuación que tenemos que optimizar es la de la distancia entre el punto (0,) otro punto que pertenecerá a una curva: Derivando aora esta función buscamos los posibles máimos mínimos: ( 0) + ( ) + ( ) d(, En este caso, e pueden tomar cualquier valor de la recta real. No obstante, el problema nos da una curva: Esta curva lia las dos variables e, sustituendo en la ecuación de la distancia: ( ) + d( ) d'( ) d'( ) Recurrir aora a la derivada seunda puede resultar pesado en cuanto a cálculos, en su luar utilizaremos crecimiento decrecimiento para distinuir cuales son los máimos de los mínimos o de los puntos de infleión. / 0 / d' ( ) + + A partir de aquí es fácil ver que ± / son mínimos, que 0 es un máimo. Mediante la ecuación de la curva calculo la coordenada de cada punto mínimo: 5 ( ± / ) 5 5 Por tanto las coordenadas de los puntos mínimos son,, º Como tenemos que optimizar una función de área de un rectánulo, su epresión es: A (, () Las dos variables por definir dimensiones deben ser maores que cero menores que los valores lóicos que vemos en la ráfica: 0 < < 5 < 0 < 5 La ecuación de liadura es la que define la semicircunferencia: 5 Y con esto, sustituendo en la ecuación de área:, 5 Procedemos aora a calcular sus máimos mínimos: ± A'( ) 5 A'( ) Solo vale la solución positiva. Recurrir a la derivada seunda es más difícil, así que recurriremos a crecimiento decrecimiento: 0 5 / 5 A'( ) + Se trata de un máimo. Ya emos allada para que valor de la dimensión de la base se maimiza el área, aora mediante la ecuación de liadura calculamos la ancura: 5 (5 / ) 5 / / / 5

4 5º Haciendo primero un dibujo del problema, como el realizado a la dereca, nos indica un poco como analizar el problema. Primeramente tenemos una función de lonitud que optimizar: L (, + Los valores lóicos que pueden tomar e en el problema son: 0 < < < < Fijándonos en el dibujo, es posible liar estas dos variables a otra variable llamada z mediante dos ecuaciones de liadura que aparecen de la aplicación del teorema de Pitáoras en los dos triánulos formados. + (0 z) Fijémonos que z no tiene sentido si es maor que 0 o menor que cero. Sustituendo estas variables en la función de lonitud: 8 + z L( z ) + (0 z) z derivando para buscar los máimos los mínimos: 0 + z z 0 + z L'( z ) + L'( z) 0 + (0 z) 8 + z + (0 z) 0 + z + (0 z) Haciendo unas operaciones llearemos a: 8 z + z 0 + z + (0 z) m 60 z z 700z z 5.5 m De estas dos soluciones a que descartar la de 5.5 m, pues el problema dice que debe atarse la cuerda entre los postes. Dada la dificultad que entraña realizar aquí el método derivada seunda, utilizaremos crecimiento decrecimiento: 0 0 L'( ) + Estamos ante un mínimo. Lueo a que distancia debe encontrarse el nudo de cada poste, pues a m del poste más alto a 9 m del poste más bajo. 6º Tenemos que optimizar una función de área de un paquete rectanular, de base cuadra, es decir, con ancura iual a lonitud, por tanto: A (, Todas las variables deben ser positivas menores que 08: 0 < < 08 0 < < 08 Y sabemos que la suma de ancura + altura + lonitud es 08, lueo la liadura es: sustituendo en la función de área: ) (08 ) 08 Derivando buscando máimos mínimos: A'( ) 6 6 A'( ) z + z Descartamos la solución nula por no tener sentido, aora por la seunda derivada verificamos si es máimo o mínimo: Por tanto el máimo volumen de dico paquete es: A' '( ) 6 A'(6) 6 6) 08(6) (6) máimo z + z 0

5 7º Nuevamente optimizamos un volumen, esta vez de una caja de base cuadrada, por tanto la ecuación primaria es: V (, Como son dimensiones de una caja las dos variables, entonces: > 0 > 0 Se trata de una caja abierta por una de sus caras cuadradas, por tanto el área viene dada por: 08 + Esta es una ecuación de liadura. Si en ella despejamos : 08 Utilizando las ecuaciones de liadura sobre la ecuación de volumen la reducimos a una ecuación de una variable: V( ) Derivándola aora para calcular sus máimos mínimos: V'( ) V'( ) ± 6 De estas dos posibles soluciones, no es valida 6 pues las dimensiones no pueden ser neativas. Con la otra solución recurrimos a la derivada seunda: 6 V' '( ) V''(6) 9 máimo Se trata de un máimo, aora recurrimos a las ecuación de liadura para calcular la dimensión que falta: 08 6 Lueo las dimensiones son 66. 8º En este caso tenemos que optimizar una epresión de área, como es una páina de las características del problema (ver dibujo), entonces la ecuación a optimizar es: A (, (.5 ) + + ( ) + ( Evidentemente las variables por definir dimensiones no nulas, sus valores deben estar: > 0 > 0 Nos dice el problema que deben ser dm de teto, esto quiere decir, viendo el dibujo, que la ecuación de liadura es: Despejando de ella: Y sustituendo en la ecuación primaria: 7 A ( ) Calculando aora su derivada buscando máimos mínimos: A'( ) A'( ) ± 6 La solución neativa no tiene sentido, por tanto no es válida. En cambio la positiva la analizamos con la derivada seunda: A''( ) A''(6) mínimo 6 Se trata de un mínimo. Por la liadura sabemos que: 6 Por tanto las dimensiones de la páina son: (++)( ) 69

6 9º En este problema a que optimizar una función de área. La ecuación de área viene reida por: l, r) l + π r Que es tanto la suma del área del círculo como del cuadrado. Estas dos variables por definir una dimensión de una fiura un radio, deben ser positivas menores que / π : 0 l 0 r / π Pues ninuna fiura puede tener más alambre que la lonitud de m. Por otra parte, como solo pueden usarse m de alambre, lleamos a la siuiente ecuación de liadura que es la suma del alambre necesario para circulo cuadrado. l + π r Despejando l : π r π r l sustituendo en la ecuación de área, queda reducida a una ecuación de una variable: π r π r r) + π r π r + + π r Derivando aora: π r π r π r A'( r ) π + + π r A'( r) 0 π + + π r r 0 r π / Al usar derivada seunda: π π A''( r ) + π A''(0.8) + π mínimo Para este valor de r a área mínima, el lado del cuadrado valdrá: π 0.8 l 0.56 m 0º Se trata de optimizar el área de un cilindro. La función de área de un cilindro es la suma de sus dos caras circulares más el área lateral rectanular, tal como se ve en el dibujo de abajo: r, ) π r + π r Ambas variables deben ser maores que cero para el problema tena sentido: 0 < r < 0 Como el cilindro debe tener m de capacidad, el volumen actúa aquí de liadura de variables, así mediante la epresión del volumen de un cilindro lio r con : π r π r Y sustituendo en la función de área: 8 r) π r + π r π r + π r r Derivando buscando máimos mínimos: 8 8 π r 8 A' ( r ) π r A'( r) 0 π r 0 0 r 0.86 r r r π Recurriendo aora a la derivada seunda: π r + 6 A''( r) A''( / π ) π r mínimo Mediante la ecuación de liadura determino la altura, que vale. 7. Por tanto para.7 m r 0.86 m el área del cilindro es mínima teniendo m de volumen. Es pues un máimo.

7 º a) Se nos pide optimizar el volumen de un cilindro por tanto: V( r, ) π r Ambas variables, r, deben ser maores que cero para el problema tena sentido: 0 < r < 0 Fijándonos en el dibujo de abajo, que vendría a ser como un corte del dibujo de la dereca por uno de sus meridianos, podemos observar a simple vista la ecuación de liadura: r + ( / ) Sustituendo aora en las funcion de volumen: r π π V( ) b) En este apartado se nos pide optimizar una función de área: / Aora derivamos cada epresión para buscar sus máimos mínimos: π π π π ± V'( ) V'( ) 0 0 ±.5 m Se deseca la solución neativa por carecer de sentido, aora mediante la derivada seunda: π V' '( ) V''(.5) 5. máimo r 0.87 m Utilizando aora la liadura lleo a la conclusión que A ( r, ) π r Utilizando las mismas condiciones que en el apartado a) la misma liadura, la función a optimizar pasa a ser de una variable: Derivando calculando sus máimos mínimos: ) π π π π π A'( ) A'( ) ± ±. Nos quedamos solo con la solución positiva. Aora verificamos si es máimo o mínimo mediante crecimiento decrecimiento: 0 A'( ) + r m Se trata de un máimo. Utilizando aora la ecuación de liadura determino que º El problema a nos da la ecuación a optimizar: v 0 sin(θ ) R( θ ) Evidentemente, el rano de valores coerentes con el problema deθ es: 0 < θ < π / Aora, aciendo derivadas buscando máimos mínimos: v0 cos(θ ) v0 cos(θ ) arccos 0 π kπ R' ( θ ) R'( θ ) 0 0 cos(θ ) 0 θ + Donde k Z. El único valor de θ coerente con el problema es π /, con k 0. Aora investiándolo con la derivada seunda: v0 sin(θ ) v0 sin( π / ) v0 R' '( θ ) R' '( π / ) Es pues un máimo.

8 º El problema a nos da la ecuación de altura que tenemos que optimizar: Conociendo los valores de la velocidad de la ravedad: ( t) vt t 0 ( t) 0t t 0t 5t ' ( t ) 0 0t '( t) 0 0 0t 0 t s En física, los tiempos no puede ser neativos, por tanto t 0. Derivando buscando máimos mínimos: Mediante la derivada seunda verificamos si es máimo o mínimo: ' '( t ) 0 ''() 0 máimo Aora sustituendo en la función de altura, obtenemos la máima altura alcanzada: ( t) 0 5() 80 m º El enunciado nos abla de optimizar una función de área de un rectánulo: Despejando ambas variables, como: sustituendo en la función de área: A (, Por tanto las dos dimensiones están acotadas inferiormente. 0 < 0 < Una vez construido un dibujo, descubrimos que la base es la diferencia de las dos variables rectas (que en este problema sirven como liaduras, a que lian unas variables con otras): : derivando calculando máimos mínimos: Haciendo la derivada seunda: Es un máimo, con la ecuación de liadura: Ósea, un rectánulo de dimensiones (/), que estas variables se relacionan con mediante las ecuaciones de las 6 A '( A'( 0 0 A''( A''( / ) / / máimo