IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I UNIDAD 8 FUNCIONES.

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1 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 8 FUNCIONES.. Concepto de unción.. Monotonía y etremos. Acotación... Monotonía... Etremos relativos y absolutos... Funciones acotadas.. Simetría y periodicidad... Funciones métricas... Funciones periódicas. 4. Operaciones con unciones. 5. Compoción de unciones. 6. Función inversa. 7. Funciones elementales. 7.. Funciones polinómicas. 7.. Funciones racionales. 7.. Funciones irracionales Funciones eponenciales Funciones logarítmicas Funciones circulares y sus inversas Funciones deinidas a trozos Otras unciones deinidas a trozos Función valor absoluto. 8. Otras transormaciones de unciones. 8.. Traslaciones verticales. 8.. Traslaciones horizontales. 8.. Compoción de traslaciones Dilataciones y contracciones sobre el eje OY Dilataciones y contracciones sobre el eje OX Simetrías. Departamento de Matemáticas Proesor: Ramón Lorente Navarro Bloque IV: Anális de Funciones

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3 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 8 FUNCIONES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble. Tabla de valores: Epreón analítica de la relación Gráica: o órmula matemática: NÚMERO SU DOBLE () (y) - -4 y o bien: ( ) - - De este modo: 0 0 ( ) 4, ( 4) ( 4) Esto es un ejemplo de FUNCIÓN. y Son distintas ormas de epresar una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la variable le corresponde un ÚNICO valor de la variable y. Al único valor de y que le corresponde a se le llama imagen de. Al valor de cuya imagen es y, lo llamamos original de y o antiimagen de y. En el ejemplo anterior: La imagen de 9 es8 (9) 8 La antiimagen de8 es 9 Una FUNCIÓN entre dos conjuntos numéricos A y B es una correspondencia que agna a cada elemento de A, a lo sumo, un único elemento y de B. Variable independiente. y Variable dependiente (depende de ). A Conjunto inicial (donde toma valores la variable independiente). B Conjunto inal (donde toma valores la variable dependiente). Dominio de una unción: Conjunto de valores que toma la variable independiente. Se denota por Dom() y es un subconjunto de A. También se llama campo de eistencia de la unción. Recorrido o imagen de una unción: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Se denota por Rec() o también Im(). Es un subconjunto del conjunto inal B. Si el conjunto inicial y inal de una unción es R, se llama unción real de variable real. Se escribe: : Dom( ) R Dom a y ( ) Nos ocuparemos ecluvamente de este tipo de unciones. Ejemplo: a) : R R a ( ) ( ) R [ 0, + ) a Notación: R ( + ) + 0, R [ + ) + 0, R (,0) R ( ],0 0 0 Ejercicio: Dada la unción ( ) +. a) Calcula la imagen de y. b) Calcula la antiimagen de 4 y de 5. R ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro b) : R R \{} 0

4 IES Padre Poveda (Guadi) TIPOS DE FUNCIONES: POLINÓMICAS ( ) + 7 ALGEBRAICAS RACIONALES ( ) + IRRACIONALES ( ) 7 FUNCIONES EXPONENCIALES ( ) TRASCENDENTES LOGARÍTMICAS ( ) ln TRIGONOMÉTRICAS ( ) tg ( + ) ( + 4) ln( 4) + e Podemos tener unciones como ( ) mezcla de varios tipos de trascendentes. cos Recuerda: Una gráica corresponde a una unción cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la gráica, a lo sumo, una sola vez. Sí es unción No es unción Sí es unción No es unción CÁLCULO DE DOMINIOS: Si la unción viene dada por su epreón matemática es conveniente obtener su dominio para así saber dónde está deinida. El dominio de una unción debe estar ormado por los valores de para los que tiene sentido sustituir en su epreón analítica. En el cálculo de dominios debemos evitar los valores de que: Anulan denominadores (divión por cero). Dan lugar a raíces de índice par de números negativos. Dan lugar a logaritmos de números no potivos. Ejemplos: a ) ( ) + + b) ( ) c ) ( ) + 7 d) ( ) ( )( 5) 4 5 e ) ( ) ) ( ) g) ( ) h) ( ) i ( ) ) 4 j) ( ) 4 ( ) ( ) k ) 7 l ) m ) ( ) ( ) n) + 7 ñ) ( ) o ) ( ) 5 ( ) 5 p) + 0 q) ( ) ( ) 7 ( ) 7 r) + s) + t) ( ) 7 + u ) ( ) 4 + v) ( ) 5 w) ln 5 ) y ) ( ) ( ) ( ) log 9 ( ) + ln Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

5 IES Padre Poveda (Guadi). MONOTONÍA Y EXTREMOS. ACOTACIÓN... MONOTONÍA. es estrictamente creciente en un intervalo abierto ( a, b), para cualquier pareja de números reales c, d ( a, b) se c < d c < d cumple que ( ) ( ). es estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a, b), para cualquier pareja de números reales c, d a, b se cumple que c < d () c > ( d ). ( ).. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS. Si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a, b), diremos que es estrictamente monótona en ( a, b). tiene un máimo relativo (o local) en a eiste un entorno de a, ( a r, a + r), en el que: < a ( ) < ( a) > a ( ) < ( a) tiene un mínimo relativo (o local) en a eiste un entorno de a, ( a r, a + r), en el que: < a ( ) > ( a) > a ( ) > ( a) Si presenta un máimo o un mínimo relativo en a diremos que presenta un etremo relativo en a. tiene su máimo absoluto (o global) en a : a Dom ( ) ( ) ( ) tiene su minino absoluto(o global) en a : ( a) ( ) Dom( ) Si presenta un máimo o un mínimo absoluto en a diremos que presenta un etremo absoluto en a. Fíjate: Podemos encontrar mínimos relativos con valor mayor que máimos relativos y viceversa. Un etremo absoluto puede alcanzarse en uno o varios puntos distintos o bien no alcanzarse. Etremos relativos Concepto local Etremos absolutos Concepto global.. FUNCIONES ACOTADAS. está acotada superiormente eiste un número real M tal que: ( ) M Dom( ) Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

6 IES Padre Poveda (Guadi) está acotada ineriormente eiste un número real N tal que: N Dom ( ) ( ) está acotada lo está superior e ineriormente, es decir, eisten dos números reales M y N tales que: N ( ) M Dom( ) Observa: En las iguras anteriores, la menor de las cotas superiores (llamada supremo) coincide con el máimo absoluto de la unción. Del mismo modo, la mayor de las cotas ineriores (llamada ínimo) coincide con el mínimo absoluto. Sin embargo, puede que una unción esté acotada superiormente y/o ineriormente y n embargo no tener máimo ni mínimo absolutos como en el guiente ejemplo. Cota superior: M.8 Cota inerior: N -.8 Sin embargo no tiene etremos absolutos ni relativos.. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD... FUNCIONES SIMÉTRICAS. ( -) ( ) es métrica respecto del eje de ordenadas (OY) : ( ) ( ) Dom( ) - ( ) - ( -) Se dice que es una unción par. es métrica respecto del origen de coordenadas O(0,0) : ( ) ( ) Dom( ) Se dice que es una unción impar. Ejemplo : Estudia las metrías de las guientes unciones: a) b) c) Ejemplo : Estudia, analíticamente, estas unciones presentan algún tipo de metría. 6 a) b) ( ) c) ( ) 5 + d) ( ) ( ) Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

7 IES Padre Poveda (Guadi).. FUNCIONES PERIÓDICAS. es periódica de periodo T, eiste un número real T tal que: + T Dom Fíjate: T, T también son periodos de T. A T se le llama periodo principal. ( ) ( ) ( ) Esta unción ( ) cos es periódica de periodo T π 4. OPERACIONES CON FUNCIONES. Dadas dos unciones y g, se deine: Suma de y g: ( + g)( ) ( ) + g( ) Dom( + g) Dom( ) Dom( g) Dierencia de y g: ( g)( ) ( ) g( ) Dom g Dom Dom g Producto de k R y : ( k )( ) k ( ) Dom( k ) Dom( ) g g Dom g Dom Dom g ( ) ( ) ( ) Producto de y g: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cociente de y g: ( ) ( ) Dom Dom( ) Dom( g) con g ( ) 0 g g( ) g + Ejemplo : Si ( ) 5 y ( ) + 4, g calcular: a ) + g b) g c) d) e) g + 4 Ejemplo : Si ( ) y ( ), g calcular: a ) + g b) g c) g d) 5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Conderemos las unciones ( ) y g( ) ) g) + g g e) ) 5 g g g A 6 le hemos aplicado : ( ) 4 ( ) A 4 le hemos aplicado g: ( ). 4 ( ) g / g ( 6) 4 g( ( 6) ) g( 4) 6 4 h) g) h) g g /4 g o 6 Pretendemos construir una nueva unción que transorme 6 en /4 directamente: ( ) g( ( ) ) g( ) g ( ( 6 )) ( g o )( ) 6 4 Esta nueva unción se representa por g o y se denomina compoción de y g. /4 ( g o )( ) g( ( ) ) Dom( g o ) { Dom( )/ ( ) Dom( g) } Observación: g o Se lee compuesta con g. o g Se lee g compuesta con. En general, o g g o, es decir, no cumple la propiedad conmutativa. Departamento de Matemáticas 7 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

8 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo: Si ( ) 5 g ( ). a) Obtén ( )( 9) ( g o )( 9) g( ( 9) ) Ejercicio: Obtén g o n calcular la unción g o. ( ) 6 g 6 6 ( 9) 6 g o 9 obteniendo previamente g o. b) Calcula ( )( ) ( o )( ) g ( ) g 5 ( g o )( 9) ( ) ( ) 5 ( g )( ) g o 5 c) Calcula o g. ( o g)( ) g( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Observa: o g g o o g, g o, o y g o g en los guientes casos: a) ( ) + g ( ). b) ( ) 4 + g ( ). g c) ( ) + g ( ). d) ( ) + ( ). 6. FUNCIÓN INVERSA. Dada la unción ( ) busco otra unción que actúe al revés. 4 5 ( ) ( ) 4 5 ( )? 5? 4 Recuerda: inyectiva ( ) ( y) y Para obtenerla seguimos los guientes pasos: º) Escribo: y º) Despejo : y + º) Cambio por y y viceversa: y + 4º) Cambio y por + ( ): ( ) A se le llama unción inversa (o recíproca) de la unción. No todas las unciones tienen inversa. Únicamente las que son inyectivas. Inyectiva Propiedad : Las gráicas de y son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (Observa la gráica del ejemplo anterior). No inyectiva Propiedad : ( o )( ) ( o )( ) En el ejemplo anterior: ( o )( ) ( ). En este caso la compoción es conmutativa. + + ( ) / + ( o )( ) / + / / ( o )( ) ( ( ) ) ( ) ( o )( ) Departamento de Matemáticas 8 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro / /

9 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Calcula o. en los guientes casos y comprueba que o i a) ( ) 6 y y Veamos que y + 6 ( ) + 6 o o i ( o )( ) ( ) y + 6; ( ) ( 6) 6/ + 6/ ( o )( ) ( ( ) ) ( + 6) ( + 6) 6 + 6/ 6/ Recuerda: i ( ) es la unción identidad. - b) ( ) 5 c) ( ) + 6 d) ( ) + + e) ( ) Ejemplo : Si ( ) obtén, es poble,. y y y y y ( ) ( ) Cuál elegimos? No es una unción Esto ocurre porque no es inyectiva. En este caso podemos descomponer en dos tramos en los que sí lo es y tendrá su inversa respectiva en uno de ellos: 0,+ ( ) ( ) en [ ) ( ) en (,0] ( ) Observa las gráicas en cada tramo: - - Fíjate: ( a) b ( b) a Departamento de Matemáticas 9 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

10 IES Padre Poveda (Guadi) 7. FUNCIONES ELEMENTALES. 7.. FUNCIONES POLINÓMICAS FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO. Son de la orma: ( ) m n + m Pendiente. n Ordenada en el origen. Gráica: Recta que pasa por el punto ( 0, n ). Si m > 0 Estrictamente creciente Si m < 0 Estrictamente decreciente ( 0, n) () m+n ( 0, n) () m+n En ambos casos Dom ( ) R, ( ) R Rec. No está acotada ni superior ni ineriormente (empre que m 0 ). Pendiente m Indica el aumento o disminución de y cuando aumenta una unidad. Recuerda que m y y endo (, y ) P y ( ) y y P Q, y puntos de la recta. α Q y y Además, m tg α También, m es conocida y ( ) P, y es un punto de la recta, podemos obtener la ecuación de la recta en orma punto pendiente: m( ) y (o bien ( ) m( ) + y y + ) Dos unciones polinómicas de primer grado tienen gráicas paralelas tienen la misma pendiente ( además coincide la ordenada en el origen, serán coincidentes). Recuerda: Si n 0 ( ) m Función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráica es una recta que pasa por ( 0,0). Si m ; n 0 () m + n Si m ( ) n 0 Función aín. 0 Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado). Su gráica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por ( 0, n ). () n ( 0, n) En este caso: Dom ( ) R Rec n. ( ) { } Ejercicio: Un transportista de mercancías de gran tonelaje cobra 50 por usar el camión más 0 por tonelada transportada. Cuánto ha transportado por un viaje en el que ha cobrado 594? Departamento de Matemáticas 0 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

11 IES Padre Poveda (Guadi) 7... FUNCIONES CUADRÁTICAS O POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO. Son de la orma: ( ) a + b + c con a, b, c R 0 Dom Gráica: Parábola. Mayor valor de a Más estilizada (cerrada) es la parábola. Recuerda: a ( ) R Si a > 0 Convea ( ) Si a < 0 Cóncava ( ) Δ > 0 Δ 0 Δ < 0 Δ > 0 Δ 0 Δ < 0 Mínimo absoluto en el vértice No acotada superiormente Sí acotada ineriormente Máimo absoluto en el vértice No acotada ineriormente Sí acotada superiormente Ejemplo: Representa la unción ( ) ( ) [ 4, + ) etremos y acotación.. Estudia su dominio, recorrido, monotonía, º) Curvatura: a > 0 Convea ( ) D om( ) R º) Puntos de corte con los ejes: P (, 0) Eje OX: y 0 0 P (, 0) Eje OY: 0 ( 0) P ( 0, ) º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convea) b b v ; () 4 V, 4 a a y v ( ) Rec Estr. decreciente en (,); Estr. creciente en (, + ). Acotada ineriormente (N-4), pero no superiormente. Ejercicio : La altura, en metros, de una pelota de tenis que es lanzada hacia arriba viene dada por la unción h t 4.5 t 4.9t ( ) a) Qué altura tiene a los segundos? b) Cuándo vuelve a pasar por la misma altura? c) Cuál es la altura máima que alcanza? d) Cuántos segundos tarda en regresar al suelo? e) Representa la trayectoria que describe la pelota. Ejercicio : El consumo de un vehículo en unción de la velocidad en en kilómetros por hora, por cada 00 kilómetros recorridos, viene dado por la epreón C ( ) a) A qué velocidad el consumo es menor? b) Entre qué velocidades el consumo no supera los 8 litros? C. c) Representa gráicamente la unción ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

12 IES Padre Poveda (Guadi) 7... FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR. Función polinómica de grado n: n n ( ) a + a a + a a0 con a i R a n 0. n n + Propiedades: Dom ( ) R, Rec ( ) depende de cada unción. Continua en R. A lo sumo corta n veces al eje de abscisas. El resto de propiedades son especíicas de cada unción y se estudiarán en guientes unidades. Ejemplos de gráicas: Si a n > 0 Si a n < 0 n par n impar n par n impar 7..FUNCIONES RACIONALES. Son de la orma: Ejemplos: 4 P ( ) ( ) con P ( ), ( ) Q( ) Dom ( ) R \{ R/ Q( ) 0}. a) ( ) b) g ( ) Q unciones polinómicas. + g Dom ( ) R \{, } ; Rec ( ) R Dom ( g) R ; Rec ( g) R + ( 0, + ) Sus propiedades son dierentes para cada unción. CASO PARTICULAR: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Son de la orma: Gráica: Hipérbola equilátera. k ( ) con k R k 0. Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

13 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplos: a) ( ) b) g( ) c) h( ) g h Observa: Si Si k > 0 Ramas tuadas en el primer y tercer cuadrante. k < 0 Ramas tuadas en el segundo y cuarto cuadrante. Propiedades: Dom ( ) R \{ 0 }, Rec ( ) R \{ 0 }. Si k > 0 Estrictamente decreciente en ( 0) ( 0, + ) Si k < 0 Estrictamente creciente en (, 0) ( 0, + ). No tiene etremos absolutos ni relativos. No está acotada ni superior ni ineriormente. Impar (metría respecto al origen). y 0 es una asíntota horizontal. 0 es una asíntota vertical.,. Puntos de la gráica: () k P(, k) ( k) Q( k,) k R, k k S k, ( ) ( ) ( ) ( ) También tienen como gráica una hipérbola las unciones racionales del tipo: a + b ( ) Dom ( ) R \{ d / c} Asíntota vertical: d / c c + d Rec ( ) R \{ a / c} Asíntota horizontal: y a / c Aunque tendremos que tener en cuenta algunos casos como el ejemplo b). Ejemplos: 5 a) () Dom ( ) R \{ } Rec ( ) R \{ } Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y. Estrictamente decreciente en: ( ) (, + ),. No acotada ni superior ni ineriormente. No presenta etremos absolutos ni relativos. No es impar. 5 Fíjate: ( ) + Qué observas? b) Dada la unción ( ) 6 g su gráica es una hipérbola? por qué? Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

14 IES Padre Poveda (Guadi) 7.. FUNCIONES IRRACIONALES. Son de la orma: n g ( ) ( ) con ( ) g polinómica o racional. Si n es par Dom ( ) { Dom( g) / g( ) 0} Si n es impar Dom ( ) Dom( g) Ejemplos: a) () ( ) R + Dom [ 0, + ) b) g ( ) + Dom ( g) R () g() g Rec ( ) R + [ 0, + ) Rec ( g) R FUNCIONES EXPONENCIALES. Son de la orma: a con a R; a > 0 y a Ejemplos: a) ( ) y g( ) ( ) b) () y g( ) () /4 / 4 8 () 4 / /4 /8 g() /9 / 9 7 g() 9 / /9 /7 a > g() () ()(/) g()(/) 0 < a < Fíjate: Las gráicas de ( ) a y g( ) son métricas respecto al eje OY. a g() (/) () Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

15 IES Padre Poveda (Guadi) Propiedades: Dom ( ) R, Rec ( ) ( 0, + ). Su gráica pasa por los puntos: P 0,, es decir, ( 0 ) a. ( ) o Q (, a), es decir, () a a. (, a), es decir, ( ) a / a. R / Convea en R. No tiene etremos absolutos ni relativos. Está acotada ineriormente por N0, pero no está acotada superiormente. Si a > es estrictamente creciente en R. Si 0 < a < es estrictamente decreciente en R. Su gráica no presenta metrías. Es continua en R. y 0 es una asíntota horizontal. Una unción eponencial muy especial: ( ) e ( ) e Función eponencial de base e Recuerda que: e Pasa por: 0, Q, e R, / e. P ( ); ( ); ( ) 7.5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Son de la orma: log con a R; a > 0 y a Ejemplos: log ( ) a a) ( ) y ( ) log b) ( ) y g( ) g log log 4 8 / /4 () / /9 g() / /4 () / /9 g() a > ()log g()log 0 < a < Fíjate: Las gráicas de ( ) log y g( ) a log son métricas respecto al eje OX. a g()log g()log / ()log / ()log / Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

16 IES Padre Poveda (Guadi) Propiedades: Dom ( ) ( 0, + ), Re c( ) R. Su gráica pasa por los puntos: P (, 0), es decir, () loga 0 / a, / a log / a Q ( a,), es decir, ( a) log a a R ( ), es decir, ( ) a No tiene etremos absolutos ni relativos. No está acotada, ni superior ni ineriormente. Si > Si 0 < Su gráica no presenta metrías. Es continua en ( 0, + ). 0 es una asíntota vertical. a es estrictamente creciente y cóncava en ( 0, + ). < a es estrictamente decreciente y convea en (, + ) Observación: ( ) a y g( ) log son unciones inversas. a 0. Por tanto, sus gráicas son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. a > 0 < a < g - g - Una unción logarítmica muy especial: ()ln ( ) ln Función logaritmo neperiano Recuerda que: ln loge Pasa por:, 0 e, R / e, P ( ); Q ( ); ( ) 7.6. FUNCIONES CIRCULARES Y SUS INVERSAS. sen ( ) 0 π /4 π / π /4 π π / π () 0 / / 0-0 ( ) cos ( ) sen 0 π /4 π / π /4 π π / π () / 0 - / - 0 Propiedades () sen : Dom ( ) R; Re c ( ) [, ]. Periódica con T π rad. Monotonía en [, π ) 0. Estr. creciente en: ( 0, π / ) ( π /, π ) Estr. decreciente en: π /, π / ( ) Curvatura en [ 0, π ). Convea en: ( π, π ) Cóncava en: ( 0, π ) Etremos relativos y absolutos: Máimo absoluto y relativo en: π / π / con valor ( ) Mínimo absoluto y relativo en: () cos π / π / Función impar. Acotada. M; N-. Continua Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro con valor ( )

17 IES Padre Poveda (Guadi) Como ejercicio, estudia las propiedades de ()cos ( ) tg 0 π /4 π / π /4 π 5π /4 π / 7π /4 π () 0 / - 0 / - 0 Propiedades () tg : π Dom ( ) R \ + k π / k Ζ Rec ( ) R. Periódica con T π rad. Estudia el resto de sus propiedades. () tg Análogamente se pueden obtener las gráicas de la unciones cosecante, secante y cotangente: cosec ( ) sec ( ) ( ) cotg Observa las gráicas anteriores y estudia sus propiedades. FUNCIONES ARCO: Son las inversas del seno, coseno y tangente (en el sentido de la compoción de unciones) tomando intervalos en los que son inyectivas. Por tanto sus gráicas son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ( ) arcsen ( ) arccos ( ) arctg ()arcsen g() sen ()arccos g() tg ()arctg Dom ( ) [, ]; Rec ( ) [ π, π ] Dom ( ) [, ]; Rec ( ) [ 0, π] ( ) R; g() cos Dom Rec ( ) ( π, π ) Departamento de Matemáticas 7 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

18 IES Padre Poveda (Guadi) 7.7. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Están deinidas por varias epreones algebraicas. Ejemplos: Representa estas unciones deinidas a trozos. < ( ) ( ) ( ) + a) ( ) < Dom ( ) R () ()- () (, ) Rec ( ) b) g ( ) < < 4 4 g ( ) + + g ( ) g ( ) 0 4 Dom (g) R g() g() g Primer trozo: Arco de parábola º) Curvatura: a > 0 Convea ( ) º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: y P(, 0) ( Coincide con el vértice). Eje OY: 0 g( 0) Q( 0,) (Fin arco parábola). º) Vértice: b b v ; g g( ) 0 V, 0 a a c) h ( ) y v ( ) [,0) [ 0, ] (, 7) Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráica y estudia su dominio y recorrido. Rec (g) [ 0 + ), h Departamento de Matemáticas 8 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

19 IES Padre Poveda (Guadi) 7.8. OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. a) Función parte entera. E() Dom(E) R ; Rec(E) Z Función parte entera E()... E ( ) 0... < < < 0 0 < < < < 4 b) Función parte decimal. Dom(D) R ; Rec(D) [ 0,) Periódica con T D() -E() D ( )... < < 0 0 < < < c) Función gno. Dom(Sig) R ; Rec(Sig) {,0,} Sig( ) Sig ( ) 0 < 0 0 > 0 Ejercicio: Representa estas unciones epresándolas previamente como una unción deinida a trozos. a ) Sig( ) > 0 > / < / Es inmediato que 0 / Sig ( ) 0 / < 0 < / > / Sig(-) Sig( -8+) b ) Sig( 8 + ) Comprueba que obtienes la gráica del margen. Departamento de Matemáticas 9 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

20 IES Padre Poveda (Guadi) 7.9. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Se deine la unción valor absoluto como la unción deinida a trozos: ( ) < 0 0 () Dom ( Rec ( ) R ), [ 0 + ) Fíjate: Podemos deinir la unción gno como: Sig ( ) 0. Ejemplo : Representa y epresa como unción deinida a trozos: a ) () 4 Se representa: y 4. () -4 y Corte con eje OX: ( no se ha obtenido en la tabla) y P(,0) Como unción a trozos queda: + 4 < ( ) 4 Dom ( ) R; Rec ( ) [ 0, + ) b ) () Se representa y () -5+4 º) Curvatura: a > 0 Convea ( ) º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: ( ) P, 0 y Q( 4, 0) Eje OY: 0 R( 0, 4) º) Vértice: b 5 v.5; y.5 v a ( ) R; Rec ( ) 0, + V (.5,.5) ó < < 4 Dom [ ) Como unción a trozos queda: ( ) c ) () Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráica. () Departamento de Matemáticas 0 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

21 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Representa estas unciones y observa las metrías que presentan algunos casos: a ) sen b ) () sen c) ( ) cos d ) ( ) tg e () ln ) ln ( ) ) ( ) ( ) ln h ) () e i ) ( ) e j) ( ) e k) ( ) e l) ( ) g) e a) () sen Periódica con T π b) () sen No periódica c) () - cos Periódica con T π d ) () tg Periódica con T π e) () ln ) () ln g) () -ln Cuál es su dominio? Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

22 IES Padre Poveda (Guadi) h) () e Coincide con y e! i) () e j) () e - k) () -e l) () - e - Ejemplo : Epresar como una unción deinida a trozos y representar: a) ( ) ( ) < 0 0 () Ya que < 0 0 b) g ( ) < < ; + < < Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

23 IES Padre Poveda (Guadi) Por tanto: < g ( ) 6 < ya que: < + < g() c) h () Comprueba que, en este caso, su gráica es: h() OTRAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. 8.. TRASLACIONES VERTICALES. ( ) k > 0 Traslación vertical de k unidades en la gráica de en sentido potivo ( hacia arriba ). + k k < 0 Traslación vertical de k unidades en la gráica de en sentido negativo ( hacia abajo ). Ejemplos: a) Observa las gráicas de la derecha obtenidas al trasladar la unción (). ( ) ( ) + 4 g Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba. () () h Traslación vertical de dos unidades hacia abajo. g() () + 4 () h() () - Departamento de Matemáticas Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

24 IES Padre Poveda (Guadi) b) Observa ahora estas gráicas obtenidas por traslación de la unción () sen. ( ) ( ) + g( ) sen + g Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. ( ) ( ) h( ) sen h Traslación vertical de tres unidades hacia abajo. g() sen + () sen h() sen TRASLACIONES HORIZONTALES. ( + k ) k k > 0 < 0 Traslación horizontal de k unidades en la gráica de en sentido negativo ( hacia la izquierda ). Traslación horizontal de k unidades en la gráica de en sentido potivo ( hacia la derecha ). Ejemplos: a) Presta atención a estas gráicas obtenidas por traslación horizontal de (). ( ) ( ) g Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha. ( ) ( + 4) h Traslación horizontal de cuatro unidades hacia la izquierda. () h() ( +4) g() ( - ) b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la unción () sen. ( ) ( + π / ) g( ) sen( + π / ) g Traslación horizontal de π/ unidades hacia la izquierda. ( ) ( π ) h( ) sen( π ) h Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha. g() sen ( + π/ ) () sen h() sen (-π) Observa: g( ) sen( + π / ) cos Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

25 IES Padre Poveda (Guadi) 8.. COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES. ( + k ) + k Traslación horizontal de kunidades (hacia la izquierda k > 0 o hacia la derecha k < 0 ), junto con otra traslación vertical de k unidades (hacia arriba k 0 o hacia abajo k 0 ). > Ejemplo: Representar ( ) ( ) g + 4 a partir de la unción ( ). < g () ( ) + 4 Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha. Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba. () (-) + 4 (-) 8.4. DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OY. Si k > Dilatación de la gráica de sobre el eje OY. k ( ) Si 0 < k < Contracción de la gráica de sobre el eje OY. Ejemplo: Presta atención a estas gráicas obtenidas por dilatación y contracción de () sen sobre el eje OY. ( ) ( ) g Dilatación sobre el eje OY (se dilata el doble ). ( ) ( ) h Dilatación sobre el eje OY (se dilata el triple ). ( ) / ( ) i ( ) Contracción sobre el eje OY (se contrae a la mitad ). 0 π / π π / π g()sen h()sen i()(/)sen 0 / 0 -/ 0 i() (/)sen () sen g() sen h() sen Observa: Los puntos de corte con el eje OX son los únicos que permanecen ijos y el periodo, en este ejemplo T π, se mantiene. Si k < 0 se obtiene la unción métrica respecto al eje OX de la obtenida al representar k. ( ) Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro

26 IES Padre Poveda (Guadi) 8.5. DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OX. Si k > Contracción de la gráica de sobre el eje OX. ( k) Si 0 < k < Dilatación de la gráica de sobre el eje OX. Ejemplo: Fíjate en estas gráicas obtenidas por dilatación y contracción de () sen sobre el eje OX. ( ) ( ) g( ) sen( ) g Contracción sobre el eje OX (se contrae a la mitad ). h ( ) h( ) sen( ) Dilatación sobre el eje OX (se dilata el doble ). h() sen(/) () sen g() sen Observa: En este caso los periodos sí han cambiado. Para hacer las representaciones gráicas anteriores hemos tenido en cuenta que: () sen( ) h ( ) sen g Periodo: π π T π Periodo: π 4π T 4π 0 0 g() 0 sen h() 0 sen 0 0 π π π π π π g sen π h( π ) sen 4 4 π π π π h( π ) senπ 0 π g sen π 0 π π π π π π g sen π h π sen 4 4 π π g( π ) senπ 0 π 4π h( 4π ) sen π 0 ( ) 8.6. SIMETRÍAS Funciones opuestas: Representación de () a partir de (). () () y - () son métricas respecto al eje OX. - () Representación de (-) a partir de (). (-) () () y (-) son métricas respecto al eje OY. Fíjate: Si es par, coincidirán ambas gráicas. Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Anális de Funciones Proesor: Ramón Lorente Navarro