y + P (x) y + Q(x) y = r(x) (1)

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1 ITESM, Campus Monterre Departamento de Matemáticas MA-841: Ecuaciones Diferenciales Lectura #14 Profesor: Eduardo Uresti 2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior 2.6 Método de Variación de Parámetros Introducción En esta sección veremos un método general para obtener una solución particular a una ecuación diferencial(ed) lineal no homogénea de orden 2. Este método, conocido como el método de variación de parámetros, se basa en la suposición de que una solución particular debe ser parecida a la solución a la homogénea auxiliar; la diferencia radica en suponer que los parámetros constantes que aparecen en ella, C 1 C 2, ahora son variables. Las funciones que los reemplazan se convierten ahora en funciones de x que debemos despejar. El presente método se aplica sin importar la naturaleza de r(x), a diferencia del método de coeficientes indeterminados(ci) el cual sólo aplica cuando r(x) tiene una forma específica que se inclue en la tabla. Es decir el método de variación de parámetros es general contrario al método de CI el cual tiene restricciones. Otra ventaja importante es que el método de variación de parámetros puede aplicar aún cuando la ED sea de coeficientes variables, contrario al método de CI que solo aplica en EDLCC. Las desventajas que presenta este método son que uno debe conocer primeramente la solución a la homogénea auxiliar, otra es que las integrales que aparecen en las fórmulas pueden ser difíciles de calcular. En la siguiente sección veremos la deducción de las sendas fórmulas del método. Posteriormente veremos algunos ejemplos que ilustran su uso Deducción La forma estándar de la ED lineal no-homogénea con la que vamos a trabajar es: + P (x) + Q(x) = r(x) (1) Observe que asumimos que el coeficiente de es precisamente 1, por consiguiente las fórmulas que deduciremos deben usarse con este supuesto. Asumimos que tenemos la solución general a la ecuación homogénea auxiliar a (1): + P (x) + Q(x) = 0 (2) Y que su solución es: h = C C 2 2 (3) El método de variación de parámetros se basa en una idea simple: si la ED(2) se parece a la ED(1), la solución a (2) debería parecerse a la solución a ED(1). La similitud propuesta 1

2 es que la solución buscada tiene la forma: p = U(x) 1 + V (x) 2 (4) Es decir, hemos supuesto que los parámetros C 1 C 2 dependen de x. Es decir que los parámetros constantes ahora varían. Ésta es la razón del nombre del método. El problema consiste ahora en determinar estas dos funciones. El requisito es que (4) sea solución a (1). Para poder sustituir determinemos las derivadas. p = d dx (U 1 + V 2 ) = d dx (U 1) + d dx (V 2) = U d dx 1 + d dx U 1 + V d dx 2 + d dx V 2 = U 1 + U 1 + V 2 + V 2 p = ( U 1 + V 2) + ( 1 U + 2 V ) (5) Puesto que tendremos dos variables libres,u V, una sola restricción, la que venga de la sustitución del p en la ED, tenemos la posibilidad de adicionar una restricción adicional para la determinación de U V. La que este método tiene es: De esta forma la primera derivada de p en (5) queda Calculando ahora p: 1 U + 2 V = 0 (6) p = U 1 + V 2 (7) p = d ( U dx 1 + V 2) = d dx Si sustituimos (7) (8) en (1) obtenemos: ( U ) d ( 1 + V ) dx 2 p = U 1 + U 1 + V 2 + V 2 (8) ( U 1 + U 1 + V 2 + V 2) + P ( U 1 + V 2) + Q (U 1 + V 2 ) = r(x) (9) Agrupando los términos con U V obtenemos: U ( 1 + P 1 + Q 1 ) + V ( 1 + P 1 + Q 1 ) + 1 U + 2 V = r(x) (10) Puesto que 1 2 son soluciones a (2) entonces 1 + P 1 + Q 1 = 0 (11) 2 + P 2 + Q 2 = 0 (12) 2

3 Si sutituimos (11) (12) en (10) obtenemos la condición para que p sea solución a la ED(1) propuesta: 1 U + 2 V = r(x) (13) Resumiendo, para que p = U 1 + V 2 sea solución a la ED(1), U V deben satisfacer: 1 U + 2 V = 0 1 U + 2 V = r(x) (14) El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas U V. Si aplicamos la regla de cramer para resolverlo tenemos que: Donde W = , W 1 = U = W 1 W V = W 2 W 0 2 r(x) 2 De donde, si desarrollamos los deteminantes, obtenemos:, W 2 = r(x) (15) (16) (17) U = 2 r(x) integrando respecto a x obtenemos: U = 2 r(x) dx (18) integrando respecto a x: V = V = 1 r(x) r(x) dx (19) Ejemplos 1. Encuentre una solución particular a: 2 + = x sabiendo que la solución general a la homogénea auxiliar es: h = C 1 e x + C 2 x e x 3

4 Sol En este problema 1 = e x 2 = x e x r(x) = x (Una duda frecuente es sobre el orden en el cual deben elegirse las funciones 1 2. La p resultante será la misma independientemente de cual se elija como 1 o 2, siempre cuando esta elección se mentenga a lo largo de los cálculos.) Así 1 = e x 2 = (x + 1) e x = e x (x + 1) e x e x x e x = e 2 x Sustituendo lo anterior en las fórmulas (18) (19): x e x x U = e 2 x dx = x 2 e x dx U = (x x + 2) e x V = e x x e 2 x dx = x e x dx V = (x + 1) e x ( En ninguna de estas integrales se necesita poner las constantes de integración. Esto se debe a que estas constantes se multiplicarían por las funciones 1 /o 2 las cuales podrían después combinarse con las respectivas partes de la solucón a la homogénea auxiliar haciendo redundante ponerlas o no, preferiremos no colocarlas. Un argumento extra sería que estas partes, las multiplicaciones de las constantes de integración por las i s son innecesarias debido a que se anulan en la ED por ser soluciones a la homogénea auxiliar. Debido a esto las omitiremos.) Continuando con los cálculos: p = U 1 + V 2 ( = (x x + 2) e x) e x + ( (x + 1) e x) x e x = (x x + 2) + ( (x + 1)) x = x x + 2 x 2 x p = x + 2 4

5 2. Encuentre la solución general a: Sol Primero resolvamos la homogénea auxiliar: x 2 3 x + 3 = x 2 x 2 3 x + 3 = 0 Esta ecuación es una ED de Cauch-Euler, para resolverla planteamos la ecuación característica: r 2 + ( 3 1) r + 3 = r 2 4 r + 3 = (r 3) (r 1) = 0 Las raíces son r 1 = 3 r 2 = 1 Por consiguiente aplica el caso I el cual dice que la solución a la homogégena de Cauch- Euler tiene la forma: h = C 1 x 3 + C 2 x De donde deducimos que 1 = x 3 2 = x Pasemos ahora a determinar una solución particular. Para poder utilizar las fórmulas del método de variación de parámetros el coeficiente de debe hacerse 1. Por consiguiente debemos dividir toda la ED entre x 2 quedando la ED: Por consiguiente 3 x + 3 x 2, = 1 r(x) = 1 Uno de los principales errores que se comente en el uso de las fórmulas anteriores es no tener esto en consideración para determinar adecuadamente r(x). Continuando con los cálculos: por tanto 1 = 3 x 2 2 = = x 3 x 3 x 2 = 2 x 3 Sustituendo lo anterior en las fórmulas (18) (19): x 1 U = 2 x 3 dx = 1 x 2 dx 2 U = x 5

6 x 3 1 V = 2 x 3 dx = 1 dx 2 V = 1 2 x De donde: p = U 1 + V 2 ( = 1 ) 1 x 3 + ( 1 ) 2 x 2 x x = 1 2 x2 1 2 x2 p = x 2 De esa forma = h + p = C 1 x 3 + C 2 x x 2 6