{ 3} Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar.
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- Germán Chávez González
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1 . Estudia el dominio de las siuientes unciones a ( Función Racional, el dominio son todos los números reales ecepto los que anulen el denominador. R / 0 0 ± [ ( ] { } R ± { } b ( Función Racional, el dominio son todos los números reales ecepto los que anulen el denominador. R / 0 0 [ ( ] { } 0 R {} 0 Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar. c ( Función Racional con numerador irracional, el dominio lo imponen dos condiciones, todos los números reales ecepto los que anulen el denominador que además haan maor o iual que cero el radicando de la epresión irracional 0 [ ( ] R / > 0 0 R [, ] R [, ] [, ] d ( Función irracional. El dominio lo orman los números reales que haan el radicando maor o iual que cero. [ (] R / 0 [, 0 [,
2 7 e ( Función con denominador irracional, el dominio son todos los números reales 7 que haan el radicando maor que cero, en este caso el cero no se admite. [ (] { R / 7 > 0} 7 > 0 > 7 7 ( 7, 7 ( 5 Función con denominador irracional, el dominio son todos los números 6 reales que haan el radicando maor que cero. ( R / 6 > 0 [ ] { } 5,, 6 ( 7 Función irracional. El dominio lo orman los números reales que haan el radicando maor o iual que cero. ( R / 7 0 [ ] { } 7 [, ] h ( 5 Función irracional. El dominio lo orman los números reales que haan el radicando maor o iual que cero. ( ,
3 5 i ( Función irracional. El dominio lo orman los números reales que haan 5 el radicando maor o iual que cero. 5 [ (] R / ( ( ( ( (, ] [, (, j ( Función Racional con epresiones irracionales, el dominio lo imponen dos condiciones, todos los números reales ecepto los que anulen el denominador que además haan maor o iual que cero los radicándoos de las epresiones irracionales. 0 0 [ 0, [ (] R / 0 0 [ 0, (, [ 0, { } k ( Función con denominador irracional, el dominio son todos los números reales que haan el radicando maor que cero. [ (] { R / > 0}, ( l ( Ln Función loarítmica. El dominio lo orman los números reales que haan el arumento maor que cero. [ ] ( ( R / > 0 ( ( ( ( ( 0 > Ln ( (, 0 (,
4 m ( Ln [ (] R / > 0 0 > 0 0 Ln (, (, n ( e La unción eponencial no impone restricciones al dominio, si el eponente es un número real, eiste su eponencial, por lo tanto [ Función eponencial ] [ Eponente] e [ ] R o ( e e { R / 0} R { 0} p ( e e [ ] { R / 0} [ 0, calcular. Sean las unciones 6 ( ; ( ; h( ( h( a ( ( h( b ( ( h( c ( ( d ( a ( ( h( b 6 ( ( ( ( ( h( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 6 ( ( ( ( ( 5
5 ( ( ( c ( ( 6 ( ( ( d ( h( ( ( ( ( ( (. Calcular la inversa, [ (] de las siuientes unciones a ( b ( 6 c ( d ( e ( 5 5 ( ( e h ( Ln Pasos a seuir para calcular la inversa de una unción. sustitue por e por. Se despeja en unción de. Se sustitue por ( a (. Se sustitue por e por 6. Se despeja en unción de 6. Se sustitue por 6 ( ( b (. Se sustitue por e por. Se despeja en unción de. Se sustitue por ( ( ( ( 5
6 c (. Se sustitue por e por. Se despeja en unción de. Se sustitue por ( ( ( ( d ( 5. Se sustitue por e por 5. Se despeja en unción de. Se sustitue por ( ( e ( 5. Se sustitue por e por. Se despeja en unción de 5. Se sustitue por ( ( 5 ( 5 ( ( e. Se sustitue por e por e. Se despeja en unción de e. Se sustitue por ( ( Ln Ln Ln e Ln Ln Ln ( Ln. Se sustitue por e por Ln. Se despeja en unción de Ln e e e e. Se sustitue por ( ( e Ln e e ( e e e e ( e e e 6
7 Calcular a o. Sean las unciones b o c o ( h o a ( o ( ( ( ( ( h( ( ( ( b ( ( ( ( ( o ( ( c ( o ( h o ( ( h( ( Se empieza calculando ( ( h ( ( h( ( Calculado h((, se calcula (h((. Calcular ( h( ( h ( ( ( h ( ( 5. Sean las unciones ( sen ( a o b a ( ( ( ( ( sen o sen ( b ( o ( ( ( ( ( c ( o ( o ( ( ( ( sen ( ( ( h. ( ( 6 o c o ( o ( ( sen( ( ( ( sen sen sen ( ( ( ( ( sen sen 6. Sean (, (, h(, comprueba que no se veriica la propiedad distributiva de la composición de unciones respecto la suma o ( h o o h Se hace cada composición por separado, se comprueba que son dierentes. ( ( ( ( ( ( ( o h h ( ( h( ( 6 8 ( h( ( o o h( ( ( ( h( ( ( h( ( ( ( h( ( ( 0 7
8 7. Comprobar que se cumple ( o o siendo ( ; ( Se calcula cada término de la iualdad por separado. Primer miembro de la iualdad o Calculo de ( ( Calculo de ( o ( ( o ( ( ( ( ( 6. Se sustitue por e por 7 6. Se despeja en unción de ( 6 7 ( 7 6 ( 6 7. Se sustitue por ( o ( o ( ( ( º miembro de la iualdad (. Se sustitue por e (( por. Se despeja en unción de. Se sustitue por ( ( ( ( (. Se sustitue por e (( por. Se despeja en unción de. Se sustitue por ( ( o ( o ( ( 7 6 ( ( ( Se demuestra que ( o o 7 ( 6 6 8
9 8. Si (, (, hallar a o b o c - a a ( o ( ( ( Se sustitue la variable de la unción por la unción. ( ( ( ( ( ( b b ( ( ( ( o Se sustitue la variable de la unción por la unción. ( ( ( ( ( ( ( ( d Si la composición de dos unciones es la unción identidad (I(, las unciones son inversas entre si, además la composición es conmutativa ( o ( ( o (. Teniendo en cuenta esto ( (. adas las unciones ( ( h( a Calcular sus dominios b Estudiar sus simetrías c Calcular las unciones ( o (, ( h o ( d Calcular las unciones (, h ( a ominios { R / 0} (, ] [, [ ] R { R / 0} 0 ± Por ser polinómica R ± { }
10 b Simetría e orma riurosa ha que estudiar como se transorma la unción cuando se cambia por, pudiendo darse tres casos dierentes ( (. Función par. Simétrica respecto de OY ( (. Función impar. Simétrica respecto de (0, 0. Ninuno de los anteriores. No tiene simetría. - ( ( ( - ( ( h( - h( ( ( h( Simétrica PAR ( Simetría impar No tiene simetria Eiste otra orma menos riurosa que es un poco más sencilla. Se seleccionan dos valores ±a pertenecientes al dominio de la unción se calcula el valor de la unción en ellos. (a (a. Función par. Simétrica respecto de OY (a (a. Función impar. Simétrica respecto de (0, 0. Ninuno de los anteriores. No tiene simetría. - [ ( ] ( ( 5 ± ( (. Simétrica PAR ( 5 ( - ( ± ( - (. Simetría impar ( h( ( ( 0 h( h(. No tiene simetría h( h( - [ ( ] - ± [ h( ] c ( o ( ( ( ( ( ( 5 ( h o ( h( ( ( ( ( d ( h ( Se intercambian con se despeja. No tiene inversa. ( 0. adas las unciones ( ( h( Calcular a Sus dominios b Simetrías c Las unciones [ o ](, [ h o ]( d Sus unciones inversas cuando eistan a - { R / 0} 0
11 [ ], - { } R 0 0 R / R - [ ] R. Por ser polinómica. b - ( ( (. Par. Simétrica respecto OX - ( ( ( (. Par. Simétrica respecto OX - ( ( h. Par. Simétrica respecto OX c - [ ]( ( ( ( ( ( ( 0 o - [ ]( ( ( ( ( ( 5 h h o d - ( ( - ( ( ( ( - ( h ( h. Calcular el dominio, las simetrías la composición en los dos sentidos de las unciones ( ( ominio - { } 0 0 R / ± { } R ± - { } 0 R /
12 (, ] [ 0, Simetría - ( coordenadas. ( - ( ( ( Composición - ( o ( ( ( ( ( (.No tiene simetría. ( ( ( 6. Impar. Simétrica respecto del orien de -( o ( ( ( ( ( ( ( 6 ( 6 (. Se quiere construir un cilindro de altura ija de base variable. ar una unción que eprese el volumen del cilindro en unción del radio. V π r H π H r. Un lobo se hincha mediante una maquina durante un minuto. El radio, r(cm del lobo varía con el tiempo de la siuiente orma r (t t (0 t t (s Epresar a El volumen del as contenido en el lobo en unción de r b El volumen del as contenido en el lobo en unción de t a V π r V πr b ( ( ( V t π t 0 t πt ( 0 t r t ( 0 t
13 . Epresar en unción de la lonitud de la base el área de un rectánulo inscrito en el mismo de radio R. El área de cualquier rectánulo es base altura. Aplicado al rectánulo de la iura A Si el rectánulo está inscrito en una circunerencia de radio R, sus dimensiones (, están relacionados por el teorema de Pitáoras. ( R Esta epresión permite epresar una variable en unción de la otra. R Sustituendo en el área del rectánulo es obtiene una unción que permite calcular el área de cualquier rectánulo inscrito en una circunerencia de radio R en unción de la lonitud de la base. A 5. Epresar el volumen de un cubo en unción del perímetro del mismo. a Lonitud de la arista. P Perímetro V Volumen V a a P a P V P 6. Epresar en unción de la lonitud de la base el volumen de una caja con tapa de base cuadrada, sabiendo que el área total vale S. R P Conocida la supericie total del cubo se establece una relación entre e que permite epresar en unción de V S S V V ( S S 7. Epresar en unción del radio el área total de un cilindro de volumen V. El área lateral de un cilindro es unción de dos variables, el radio la altura. Para poderlas relacionar se tiene en cuenta que el volumen del cilindro esta ijado (es un dato, por lo tanto de la deinición del volumen podemos obtener una relación entre la altura el radio. V πr h V h A πrh πr πr V A πr πr πr V A πr r
14 8. Hallar la unción que epresa el área de un triánulo isósceles inscrito en un círculo de radio conocido R, en unción de la lonitud de la base. El área de un triánulo es base altura A Si a la base se la denomina, el problema está en epresar la altura (h en unción de del radio conocido R. Seún se observa en el dibujo h h R. R. h` se puede obtener mediante el teorema de Pitáoras en el trianulo sombreado en unción de h R h h R h R R Sustituendo en la epresión del área R R base altura R A R R Calcular el área lateral de un pozo de orma cilíndrica con ondo esérico abierto superiormente en unción del radio, teniendo en cuenta que el radio debe ser la décima parte de la proundidad máima.. El elemento radio se descompone seún la epresión 0'000 t ( N 0 e N t onde N(t es la cantidad en ramos de radio que queda sin descomponer en el instante t, t es el tiempo en años N o es la cantidad inicial en ramos. Sí se empieza con 50 ramos a Cuántos ramos quedarán sin descomponer al cabo de 500 años? b Cuánto tiempo tardará en desaparecer el % de la muestra? c Cuál es la vida media del radio? Se deine vida media como el tiempo necesario para que se descompona la mitad de la muestra a. Se pide calcular el valor que toma la unción para t '000 t N( t 50 e 0' ( 50 e 0,r N 500 b. Si desaparece el,% de la muestra, queda sin descomponer el 0,0% de la muestra inicial. Se pide calcular el tiempo necesario para que la muestra se reduzca hasta 0,0% de la cantidad inicial. 0,0 N( t N o 0 N o 00 Sustituendo en la epresión inicial N( t 0 N o o 0'000 t N e 0'000 t ( N 0 e, se despeja t. 0'000 t 0'000 t ( 0 e Ln 0 Ln e Para despejar t se toman loaritmos neperianos en ambos miembros. Ln0 0'000 t Ln0 t 05,8 años 0'000
15 c. Se pide calcular el tiempo necesario para que la muestra inicial se reduzca a la mitad. N o N( t Sustituendo en la epresión inicial N( t N o o 0'000 t ( N 0 e 0'000 t N e, se despeja t. 0'000 t e Para despejar t se toman loaritmos neperianos en ambos miembros. Ln 0'000 t Ln Ln e 0 '000 t Ln t 7 años 0'000 5
Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)
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f p) 2 3x f q) f r) 4 x f s) x 6 f t) f u) x 3x f v) x 7x x x 9x
.- Halla el dominio de deinición de las siguientes unciones polinómicas y racionales: a) ( ) b) ( ) 8 j) ( ) 9 4 d) ( ) 6 9 l) 7 ( ) 5 ( ) ( ) 4 p) q) r) 7 9 ( ) 8 ( ) 7 9 ( ) 4 6 ( ) 4 ( ) ( ) s) 5 (
= x De este modo: Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
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.- Halla el dominio de deinición de las siguientes unciones polinómicas y racionales: a) b) 8 j) 9 4 d) 9 l) 7 ( ) 5 ( ) ( ) 4 p) q) r) 7 9 ( ) 8 7 9 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) s) 5 m) t) h) ( ) 7 ( ) 4 u) v)
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