Premios del Departameto de Matemáticas de la Uiversidad Autóoma de Madrid para Estudiates de Secudaria Primera Edició, 006/007 TRABAJO: Juegos matemáticos GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO AUTORES: o David Alfaya Sáchez o Gariel Fürsteheim Milerud o Diego Izquierdo Arseguet o Florecio Michelea Machado TUTORES: o María Gaspar Aloso Vega CENTRO: ESTALMAT (Madrid)
JUEGOS MATEMÁTICOS Los Espigorcios 007
INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS E este traajo vamos a aalizar tres juegos: los discos de Ruik, el cuo de Ruik y las Torres de Haoi desde u puto de vista matemático. Remarcado así ua parte lúdica de las matemáticas, la teoría de juegos. ANTECEDENTES Auque existe umerosa iliografía co respecto a todos los juegos tratados (co excepció de los discos de Ruik), decidimos o asaros e ella y realizar u traajo idepediete, cotrastádolo ua vez ya realizado.
LOS DISCOS DE RUBIK El juego está formado por dos discos, co dos putos de uió, co olitas de colores como se idica e la foto: El ojetivo del juego es coseguir que las olas amarillas se ecuetre e el cetro, las rojas de u lado y las azules de otro. Vocaulario Llamamos al disco de la izquierda A y al de la derecha B. Cuado giramos u disco K olita e el setido de las agujas del reloj, escriimos K, y si es e setido cotrario al de las agujas del reloj, escriimos K. Sea α y β las iterseccioes superior e iferior respectivamete. Numeramos las posicioes e A y B a partir de α (umerado 0) e setido de las agujas del reloj para A y B, siedo β la posició 6 de los dos aros. Resolució Primero procedemos a poer todas las olas amarillas e el cetro dejado ates siete olitas amarillas seguidas e u lado y cico e el otro (es trivial que se puede hacer). Para el resto de la resolució vamos a utilizar los siguietes movimietos, e los que la zoa cetral permaece amarilla, girado todas las olas meos la especificada:.- B A B A B A (Permaece ivariate B-7, el resto de rojas y azules gira e el setido atihorario).- A B A B A B (Permaece ivariate B-7, las demás gira e setido horario) 3.- A B A B A B Permaece ivariate, A 7, gira e setido horario) 4.- B A B A B A (Permaece ivariate A 7, gira e setido atihorario) Demostració del movimieto : Cuado realizas el movimieto B la olita de la posició B-7 pasa a la posició β. E el movimieto A la olita que está e la posició β pasa a la posició A 5 y la olita que está e A 7 pasa a la posició β. Al realizar el movimieto B esta última olita pasa a la posició B-7. E el movimieto A la que está e A 5 pasa a β. Co el movimieto B de β pasa a B-7 y la olita que está e B pasa a α. Por último, el movimieto A mueve la olita de α a A- y la olita amarilla que estaa descolocada e A 7 se coloca e β. De esta forma: la olita que estaa e B pasa a A-, la que estaa e posició A 7 pasa a B-8 y la olita e B-7 permaece costate. C.Q.D. Es decir: - la olita que está e la posició B 7 β A 5 A 5 β B 7 B 7 3
- la olita e A 7 A 7 β B 7 B 7 B 8 B 8 - la B B B B B α A B B B B B B,,0. - y: - A A A A A A A,, 0. Queda así demostradas las propiedades euciadas sore este movimieto. Los otros movimietos se pruea de forma aáloga. Ahora sólo os queda demostrar que, ua vez colocadas las olitas amarillas, es posile resolver los discos de Ruik mediate los movimietos,, 3 y 4 úicamete. Partimos de ua disposició cualquiera de las olitas rojas y azules, estado las amarillas ya situadas e el cetro. Supoemos, si pérdida de geeralidad, que e la posició B-8 hay ua olita roja, y que hay k olitas rojas e las posicioes A7, A8,... A 6k (k puede ser ulo). Mediate el movimieto repetido k veces, coseguimos que se forme ua cadea de k olitas rojas e las posicioes B-8, B-9,..., B -7 (k). Ahora distiguimos dos casos: -la olita e B-7 es roja. E este caso, realizamos el movimieto 4 de forma que tegamos ua cadea de k olitas rojas etre B-8 y B 7-(k). A partir de aquí, repetimos esta operació si la olita e B-7 es roja, y sio os referimos al caso siguiete. -la olita e B-7 es azul. E este caso, realizamos el movimieto repetidas veces hasta que se sitúe ua ola roja e la posició A7. Ahora, hacemos el movimieto 3 repetidas veces hasta que ua olita roja ocupe la posició B-7, y volvemos a empezar. Repetimos el proceso e su totalidad hasta que todas las olitas rojas esté e el disco B. La cadea de olitas rojas que hemos costruido o se rompe e igú mometo ya que uca dejamos ua ivariate e las posicioes A- y B. 4
CUBO DE RUBIK El cuo de Ruik es uo de los juegos más coocidos e el mudo, y es de difícil resolució. E este apartado, vamos a presetar ua forma de solucioarlo. Lo pricipal es partir de lo más secillo, y ser orgaizado. Por ello, vamos primero a aclarar ciertas cuestioes ásicas y u poco de vocaulario. Vocaulario Llamamos: -A, B, C, D, E y F a las seis caras del cuo. -cuito a los pequeños cuos (hay 8 cuitos). Hay 3 tipos de cuitos: Tipo K : tiee sólo ua cara de color. Los represetamos co la letra e miúscula de la cara a la que correspode. Tipo K : tiee dos caras de color.. Los represetamos co las letras e miúscula de las dos caras a las que correspode. Tipo K 3 : tiee tres caras de color.. Los represetamos co las 3 letras e miúscula de las caras a las que correspode. -plao a u cojuto de al meos 8 cuitos cuyos cetros está e u mismo plao del espacio. El plao que está etre las caras N y M es el plao NM. -el hecho de rotar de ± 90º ua cara N lo escriimos N ± (escogemos que 90º es el setido de las maecillas del reloj). Por ejemplo, A es la rotació de 90º de la cara A e el setido cotrario de las agujas del reloj. -Diremos que u cuito está colocado si, y sólo si, ocupa su posició correcta. -Diremos que u cuito está orietado si, y sólo si, además de estar colocado, los colores de sus caras correspode al color de las caras del cuo grade a las que perteece. Cuestioes ásicas -El color de cada cara es el del cuito que tiee e su cetro (es decir, el del cuito del tipo K que está e la cara). -U cuito está colocado si, y solo si, sus caras tiee los mismos colores que aquéllas del cuo grade a las que perteece. Por ejemplo, el cuito siguiete está colocado: -U cuito está orietado si, y sólo si, cada ua de sus caras está e la cara del cuo grade que le correspode. Por ejemplo: 5
-Si hacemos uos movimietos que o afecta a las caras e las que está u cuito, el cuito queda ivariate. -Si u cuito es afectado por los movimietos M M - seguidos ó viceversa, etoces queda ivariate. -Si la cara de u cuito colocado está e la cara correcta del cuo, etoces el cuito está orietado. Resolució Para resolver el cuo, vamos a proceder de maera orgaizada, colocado y posicioado primero los cuitos de la cara A, después los que está e el plao etre A y B, y fialmete los de la cara B. Para demostrar que uestros pasos fucioa, escogemos u sistema de coordeadas cetrado e el cetro del cuo grade y co ejes perpediculares a los pares de caras del cuo grade. Todas las rotacioes N ± coordeadas. so rotacioes respecto de uo de los ejes de Primer paso: colocar y orietar los cuitos de tipo K de la cara A. Para cada cuito, lo primero que hay que hacer es localizarlo (gracias a los colores de sus caras). -Si o está e A y su cara de color A está e B, se le coloca de forma que su cara que o es del color de A esté e la cara del cuo que le correspode (ya sea girado A y B si está e AB, ya sea girado B si está e B), y se gira esta cara de forma que esté colocado y orietado el cuito. -Si o está e A y su cara de color A o está e B, hacemos B, giramos la cara de la derecha de 90º, la de delate de -90º y la de la derecha de -90º. -Si está e A, se gira la otra cara del cuo grade e la que está, de forma que el cuito se halle e AB, y se hace los movimietos de ates. Es ovio que de esta forma, al posicioar u cuito, o movemos otro cuito que ya esté posicioado. Así, oteemos: z x º paso: colocar y orietar los cuitos de tipo K 3 de la cara A. Hay que hacerlo si mover los cuitos ya posicioados. Orietamos el cuo de forma que A esté arria. Girado B y el cuo, poemos el cuito de colores a, m y de forma que esté e B, M y N, siedo M el plao de ecuació y =, y esté e (; ; -). Hará etoces de alcazar la posició ( ;; ). -Si su cara del color a está e B, hacemos la secuecia B N B B N. Sus coordeadas camia segú el proceso: y 6
( ;; ) ( ;; ) ( ;; ) ( ;; ) ( ; ; ) ( ;; ). Además, la cara del color a pasa por las caras siguietes: B B B B B M. Ahora hacemos los movimietos que descriimos a cotiuació Los cuitos que ya haíamos colocado e el paso o ha sido movidos, aparte del que está e la cara M, al que le ha afectado las operacioes M M, que lo deja ivariate. De los cuitos que puede que ya hallamos colocado e el paso, sólo ;;, que vuelve a su posició y orietació origiales, ya que sólo desplazamos el ( ) le afecta las operacioes M M. -Si su cara del color a está e M, hacemos la secuecia B N B N. -Si su cara del color a está e N, hacemos la secuecia N B B N B. E estos dos casos, la pruea de que las secuecias so correctas es aáloga a la aterior. -Si el cuito estuviese e A, T y P iicialmete siedo T el plao de ecuació y = y P ;;, hacemos la secuecia T B T, que el de ecuació x = y el cuito situado e ( ) trasforma el cuito e: ( ;; ) ( ;; ) ( ; ; ) ( ; ; ), y de los cuitos ya colocados, sólo desplaza el cuito que está e ( 0;; ), que sólo es afectado por las operacioes T T que lo deja ivariate. Así, si desplazar igú cuito ya colocado, situamos el cuito que hay que posicioar e la cara B. A partir de aquí, o hay más que ver co cuál de los pasos ateriores acaamos de colocar el cuito e su posició correcta. 3 er paso: colocar y orietar los cuitos de tipo K del plao AB. Queremos colocar el cuito de colores m y. Giramos el cuo de forma que M sea el plao de ecuació y = y N el de ecuació x =. Rotamos B de forma que el cuito se sitúe e (0; ; -) ó e (; 0; -) y que ua de sus caras tega el color de la cara del cuo grade a la que perteece (oviamete siempre es posile). -Si el cuito lo poemos e (0; ; -), hacemos las operacioes B N B N B M B M. El cuito toma las posicioes siguietes. 0;; ;0; ;0; 0;; 0;; ;0; ;0; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0;; ) ( ;;0 ) (; ; 0) es la posició correcta del cuito. Como el cuito está sólo afectado por los movimietos B B B B M, equivaletes a M, la cara del cuito de color m se queda e la cara m. Como sólo movemos las caras B, M y N, de los cuitos de la cara A sólo desplazamos los que está e dichas caras, y sólo so afectados por las secuecias N N ó M M, que les hace volver a su posició y orietació origiales. De los cuitos de AB y que puede que esté ya colocados e su posició correcta, sólo desplazamos los que está e M ó e N, que so afectados por las secuecias N N ó M M, lo que les hace volver a sus posicioes y orietacioes origiales. -Si el cuito lo poemos e (; 0; -), hacemos las operacioes B M B M B N B N. Se pruea de forma aáloga que fucioa. 7
-Si el cuito está al pricipio e AB, e las caras P y Q, P de ecuació y =, Q de ecuació x =, hacemos la comiació Q B Q B P B P, de forma que el cuito se halla e B. A partir de aquí, se sigue uo de los pasos ateriores, el adecuado. Se pruea de forma aáloga que esta comiació fucioa. A partir de aquí, o daremos demostracioes de la validez de los movimietos, puesto que las demostracioes so aálogas a las que hemos dado ateriormete: e cada caso, se pruea primero que el cuito a colocar y orietar queda colocado y orietado y después que los cuitos que ya hemos posicioado y orietado ateriormete o ha camiado de orietació o posició. Además utilizaremos la omeclatura siguiete para las caras del cuo grade: F A C E D B estado defiidas ahora las caras de forma que: La cara llamada Es siempre la que está e el plao de ecuació auque se gire el cuo A z = B z = C x = D x = E y = F y = 4º paso: colocar los cuitos de tipo K 3 de la cara B. Proemos primero ó dos ó cuatro de los cuitos de este tipo se puede colocar simplemete rotado B. Es ovio que o puede haer tres cuitos ya colocados. Supogamos ahora que haya meos de cuitos colocados. Giramos la cara B de forma que el cuito de colores c y e esté colocado correctamete. El cuito que tiee los colores c y e o puede estar al opuesto de los cuitos de colores d y f. Supogamos si pérdida de geeralidad que el cuito de colores d y f se halla e la posició del cuito de colores c y f. Etoces, el cuito de colores d y e, que o podrá estar e su posició correcta, tedrá que estar e la posició del cuito de colores de d y f. Y etoces el cuito de colores c y f estará e la posició del cuito de colores d y e. Luego teemos que: 8
F df de C D ce cf E Pero etoces o hay más que girar la cara B de 90º e el setido de las agujas del reloj para que df y de esté colocados. Luego por reducció al asurdo, hemos proado que ó dos ó cuatro de los cuitos de este tipo se puede colocar simplemete rotado B. -Si los cuatro cuitos ya está colocados, o hay ada que hacer. -Si hay sólo dos cuitos colocados, hay que ivertir los otros dos y se preseta así dos casos: Los cuitos colocados so cotiguos (es decir que se sitúa e dos vértices cosecutivos de la cara B). E este caso, tras rotar el cuo de forma que los cuitos o ;; ;;, hacemos las operacioes colocados esté e ( ) y e ( ) D B D E B E D B D B B. Los cuitos colocados o so cotiguos. E este caso, tras rotar el cuo de ;; ;;, hacemos las forma que los cuitos o colocados esté e ( ) y e ( ) operacioes D B D E B B E D B D B. 5º paso: Orietar los cuitos de tipo K 3 de las caras B. Primero precisemos que o es posile que haya exactamete tres cuitos ya orietados. -Si los cuatro cuitos está orietados, o hay ada que hacer. -Si dos de los cuitos está orietados y so cotiguos, rotamos el cuo de forma que ;; y hacemos las operacioes esté e ( ;; ) y ( ) D B D E B E A E B E D B D A, ua ó dos veces (segú el caso, se llegará al resultado querido haciedo las operacioes sólo ua ó dos veces). -Si dos de los cuitos está orietados y o so cotiguos, rotamos el cuo de forma ;; y hacemos las operacioes que esté e ( ;; ) y ( ) D B D E B E A A E B E D B D A A ua ó dos veces. -Si sólo u cuito está orietado, rotamos el cuo de forma que éste esté e ( ;; ) y hacemos las operacioes D B D B D B B D B B que orieta al meos u cuito. Así hará ó dos ó cuatro cuitos ya orietados, y orietamos los que falta gracias a los putos ateriores. -Si o hay igú cuito orietado, hay que hacer las mismas operacioes (co la cara ya motada hacia arria) de forma que al meos u cuito se posicioa y o hay más que volver a uo de los casos precedetes. 9
6º paso: Colocar y orietar los cuitos de tipo K de la cara B. Ua vez este paso hecho, haremos resuelto el cuo de Ruik. Pero es el paso más complicado. Primero precisemos que o es posile que haya exactamete tres cuitos de este tipo ya colocados y orietados. -Si los cuatro cuitos está ya colocados y orietados, el cuo de Ruik ya estará resuelto. -Si dos de los cuatro cuitos está ya colocados y orietados y estos dos cuitos so cotiguos (es decir que o so simétricos respecto del cetro de B), giramos el cuo de 0;; y ;0; y hacemos los movimietos: forma que esté e ( ) ( ) C B A F F B B A A E B E A A B B F F B A C B. -Si hay dos de los cuatro cuitos que está colocados y orietados y estos dos cuitos 0;; y 0; ; y o so cotiguos, giramos el cuo de forma que esté e ( ) ( ) hacemos los movimietos: B B D C E D C A D C F F D C A D C E D C. -Si sólo uo de los cuitos está ya colocado y orietado, giramos respecto del eje de las 0;; y hacemos cotas el cuo de forma que esté e ( ) C D E C D B B C D E C D. Repitiedo esta secuecia ua ó dos veces más, se orietará y posicioará al meos u cuito. A partir de ese mometo, para acaar la resolució del cuo, os referimos a uo de los casos ateriores. -Si igú cuito está ya colocado y orietado, hacemos los mismos movimietos que ates, los cuales repetidos ua ó dos veces colocará y orietará al meos u cuito. No hay más que referirse a casos ateriores a partir de aquí. DE ESTA FORMA, HABREMOS RESUELTO EL CUBO DE RUBIK. 0
TORRES DE HANOI Descripció del juego: El juego, ivetado e 883 por el matemático fracés Edouard Lucas, costa de tres palos, e los que se iserta ua serie de discos de distito radio. Al comiezo de la partida, todos los discos aparece e el primer palo e orde decreciete de radios. El ojetivo del juego es pasar todos los discos al último palo, co las siguietes restriccioes de movimietos: - U movimieto cosiste e tomar el disco superior de uo de los palos y colocarlo ecima de los de otro. - Solo se puede realizar u movimieto cada vez - U disco solo puede ser colocado sore otro si su radio es meor Ejemplo de partida: Tomemos los discos a, y c y los palos, y 3, tales que: radio a < radio < radio c La partida sería a3,, a, c3, a, 3, a3 y se realizaría e 7 movimietos. La leyeda dice que, e u templo de Bearés, existía ua cúpula que señalaa el cetro del mudo, e la que se ecotraa ua adeja sore la que haía tres agujas de diamate. E ua mañaa lluviosa, u rey madó poer 64 discos de oro, siedo ordeados por tamaño: el mayor e la ase de la adeja y el meor ecima de todos los discos. Los sacerdotes del templo deía mover los discos etre las agujas, segú las leyes que se les haía etregado: "El sacerdote de turo o deía mover más de u disco a la vez, y o podía situar u disco de mayor diámetro ecima de otro de meor diámetro". Se decía que cuado los sacerdotes fializara su laor, el mudo se acaaría. Hoy o existe tal templo, pero el juego aú perdura e el tiempo... Ojetivos: Este traajo costa de dos partes: E la primera, se aalizará el juego e su cojuto para cualquier úmero de discos, determiado estrategias para gaar y el míimo úmero de pasos ecesarios para coseguirlo, aparte de u aálisis de la formació de ciclos e su estructura. La seguda parte es ua geeralizació del juego, e la que se platea la posiilidad de que, además de múltiples discos, exista más de tres palos. E esta parte se itetará descriir ua fució que idique el úmero míimo de movimietos ecesarios para completar este reto matemático dado u úmero cualquiera de discos y palos, lo que se trata de u prolema aierto.
TORRES CON TRES PALOS Y VARIOS DISCOS E primer lugar, itetaremos hallar el úmero míimo de movimietos ecesarios para gaar para u úmero cualquiera a de discos. Defiició: Llamamos M(a) = a la fució de variale el úmero de discos que da como valor el úmero de movimietos ates idicado. Experimetalmete saemos que: M() = M() = 3 M(3) = 7 M(4) = 5 Hipótesis: Para todo a>0: M(a) = a - Demostració por iducció: M() = y M() = 3 so valores ciertos y cumple la hipótesis. Llamemos a los discos x, x,, xa, tales que el radio de x sea meor que el de x, etc., siedo el radio de xa el más grade. Por las reglas del juego, xa o podrá colocarse ecima de iguo de los otros discos, y deerá ser el que esté más aajo e el tercer palo al termiar. Por tato, e algú mometo la tercera columa deerá estar totalmete vacía, y dado que solo se puede mover u disco cada vez, el palo o deerá teer solo al disco xa. Esto supoe que para mover los a discos a la tercera columa, primero hay que mover los a- primeros al segudo palo, después pasar xa al tercero y fialmete volver a pasar los del segudo palo al 3. De esta maera tememos que: M(a) = M(a-) M(a-) = M(a-) De aquí oteemos que si M(a-) cumple la hipótesis, M(a) tamié, ya que: M(a-) = a- => M (a) = (a- -) = a Co lo que la hipótesis queda demostrada por iducció.
Demostració si iducció: Llamemos: P(x) = x Por lo que hemos deducido ateriormete: P[M(a-)] = M(a) Etoces, podemos escriir M(a) como: M(a) = P[M(a-)] = P[P[M(a-)]] = P [M(a-)] = P 3 [M(a-3)] Y e geeral: Tomado k = a-: M(a) = P k [M(a-k)] M(a) = P a- [M()] = P a- () Pero: a- veces P a- () = ( ( ( ) ) ) = a- a- Etoces: M(a) = a- a- = a como queríamos demostrar. Ahora que ya saemos el úmero míimo de movimietos, vamos a itetar oteer ua estrategia que os de los movimietos ecesarios para gaar e el míimo úmero de pasos. Defiició: Sea N ua fució que asocia a todo trío (a, 0, f ) el cojuto de los movimietos ecesarios para pasar ua columa de a discos del palo 0 al palo f e el míimo úmero de pasos respetado las ormas del juego. Por ejemplo: N(3,,3) = {x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3} So los movimietos ecesarios para pasar tres discos del primer palo al tercero. Además, es la solució del juego para tres discos (pasar todos del palo al 3). Podemos expresar, etoces, el juego co a discos como hallar N(a,,3). Por la defiició de N y M, podemos decir que, para cualesquiera 0 y f : N(a, 0, f ) = M(a) Ya que el úmero de elemetos de N es el úmero de movimietos míimos, que es M, y 0 y f o afecta a éste. Ahora, el ojetivo es itetar descompoer N(a, 0, f ) e cojutos coocidos más pequeños para facilitar su estudio. 3
Defiició: Defiimos la uió de dos cojutos N(a, 0, f ) y N(a, 0, f ) como u uevo cojuto que icluye todos los elemetos del primero y, a cotiuació, todos los elemetos del segudo, y desigamos la operació por (que o es i comutativa i asociativa). Ejemplo: N(3,,3) = {x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3} N(,3,) = {x, x, x } N(3,,3) N(,3,) = {x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3, x, x, x } Co esta operació podemos estalecer la relació siguiete: N(a, 0, f ) N(a, f, 0 ) {φ } Esta relació resulta de hacer y deshacer ua serie de movimietos, lo que equivale a o haer hecho iguo. Por otro lado, siguiedo el razoamieto que usamos para calcular M(a), podemos decir que, para todo a: N(a,,3) = N(a-,,) N(,,3) N(a-,,) N(a-,,) = N(a-,,3) N(,,) N(a-,3,) N(a-,,3) = N(a-3,,) N(,,3) N(a-3,,) De estas expresioes, podemos deducir que para formar ua columa de a discos e el palo 3, primero hay que formar ua de a- e el, ua de a- e el 3, etc. Fialmete podemos deducir que se dee realizar columas de,, 3, discos alterativamete e los palos y 3 hasta completar la de a discos. Esto os deja dos casos de juego, e fució de la paridad de a: Si a es impar, los movimietos so: N(a,,3) = N(,,3) N(,,) N(,3,) N(,,3) N(,,3) N(,,3) N(,,) N(3,,3) N(4,,) formádose las columas de,, 3,, a discos ates mecioadas. Si a es par, los movimietos so: N(a,,3) = N(,,) N(,,3) N(,3,3) N(,,) N(,,) N(,,) N(,,3) N(3,,) N(4,,3) formádose de uevo las columas de,, 3,, a discos. 4
Para cocluir, cae destacar que coociedo ciertas comiacioes de movimietos ásicas, como N(, 0, f ), N(, 0, f ) y N(3, 0, f ) y la estructura geeral de la resolució de las torres ates descrita (formació de columas de,,3,, a discos) la solució del juego resulta rápida y mecáica. A cotiuació se da la solució de alguas partidas: N(,,3) = {x 3} N(,,3) = {x, x 3, x 3} N(3,,3) = {x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3} N(4,,3) = {x, x 3, x 3, x 3, x, x, x, x 4 3, x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3} N(5,,3) = {x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3, x 4, x, x, x, x 3, x 3, x, x, x 5 3, x, x 3, x 3, x 3, x, x, x, x 4 3, x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3} N(6,,3) ={x, x 3, x 3, x 3, x, x, x, x 4 3, x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3, x 5, x, x, x, x 3, x 3, x, x, x 4, x, x 3, x 3, x 3, x, x, x, x 6 3, x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3, x 4, x, x, x, x 3, x 3, x, x, x 5 3, x, x 3, x 3, x 3, x, x, x, x 4 3, x 3, x, x, x 3 3, x, x 3, x 3} CICLOS EN LAS TORRES DE HANOI Como hemos visto ates, la resolució de las Torres de Haoi se asa e u procedimieto iterativo, co lo que o es de extrañar que se produzca repeticioes e los movimietos. Aalizado las mismas, podemos oservar que se forma ciclos de movimietos. Así, e disco x se cumple que, ua vez se ha movido, o vuelve a hacerlo hasta pasados movimietos. Esto se explica porque cuado se mueve, es para formar ua columa de discos (auque sea para formar o deshacer ua mayor), co lo que se usa movimietos y a cotiuació (movimieto ) se vuelve a mover. Por otro lado, dado que las torres de,, 3, discos se estalece e columas alterativas, tamié existe ciclos e cuato a hacia qué lado se mueve los discos. De esta maera, para torres co discos, los discos de la forma x -k se mueve siguiedo la pauta -3-, mietras que los de la forma x -k- se mueve segú la pauta --3. Tamié es relevate el hecho de que, e cada movimieto, siempre se ha de mover x o el siguiete disco más pequeño. La explicació es que, a cada paso se da ua de las siguietes posiilidades:. Se iicia la formació de ua ueva columa, e cuyo caso hay que mover el mayor de los discos de ésta (auque sea tamié segudo meor de los que se puede mover segú las reglas del juego). Se fializa su formació moviedo la cúspide o disco meor x. 5
Defiició: GENERALIZACIÓN PARA VARIOS PALOS Y DISCOS Llamamos f(a,) al úmero de movimietos ecesarios para completar el juego co a discos y palos. Geeralidades: Lógicamete si a, f ( a, ) = a ya que se puede colocar cada disco, co excepció del último, e u palo, pasar el último disco y reagrupar. Si la fució sólo está defiida para a =. Supogamos que teemos u a tal, que podemos distriuir a- e ua serie de columas (co c i discos cada ua) de forma que cada ua se puede formar co ci movimietos. Tras esto, moveríamos el disco x a y repetimos el proceso. El úmero total de movimietos sería (c c... c ) = 4( c c... c ). Dado que ci = a el míimo se alcazará cuado utilicemos el máximo i= úmero de columas, e este caso -. Por tato f ( a, ) = 4a para ( )( ) a ( )( ) Es fácil comproar que se puede co pues c puede valer -, c -,..., c -, y a esto hay que sumarle el último disco. Como corolario, si a =, 4a = a. Hasta ahora, todas las distriucioes míimas era ordeadas, es decir, el proceso cosiste e formar - columas, que ua vez costruidas permaece si tocar hasta ser recolocadas e el último palo. Vamos a supoer que para cualesquiera a y, ua distriució ordeada (que se demostrará al fial) es la más rápida. Etoces f ( a, ) sería ( f ( d, ) f ( d, )... f ( d,3)). Dode d i sería el úmero de discos que hay e cada ua de estas columas ordeadas. El se dee a que los movimietos se realiza para colocar las columas y para quitarlas y el correspode al último disco. Para distiguir, llamaremos a la fució que está fuera del parétesis F( a, ). Digamos que ua fució es f cuado su pediete m m. Hasta ahora, hemos visto que la fució se comporta primero como ua f 0 (cuado isertas el primer disco), después como ua f y después como ua f. Al añadir u disco e la expresió del párrafo aterior, el aumeto míimo de movimietos se daría al colocar este disco e la fució detro del parétesis que tuviera meor m. Cuado añadimos el segudo disco, podemos colocarlo e ua f 0, etoces, F( a, ) aumeta dos movimietos. Como ya se ha demostrado, se puede ir colocado discos e f 0 hasta u máximo de - discos. A partir de aquí, todas las fucioes detro del parétesis so f, y por tato F ( a, ) 6
( )( ) tiee pediete 4. Esto ocurre hasta que se alcaza la cota de, como ya haíamos demostrado. E este mometo, cada d i vale -i, es decir, que al añadir u disco más, tedrás que utilizar ua f y F( a, ) tedrá pediete 8. Así pues, la pediete de F( a, ) se va duplicado cada u cierto úmero de discos. Defiició: Para descriir la fució, vamos a cosiderar estos putos e los que, fijado, la pediete se duplica. Dado que las diferetes pedietes so, llamaremos por comodidad -ésimo límite al úmero máximo de discos que puedes poer co u úmero fijo de palos para los que la fució tiee de pediete. Lo llamaremos l(, ). Propiedad: Dado que el -ésimo límite se alcaza cuado se alcaza los --ésimos límites e las d i y se ha movido el último disco, se dee cumplir que: l(, ) = l( -, -) l( -, - )... l( -,3) Hipótesis: l(, ) = Demostració: Dado que se cumple: l(, ) = l( -, -) l( -, - )... l( -,3) Y que si = : Se reduce a demostrar: = = i = i= Aplicado la propiedad de los úmeros comiatorios: = m m m 7
8 Podemos escriir: = = = = = = i i 3... 3 3 Como: = = Teemos que: = = = = = = i i i i i i 3 3 Como queríamos demostrar. Dejado fijo, se oserva que los -ésimos límites coforma ua diagoal del triágulo de Pascal, de forma que la diagoal perteeciete a 3 palos es la de,, 3, 4, la perteeciete a 4 palos, 3, 6, 0 El se puede cosiderar que es el límite cero pues de cero discos a disco se requiere u movimieto que es 0. Por otra parte, la primera diagoal, formada por, supoe los límites para dos palos, ya que sólo se puede mover u disco. Como curiosidad, los -ésimos límites para palos se trata de los úmeros triagulares de - dimesioes. Comportamieto geeral de la fució Hipótesis: La fució sigue la estructura de ua expoecial de ase co expoetes relacioados co el úmero de límite y multiplicada por otra fució. Demostració: Co el ojetivo de simplificar la fució o vamos a aalizarla e su cojuto, sio solo e sus límites. Ua vez hecho esto, extrapolaremos el resto de sus valores. Segú lo que hemos deducido ates: = l ), (
Por la relació del triágulo de Pascal ates mecioada, saemos que: l(, ) = l( -, ) l(, -) Por otro lado, saemos que de f ( l ( -, ), ) hasta ( (, ), ) por lo que podemos estalecer la forma recursiva: ( ( ) ) ( ( ) ) f l,, = f l -,, l(, -) Desarrollado la suma completa, podemos expresar f ( l (, ), ) ( ) i f l(, ), = l( i, ) Sustituyedo los límites por su valor teemos que: i 3 f ( l(, ), ) = i= 0 3 Siedo su represetació gráfica: i= 0 f l la pediete es, como: 9
Por otro lado teemos que, al ser la pediete y para 0 m l(, ) l(, ) : ( ) ( ) f l(, ) m, = f l(, ), m De dode oteemos que: i i 3 f ( l(, ) m, ) = m i= 0 3 Por otra parte teemos que: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) f ( l( -, ), ) f ( l(, -), -) f l(, ), = f l,, f l,,... f l,3,3 = = Comiado esta ecuació co la otra recursió, teemos que: f l(, ), = l(, -) - f l(, -), - ( ) ( ) Calculado los casos particulares para =3, 4, 5 y 6. f l,3,3 l,3 = ) ( ( ) ) = (Ya que ( ) ( (, 4), 4 ) = f l f ( l (,5 ),5) =! 3 3 8 f ( l (,6 ),6) = 3! 4 3 6 3 8 4 f ( l (,7 ),7) = 4! Dado que 0! y! vale, ituimos que la fució tiee la forma de: g(, ) f ( l(, ), ) = ( ) 3! Dode g(,) es u poliomio de grado 3. Por iducció, si: Etoces: ( ) g(, ) f ( l(, ), ) = ( ) 3! ( ) ( (, ), ) (, -) - ( (, -), -) f l = l f l = ( ) ( )! g(, ) 4! ( ) ( ) = l(, -) =! ( 3 ) g(, ) = ( 3 )! ( ) 0
Dode el umerador es u poliomio de grado 3 3 y ( 3 ) g(, ) tiee grado 4. ya que ( ) ( )!! tiee grado Vamos a hallar el valor de g(, ) g(, ) g(, ) = ( 3 )! l(, ) ( 4 )! Sustituyedo e la fució sucesivas veces g(,-), g(,-), etc. por su valor oteemos: que es equivalete a: ( ) ( ) ( ) i= i g, = 3! l( i, i) i g (, ) = ( 3 )! ( ) i= i Auque está multiplicado por (-3)! el térmio de mayor grado tiee coeficiete i ( 3 )! ( ) i f ( l m ) m ( 3 )! i= (, ), = ( ) Preferimos o simplificar ( 3 )! pues así el poliomio tiee coeficietes eteros. Oviamete, se trata de u poliomio de grado -3. A cotiuació la gráfica de los primeros poliomios:
Como se oserva, iguo de los poliomios posee raíces reales (co excepció de =0, e las impares), por tato sería iteresate aalizar la distriució de las raíces e el campo complejo, pudiedo haer ua distriució particular, icluso u fractal deido a la aturaleza altamete iterativa de esta fució. De esta maera queda resuelto el prolema de oteer el míimo úmero de movimietos ecesarios para resolver las Torres de Haoi co a discos y palos. Coclusió: Siedo a el úmero de discos y el de palos tal que: l(,) < a < l(,) Y: a l(,) = m Teemos que las fucioes: i (, ) = f a i= 0 i 3 3 m ( ) f a i 3! 3! ( ) ( ) i=, = ( ) ( ) i Permite calcular de forma exacta el úmero míimo de movimietos ecesarios para resolver las Torres de Haoi co cualquier úmero de palos y discos. La primera fórmula es más apropiada que la seguda cuado es astate meor, pues e caso cotrario el sumatorio es mucho más grade. La vetaja de la seguda es que ua vez calculado el poliomio para u dado, los cálculos se reduce drásticamete. m Algoritmo: De lo hallado, se deduce fácilmete el algoritmo para resolver las torres de Haoi co palos y l(, ) discos e u úmero míimo de movimietos. Llamamos t i a las i-ésima columa. Procederemos de la siguiete maera: -Colocamos l(, ) discos e t, l(, ) e t 3,..., l (,3) e la t -. -Movemos u disco, y colocamos las columas ateriores ecima, oteiedo ua columa co l(, ) discos e t. -Hacemos columas de l(, ) discos e t, l(, ) e t 3,..., l (,3) e la t -. -Pasamos u disco y reagrupamos, oteiedo ua columa co l(, ) discos e t -.
-Procedemos de maera aáloga hasta oteer ua columa co l (,3) e t 3, co l(,4) e t 4,..., l(, ) e t -, l(, ) e t. Movemos u disco desde t hasta t y reagrupamos, oteiedo ua columa co l(3, ).... -Oteemos columas co l(, ), l(, ),..., l(,3) discos, movemos el último disco e t a la columa que esté lire y reagrupamos. Si se tratase de u úmero de discos (a) compredido etre dos límites l(, ) y l(, ), de uestro traajo se desprede tres características: -Los a l(, ) discos puede ser distriuidos e las columas que se quiera siempre y cuado el úmero de discos e estas o supere l(, d i ) dode d i idica el úmero de palos útiles para ua columa t i, es decir, el úmero de columas vacías más las que tiee discos más pequeños que ella. -Para formar cualquier columa itermedia, compredida etre el k-ésimo y el k-ésimo límite, e igú mometo se dee superar el k-ésimo límite e las columas itermedias. -Para formar cualquier columa itermedia, compredida etre el k-ésimo y el k-ésimo límite, hay que recurrir a la distriució que deje si utilizar el meor úmero de palos (es decir, si co 7 discos y 4 palos, es preferile al formar la primera columa de 4 discos, formarla a partir de dos columas de dos que de ua columa de 3 y ua de ), lo que se asa e la fórmula iicial: (c c... c ) = 4( c c... c ). Demostració de que la distriució es ordeada Ate todo somos coscietes de que la demostració que vamos a dar a cotiuació o es completamete rigurosa auque ituitivamete correcta. Así mismo, estamos seguros de que dee existir ua demostració formal que, si emargo, ha escapado a uestros itetos. Supogamos que e u mometo dado, e lugar de colocar ua torre ecima de la que le correspode, la dejamos dode está. Movemos ua serie de discos (aquí tamié icluimos o mover iguo) y a cotiuació teemos cuatro opcioes: -Colocar la torre dode la íamos a colocar ates. E este caso, estamos añadiedo más movimietos pues os supoe la misma catidad de movimietos que ates y, además, al mover esa serie de discos, hemos dispuesto de u palo meos. -Dejar la torre dode está. E este caso se trata de ua distriució ordeada y será míima cuado cumpla los requisitos expuestos e el traajo. -Mover la torre ecima de otra que o le correspode. E este caso os supoe la misma catidad de movimietos que ates y además dispoemos de u palo meos. -Colocar ua torre más pequeña ecima de esta. Si emargo, este caso se puede aalizar desde el puto de vista de la torre más pequeña y se reduce al aterior. 3
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