DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x):

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1 FUNCIONES ELEMENTALES 0. CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : es una unción de R en R si a cada número real, Dom, le hace corresponder un único número real, (): Lo denotamos por : : Dom -----> R -----> () El conjunto Dom de los valores que puede tomar la variable independiente,, se llama dominio de deinición de la unción. El conjunto de los valores que toma la unción se llama recorrido. Puesto que tanto la variable como la unción () toman valores reales, estas unciones se llaman unciones reales de variable real. RAZONES POR LAS QUE EL DOMINO DE DEFINICIÓN PUEDE RESTRINGIRSE : - Imposible de realizar aluna operación con ciertos valores de : denominadores que se anulan, raíces cuadradas de números neativos,... - Conteto real del que se ha etraído la unción: Edad de una persona, - Por voluntad de quien propone la unción: Número menor que 7,... CÁLCULO DEL DOMINIO : FUNCIONES POLINÓMICAS: El dominio de un polinomio es todo R : () P() D() R FUNCIONES RACIONALES: El dominio de las unciones racionales es todo R menos los puntos donde se anula el denominador: () P() / Q() D() { R / Q() 0} R - { R / Q() 0} FUNCIONES RADICALES () n P( ) Si n es impar D() R Si n es par D() { R / P() 0} R - { R / P() < 0} FUNCIONES EXPONENCIALES () a P() D() R FUNCIONES LOGARÍTMICAS () lo a P() D() { R / P() > 0} R - { R / P() 0} FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS () sen P(), () cos P() D( ) D( ) R El resto (tanente, secante,.) ponerlas como cociente estudiar su dominio como una unción racional (denominador dierente de cero).

2 4. REPRESENTACIÓN Y ESTUDIO DE FUNCIONES FUNCIONES POLINÓMICAS Grado 0: k Rectas paralelas al eje OX Grado : m n Rectas La unción polinómica de primer rado o unción lineal: m n, se representa mediante una recta de pendiente m que pasa por el punto (0,n). La n se llama ordenada en el orien. Pendiente de una recta es la variación (aumento o disminución) que se produce en la cuando la aumenta una unidad. En una ecuación lineal, la pendiente de la recta es el coeiciente de la cuando se despeja la. (Si m > 0, es creciente; Si m < 0, es decreciente) Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta: P(, ), Q(, ) la pendiente se calcula : m ( Incremento de entre Incremento de ) Si de una recta conocemos un punto P(, ) su pendiente m, la ecuación de la recta es: m.( ) Para representarla se dan dos valores cualesquiera a la se calcula el valor de la. Interpolación etrapolación lineal Si sabemos que una unción es lineal (al menos aproimadamente) que pasa por dos puntos A(, ), B(, ) podemos hallar su valor en cualquier otro punto. Hallamos la ecuación de la unción lineal que pasa por los puntos A B m n. Sustituimos el valor de en calculamos la. Si (, ) estamos interpolando. Si (-, ) (, ) estamos etrapolando. En la etrapolación, cuanto más alejado esté del intervalo (, ), menos iable es el valor que obtenemos para ( ).

3 Grado : FUNCIONES CUADRÁTICAS Parábolas Las unciones polinómicas de seundo rado o unciones cuadráticas : a b c, a 0, se representan mediante parábolas. - Tienen ejes paralelos al eje Y - Las ormas de estas parábolas (que sus ramas estén hacia arriba o hacia abajo, que sean más o menos anchas,...) dependen, eclusivamente del valor de a: - Si a > 0, las ramas van hacia arriba (Cónvea) - Si a < 0, las ramas van hacia abajo (Cóncava) - Cuando maor sea a, más estilizada es la parábola b - La abscisa del vértice de la parábola es : V - a Para representarla se calcula el vértice en la dos valores más pequeños dos valores más randes se calculan las respectivas de estos valores. Grado > : Lo veremos en el tema Curvas FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Se calcula su dominio se hace una tabla de valores para cada trozo(los valores de la tabla en cada trozo dependerá del tipo de unción). DOS FUNCIONES INTERESANTES Función parte entera : Se llama parte entera de un número al maor número entero menor o iual a. A partir de eso, deinimos la unción para entera de, Ent(), que hace corresponder a cada número su parte entera. Función parte decimal : La parte decimal o mantisa de un número es Mant() Ent(). A partir de eso, deinimos la unción parte decimal de, Mant() que hace corresponder a cada número su parte decimal.

4 VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN El valor absoluto de un número coincide con si es positivo o si 0 nulo, o con su opuesto si es neativo: - si < 0 El eneral el valor absoluto de una unción se deine así: () () - () si () si () 0 < 0 Para representarla se iuala lo de dentro del valor absoluto a cero se resuelve. Estos puntos nos dividen la unción en trozos por tanto podemos tratarla como una unción a trozos. FUNCIONES RACIONALES (Sencillas, las complicadas las veremos en el Tema ) Se llaman unciones de proporcionalidad inversa a aquellas cua ecuación es ()/() sus ráicas son hipérbolas. Sus asíntotas son los ejes coordenados. También son hipérbolas las ráicas de las unciones previamente la división. a b. Para representarlas se hace c d Representación : - Calcular el dominio - Hallar una tabla de valores seún el dominio - Dibujarlas teniendo en cuenta las asíntotas. FUNCIONES RADICALES Se llaman unciones radicales a aquellas cua ecuación es n ( ) Para representarlas: - Calcular el dominio - Hallar una tabla de valores seún el dominio. (Importante: () 0 si es de índice par determinan el dominio se es de índice impar es el punto de inleión ha que tomar valores menores maores que él)

5 FUNCIONES EXPONENCIALES Se llaman unciones eponenciales las que tienen la ecuación a, siendo la base a un número positivo distinto de. Notas: FUNCIONES LOGARÍTMICAS - En matemáticas superiores la unción e es etraordinariamente importante. Tanto es así que cuando se habla de la unción eponencial sin mencionar cuál es su base, se está haciendo reerencia a ella. - También son eponenciales las unciones a k, pues a k (a k ) es decir es una unción eponencial de base a k - En las calculadoras cientíicas suele haber dos teclas 0, e con las que se obtienen valores de las unciones 0, e respectivamente. Se llaman unciones loarítmicas las que tienen la ecuación lo a, siendo a un número positivo distinto de lo a a, por tanto lo a e a son unciones inversas Notas: - En matemáticas superiores la unción lo e es mu importante. Se le llama loaritmo neperiano se desina por ln o L. Es la unción inversa de la eponencial de base e : e - En las calculadoras cientíicas suele haber dos teclas, lo ln con las que se obtienen valores de las unciones lo ln, respectivamente. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Repasar Tema 5)

6 0. ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE () ± k APARTIR DE () Si sumamos una constante k a la Subimos k unidades Si restamos una constante k a la Bajamos k unidades REPRESENTACIÓN DE - () A PARTIR DE () Si cambiamos de sino a la Hacemos una simetría respecto del eje OX REPRESENTACIÓN DE ( ± k) A PARTIR DE () Si sumamos una constante k a la Nos desplazamos k unidades hacia la izquierda Si restamos una constante k a la Nos desplazamos k unidades hacia la derecha REPRESENTACIÓN DE (-) A PARTIR DE () Si cambiamos de sino a la Hacemos una simetría respecto del eje OY

7 0.4 OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES FUNCIÓN COMPUESTA: Dadas dos unciones,, se llama unción compuesta de, se desina o, a la unción que transorma en [()] o [()] La epresión o () se lee compuesta con. Se nombra en primer luar la unción de la derecha porque es la primera en actuar sobre la. En eneral, la unción [()] [()] FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA. Se llama unción inversa o recíproca de a otra unción (se desina ) que cumple la siuiente condición: Si (a) b, entonces, ( a Como consecuencia [()] [ ()] Además las ráicas de las dos unciones son simétricas respecto de la bisectriz del primero tercer cuadrante ( ) Ejemplos: Potencias raíces n n Eponenciales loarítmicas a lo a Trionométricas arcos sen arcsen Funciones arco La unción arcoseno : Arcsen es una unción deinida en [-,] que toma valores en [-Π/,Π/] tal que : arcsen a b sen b a Es una unción creciente Veriica: sen (arcsen ) arcsen (sen ) La unción arcocoseno : Arccos es una unción deinida en [-,] que toma valores en [-Π/,Π/] tal que : arccos a b cos b a Es una unción decreciente Veriica: cos (arccos ) arccos (cos ) La unción arcotanente : Arcta es una unción deinida en R que toma valores en (-Π/,Π/) tal que : arcta a b ta b a Es una unción creciente Veriica: ta (arcta ) arcta (ta )

8 Son unciones? EJERCICIO : Indica cuáles de las siuientes representaciones corresponden a la ráica de una unción. Razona tu respuesta: Calcular el dominio dada la epresión analítica de una unción EJERCICIO : Calcular el dominio de deinición de las siuientes unciones: a) c) d) 6 ) ) 4 h) 4 i) Lo ( ) e) 4 Calcular el dominio el recorrido dada su representación ráica EJERCICIO : Observando la ráica de estas unciones, indica cuál es su dominio de deinición su recorrido. a) c) d) Problemas de dominios EJERCICIO 4 : A una hoja de papel de 0 cm 0 cm le cortamos cuatro cuadrados (uno en cada esquina), pleando convenientemente, ormamos una caja cuo volumen es: V.(0-).(0-) Cuál es el dominio de deinición de esta unción? EJERCICIO 5 : Las tarias de una empresa de transportes son: Si la cara pesa menos de 0 toneladas, 40 euros por tonelada. Si la cara pesa entre 0 0 toneladas, 0 euros por tonelada (la cara máima que admiten es de 0 toneladas). Si consideramos la unción que nos da el precio seún la cara, cuál será su dominio de deinición?

9 Representación ráica de unciones lineales EJERCICIO 6 : Representa ráicamente estudia sus propiedades: a) - 0 c) 4 Hallar la ecuación de una recta EJERCICIO 7 : Escribe la ecuación de la recta cua ráica es la siuiente: EJERCICIO 8 : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, 4) (, ). EJERCICIO 9 : Halla la ecuación de la recta que pasa por (,-) cua pendiente es EJERCICIO 0 : Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I) 0 II) 0 III) Problemas de interpolación lineal EJERCICIO : Si consumimos 60 m de as tendremos que paar un recibo de 5,96 euros, por un consumo de 80 m tendríamos que paar 4,56 euros. Cuál sería el precio del recibo si consumiéramos 70 m de as? EJERCICIO : Al apuntarnos en un imnasio, hemos tenido que paar una cantidad ija en concepto de matrícula. Después tendremos que ir paando las mensualidades. Si estamos 6 meses, nos astaremos en total 46 euros, si estamos 5 meses, nos costará 570 euros. Cuánto nos astaríamos en total si estuviéramos endo durante un año? EJERCICIO : Sabiendo que 5 C (rados centírados) equivalen a 59 F (rados Fahrenheit), que 0 C son 86 F, averiua cuántos rados centírados son 70 F. Función cuadrática EJERCICIO 4 : Halla el vértice de las siuientes parábolas: a) EJERCICIO 5 : Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola - 4 EJERCICIO 6 : Representa ráicamente estudia sus propiedades a) - 4 c) ( -)

10 Problemas de interpolación cuadrática EJERCICIO 7 : De una unción se sabe que () 0, () (-) 6. Halla la unción de seundo rado utilízala para estimar el valor de (0). EJERCICIO 8 : Los astos de producción los inresos por ventas (ambos epresados en millones de euros) de cierta empresa durante los tres últimos años han sido los siuientes: a) Halla el polinomio interpolador de seundo rado que eprese los inresos en unción de los astos. Qué inresos cabría esperar este año si los astos de producción uesen de 5 millones de euros? Función radical EJERCICIO 9 : Representa estudia las propiedades de las siuientes unciones: a) - c) d) 4 Función de proporcionalidad inversa EJERCICIO 0 : Representa estudia las propiedades de las siuientes unciones: a) 4 c) Transormaciones de unciones EJERCICIO : La siuiente ráica corresponde a la unción () : d) A partir de ella, representa: a) () ( - ) EJERCICIO : A partir de la ráica de () : construe las ráicas de: a) (-) ()

11 EJERCICIO : Sabiendo que la ráica de () es la siuiente: construe, a partir de ella, las ráicas de: a) ( ) () EJERCICIO 4 : Sabiendo que la ráica de () es la de la izquierda representa la ráica de () Funciones a trozos EJERCICIO 5 : Halla (), (0) (), siendo: () 4 5 si si - si - > < EJERCICIO 6 : Representa ráicamente estudia sus propiedades: si si a) si > - si > Funciones con valor absoluto EJERCICIO 7 : Representa estudia las propiedades de las siuientes unciones: a) - 4 c) - Repaso EJERCICIO 8 : Representa ráicamente estudia sus propiedades a) 4 c) e) () si 0 4 si < 0 < si < < 7 ) 4 d)

12 EJERCICIO 9 : Asocia a cada ráica su ecuación: a) - 5 () 5 c) - - d) -4 I) II) III) IV) EJERCICIO 0 : Asocia a cada una de las ráicas una de las siuientes epresiones analíticas: a) c) 4 d) 4 I) II) III) IV) EJERCICIO : Un cántaro vacío con capacidad para 0 litros pesa 550 ramos. Escribe la unción que nos da el peso total del cántaro seún la cantidad de aua, en litros, que contiene. EJERCICIO : El perímetro de un rectánulo es de 0 cm. Obtén la unción que nos dé el área del rectánulo en unción de la lonitud de la base. EJERCICIO : El precio por establecimiento de llamada en cierta taria teleónica es de 0, euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la unción que nos da el precio total de la llamada seún los minutos que estemos hablando. EJERCICIO 4 : Un muelle mide 7 cm cuando colamos de él un peso de 0 ramos, mide cm cuando colamos de él 80 ramos. a) Estima, mediante interpolación lineal, cuánto medirá si colamos de él 50 ramos. Escribe la ecuación de la recta que nos da la lonitud,, en unción del peso que colamos,. c) Representa ráicamente la unción anterior. EJERCICIO 5 : Subiendo una montaña, medimos la temperatura a 60 m de altura, esta era de 8º C. Cuando estábamos a 70 m de altura, la temperatura era de 6º C. a) Estima, mediante interpolación lineal, la temperatura que había a 500 m de altura. Halla la epresión analítica de la recta que nos da la temperatura en unción de la altura, represéntala ráicamente.

13 Composición de unciones EJERCICIO 6 : Dadas las unciones () (), calcula: a) ( o ) () ( o ) () EJERCICIO 7 : Considera las unciones deinidas por: () Calcula: a) ( o )() ( o )(), () EJERCICIO 8 : Sabiendo que () () sen, halla: a) ( o ) () ( o ) () EJERCICIO 9 : Con las unciones: () () hemos obtenido, por composición, estas otras: p() q(). Eplica cómo, a partir de, se pueden obtener p q. EJERCICIO 40 : Dadas las unciones: () (). Eplica como, a partir de ellas, se pueden obtener por composición estas otras: p() q() Inversa de una unción EJERCICIO 4 : La siuiente ráica corresponde a la unción (): a) Calcula () () Representa en los mismos ejes, () a partir de la ráica de () EJERCICIO 4 : Halla la unción inversa de estas unciones comprobarlo analíticamente: a) () 4 - c) - 5 d) Funciones eponenciales loarítmicas EJERCICIO 4 : Representa la ráica de las siuientes unciones estudia sus propiedades a) e) 4 lo c) lo d) / ) lo () ) e h) Ln

14 EJERCICIO 44 : Asocia cada una de las siuientes ráicas con su ecuación: a) c) lo d) lo / I) II) III) IV) EJERCICIO 45 : Una cierta población crece de acuerdo con la ecuación k. e at el tiempo en meses e es el número de individuos en miles. a) Calcula k a sabiendo que (0), que (0) 0,e,54 Representa la unción obtenida con los valores de k a que has hallado. donde t es Funciones trionométricas EJERCICIO 46 : Considera la siuiente ráica: a) Di cuál de estas epresiones analíticas le corresponde: cos ( π) sen ( π) cos sen Di cuál es su dominio de deinición, cuál es su periodo qué valores mínimo máimo alcanza. EJERCICIO 47 : Considera la siuiente ráica responde: a) Cuál de estas es su epresión analítica? sen cos cos sen Cuál es su dominio de deinición? c) Es una unción continua? d) Es periódica? Cuál es su periodo? e) Qué valores mínimo máimo alcanza? EJERCICIO 48 : a) Di cuál de las siuientes epresiones se corresponde con la ráica: Para la unción anterior, di cuál es su dominio, estudia su continuidad e indica cuál es su periodo.

15 LAS FUNCIONES ELEMENTALES Son unciones? EJERCICIO : Indica cuáles de las siuientes representaciones corresponden a la ráica de una unción. Razona tu respuesta: Calcular el dominio dada la epresión analítica de una unción EJERCICIO : Calcular el dominio de deinición de las siuientes unciones: a) c) d) 6 ) ) 4 h) 4 i) Lo ( ) e) 4 Calcular el dominio el recorrido dada su representación ráica EJERCICIO : Observando la ráica de estas unciones, indica cuál es su dominio de deinición su recorrido. a) c) d) Problemas de dominios EJERCICIO 4 : A una hoja de papel de 0 cm 0 cm le cortamos cuatro cuadrados (uno en cada esquina), pleando convenientemente, ormamos una caja cuo volumen es: V.(0-).(0-) Cuál es el dominio de deinición de esta unción? EJERCICIO 5 : Las tarias de una empresa de transportes son: Si la cara pesa menos de 0 toneladas, 40 euros por tonelada. Si la cara pesa entre 0 0 toneladas, 0 euros por tonelada (la cara máima que admiten es de 0 toneladas). Si consideramos la unción que nos da el precio seún la cara, cuál será su dominio de deinición?

16 Representación ráica de unciones lineales EJERCICIO 6 : Representa ráicamente estudia sus propiedades: a) - 0 c) 4 Hallar la ecuación de una recta EJERCICIO 7 : Escribe la ecuación de la recta cua ráica es la siuiente: EJERCICIO 8 : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, 4) (, ). EJERCICIO 9 : Halla la ecuación de la recta que pasa por (,-) cua pendiente es EJERCICIO 0 : Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I) 0 II) 0 III) Problemas de interpolación lineal EJERCICIO : Si consumimos 60 m de as tendremos que paar un recibo de 5,96 euros, por un consumo de 80 m tendríamos que paar 4,56 euros. Cuál sería el precio del recibo si consumiéramos 70 m de as? EJERCICIO : Al apuntarnos en un imnasio, hemos tenido que paar una cantidad ija en concepto de matrícula. Después tendremos que ir paando las mensualidades. Si estamos 6 meses, nos astaremos en total 46 euros, si estamos 5 meses, nos costará 570 euros. Cuánto nos astaríamos en total si estuviéramos endo durante un año? EJERCICIO : Sabiendo que 5 C (rados centírados) equivalen a 59 F (rados Fahrenheit), que 0 C son 86 F, averiua cuántos rados centírados son 70 F. Función cuadrática EJERCICIO 4 : Halla el vértice de las siuientes parábolas: a) EJERCICIO 5 : Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola - 4 EJERCICIO 6 : Representa ráicamente estudia sus propiedades a) - 4 c) ( -)

17 Problemas de interpolación cuadrática EJERCICIO 7 : De una unción se sabe que () 0, () (-) 6. Halla la unción de seundo rado utilízala para estimar el valor de (0). EJERCICIO 8 : Los astos de producción los inresos por ventas (ambos epresados en millones de euros) de cierta empresa durante los tres últimos años han sido los siuientes: a) Halla el polinomio interpolador de seundo rado que eprese los inresos en unción de los astos. Qué inresos cabría esperar este año si los astos de producción uesen de 5 millones de euros? Función radical EJERCICIO 9 : Representa estudia las propiedades de las siuientes unciones: a) - c) d) 4 Función de proporcionalidad inversa EJERCICIO 0 : Representa estudia las propiedades de las siuientes unciones: a) 4 c) Transormaciones de unciones EJERCICIO : La siuiente ráica corresponde a la unción () : d) A partir de ella, representa: a) () ( - ) EJERCICIO : A partir de la ráica de () : construe las ráicas de: a) (-) ()

18 EJERCICIO : Sabiendo que la ráica de () es la siuiente: construe, a partir de ella, las ráicas de: a) ( ) () EJERCICIO 4 : Sabiendo que la ráica de () es la de la izquierda representa la ráica de () Funciones a trozos EJERCICIO 5 : Halla (), (0) (), siendo: () 4 5 si si - si - > < EJERCICIO 6 : Representa ráicamente estudia sus propiedades: si si a) si > - si > Funciones con valor absoluto EJERCICIO 7 : Representa estudia las propiedades de las siuientes unciones: a) - 4 c) - Repaso EJERCICIO 8 : Representa ráicamente estudia sus propiedades a) 4 c) e) () si 0 4 si < 0 < si < < 7 ) 4 d)

19 EJERCICIO 9 : Asocia a cada ráica su ecuación: a) - 5 () 5 c) - - d) -4 I) II) III) IV) EJERCICIO 0 : Asocia a cada una de las ráicas una de las siuientes epresiones analíticas: a) c) 4 d) 4 I) II) III) IV) EJERCICIO : Un cántaro vacío con capacidad para 0 litros pesa 550 ramos. Escribe la unción que nos da el peso total del cántaro seún la cantidad de aua, en litros, que contiene. EJERCICIO : El perímetro de un rectánulo es de 0 cm. Obtén la unción que nos dé el área del rectánulo en unción de la lonitud de la base. EJERCICIO : El precio por establecimiento de llamada en cierta taria teleónica es de 0, euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la unción que nos da el precio total de la llamada seún los minutos que estemos hablando. EJERCICIO 4 : Un muelle mide 7 cm cuando colamos de él un peso de 0 ramos, mide cm cuando colamos de él 80 ramos. a) Estima, mediante interpolación lineal, cuánto medirá si colamos de él 50 ramos. Escribe la ecuación de la recta que nos da la lonitud,, en unción del peso que colamos,. c) Representa ráicamente la unción anterior. EJERCICIO 5 : Subiendo una montaña, medimos la temperatura a 60 m de altura, esta era de 8º C. Cuando estábamos a 70 m de altura, la temperatura era de 6º C. a) Estima, mediante interpolación lineal, la temperatura que había a 500 m de altura. Halla la epresión analítica de la recta que nos da la temperatura en unción de la altura, represéntala ráicamente.

20 Composición de unciones EJERCICIO 6 : Dadas las unciones () (), calcula: a) ( o ) () ( o ) () EJERCICIO 7 : Considera las unciones deinidas por: () Calcula: a) ( o )() ( o )(), () EJERCICIO 8 : Sabiendo que () () sen, halla: a) ( o ) () ( o ) () EJERCICIO 9 : Con las unciones: () () hemos obtenido, por composición, estas otras: p() q(). Eplica cómo, a partir de, se pueden obtener p q. EJERCICIO 40 : Dadas las unciones: () (). Eplica como, a partir de ellas, se pueden obtener por composición estas otras: p() q() Inversa de una unción EJERCICIO 4 : La siuiente ráica corresponde a la unción (): a) Calcula () () Representa en los mismos ejes, () a partir de la ráica de () EJERCICIO 4 : Halla la unción inversa de estas unciones comprobarlo analíticamente: a) () 4 - c) - 5 d) Funciones eponenciales loarítmicas EJERCICIO 4 : Representa la ráica de las siuientes unciones estudia sus propiedades a) e) 4 lo c) lo d) / ) lo () ) e h) Ln

21 EJERCICIO 44 : Asocia cada una de las siuientes ráicas con su ecuación: a) c) lo d) lo / I) II) III) IV) EJERCICIO 45 : Una cierta población crece de acuerdo con la ecuación k. e at el tiempo en meses e es el número de individuos en miles. a) Calcula k a sabiendo que (0), que (0) 0,e,54 Representa la unción obtenida con los valores de k a que has hallado. donde t es Funciones trionométricas EJERCICIO 46 : Considera la siuiente ráica: a) Di cuál de estas epresiones analíticas le corresponde: cos ( π) sen ( π) cos sen Di cuál es su dominio de deinición, cuál es su periodo qué valores mínimo máimo alcanza. EJERCICIO 47 : Considera la siuiente ráica responde: a) Cuál de estas es su epresión analítica? sen cos cos sen Cuál es su dominio de deinición? c) Es una unción continua? d) Es periódica? Cuál es su periodo? e) Qué valores mínimo máimo alcanza? EJERCICIO 48 : a) Di cuál de las siuientes epresiones se corresponde con la ráica: Para la unción anterior, di cuál es su dominio, estudia su continuidad e indica cuál es su periodo.

22 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN EJERCICIO : Indica cuáles de las siuientes representaciones corresponden a la ráica de una unción. Razona tu respuesta: a) En una unción, a cada valor de le corresponde, a lo sumo, un valor de. Por tanto, a) es unción, pero no lo es. EJERCICIO : La siuiente ráica corresponde a la unción (): a) Cuál es su dominio de deinición? Indica los tramos en los que la unción es creciente en los que es decreciente. c) En qué punto tiene la unción su máimo? a) [0, 4] Es creciente en [0, 6] decreciente en [6, 4]. c) El máimo está en el punto (6, ). EJERCICIO : Dadas las unciones: a) Di si son continuas o no. Halla la imaen de para cada una de las cuatro unciones. a) Solo es continua la II). I) II) III) no está deinida. IV) EJERCICIO 4 : Dada la ráica: a) Di si () es continua o no. Razona tu respuesta. Halla (), (0), () (). a) No es continua, puesto que en no está deinida. () ; (0) 0; () no eiste; ()

23 EJERCICIO 5 : Halla (), (0) (), siendo: ( ) () () (0) 0 () DOMINIO si si si < > EJERCICIO 6 : A partir de la ráica de estas unciones, indica cuál es su dominio su recorrido: a) c) d) e) ) a) Dominio R { } Recorrido R {-} d) Dominio (0, ) Recorrido R Dominio [ 0, ) Recorrido [0, ) e) Dominio R {-} Recorrido R {} c) Dominio R Recorrido (0, ) ) Dominio (-,] Recorrido [0, ) { 0} EJERCICIO 7 : Halla el dominio de deinición de las siuientes unciones: a) c) d) e) ) ) h) 6 i) j) 4 5 k) l) 9 o) p) a) ± 6 ± 4 ( ) m) n) q) ( ) Dominio R { 4, 4} 0 Dominio, c) ± 4 ± Dominio R d) 0 0 Dominio 0, [ ) e) 4 0 para todo R Dominio R {, } ñ)

24 ) > 0 > Dominio, ) 0 ( ) 0 ( ) 0 Dominio R { 0, } h) Dominio [, ) i) ( 5) 0 5 Dominio R { 5} j ) Dominio, k) 9 0 l) 0 m) ± Dominio Dominio 9 ± [, ) R { 0 } [ ) Dominio R n) 0 Dominio, ( ) ñ) > 0 Dominio 0, o) Dominio 0, R p) 0 Dominio,, ( ) { } ( ] [ ) ( ) 0 { } q) Dominio R {, } EJERCICIO 8 : Tenemos una hoja de papel de base 8,84 cm altura 0 cm. Si recortamos por una línea paralela a la base, a dierentes alturas, enrollamos el papel, podemos ormar cilindros de radio cm altura : El volumen del cilindro será: V π 8,6 Cuál es el dominio de deinición de esta unción? puede tomar valores entre 0 0 cm.por tanto, Dominio ( 0, 0). EJERCICIO 9 : De un cuadrado de lado 0 cm se recorta una tira de cm en la base otra de la misma lonitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado de lado (0 ) : A 0 Cuál es el dominio de deinición de esta unción? El área de este nuevo cuadrado será: ( ) puede tener valores entre 0 0 cm.por tanto, Dominio ( 0, 0). EJERCICIO 0 : Vamos a considerar todos los rectánulos de 0 cm de perímetro. Si llamamos a la lonitud de la base, el área será: ( ) A 5 Cuál es el dominio de deinición de esta unción? puede tomar valores entre 0 5 cm.por tanto, Dominio ( 0, 5).

25 FUNCIONES LINEALES EJERCICIO : Representa ráicamente: a) 0,5,5 c) 5 d) ( ) 4 5 a) c) d) EJERCICIO : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, 4) (, ). ( 4) La pendiente de la recta es: m 7 7 La ecuación será: 4 ( ) EJERCICIO : Escribe la ecuación de las rectas cuas ráicas son las siuientes: a) a) Vemos que la recta pasa por los puntos (, ) ( 4, ). Su pendiente será : La ecuación será: ( ) m 4 Observamos que la recta pasa por los puntos ( 0, 0) ( 50, 80). Su pendiente será : 6 Por tanto, su ecuación es: 0 5 EJERCICIO 4 : Halla la ecuación de la recta que pasa por (, ) cua pendiente es. Escribimos la ecuación puntopendiente: ( ) m

26 FUNCIONES CUADRÁTICAS EJERCICIO 5 : Representa ráicamente las unciones: a) 4 ( ) c) 4 d) ( ) 4 a) Hallamos el vértice: b 4 a Punto (, ). Puntos de corte con los ejes: Con el eje Con el eje 4 ± 6 4 X ± 0,7 Punto ( 0,7 ; 0),7 Punto (,7; 0) Y 0 Punto 0, Tabla de valores alrededor del vértice: ( ) La ráica es: X 0 4 Y - - b Hallamos el vértice: - Punto ( -, ). a Puntos de corte con los ejes: Con el eje X Con el eje ± 4 8 0,7,7 Y 0 Punto 0, Hallamos alún otro punto: ( ) X Y Punto Punto ( 0,7; 0) (,7; 0) La ráica es: b 0 c) Hallamos el vértice: V -0 a 4 Punto ( 0,4). Puntos de corte con los ejes: Con el eje X ± (, 0) (,0) 4 ± Puntos Con el eje Y 0 4 Punto (0,4) Hallamos alún otro punto: La ráica es: X Y 0 4 0

27 b a d) El vértice de la parábola es: Punto (, ) 4 4 Puntos de corte con los ejes: Con el eje X ( 4) 0 0 Punto ( 0, 0) 4 0 Punto (, 0) Con el eje Y 0 0 Punto (0,0) Hallamos alún otro punto: La ráica es: X - 0 Y RECOPILACIÓN RECTAS Y PARÁBOLAS EJERCICIO 6 : a) Representa ráicamente: Halla el vértice de la parábola: 0 8 a) Hallamos dos puntos de la recta: La ráica será: 0 b 0 5 La abscisa del vértice es: a La ordenada es: El vértice es el punto,. EJERCICIO 7 : a) Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) (, ), represéntala. Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola 4. a) ( ) 4 La pendiente de la recta es: m ( ) La ecuación será: ( ) Con los dos puntos que tenemos la podemos representar:

28 Puntos de corte con los ejes: Con el eje X: ( 4) Punto Punto (0, 0) (4, 0) Con el eje Y: 0 0 Punto (0, 0) Los puntos de corte con los ejes son el (0, 0) el (4, 0) EJERCICIO 8 : a) Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I) 0 II) 0 III) Representa ráicamente: a) I) pendiente II) pendiente III) pendiente 0 Hallamos el vértice: Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 0 Punto (0.0) Con el eje X 0 0 ( ) 0 Tabla de valores alrededor del vértice: X 0 / Y /4-0 9, 4 0 Punto Punto (0, 0) (, 0) La ráica sería: EJERCICIO 9 : a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) tiene pendiente. Representa ráicamente: 4 a) La ecuación será: - ( ) El vértice es el punto (0, 4). Los puntos de corte con los ejes son: Con el eje Y 0 4 Punto (0, 4) Con el eje X Tabla de valores alrededor del vértice: 4 X Y EJERCICIO 0 ; a) Representa ráicamente: 0 Halla el vértice de la parábola: 8 a) Despejamos : Hallamos dos puntos de la recta la representamos. Punto (, 0) Punto (, 0) La ráica sería:

29 b 8 La abscisa del vértice es: a 4 La ordenada es: El vértice es el punto (, 6). FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA EJERCICIO : Representa ráicamente las siuientes unciones: a) c) 4 5 a) Dominio de deinición: R {-4} Tabla de valores X Y Las asíntotas son la recta 0 la recta 4. Dominio de deinición: R {} X Y - -, ,5 - Las asíntotas son las rectas e. c) Dominio de deinición: R {5} X Y Las asíntotas son las rectas 5,. FUNCIÓN RADICAL EJERCICIO : Representa ráicamente las siuientes unciones: a) c) a) Dominio de deinición: (-,0] Hacemos una tabla de valores: X Y - - -,45-0,7 -

30 Dominio de deinición:, Hacemos una tabla de valores: X / Y 0,4,4,8 c) Dominio de deinición:, Tabla de valores: X -/ - / Y - 0 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS EJERCICIO : Dibuja la ráica de las siuientes unciones: a) lo c) lo d) a) La unción está deinida es continua en R. 4 e) 4 La ráica es: Hacemos una tabla de valores: X Y 8 4 ½ 0 Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores: La ráica es: 0 X X ¼ /6 Y c) Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores. La ráica será: X 0 X 0 ¼ ½ 4 Y 0 - -

31 d) La unción está deinida es continua en R. Hacemos una tabla de valores: La ráica será: X Y ¼ /64 /56 /04 0 e) La unción está deinida es continua en R. Hacemos una tabla de valores: La ráica es: X Y 0 / 9 7 EJERCICIO 4 : Consideramos la ráica: a) Halla la epresión analítica de la unción correspondiente. Cuál es el dominio de dicha unción? c) Estudia la continuidad el crecimiento. a) Es una unción eponencial de base maor que, que pasa por los puntos (0, ), (, 4)... Su epresión analítica es 4. Dominio R c) Es una unción continua creciente. EJERCICIO 5 : Considera la siuiente ráica: a) Escribe la epresión analítica de la unción correspondiente. Estudia la continuidad el crecimiento de la unción e indica cuál es su dominio de deinición. a) Es una unción loarítmica con base menor que, que pasa por los puntos (, 0), (, ), ( 4, ),, Su epresión analítica es : lo Es una unción continua. Es decreciente. Dominio 0, ( )

32 EJERCICIO 6 : a) Cuál es la epresión analítica de la unción correspondiente a esta ráica? Indica cuál es el dominio de deinición estudia la continuidad el crecimiento de la unción. a) Es una unción eponencial con base menor que, que pasa por los puntos (, 4), (, ),, Su epresión analítica será: Dominio R Es continua. Es decreciente. EJERCICIO 7 : a) Halla la epresión analítica de la unción cua ráica es: Estudia los siuientes aspectos de la unción: dominio, continuidad crecimiento. a) Es una unción loarítmica que pasa por los puntos (, 0), (, ), ( 9, )... Su epresión analítica será: lo Dominio, Es continua. Es creciente. ( 0 ) FUNCIONES A TROZOS EJERCICIO 8 : Representa ráicamente: si < si a) c) 4 si si > a) La ráica es: Si <, tenemos un trozo de parábola. (V 0) Si, Tabla de valores: tenemos un trozo de recta. X Y ( ) / si si > La ráica es:

33 Si, es un trozo de parábola. (V 0) Si >, es Tabla de valores: un trozo de recta horizontal. X Y c) Si, es un trozo de recta. Si >, es un trozo de parábola. (V 0) La ráica es: Tabla de valores: X Y, FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO EJERCICIO 9 : Representa ráicamente la unción (), sabiendo que la ráica de () es la siuiente: a) c) d) e) a) c) d) e) EJERCICIO 0 : Deine como unciones "a trozos": a) 4 - c) d) e). 4 si < si < si < a) c) 4 si si si si < d) e) si si si <

34 FUNCIONES ARCOS EJERCICIO : Obtén el valor de estas epresiones en rados: a) arcsen arccos a) arcsen arccos a) arcsen a) arccos ( ) arccos a) arccos arct arct ( ) a) 0 45 a) 0 45 a) 0 0 a) a) RECOPILACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO : Representa ráicamente las siuientes unciones: a) 6 a) Sobre la recta 6, hallamos su valor absoluto: Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y 0 /8 ¼ ½ 0 EJERCICIO : Obtén la ráica de las siuientes unciones: a) a) Sobre la recta, hallamos su valor absoluto : Hallamos el vértice de la parábola: 0 Punto (, 0) Puntos de corte con los ejes: b a

35 Con el eje X 0 Con el eje Y 0 4 ± Tabla de valores alrededor del vértice: X Y 0 - -/ 0 -/ - Punto Punto (, 0) ( 0, ) La ráica sería: EJERCICIO 4 : Representa las ráicas de las unciones: a) 4 El vértice de la parábola está en a) ( 0, ) Puntos de corte con los ejes: Con el eje X Puntos 0 (, 0) (, 0) ( 0 ) Con el eje Y 0 Punto, Tabla de valores alrededor del vértice: 0 ± La ráica sería: X Y - 0 ¾ ¾ 0 - Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y / /9 /7 EJERCICIO 5 : Representa ráicamente: a) a) Sobre la recta, hallamos su valor absoluto :

36 Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y 4 ½ ¼ 0 EJERCICIO 6 : Dibuja la ráica de las siuientes unciones: a) ( ) ( ) ( ) a) Es una parábola con vértice en (, ). Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 0 Con el eje Y 0 Tabla de valores alrededor del vértice: X Y 6 6 ( ) 0 ( ) No corta al eje X. Punto ( 0, ) La ráica sería: Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y 7 9 / 0 EJERCICIO 7 : Asocia cada una de estas ráicas con su correspondiente ecuación: a) c),5 0,75 d) 4 I) II) III) IV) a) III I c) II d) IV EJERCICIO 8 : Asocia a cada una de estas ráicas una de las siuientes epresiones analíticas: a) c) d) 4 4 I) II) III) IV)

37 a) II I c) IV d) III EJERCICIO 9 : Asocia a cada una de estas ráicas su ecuación: a) 4 c) d) I) II) III) IV) a) IV III c) I d) II EJERCICIO 40 : Asocia cada ráica con su correspondiente ecuación: a) c) d) I) II) III) IV) a) III II c) I d) IV EJERCICIO 4 : Asocia cada una de las siuientes ráicas con su epresión analítica: a) c) lo d) lo I) II) III) IV) a) III IV c) II d) I EJERCICIO 4 : Asocia a cada ráica su ecuación: a) c) lo d) lo

38 I) II) III) IV) a) I IV c) II d) III PROBLEMAS EJERCICIO 4 : En alunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los rados centírados que son los rados Farenheit. Sabiendo que 0 C 50 F que 60 C 40 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F. Llamamos a la temperatura en rados centírados e a la temperatura en rados Farenheit. La unción que buscamos pasa por los puntos (0, 50) (60, 40). Será una recta con pendiente: m La ecuación es: 50 ( 0) EJERCICIO 44 : En un contrato de alquiler de una casa iura que el coste subirá un % cada año. Si el primer año se paan 700 euros (en recibos mensuales): a) Cuánto se paará dentro de año? Y dentro de años? Obtén la unción que nos dé el coste anual al cabo de años. a) Dentro de año se paarán 700,0 744 euros. Dentro de años se paarán 700,0 7490,88 euros. Dentro de años se paarán: 700,0 euros. EJERCICIO 45 : Con 00 metros de valla queremos acotar un recinto rectanular aprovechando una pared: 00 m a) Llama a uno de los lados de la valla. Cuánto valen los otros dos lados? Construe la unción que nos da el área del recinto. a) ( 00 ) 00 Área 00 EJERCICIO 46 : Una barra de hierro dulce de 0 cm de lara a 0 C se calienta, su dilatación viene dada por una unción lineal I a bt, donde l es la lonitud (en cm) t es la temperatura (en C). a) Halla la epresión analítica de l, sabiendo que l()0,0005 cm que I()0,005 cm. Representa ráicamente la unción obtenida.

39 a) l( ) 0,0005 a b 0,0005 l( ) 0,005 a b 0,005 Restando a la seunda ecuación la primera, queda: b 0,000 b 0,0005 a 0,0005 b 0,0005 0, Por tanto: l 0 0, 0005t EJERCICIO 47 : En un cuadrado de lado cm, consideramos el área de la parte que está coloreada: a) Halla la ecuación que nos da el valor de dicha área,, en unción del lado del cuadrado,. Representa ráicamente la unción obtenida. a) El área del triánulo es El área del cuadradito es Por tanto, el área total será: EJERCICI 48 : Un tendero tiene 0 k de manzanas que ho venderá a 40 céntimos de euro/k. Cada día que pasa se estropeará k el precio aumentará 0 céntimos de euro/k. a) Escribe la ecuación que nos da el beneicio obtenido en la venta,, en unción de los días que pasan hasta que vende las manzanas,. Representa la unción obtenida, considerando que puede tomar cualquier valor 0, a) Si pasan días: Tendrá (0 ) k los venderá a (400) céntimos de euro cada uno. Por tanto, obtendrá un beneicio de: ( 0 )( 40 0)

40 TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES EJERCICIO 49 : La siuiente ráica corresponde a la unción ( ) A partir de ella, representa: a) ( ) ( ) a) (La ráica de transormación). () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la EJERCICIO 50 : A partir de la ráica de ( ) construe las ráicas de: a) ( ) ( ) a) (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación). EJERCICIO 5 : Sabiendo que la ráica de () es la siuiente: construe, a partir de ella, las ráicas de: a) ( ) ( )

41 a) (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación). EJERCICIO 5 : Esta es la ráica de la unción (). Representa, a partir de ella, las unciones: a) ( ) ( ) a) (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación). EJERCICIO 5 : La siuiente ráica es la de (). Representa, a partir de ella, las unciones: a) ( ) ( ) a) (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación).

42 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO 54 : ( ) ( ) : halla 4 Dadas las siuientes unciones :, ( )( ) a) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ] ( ) a) ( )( ) ( ) [ ] [ ] ( ) 4 4 EJERCICIO 55 : ( ) ( ) : Calcula están deinidas por Las unciones. ( )( ) a) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ] ( ) a) ( )( ) ( ) [ ] [ ] EJERCICIO 56 : Sabiendo que: ( ) ( ) Eplica cómo se pueden obtener por composición, a partir de ellas, las siuientes unciones: ( ) ( ) ( ) q p ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) q p EJERCICIO 57 : Eplica cómo se pueden obtener por composición las unciones p() q() a partir de () (), siendo: ( ) ( ) ( ) ( ) 5,, q p ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) q p EJERCICIO 58 : Las unciones están deinidas por: ( ) ( ). Eplica cómo, a partir de ellas, por composición, podemos obtener: ( ) ( ) q p ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) q p INVERSA DE UNA FUNCIÓN EJERCICIO 59 : Esta es la ráica de la unción (): ( ) ( ). 0 Calcula a) ( ) ( ). de la ráica de a partir Representa en los mismos ejes

43 a ) 0 porque ( ) ( ) 0 ( ) 5 porque ( 5) EJERCICIO 60 : Dada la ráica de la unción (): ( ) ( 0). a) Calcula Representa ráicamente en los mismos ejes a partir de la ráica de ( ). ( ), a) 0 porque ( ) ( 0) ( 0) porque ( ) 0 EJERCICIO 6 : A partir de la ráica de (): a) Calcula ( ) ( 5). Representa, en los mismos ejes, ( ). a) porque ( ) ( ) ( 5) 4 porque ( 4) 5 EJERCICIO 6 : Esta ráica corresponde a la unción (): A partir de ella: a) Calcula ( ) ( 0). Representa, en los mismos ejes, la unción ( ).

44 ( ) ( ) porque a) ( ) ( ) 0 0 porque EJERCICIO 6 : Halla la unción inversa de: a) ( ) ( ) 4 c) ( ) d) ( ) 5 e) ( ) 7 a) Cambiamos por, despejamos la : Por tanto: ( ) Cambiamos por despejamos la : Por tanto: ( ) 4 c) Cambiamos por, despejamos la : Por tanto: ( ) d) Cambiamos por, despejamos la : Por tanto: ( ) 5 e) Cambiamos por despejamos la : Por tanto: ( ) 7