Matemátcas Fnanceras Francsco Pérez Hernández Departamento de Fnancacón e Investgacón de la Unversdad Autónoma de Madrd Objetvo del curso: Profundzar en los fundamentos del cálculo fnancero, necesaros para su aplcacón en posterores asgnaturas. Adquscón de los prncpales conceptos matemátcos requerdos para la valoracón de operacones fnanceras. Adqurr la habldad de analzar stuacones reales relaconadas con el cálculo de leyes, rentas fnanceras, tpos de nterés y operacones fnanceras. 1
Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Contendos del Programa: Tema I. Valoracón del dnero en el Tempo I.1 Captales fnanceros. I.2 Leyes fnanceras. I.3 Captalzacón smple y compuesta. I.4 Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto. I.5 Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado. I.6 Suma y desdoblamento de captales. Tema II. Rentas Fnanceras II.1 Concepto y clasfcacón de rentas. II.2 Valor captal de una renta. II.3 Valoracón de rentas constantes. II.4 Valoracón de rentas varables. II.5 Rentas fracconadas. MF Tema III. Operacones Fnanceras III.1 Concepto y clasfcacón de las operacones fnanceras. III.2 Equvalenca fnancera. III.3 Saldo Fnancero. III.4 Operacones fnanceras smples. 2
Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema IV. Operacones Fnanceras Compuestas IV.1 Operacones de amortzacón. IV.2 Estudo de las prncpales modaldades de préstamos. IV.2.1 Sstema francés. IV.2.2 Cuotas de amortzacón constantes. IV.2.3 Sstema amercano. IV.2.4 Térmnos varables. IV.4 Prestamos a tpo de nterés varable. IV.5 Operacones de consttucón de un captal. Tema V. Coste y Rentabldad de las Operacones Fnanceras V.1 Coste o rendmento de las OF Smples. V.2 Coste o rendmento de las OF Compuestas. V.3 Operacones con característcas comercales. V.4 Tpo Anual Equvalente (TAE). EE 3
Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema I. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 4
Introduccón Valor del Dnero en el Tempo Los benes por esenca económca tenen un valor presente y un valor futuro, puesto que gracas a poder dsponer de ellos, se generan benefcos, que a su vez se pueden renvertr. Matemátcamente: V = V 1 V 0 Dnero = Ben V 1 V = 0 V y consderando que ( V) puede representarse como porcentaje (p) del valor base (V 0 ), tenemos: V V 1 0 pv 0 V V (1 + 0 = = ) 1 p para obtener el valor presente, conocendo el valor futuro, despejando tendríamos: V 1 V = 0 1 + p 5
Valor del Dnero en el Tempo S aplcamos la anteror expresón al concepto dnero, el ncremento porcentual se denomna TIPOS DE INTERÉS. Sendo en lugar de p, mentras que a V le llamaremos CUANTÍA. Así entonces: C = C 0 (1 + ) ó C 0 C + = 1 1 Así, el valor del dnero en el tempo, cuya medda es el tpo de nterés, lo podemos entender desde una doble perspectva: El cambo de valor del momento actual (0) a otro momento posteror (1). Podemos tener revalorzacón o deprecacón. El preco que tene su uso o dsposcón, dado que lo podemos prestar o contratar en un banco o una empresa de nversón. 6
Valor del Dnero en el Tempo Ejemplo: A un prestamsta se le presentan 2 clentes potencales, cada uno de los cuales le ofrece devolverle el préstamo de 100 más 10 en concepto de ntereses. A quén le damos el préstamo? Clente / Perodo 0 1 2 3 4 5 Total A -100 50 20 10 10 20 110 B -100 75 15 20 0 0 110 7
Valor del Dnero en el Tempo En defntva, de forma matemátca, valor del dnero = f (dsponbldad, resgo, ) entendéndose por dsponbldad a la capacdad de poseer una cosa, y como snónmo de cantdad de tempo. Así, la naturaleza del tpo de nterés tene dos perspectvas totalmente relaconadas entre sí: 1. El valor del dnero en el tempo es gual al benefco que se genera en el tempo. 2. Tasa de susttucón entre una cuantía presente y la msma cuantía en el futuro. 8
Valor del Dnero en el Tempo Este gráfco muestra la curva de una persona que cobrará 200 (100 ahora (momento 0) y el resto en el perodo 1 250 200 150 100 50 0 0; 210 50; 155 100; 100 150; 45 191; 0 0 50 100 150 200 La pendente de la curva es (1+), que en este caso al hacer los cálculos con un 10% su valor sería -1,1. Es decr, s ncrementamos el valor de t 0 en 1, decrecería el valor en t 1 1,1. 9
Valor del Dnero en el Tempo Antes de entrar con los conceptos de captales y leyes fnanceras es mportante menconar que exsten dos tpos de varables (o meddas) del dnero: 1. Fondo o stock. 2. Corrente o flujo. Además, exsten 3 aspectos fundamentales de las valoracones monetaras en el tempo: 1. Se trabajan con flujos de tesorería (cash-flows). 2. Se parte de t0, t1, t2, tn. 3. Los fondos se producen al prncpo o fnal de cada perodo. 10
I.1. Captales Fnanceros Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros En los sstemas económcos se realzan contnuamente operacones fnanceras que conssten en la susttucón de unos captales fnanceros por otros, en dstntos momentos del tempo. Los Captales Fnanceros son cobros, pagos o flujos de caja que se recben o entregan en un momento del tempo. Por tanto, un captal fnancero tene dos dmensones: (C, t), sendo C captal y t el momento del tempo en el que se cobra o paga. Un captal fnancero que se cobra o paga en t, se puede expresar como Ct para t = 0, 1, 2, n. Sendo: t = 0 : momento presente o actual. t = 1 : momento del tempo 1 período después del momento actual. t = n : momento fnal o plazo de una operacón o vencmento. 11
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros De forma gráfca: C 0 C 1 C 2 C 3 C n t=0 1 2 3 t=n 12
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Las prncpales operacones fnanceras de las undades económcas (socedades no fnanceras, socedades fnanceras, hogares etc.) son las sguentes: Operacones fnanceras de nversón: adquscón de actvos que mplca un desembolso hoy Co (un captal C en el momento del tempo t=0 o momento actual) y una esperanza de cobros futuros o captales Ct en dstntos momentos del tempo t, para t = 1,2, n. Operacones fnanceras de fnancacón que permten dsponer de un captal actual Co a cambo de una oblgacón de pago en el futuro Ct: Descuento de Letras de Cambo. Emsón de valores de renta varable. Emsón de bonos y oblgacones. Emsón de pagarés de empresa. Solctud de préstamos y crédtos. 13
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Las operacones fnanceras mplcan: La susttucón de unos captales fnanceros Ct por otros con dstnto vencmento. La valoracón de los captales fnanceros Ct en el tempo con expresones matemátcas o leyes fnanceras. El uso o aplcacón de un tpo de nterés o preco del dnero. Un tpo de nterés anual ndca o ben una rentabldad de las nversones o ben un coste de la fnancacón. La ntervencón de dos partes en las operacones fnanceras, la prestacón y la contraprestacón. El uso de nstrumentos o actvos fnanceros (Ej. letras, bonos etc.) como mecansmo de reconocmento de derechos y oblgacones. 14
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Recordemos, en las operacones fnanceras ntervenen dos partes (A y B) y para valorar esta operacón es necesaro plantear matemátcamente la equvalenca fnancera de los captales Ct que entregan ambas partes. Por ejemplo: Un depósto como operacón de nversón para la empresa A que ngresa un captal hoy Co en un depósto o cuenta del Banco B. En este ejemplo el captal que entrega A es el que recbe B. Dcho captal fnancero se entrega en el momento actual y es Co. La parte de la operacón fnancera que cede dnero espera una rentabldad. Posterormente en el tempo los captales que entrega B son los que recbe A y corresponden a Intereses (Ct) y devolucón del prncpal (Cn). Dchos captales fnanceros los paga B que se a fnancado al recbr el captal Co y que, por tanto, tene un coste. 15
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros De todo lo dcho observamos que los elementos fundamentales de las operacones fnanceras, además del captal y el tpo de nterés, son: El orgen de la operacón (t=0) El fnal de la operacón (t=n) El plazo o duracón de la operacón (1, 2, 3,..., n) 16
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros Atendendo a lo anteror, las operacones pueden ser: A corto plazo. t = 0-1 año Medano plazo. t = 1-3 años Largo plazo. t 5 años Cuanto mayor sea el ntervalo temporal de una operacón fnancera, mayor será su resgo. Es decr, t ----- R t ----- R 17
Valor del Dnero en el Tempo I.1. Captales Fnanceros A efectos de la valoracón fnancera con expresones matemátcas, son dos tpos de operacones fnanceras: Operacones de Captalzacón: Cuando se nverte un captal fnancero con el objetvo de obtener una rentabldad en un futuro (n), el captal obtendo (Cn) debe ser superor al ncal (Co). Cn > Co Operacones de Descuento: Cuando calculamos el valor de un captal fnancero en el pasado. Por tanto, el captal obtendo en el momento 0 deberá ser nferor al valor actual (Cn). Co < Cn 18
Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras I.2. Leyes Fnanceras Para la valoracón de cualquer tpo de operacón fnancera se aplcan expresones matemátcas, éstas son llamadas LEYES FINANCIERAS. Leyes de Captalzacón: Expresones matemátcas > 1. Valoracón de captales en el futuro Leyes de Descuento: Expresones matemátcas < 1. Valoracón de captales en el pasado. 19
Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras Al crtero o regla del que dsponen los agentes económcos para la valoracón de transaccones de captal u operacones fnanceras, se les conoce como LEYES FINANCIERAS. Para obtener el valor de un captal fnancero en el futuro (V) se necesta de tres elementos: la cuantía ncal (C), el tempo o perodo de duracón de la cuantía (t) y (p) que es el punto de comparacón o susttuto o equvalente fnancero. Es decr: V= F (C, t, p) 20
Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras C 2 V 2 V 1 C 1 t 1 t 2 p Se dstnguen entre leyes de captalzacón y de descuento en funcón de que el punto p de comparacón se stúe a la derecha de los captales ntervnentes (captalzacón) o a la zquerda (descuento), anotándose con L(t;p) las leyes de captalzacón y con A(t;p) las de descuento. 21
Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras Son muchas las funcones matemátcas que podemos utlzar en el mundo fnancero. Para resumr y con el objeto de menconar las más utlzadas en valoracones de operacones fnanceras, las leyes fnanceras se pueden agrupar en 2 subconjuntos: Leyes estaconaras: Cuando sólo se tene en cuenta el tempo nterno de la operacón. z= p-t ó z= t-p Leyes sumatvas: Cuando en un ntervalo de tempo consderado no se acumulan ntereses para producr nuevos ntereses. Leyes multplcatvas: Cuando se acumulan ntereses. 22
Valor del Dnero en el Tempo I.2. Leyes Fnanceras En las operacones fnanceras se utlzan leyes smples o compuestas según el ntervalo de tempo: A corto plazo: Leyes smples, de captalzacón y descuento. A largo plazo: Leyes compuestas, de captalzacón y descuento 23
I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta La expresón matemátca abrevada de la captalzacón smple es: L 1 (t)= 1+ * t Sendo: L 1 (t): Captalzacón de una cuantía : tpo de nterés efectvo anual (con > 0) t: duracón de la operacón en años S aplcamos esta ley smple (a una funcón lneal) podemos obtener el valor de la cuantía que colocamos (lo llamaremos montante) en un perodo o plazo n. La cuantía M y los ntereses generados I se obtenen así: M= C * ( 1+ * t ) y I= C * * t ó I= M-C Montante o Cuantía Fnal Cuantía ncal Tpo de nterés Duracón de la operacón Intereses obtendos 24
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Ya que la captalzacón smple se utlza en operacones fnanceras a corto plazo (1 año), es común que t se exprese como fraccón de año. Así, por ejemplo, cuando la duracón se expresa en meses (k), el montante o los ntereses obtendos se anotarán así: M k = C * 1 + 12 I = C * k * 12 Así, k/12 medrá la fraccón de año que representan los k meses. Nota: cuando la duracón se expresa en días, se utlzan dos tpos de años: el cvl o real (365 días) o el comercal (360 días). 25
Casos práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Ejemplo Nº 1 Un captal de 10.000 euros se coloca hoy a un tpo de nterés del 6% anual durante un perodo de 75 días. Obtener, utlzando el año comercal ( o =360 días): a) Valor fnal de la cuantía (V) y los ntereses que produce (I). k M = C * 1 + 75 M = 10.000* 1 + 0,06 12 360 = 10. 125 I = M C I =10.125 10. 000 =125 b) Los tpos de nterés: semestral y trmestral. 6 6 = = 3% 1,5% 2 2 = = 4 4 2 semestres 4 trmestres 26
Casos práctcos Ejemplo Nº 2 Se colocan 50.000 euros al 2% trmestral durante 9 meses. Se pde obtener los ntereses que se obtenen: Se puede obtener medante dos formas: a) Utlzando como undad de tempo el trmestre (3) I = C * * t I 9 = 50.000 *0,02 * 3 = 3. 000 Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta b) Obtenendo el tpo anual equvalente y operando en años. = 4 ( trmestres / año) * 2( actual) = 8% anual I = C * * t I 9 = 50.000*0,08* 12 = 3. 000 27
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Consderando la expresón matemátca de la obtencón del montante o cuanta fnal medante captalzacón smple C 1 = C 0 (1+), s queremos llegar hasta el últmo perodo n, tendríamos que repetr el proceso una y otra vez: C 2 = C 1 (1+), como a su vez, C 1 = C 0 (1+), resultaría, C 2 = C 0 (1+)(1+), es decr; C 2 = C 0 (1+) 2 Por tanto, y sguendo la expresón de la CAPITALIZACIÓN COMPUESTA: L 2 (t)= (1+) t Aplcando esta ley compuesta, una funcón exponencal, nos permte obtener el montante dentro de n años en una operacón a medano y largo plazo: t M = C *( 1 + ) [ t I = C * ( 1+ ) 1)] 28
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta La formula la podemos aplcar para captalzar una cuantía de manera que s queremos saber su valor del año p tomando como base el año k, la formula sería: C j k = C j (1+) k - j Por ejemplo, s tenemos 1.000 del año 3, en el año 7 tendríamos: 1.000 3 7 = 1.000* (1+) 7-3 Lo que estamos hacendo es sólo comparar dos valores (el ncal y el fnal), obtenendo así su revalorzacón total. En resumen, s por ejemplo en el 2º año, los ntereses se calcularan sobre la cuantía generada en el 1º año (cuantía ncal), más los ntereses generados en el prmer perodo, por consguente tendríamos que los INTERESES SE ACUMULAN al captal. Ésta es la CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 29
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Pero Cuál es la dferenca entre la Captalzacón Compuesta y la Smple? 1. Por ejemplo, s tenemos 100 en un depósto a plazo fjo en una cuenta openbank durante 1 año al 10% () con opcón de renovacón al segundo año (captalzacón compuesta). Al fnal de los 360 días cobraríamos 110 (sn poder sacarlos) e nmedatamente se nvertrían un año más, obtenendo así (110 * 1,1 ó 110 +11) 121 S lo hubésemos calculado medante la captalzacón smple tendríamos sólo 120 {100*(1+0,20)} Una vez más, la dsponbldad desempeña un papel sgnfcatvo. 30
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Gráfcamente sería así 3,5 3,0 2,5 C Las dos funcones se cortan al 1º año L2 (F Exponencal) 2,0 L1 (F Lneal) 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 t 31
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Casos práctcos Ejemplo Nº 3 Una empresa A le presta a su flal B, 90.000 a 3 años a un tpo de nterés efectvo anual del 3,7% Cuál es el captal fnal (C n ) que recbe la empresa a tras la devolucón del prestamo? M = C *( 1+ ) Cn = Co* ( 1+ ) t t Cn = 90. 000*( 1+ 0037, ) = 90. 000* 1115, 3 =100.364 32
Valor del Dnero en el Tempo I.3. Captalzacón Smple y Compuesta Casos práctcos Ejemplo Nº 4 Lehman Brothers tena prevstos unos benefcos de una nversón al cabo de 2 años y 6 años de 300.000 y 900.000. Qué captal fnal ha de proporconar otra nversón (C n o M) para que sea mejor que ésta, s el tpo de nterés efectvo anual para la valoracón es del 3%? 33
I.4. Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Las leyes de descuento o actualzacón permten proyectar fnanceramente captales haca el pasado y son expresones matemátcas cuyo valor es nferor a 1. Las leyes de descuento smples se aplcan en operacones a corto plazo y pueden ser comercal o raconal. LEY DE DESCUENTO COMERCIAL: A 1 (t)= 1-d * t El térmno d es el tanto de descuento y mde la dsmnucón por undad de cuantía y undad de tempo. 34
Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Defnremos Valor Descontado de un captal al equvalente en el momento ncal, así: V 0 = C* (1-d * t ) Y denomnaremos Descuento a la dsmnucón que expermenta el captal de cuantía C al adelantar su dsponbldad en t períodos. D= C*d * t D = C - V 0 A 1 (t) 1 0 1 / d t 35
Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto LEY DE DESCUENTO RACIONAL: A 2 (t)= 1 1+d * t El parámetro d es el tanto descuento raconal. S esta cuantía se captalzará se obtene la undad de la que se había partdo: 1 1+ d * t *( 1+ d * t) = 1 lo que no ocurre cuando se utlza el descuento comercal a tanto d, dado que (1 - d * t) * (1 + d * t) = 1 - d 2 * t 2 < 1 36
Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto LEY DE DESCUENTO COMPUESTO: Permte descontar captales futuros haca el pasado en operacones a largo plazo. A 3 (t)= (1+d) -t ó A 3 (t)= (1-d) t Valor Descontado Descuento V 0 = C* (1 + d) -t D= C*{1 - (1+d) -t } D = C - V 0 37
Gráfco de las 3 Leyes de Descuento: Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto 1,2 C 1 0,8 A 2 0,6 0,4 A 3 0,2 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 A 1 t 38
Valor del Dnero en el Tempo I.4. Descuento Smple Comercal y Raconal. Descuento Compuesto Casos práctcos Ejemplo Nº 5 Una empresa tene un pago pendente de 30.000 dentro de 2,5 años y desea cancelar la deuda hoy. A cuánto equvale dcho pago en el momento actual, s el tpo de nterés de valoracón es el 3,5% efectvo anual? Vo = C *(1 + d) t Vo = 30000. *( 1+ 0035, ) 25, = 30. 000* 0918, =27.528 39
Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado 1.5 Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Recordando, el alquler de un prncpal o cuantía ncal (Co) que se cobra a terceros se le conoce como tpo de nterés. Podemos expresar el tpo de nterés, por ejemplo el 3,5% de Open Bank, de dstntas formas: En tanto por cen: 3,5% En puntos báscos: 350 PB (3,5% * 100) En puntos porcentuales: 3,5PP 40
Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Para valorar fnanceramente las operacones, todas las varables (Co, t, ) deberán de estar en la MISMA UNIDAD DE TIEMPO (años con años, meses con meses, días con días, peras con peras, ) Por ello, en la mayoría de operacones a corto plazo es necesaro valorar fnanceramente con un fracconamento m del año, de modo que el año se dvde en "m" partes guales. m=12 en operacones mensuales m=360 en operacones daras Así, para obtener la equvalenca del tpo de nterés anual y el tpo de nterés fracconado en la captalzacón smple: 41
Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Por tanto, el tpo de nterés fracconado es gual al tpo de nterés efectvo anual dvddo por el fracconamento del año. Esto es así, úncamente en las operacones a corto plazo en las cuales los ntereses son proporconales al captal Co y al plazo t. Tpo de nterés daro = 360 = /360 Tpo de nterés mensual= 12 = /12 Tpo de nterés trmestral= 4 = /4 Tpo de nterés cuatrmestral= 3 = /3 Tpo de nterés semestral= 2 = /2 42
Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado (Intereses fracconados y ley de captalzacón smple) Ejemplo Nº 6 Una empresa solcta un préstamo smple de 9.000, que cancela con un pago únco al cabo de un año y dos meses. Cuál es el captal que cancela el préstamo, Cn, s el tpo de nterés efectvo anual es =4,5%? Y s el tpo de nterés mensual es (12)? 0.045/12= 0,375% Cn= 9.000 * ( 1 + 0,045 * 14/12 ) = 9.000 * (1+0,045*1,1666) = 9.000 * (1+0,0525) = 9.000 * (1,0525) = 9.473 43
Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado (Intereses fracconados y ley de descuento smple comercal) En operacones a corto plazo, en que se usan leyes smples, es común que la duracón sea nferor al año y por tanto se descuente o actualce con un tpo de nterés fracconado como, por ejemplo, el tpo mensual, trmestral etc. Ejemplo Nº 7 Se descuenta (comercal) una letra de nomnal 10.000 dentro de 3 meses. Cuál es el efectvo Co=E recbdo s el tpo de nterés anual es 12%? E= 10.000 * (1 0,12* 3/12) = 9.700 44
Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Tpo de Interés Nomnal Anual, Tpo de Interés Nomnal Anual y Tpo de Interés Fracconado En la captalzacón de operacones a largo plazo (leyes compuestas) cuando la valoracón se realza en períodos nferores al año, el tpo de nterés puede ser: : tpo de nterés efectvo anual m : tpo de nterés para perodos nferores al año. Ejemplos: Tpo de nterés mensual: 12 Tpo de nterés trmestral: 4 j m : tpo de nterés nomnal anual para operacones que se realzan en períodos de tempo nferores al año.. Leyes Compuestas 45
Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado (Intereses fracconados y ley de captalzacón compuesta) Ejemplo Nº 8 Se solcta un préstamo a 3 años de 90.000 a un tpo anual del 4,5% y el pago de ntereses es mensual. 4,5% es el tpo de nterés nomnal anual, para una operacón mensual: j 12 Cuál es el tpo de nterés efectvo anual (coste efectvo o real)? Ecuacón de equvalenca de en leyes compuestas 46
Solucón = (1 + ( 0,045 / 12 ) ) 12 1 = 4,6% 12 =j 12 / 12 = 4,5% / 12 = 0,37% Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado EJEMPLOS m Interés Efectvo 2 4,55% Tasa Nomnal 2 4,50% Int. Efectvo 4 4,58% Int. Efectvo 6 4,5852% Int. Efectvo 12 4,5940% 47
Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Importante y habtual: En las operacones a largo plazo valoradas con leyes compuestas, sea la ley de captalzacón o la ley de descuento (actualzacón), cuando se calculan los ntereses en períodos nferores al año, hemos de consderar que podemos dsponer de un dato de tpo de nterés anual efectvo o tpo de nterés anual nomnal j m o tpo de nterés fracconado m. No obstante, a partr de la ecuacón de equvalenca de tpos de nterés podemos calcular cualquera de estos tpos a partr de otro de ellos. 48
Casos Práctcos (Intereses fracconados y leyes compuestas) Valor del Dnero en el Tempo I.5. Tpo de Interés Anual y Tpo de Interés Fracconado Ejemplo Nº 9 Una empresa ha de realzar unos pagos dentro de 6 meses, 1,5 años, 5,5 años y 6 años, que ascenden a 12.000, 15.000, 6.000 y 42.000 respectvamente. Cuál es el pago o captal únco (equvalente) pasados 3 años, para cancelar dchas deudas, s el tpo de nterés nomnal anual para la operacón semestral es 3,7646%? j 2 = 3,7646 =3,8% C 3 = 12.000 (1+) 2,5 + 15.000 (1+) 1,5 + 6.000 (1+) -2,5 + 42.000 (1+) -3 C 3 = 72.055,6 49
1.6 Suma y Desdoblamento de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Comparacón de captales Equvalenca Ordenacón Suma de captales Vencmento común Vencmento medo Desdoblamento de captales Prórroga de vencmento 50
Equvalenca de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Cuando dos o más captales tenen el msmo valor en la fecha que se efectúa la comparacón. Cuando la ley fnancera es el descuento comercal o raconal, la fecha (p) en la que se efectúa la comparacón es el momento presente (p=0) y por tanto, concden los valores. S utlzamos la ley de la captalzacón smple, la comparacón se efectúa en la fecha de acumulacón de ntereses, fecha que suele concdr con el fnal del año o semestre. S la ley es la captalzacón o el descuento compuesto la equvalenca puede establecerse en cualquer momento de tempo ya que la equvalenca NO depende del momento de valoracón. 51
Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Casos Práctcos Ejemplo Nº 10 Se tene que pagar una letra del tesoro de 7.500 dentro de 60 días y se acuerda sustturla hoy por otra de cuantía equvalente con vencmento dentro de 120 días aplcando el descuento comercal al 12% anual. Cuál sería la esta cuantía s se utlza el año comercal? 7.500 C 2 p=0 60 d 120 d 52
Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Ordenacón de Captales Dados dos captales y una ley fnancera, se preferrá el que tenga mayor valor en la fecha en la que se efectúa la comparacón. S son más de 2 captales se establecerá el orden de preferenca entre ellos comparando sus valores en la fecha ctada. S la ley es la captalzacón smple se hayan los montantes o cuantías fnales en p, M 1 y M 2 y luego se decde: 53
Suma de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Dados dos captales sumandos (C 1 ;t 1 ) y (C 2 ;t 2 ) y una ley fnancera de valoracón en p, el captal es la suma fnancera de ambos s se verfca para el descuento comercal p=0, la sguente gualdad de los valores descontados: C 1 C C 2 p=0 t 1 t t 2 C 1 * (1-d*t 1 )+C 2 (1-d*t 2 )= C(1-d*t ) 54
Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Cuando, con los msmos captales sumandos, la ley de captalzacón smple, el esquema gráfco y la ecuacón de equvalenca son: C 1 C C 2 t 1 t t 2 p Vencmento Común Vencmento Medo C 1 * (1+*(p-t 1 )) + C 2 * (1+*(p-t 2 )) = C* (1+*(p-t)) 55
Casos Práctcos Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales Ejemplo Nº 11 Se han de pagar dos letras, la prmera de 10.000 dentro de 45 días y la segunda de 20.000 dentro de 90 días y se decde hoy sustturlas por una que venza dentro de 60 días. S se utlza el descuento comercal a un tanto del 15% anual. Cuál sería la cuantía de la nueva letra? 10.000 1 0,15 45 90 60 +20.000 1 0,15 = 1 0,15 360 360 360 =29.808 56
Desdoblamento de Captales Valor del Dnero en el Tempo I.6. Suma y Desdoblamento de Captales El desdoblamento de captales es la operacón compuesta a la suma ya que ahora el dato es el captal suma y se trata de descomponerlo en varos captales susttutos. Se utlza cuando el deudor efectúa un pago en certo momento t y desea sustturlos por varos pagos de menor cuantía en dstntos momentos t 1, t 2, t 3,..., t n que en conjunto sean equvalentes al prmero. Un caso partcular del desdoblamento de captales es la prórroga de vencmento: t = C 1 t C C = C 2 C1 t C t C C2 * + * * 1 2 2 C t = 2 1 * t 1 57
Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema II. RENTAS FINANCIERAS 58
CONCEPTO DE RENTA Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas Sucesón o conjunto de captales fnanceros en determnados períodos de tempo con vencmentos regulares. a = ( a * t )( a * t )( a * t )...( a * t 1 1 2 2 3 3 n n ) Térmno de Renta Períodos de Maduracón a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 59
Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas Una renta, según su ORIGEN puede ser prepagable o pospagable. S se stúa en t 1 nos referremos a una renta prepagable. a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n S el orgen está en t 0 hablaremos de una renta pospagable. a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 60
Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas CLASIFICACIÓN DE RENTAS Las Rentas se pueden agrupar en dstntos subconjuntos que tenen una o más característcas en común. De entre todas las clasfcacones destacan las sguentes: 1º Por la cuantía de los captales Rentas Constantes Rentas Varables 2º Por la duracón Rentas Temporales Rentas Perpetuas 61
Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas 3º Por la ampltud de períodos de maduracón Rentas Dscretas Peródcas No Peródcas Rentas Contnúas 4º Por el momento de vencmento Rentas Pospagables Rentas Prepagables 5º Por el momento de valoracón Rentas Inmedatas Rentas Dferdas 62
Rentas Fnanceras II.1Concepto y Clasfcacón de Rentas En una operacón fnancera en la que ntervenen dos partes (A y B), se plantea la equvalenca fnancera de los captales que entregan ambas partes. Dcha equvalenca se plantea para un tpo de nterés de valoracón, el tpo de nterés efectvo anual ", y aplcando leyes compuestas. Recbe A C 0 = = Entrega A s (1 + ) as Entrega A = Recbe A Ejemplos de rentas: alquleres mensuales, préstamos, leasng, cupones o ntereses de bonos y oblgacones, dvdendos constantes, benefcos mensuales. 63
Rentas Fnanceras II.2 Valor Captal de una Renta Valoracón de rentas: la valoracón de rentas se realza en un momento del tempo, normalmente con leyes compuestas: En el orgen de la operacón (t=0) => Se obtene el Valor Actual (VA) de la renta. El valor actual de una renta es el captal equvalente en el momento actual (t=0), a "todos" los captales de la renta. El valor actual es el equvalente a "todas" las anualdades, mensualdades etc. de la renta. Los valores actuales para rentas se obtenen en hojas de cálculo con la funcón fnancera VA o VNA, para rentas constantes y varables respectvamente. En el fnal de la operacón (n) => Se obtene el Valor Fnal (VF) de la renta. 64
Rentas Fnanceras II.2 Valor Captal de una Renta Las varables que afectan al valor (actual o fnal) de una renta (en excel las funcones fnanceras son VA, VNA y VN) son tres: La duracón de la renta (t). El captal de la renta. Ej. en rentas untaras: 1 u. m. El tpo de nterés al que se calcula el valor (actual o fnal) de la renta: tpo de nterés efectvo anual (). 65
Rentas Fnanceras II.2 Valor Captal de una Renta Metodología de análss de las Rentas Constantes y Varables: RENTAS CONSTANTES RENTAS VARIABLES Anuales Valor Actual (VA) Valor Fnal (VF) Rentas Prepagables y Pospagables Rentas Perpetuas Fracconadas Anuales En progresón geométrca En progresón artmétca Fracconadas 66
RENTAS CONSTANTES Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Anuales Valor actual de una renta: VA es el valor actual de una renta (Ej. una renta untara de duracón n años y tpo de nterés efectvo anual ). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n VA 1 2 = 11 ( + ) + 11 ( + ) +... + 1( 1+ ) n VA = 1 n s= 1 (1 + ) s 67
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Valor actual renta: Valor actual renta de captal: VA = a n = ( 1 ( 1+ ) n ) C : C * a n El valor actual de una renta constante se representa medante el símbolo a n (a hstorada) y se obtene sumando las cuantías equvalentes en el momento 0 (orgen) a cada una de las undades monetaras que componen la renta a n = ( 1 ( 1+ ) n ) Para calcular el Valor Actual (VA = V 0 ) V VA 0 = * V VF a n n = * a n 68
Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 12 Una persona percbe una renta de 10.000 anuales y pospagables durante 10 años. Se desea conocer el Valor Actual de esta renta sabendo que se valora en captalzacón compuesta al 9% anual. a n = ( 1 ( 1+ ) n ) a 10 9% = ( 1 ( 1+ 009, ) 009, =6,4177 10 ) V VA = * V =10. 000* a 0 n n 0 10 9% V a = * VF a n = 10. 000 * 64177, = 64. 17658, 69
Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 13 Una empresa tenen prevsto el cobro de una renta constante de 6.000 al año durante 5 años, cuál sería el captal únco equvalente a dcha renta, en el momento actual, s el tpo de nterés efectvo anual es 3%? a n = ( 1 ( 1+ ) n ) a 5 3% = (1 (1 + 0,03) 0,03 = 4,5797 5 ) = * V = 6.000* 0 5 3% V V a a 0 n n VA = * VF a n = 6.000*4,5797 = 27.478,24 70
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Valor fnal de una renta: Valor fnal de una renta: VF es el valor fnal de una renta (Ej. una renta untara de duracón n años y tpo de nterés efectvo anual ). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 1 2 VA = 1(1 + ) + 1(1 + ) +... + 1(1 + ) n VA = 1 n s= 0 (1 + ) s 71
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Valor fnal de una renta: Valor fnal renta de captal: VF = sn C : C * s n n ( 1+ ) 1 = s El valor fnal se representa medante el símbolo n (s hstorada) y se obtene sumando las cuantías equvalentes en el momento n a cada una de las undades monetaras que componen la renta s n = n ( 1+ ) 1 Para calcular el Valor Fnal (VF = V n ) V VF = * V s n 0 n = VA * sn 72
Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 14 S se ngresa en una cuenta o depósto un captal de 6.000 anualmente y, la rentabldad de la cuenta es un 5%. De que captal se dspone pasados 3 años? s n = n ( 1+ ) 1 s 3 5% = (1 + 0,05) 0,05 3 1 = 3,1525 V = * V s n n V n = 6.000*3,1525 VF VA 0 s = * n =18.915 73
Casos Práctcos Ejemplo Nº 15 Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Una empresa consttuye un fondo de prevsón, a favor de sus trabajadores, para complementar sus pensones de jublacón. El fondo lo acumula medante aportacones anuales de 6.010 durante 8 años y la rentabldad efectva del fondo es un 4%. s n = n ( 1+ ) 1 s 8 4% = (1 + 0,04) 0,04 8 1 = 9,2142 V = * V s n n V n = 6.010*9,2142 VF VA 0 s = * n = 55.377,50 74
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Casos Práctcos Ejemplo Nº 16 Un ndvduo decde realzar un depósto de 100 el prmer día de cada mes durante qunce años. S el tpo de nterés efectvo al que la entdad remunera el depósto es del 3%. Determne el dnero dsponble transcurrdo los 15 años. 100 100 100 100 100 (12) = (1 + 0,03) 1 12 1 = 0,0024662 V n 0 1 2 3 n-1 n=12x15=180 = s = 100* = 100* ( (12) ) ( (12) 1+ * s 100* 1 ) (12) = + 1 1+ ( ) ( ) (12) 180+ 1 1+ = 100* ( 1+ 0,00246) (12) (12) 180 180+ 1 180+ 1 * a 180 (12) 180 180 (12) 1 = ( 1+ 0,00246) 0,00246 180 V n = 22.679 75
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Es fundamental tener claro (es quzá lo más mportante), que los ntereses generados, resultado de una nversón durante un período de tempo se les conoce como COSTE DE OPORTUNIDAD. Y éste, en Rentas Fnanceras, está representado por y. a n s n Por tanto, la a hstorada recoge todos los costes de oportundad generados de una nversón realzada, de la cual se conoce el valor fnal de la renta fnancera total equvalente. Sn duda, a n sntetza el cálculo de los costes de oportundad en cada período de maduracón. n VA 1 1 1 1 1 (1 + ) = + + + L+ = = a n n (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 2 3 76
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Por su parte, la s hstorada recoge todos los costes de oportundad que se generarán al realzar una renta fnancera. Al gual que la a hstorada, s n recoge todos los costes de oportundad en cada período de maduracón. n 1 n 2 VF = 1*( 1+ ) + 1*( 1+ ) + 1*( 1+ ) n 3 + L+ 1 = = (1 + ) n an = sn k 77
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes El valor actual y el valor fnal de la renta son captales equvalentes puesto que mden lo msmo (el valor de la renta) en dos momentos dferentes de tempo (t 0 y t n ). Por ello, s conocemos una de las cuantías podemos calcular la otra. Así, para pasar de 0---n en captalzacón compuesta tenemos que n multplcar por ( 1+ ) ; y para pasar de n---0 hay que multplcar por. (1+ ) n ( a n ; n) ( s n ; n) s a n n = = (1 + ) (1 + ) n n * a * s n n 78
Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 17 Una empresa propone las sguentes modaldades de devolucón de un depósto de 1.000. A) Un únco pago transcurrdo tres años de 1.330 1000 1330 1.330 1.000 = = 3 (1 + ) 9,972% B) Un únco pago transcurrdo cnco años de 1.550 1000 1550 1.550 1.000 = = 5 (1 + ) 9,16% 79
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Rentas prepagables y pospagables Renta pospagable: Cuando el prmer captal de la renta se cobra/paga al fnal del prmer ejercco (en t=1). (El argumento "tpo" es 0). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n Renta prepagable: Cuando el prmer captal de la renta se cobra/paga al prncpo del prmer ejercco (en t=0). (El argumento "tpo" es 1). a 1 a 2 a 3 a n t 0 t 2 t 1 t 3 t n 80
Casos Práctcos Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Ejemplo Nº 18 S exste un compromso de pagar unos captales de 6.000, a prncpo de cada uno de los próxmos 10 años. Cuál es el captal únco a pagar para lqudar la deuda s el tpo efectvo anual es el 3,7%? Es decr, Cuál es el valor actual equvalente a la renta prepagable? a n = ( 1 ( 1+ ) n ) a 10 3,7% = (1 (1 + 0,037) 0,037 = 8,2333 10 ) V VA = * V = 6.000* a 0 n n 0 10 3,7% V a = * VF a n = 6.000*8,2333 = 49.400,37 81
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Rentas perpetuas Renta perpetua y pospagable: La duracón de la renta es perpetua, n. Por tanto, en rentas perpetuas no se obtenen valores fnales Por qué? El símbolo del valor actual de este tpo de rentas es a y se obtene de: a 1 1 2 ( 1+ ) ( 1+ ) + ( 1+ ) +... = 1 1 ( 1+ ) = 1 = 1 El resultado fnal es el captal que habría que colocar en el momento ncal para poder cobrar una undad monetara al fnal de cada período con carácter ndefndo (perpetuo). 82
Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes Es mportante destacar que en las rentas perpetuas NO tene sentdo hablar del valor fnal (VF) ya que la duracón (n) es nfnta. Cuando la renta perpetua es de cuantía constante y pospagable, la formula para encontrar el valor actual (VA) es:, VA = VF a = pm * VF pm 83
Renta perpetua y prepagable: Este tpo de rentas, tenen como prncpal característca el pago nfnto de las cuantías que ntegran el captal únco equvalente. El valor actual (VA) se anota smbólcamente así: Rentas Fnanceras II.3 Valoracón de Rentas Constantes ä = 1 1 ( 1+ ) 1 2 1+ ( 1+ ) + ( 1+ ) +... = 1 ä = 1+ S la renta es V&& A = VF ä constante, VA es: pm * 84
RENTAS CONSTANTES Fracconadas Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Una renta constante anual se puede fracconar m períodos guales. En rentas fracconadas, cada cuantía y cada período de maduracón se dvde en m partes guales y se establece la aplcacón byectva entre cada cuantía y cada subperíodo de maduracón. Para estmar el valor actual (VA) de una renta constante en períodos nferores al año (meses, trmestres...), es necesaro que todas las varables estén en la msma undad de tempo: Por ejemplo, s la renta es trmestral: El captal será trmestral (A 3 ) El tempo son trmestres (n=4) El tpo de nterés será trmestral ( 4 ) 85
Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Casos Práctcos Ejemplo Nº 19 Una persona desea obtener los valores actual (VA) y fnal (VF) de una renta fracconada valorada a un tpo de nterés efectvo anual del 12% en el sguente supuesto: º) Cuantías trmestrales constantes y pospagables de 2.500 euros durante 10 años. 86
Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Solucón del supuesto: 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 1/4 2/4 3/4 1/4 2/4 3/4 t 0 t 1 t 9 t 10 El valor actual es: VA VF = * a n n VA = VF *( 1 ( 1+ ) ) / 4 4 40 VA = 2500. *(( 1 ( 1+ 002874, ) ) / 0, 02874) VA =2500. *( 25, 5939) VA = 58. 9848, t j = ( 1+ ) 1 4 87
Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Y el valor fnal es: VF VF VA = * s n = VA* (( 1+ ) / n 4) 1 4 VF = 2500. *(( 1+ 002874, ) 40 1) / 0, 02874) VF VF VF =2500. *( 21058, / 0, 02874) =2500. *( 73, 2792) = 183. 1979, t j = ( 1+ ) 1 4 88
Recordando el Esquema Metodología de análss de las Rentas Constantes y Varables: RENTAS CONSTANTES RENTAS VARIABLES Anuales Valor Actual (VA) Valor Fnal (VF) Rentas Prepagables y Pospagables Rentas Perpetuas Fracconadas Anuales En progresón geométrca En progresón artmétca Fracconadas 89
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables RENTAS VARIABLES GENERALES En este tpo de rentas los térmnos son dferentes entre sí y su varacón no sgue nnguna ley conocda. Exsten 4 tpos de rentas varables generales: Renta Pospagable Renta Prepagable Renta Dferda Renta Antcpada 90
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Pospagable R: a 1 a 2 a s. a n t 0 t 1 t 2 t s t n Su Valor Actual se calcula así: VA = a n 1 2 n 1 *( 1+ ) + a2 *( 1+ ) +... + an *( 1+ ) = as *( 1 s= 1 + ) s Y su Valor Fnal: VF = a n n 1 n 2 1 *( 1+ ) + a2 *( 1+ ) +... + an = as *( 1 s= 1 + ) n s 91
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Prepagable R & a 1 a 2... a s... a n t 0 t 1 t s-1 t n-1 t n IMPORTANTE: En las rentas varables, al gual que en las constantes, el operador matemátco <<1+ >> permte obtener el valor de una renta prepagable a partr del correspondente valor de la pospagable. 92
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Dferda ( 1+ d ) *Vd V d a 1 a 2... a n 0 d d+1 d+2 d+n dfermento Al valorar la renta en d se obtene el valor V d correspondente a una renta nmedata; para trasladar este valor a 0 hay que multplcar por el factor de actualzacón (1+d) -d. Por tanto: d / d VA =1+ ( ) * V d 93
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Renta Antcpada VF a 1 a 2... a n ( 1+ ) k *VF 0 t 1 t 2 t n n-k Antcpamento El valorar de la renta en n es VA (valor fnal de la renta nmedata) y hay que multplcarlo por (1+) k para trasladarlo a n+k. En consecuenca: k / + k VF =1 ( ) * V F 94
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables RENTAS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA En estas rentas cada térmno se obtene a partr del anteror multplcándolo por un número q que le denomnaremos RAZÓN GEOMÉTRICA. La razón ha de ser postva q > 0. Cuando q > 1 los térmnos crecen y cuando q < 1 los térmnos decrecen. Al gual que las rentas constantes, las rentas varables en progresón geométrca pueden ser: Cuando la renta es temporal y pospagable. Cuando la renta es perpetua y pospagable. Cuando la renta es temporal y prepagable. Cuando la renta es perpetua y prepagable 95
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Por ejemplo, una renta temporal y pospagable en progresón geométrca se calcularía así: a 1 a 2 * q a 3 * q 2... a n * q n-1 t 0 t 1 t 2 t 3 t n A ( a; q) n Para obtener VA, cuyo símbolo estará representado por se valorarán en el orgen estos captales y después se sumarán: 1 2 n 1 A( a; q) = C *( 1+ ) + C * q *( 1+ ) +... + C * q *( 1+ ) n = C *( 1+ ) * 1 n 1 ( n 1 [ 1+ q *( 1+ ) +... + q *( 1+ ) ] = 1 ) n = 96
97 Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Dentro del corchete se tene la suma de térmnos de renta en progresón geométrca de razón q*(1+) -1 =q/(1+) ) *( ) ( * ) *( q q C n + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 q q C q C A n n + + = 1 1 1 * ) ; ( Y el cálculo del Valor Fnal (VF) sería: q q C q C A q C S n n n n n + + = + = 1 1 1 ) ( * ) ; ( * ) ( ) ; (
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables RENTAS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA En estas rentas cada térmno de renta se obtene en funcón del anteror sumándole una cuantía constante r que le llamaremos RAZÓN ARITMÉTICA. Esta razón puede ser postva o negatva; s es negatva estará condconada a que el últmo térmno de renta será postvo. Al gual que en la progresón geométrca, exsten cuatro tpo de rentas según su temporabldad y capacdad de lqudacón. 98
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Por ejemplo, una renta temporal y pospagable en progresón artmétca se calcularía así: a 1 a 2 + r a 3 + 2*r... a n + (n-1)*r t 0 t 1 t 2 t 3 t n A ( a; r) n Para obtener VA: A( C; r) n = C + r * a n r * n*( 1+ ) n Para obtener VF: n r r* n S( C; r) n = ( 1+ ) * A( C; r) n = C+ * sn 99
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables VALORACIÓN DE INVERSIONES Tal y como se ha menconado en la dapostva 13 de este materal, las decsones fnanceras comprenden dos tpos: las de nversón y las de fnancacón. Desde la perspectva de la valoracón fnancera, ambas operacones son duales la una de la otra, por lo que las defnremos así: Operacón de Inversón: Cuando en prmer lugar se desembolsa el captal y luego se va recuperando a lo largo del tempo. Operacón de Fnancacón: Cuando en prmer lugar se recbe el captal y luego se va devolvendo a lo largo del tempo. 100
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Las nversones se pueden clasfcar desde dstntos puntos de vsta, nosotros utlzaremos la sguente: Inversones reales: Cuando se trata de actvos físcos tales como edfcos, maqunara, equpo de ofcna, etc. Este tpo de nversones suele clasfcarse como operacones a largo plazo. Inversones fnanceras: Cuando se concretan en títulos de valores, y por lo regular se realzan en horzontes económcos cortos. 101
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables El esquema gráfco de una nversón es: -C 0 R 1 R 2 R s R n t 0 t 1 t 2 s t n En el que: C 0 es el desembolso ncal que genera la nversón. R s, con s=1,2,3,,n, son los rendmentos netos futuros que produce la nversón en cada uno de los períodos de maduracón. n, es la duracón u horzonte económco de la nversón. 102
Exsten dversos crteros para la eleccón de nversones. Los más destacados son: Valor Actual Neto (VAN): Tasa Interna de Rentabldad (TIR): Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables CRITERIOS DE DECISIÓN PARA LA ELECCIÓN DE INVERSIONES Ambos crteros son métodos de evaluacón de actvos que: Establecen la equvalenca fnancera en el punto de orgen. Resumen toda la nformacón de la nversón en una sola cuantía. Permten conocer s una nversón es aceptable o no. Ordena y seleccona nversones según su benefco actual esperado. 103
Se defne como el valor actual de la renta que forman los rendmentos netos restándole el captal ncal que se desembolsa en el orgen. Su especfcacón matemátca es: n VAN Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables VALOR ACTUAL NETO (VAN) = C + R S *1 ( + ) 0 s= 1 El resultado obtendo de esta expresón se denomna benefco actual neto esperado de cualquer nversón. Por tanto el VAN permte: Conocer s la nversón es aceptable (VAN>0) o no (VAN>0) S 104
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables Por tanto, s los rendmentos netos forma una renta constante: VAN = R * an C 0 S los rendmentos netos forma una renta varable tendríamos: VAN = A( C; q) n C0 Progresón Geométrca VAN = A( C; r) n C0 Progresón Artmétca 105
Rentas Fnanceras II.4 Valoracón de Rentas Varables TASA INTERNA DE RENTABILIDAD (TIR) Es el tanto que guala fnanceramente los rendmentos netos de la nversón al desembolso efectuado en el momento ncal (C 0 ). La TIR se obtene despejando la sguente gualdad: C 0 n = R S *1 ( + TIR) s= 1 S La TIR de una nversón es la rentabldad anual por undad monetara nvertda. Este tema se retomará al fnal del tema III. 106
Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Casos Práctcos Ejemplo Nº 20 Una empresa necesta establecer el orden de preferenca de dos nversones aplcando el crtero VAN. La cuantía ncal es de 100.000 euros, tenen la msma duracón (5años) y el tpo de nterés efectvo anual es del 15%. Rendmentos Netos Anuales Inversón Co R1 R2 R3 R4 R5 A 100.000 40.000 40.000 40.000 40.000 40.000 B 100.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 107
Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Solucón aplcando el VAN Inversón A: Rendmentos de una renta constante (40.000) VAN R* a = n C 0 VAN = 40 5 015.. 000* a. 100 000 = = 5 1 ( 1+ 015, ) 40000. * 100. 000 015, 40. 000* 33521551, 100. 000 34. 08620, = 108
Rentas Fnanceras II.5 Rentas Constantes Fracconadas Inversón B: Rendmentos de una renta varable en progresón artmétca de r =10.000 VAN = A( C; r) n C0 = 20 15 A(. 00010000 ;. ) 5 % 100. 000 10000. = 20000 + * a 015,. 5 015, 10000. * 5*( 1+ 015, ) 015, 5 100.000 = ( 8666667., * 33521551. 165725578., ) 100. 000 24. 79453, = 109
Departamento de Fnancacón e Investgacón Comercal Tema III. OPERACIONES FINANCIERAS 110
III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras Concepto Operacones Fnanceras III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras Es un ntercambo no smultáneo de captales fnanceros entre las partes que ntervenen en dcho proceso de tal forma que los compromsos o acuerdos sean equvalentes. Por tanto, el concepto de operacón fnancera exge: Debe exstr cualquer temporabldad o duracón de la operacón. Intervendrán más de dos partes (físcas o jurídcas). Introduccón de dos nuevos conceptos: prestacón y contraprestacón. 111
Clasfcacón Operacones Fnanceras III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras Exsten dstntas perspectvas de clasfcacón de las Operacones Fnanceras, las más mportantes son: 1º Por el número de captales Operacones Smples Operacones Compuestas 2º Por su duracón Operacones a corto plazo Operacones a largo plazo 112
Operacones Fnanceras III.1 Concepto y Clasfcacón de Operacones Fnanceras 3º Por la ley fnancera Operacones de captalzacón Operacones de descuento 4º Por el objetvo Operacones de fnancacón Operacones de nversón 113
Operacones Fnanceras III.2 Equvalenca Fnancera III.2 Equvalenca fnancera En TODA operacón fnancera los compromsos acordados (prestacón y contraprestacón) entre dos partes deberán ser EQUIVALENTES. Es decr, una vez concertada una de las 5 leyes fnanceras de valoracón, la suma total de los captales fnanceros de la prestacón deberán ser guales a la suma de los captales fnanceros de la contraprestacón. Representado matemátcamente: n * ( ) n s C C` * ( ) n`s s 1 + = s 1 + s= 1 m s= 1 114
Operacones Fnanceras III.2 Equvalenca Fnancera III.3 Saldo Fnancero El saldo fnancero en un momento t del transcurso de la operacón fnancera es el captal que mde la dferenca entre la contraprestacón y la prestacón ya cumpldos por las partes. La ecuacón de la equvalenca de la operacón fnancera en t es: S S = S + S S S = S S = 1 2 1 2 1 1 2 2 R t ( R t ; t) ( ) Por tanto, el captal es el saldo de la operacón cuya cuantía puede obtenerse de dos formas dstntas: R t Por dferenca entre los compromsos pasados: Por dferenca entre los compromsos futuros: S1 S 1 S 2 S 2 115
Bblografía: De Pablo López, Andres (2002). Valoracón Fnancera. Edtoral Centro de Estudos Ramón Areces, S.A. Tercera Edcón. Mendoza Resco, Carmen (2009). Matemátcas Fnanceras. UAM Edcones. Navarro, Elseo y Nave, Juan (2001). Fundamentos de Matemátcas Fnanceras. Edtor Anton Bosch. 116