8 Representación de funciones

8 Representación de unciones ACTIVIDADES INICIALES 8I Escribe los siguientes cocientes menor que el grado de Q(): a) + + a) + + P() ( + ) P( ) Por tanto: + Q( ) + P ( ) Q ( ) como R ( ) C ( ) + con C() y R() polinomios y el grado de R() Q ( ) b) + + + + b) + + + + + + + + + 5 P() ( + + ) ( + ) + ( ) P( ) Por tanto: + + Q( ) + + 8II Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas a) 5 + + 5 0 b) + 0 9 a) Primero sacamos actor común y luego aplicamos Ruini: 5 + + 5 0 ( + + 5) 0 ( + )( + 5) 0 Sus soluciones son 0 y b) Es una ecuación bicuadrada, + 0 + 9 0, que se resuelve llamando t: t + 0t + 9 0, cuyas soluciones son t 9 y t, lo cual es imposible La ecuación + 0 + 9 0 no tiene soluciones reales 8III Resuelve las siguientes inecuaciones a) + 5 0 b) < c) 0 + + a) 0 ( ) 0 Esta última epresión se anula si 0,, Estudiamos el signo dividiendo la recta real por medio de los valores de que anulan la epresión: Valores de (, ) (, 0) 0 ( 0, ) (, + ) Signo de ( ) + 0 0 + 0 La solución está ormada por todos los números que pertenecen a (, ] [0, ] + 5 + 5 + + b) < < 0 < 0 El denominador es siempre positivo, así que estudiamos el + + + signo del numerador: + + 0, Como ( ) + + es una parábola cóncava hacia abajo, será negativa en (, ), +, que coincide con la solución de la inecuación ( + )( ) c) 0 0 En numerador se anula si,, y el denominador si + + Estudiamos el signo: Valores de (, ) (, ) (, ) (, + ) ( + )( ) No se puede Signo de 0 + 0 + + dividir por cero La solución está ormada por (, ] (, ] 86

8 btén el dominio de las siguientes unciones EJERCICIS PRPUESTS a) () + c) h() + + b) g() + + d) i ( ) + 6 a) D() R b) El denominador no se anula nunca El radicando es positivo o cero si D(g) [, + ) c) El denominador se anula si 0 o si D(h) R {0, } d) El denominador se anula si 6 El radicando es positivo o cero si D(i) (, 6) ( 6, ] 8 Calcula el recorrido de las siguientes unciones a) () + 6 b) g() si < < a) La gráica de () es una parábola cóncava hacia arriba; así pues, los valores de () son mayores o iguales 5 que la ordenada de su vértice El vértice es el punto V, El recorrido es R() 5, + b) La unción g() es creciente, ya que su derivada, g () 6, es siempre positiva o cero Así pues, R(g) [( ), ()] [ 9, 5] 8 Un psicólogo introduce repetidas veces una rata en un laberinto para estudiar su capacidad de aprendizaje Ha observado que el tiempo, en minutos, que tarda en recorrerlo en el intento viene dado por la órmula: T ( ) + a) Calcula el dominio de T() en este conteto b) Puede la rata tardar menos de minutos en realizar el trayecto? c) Calcula el recorrido de la unción en su conteto a) D(T),,,, 5 b) T ( ) + > ; así pues, una rata siempre tardará más de minutos en recorrerlo c) R(T) {T() 6, T() 0, T() 8, T() 7 } 8 Halla los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la unción: a) ( ) ( )( + ) 6 b) ( ) a) Basta estudiar el signo de ( ), teniendo en cuenta que ( + ) 0 y que la unción se anula en y Así pues, la unción es negativa en (, ) (, ) y positiva en (, + ) Corta al eje en los puntos A(, 0) y B(, 0) Corta al eje en el punto C(0, (0)) C(0, ) 6 ( + )( ) b) ( ) Estudiemos su signo: ( + )( ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, + ) Signo de + 0 D () + D () 0 + Así pues, la unción es positiva en (, ) (, ) (, + ) y negativa en ( ), (, ) Corta al eje en los puntos A(, 0) y B(, 0) Corta al eje en el punto C(0, (0)) C(0, ) 87

85 Cuáles de estas unciones son simétricas? a) () + b) () ln a) ( ) ( ) + ( ) No tiene simetría par ni impar b) ( ) ln( ) ln () Tiene simetría par 86 Calcula el período de la unción () sen ( ) sen sen sen 6 6 + π + π + π ( ) ( ) El período es T 6π 87 Halla las asíntotas de las siguientes unciones a) ( ) 6 b) () c) + ( ) + d) () + 6 ( + )( ) a) Asíntotas verticales: ( ) El denominador se anula si o si ( + )( ) 6 La recta es una asíntota vertical a no es necesario hallar el otro límite lateral 6 + La recta es una asíntota vertical 6 6 Asíntotas horizontales: y + La recta y es una asíntota horizontal por ambos lados Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas b) Asíntotas verticales: El denominador de ( ) se anula si o si ( + )( ) + ( + )( ) ( + )( ) La recta es una asíntota vertical La recta es una asíntota vertical Asíntotas horizontales: 0 y 0 La recta y 0 es una asíntota + ( + )( ) ( + )( ) horizontal por ambos lados Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas + ( + )( ) c) Asíntotas verticales: El denominador de ( ) se anula si o si + ( )( ) ( + )( ) ( + ) ( + )( ) No hay asíntota vertical en + La recta ( )( ) ( ) + ( )( ) es una asíntota vertical + + Asíntotas horizontales: + y No tiene asíntotas horizontales + + + Asíntotas oblicuas: Hacemos la división que indica la epresión de la unción y obtenemos: + 0 0 ( ) + 5 + La recta y + 5 es una asíntota oblicua + + d) Asíntotas verticales: El denominador de ( ) se anula si + + La recta es una asíntota vertical + + + Asíntotas horizontales: y La recta y es una asíntota horizontal + cuando tiende a más ininito, y la recta y es una asíntota horizontal cuando tiende a menos ininito Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas 88

88 Halla los etremos s y estudia la monotonía de las siguientes unciones a) () 5 + 5 b) ( ) e + a) La derivada de es () 5 + 5 5 ( + ), y se anula si 0 La derivada siempre es mayor o igual que cero, luego la unción es creciente en R b) La derivada de ( ) e + ( ) es ( ) e +, que se anula si o si Estudiemos su signo: ( + ) La unción es decreciente en (, ) (, + ) y creciente en (, ) Tiene un mínimo en el punto A(, ( )) A, e Tiene un máimo en el punto B(, ()) B(, e) 89 Dibuja una posible gráica para y () sabiendo que: () > 0 si < o si > () < 0 si < < ( ) < y () > (, ) (, ) (, + ) Signo de ' 0 + 0 Comportamiento de Decreciente Mínimo Creciente Máimo Decreciente 80 (PAU) Una cadena de televisión ha estrenado un nuevo programa para la ranja de las a las 5 horas El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente unción: S(t) t + 6t 0t + 596, t 5 epresado el tiempo t en horas Para que el programa siga en antena, el share ha tenido que alcanzar en algún instante el 0% a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció Seguirá emitiéndose el programa? b) Dibuja la gráica del share a) La derivada es S'(t) t + 7t 0, que se anula si t 0 o t Como la derivada es una parábola cóncava hacia abajo, es negativa en (,0) (, + ) y positiva en (0, ) Así pues, el share es creciente en [, ) y decreciente en (, 5] Estudiemos el máimo del share en el intervalo [, 5] Para ello comparamos: S() 8; S() ; S(5) Así pues, el share nunca alcanza el 0% y, por tanto, dejará de emitirse b) El dibujo de la gráica del share se muestra a la derecha: S(t ) 5 t 89

8 Estudia la curvatura y halla los puntos de inleión de las siguientes unciones a) () c) () + ln b) ( ) e d) ( ) Debemos estudiar el signo de la segunda derivada a) '() 6 6, ''() 6 La segunda derivada se anula si A su izquierda es negativa y a su derecha es positiva Por tanto, la unción es cóncava hacia abajo en, y cóncava hacia arriba en, + El punto A, A, es el punto de inleión b) ( ) e, ( ) ( + ) e La segunda derivada es siempre positiva y no se anula nunca La unción es cóncava hacia arriba en todo su dominio, R, y no tiene puntos de inleión c) El dominio de la unción es D () ( 0, + ) ( ) +, ( ) 0 0 (no pertenece al dominio) o si Estudiemos su signo: 0,, + Signo de '' 0 + Comportamiento de Cóncava hacia abajo Punto de inleión Cóncava hacia arriba Así pues, la unción es cóncava hacia abajo en 0, y cóncava hacia arriba en, + Tiene un punto de inleión en A, A, ln 8 d) El dominio de la unción es D() R {} ( ), ( ) La derivada segunda no se ( ) ( ) anula nunca; por tanto, la unción no tiene puntos de inleión Estudiemos su signo: (, ) (, + ) Signo de '' D () + Comportamiento de Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba La unción es cóncava hacia abajo en (,) y cóncava hacia arriba en (, + ) 8 Representa una unción que veriique: Es creciente en (, ) (, 0) υ (, + ) y decreciente en (0, ) Sus etremos s son A(0, 6) y B(, ) () > 0 en (, ) (, + ) y () < 0 en (, ) 90

8 Representa una unción que reúna todas estas características: (0) 0, (0) 0 La recta es una asíntota vertical Crece en (, ) (, 0) ( ) ( ) 0 ; ( ) 0 + () < 0 si (0, ) (, + ) 6 8 Representa la unción ( ) 8 I Dominio Es una unción polinómica D() R 6 II Corte con los ejes La gráica de ( ) 8 corta al eje en los puntos (0, 0), A( 6, 0) (6 ) 8 y B ( 6, 0) Corta al eje en el (0, 0) Es una unción par: simétrica respecto al eje III Límites en el ininito ( ) + ( ) ( ) IV Inormación etraída de la primera derivada ( ) 8 La derivada se anula si 0,, Estudiemos su signo: (, ) (, 0) 0 ( 0, ) (, + ) Signo de ' + 0 0 + 0 Comportamiento de Creciente Máimo Decreciente Mínimo Creciente Máimo Decreciente La unción es creciente en (, ) ( 0, ) y decreciente en (, 0) (, ) Tiene máimos s en los puntos C 9 (, ( ) ) C, D, + 8 y 9 8 Tiene un mínimo en el punto (0, (0)) (0, 0) ( ) V Inormación etraída de la segunda derivada ( ) 8 La segunda derivada se anula si o Estudiemos su signo: (, ) (, ) (, + ) Signo de '' 0 + 0 Comportamiento de Cóncava hacia abajo Punto de inleión Cóncava hacia arriba Punto de inleión Cóncava hacia abajo La unción es cóncava hacia abajo en (, ) (, + ) y cóncava hacia arriba en (, ) Tiene dos puntos de inleión: 5 E(, ( )) E, 8 y F(, ()) F 5, 8 9

85 (PAU) Para la unción : R R deinida de la orma () 8 8 + 0, determina: a) Su monotonía y sus etremos s b) Su curvatura y sus puntos de inleión c) Su representación gráica a) La derivada, ( ) 68 + 0 ( 7 + 0) ( )( 5), se anula para y 5, que son las abscisas de los puntos susceptibles de ser máimos o mínimos s Estudiemos cómo varía el signo de la derivada en los intervalos deinidos por dichos valores: (, ) (, 5) 5 ( 5, + ) Signo de ' + 0 0 + Comportamiento de Máimo Mínimo Creciente Decreciente Creciente La unción es creciente en (,) ( 5, + ) y decreciente en (, 5) Tiene un máimo en el punto A(, ()) A(, 08) Tiene un mínimo en el punto B(5, (5)) B(5, 00) 7 b) La segunda derivada es ( ) 8 68, y se anula si 7, 7 7, + Signo de 0 + Comportamiento de Cóncava hacia abajo Punto de inleión Cóncava hacia arriba 7 La unción es cóncava hacia abajo en, y cóncava hacia arriba 7 en, + El punto C 7, 7 7 C,5 es un punto de inleión 50 86 (PAU) La gráica de la unción () a + b + c satisace las siguientes propiedades: Pasa por el punto (0, 0) Tiene un máimo local en el punto (, ) a) btén el valor de los coeicientes a, b y c b) Representa la unción a) (0) 0 implica que (0) c 0 La unción es () a + b, y su derivada, () a + b () 0 a + b 0 () a + b Resolviendo el sistema, calculamos los coeicientes: a, b 6 La unción es () + 6 b) La unción () + 6 ( ) corta a los ejes en los puntos (0, 0) y A,0 La derivada de la unción es () + ( ), y se anula si 0 o si Al estudiar el signo de la derivada se observa que en 0 hay un mínimo, y en, un máimo Su gráica se encuentra a la derecha 9

87 Representa las siguientes unciones racionales ( ) a) ( ) + b) ( ) + + a) ( ) + I Dominio D() R {0} El denominador se anula si 0 II Corte con los ejes No corta los ejes La unción es simétrica respecto al origen porque ( ) () + III Asíntotas verticales + ; por tanto, la recta 0 es una asíntota vertical de la gráica de la + 0 + unción Además, 0 IV Límites en el ininito + +, + No tiene asíntotas horizontales + 0 + + La recta y es asíntota oblicua, pues ( ( ) ) V Inormación etraída de la primera derivada () 0 solo si, Así que P(, ) es un mínimo, y Q(, ), un máimo La unción es creciente en (, ) (, + ) y decreciente en (, 0) ( 0, ) VI Inormación etraída de la segunda derivada ( ) La segunda derivada no se anula nunca y, por tanto, no tiene puntos de inleión,0 y cóncava hacia arriba La unción es cóncava hacia abajo en ( ) en ( 0,+ ) b) ( ) ( ) + I Dominio D() R { } El denominador se anula si II Corte con los ejes Corta el eje en el punto A(, 0) y al eje en el punto B(0, ) III Asíntotas verticales ( ) Además + + + IV Límites en el ininito ( ) +, la recta es una asíntota vertical ( ), ( ) + No tiene asíntotas horizontales + 6 Si eectuamos el cociente, vemos que ( ) 9 +, por lo que la recta y 9 es una asíntota + oblicua ( )( + 9) V Inormación de la primera derivada ( ) La derivada se anula si o si 9 ( + ) (, 9) 9 ( 9, ) (, ) (, + ) Signo de + 0 D () 0 + Comportamiento de Creciente Máimo Decreciente Decreciente Mínimo Creciente La unción es creciente en (, ) (, + ) ( 9, ) (, ) 9 y decreciente en Tiene un máimo en C( 9, ) y un mínimo en A(, 0) 7 VI Inormación etraída de la segunda derivada ( ) ( + ) La segunda derivada no se anula nunca y, por tanto, no tiene puntos de, y cóncava inleión La unción es cóncava hacia abajo en ( ) hacia arriba en (,+ ) 0 0 9

88 Representa la unción deinida a trozos: si 0 ( ) + + si > 0 D() R { } La unción es continua en 0, ya que ( ) ( ) (0) 0 0 + El primer trozo es una unción racional La recta es una asíntota vertical, y la recta y es una asíntota horizontal cuando tiende a menos ininito El segundo trozo es una parábola cóncava hacia arriba y que corta el eje en el punto A(, 0) 89 Representa las siguientes unciones a) ( ) b) ( ) a) ( ) I Dominio Resolviendo la inecuación 0, D() (, ] U [, + ) II Cortes con los ejes No eiste corte con el eje vertical y corta el eje horizontal en A(, 0) y B(, 0) La unción es par III Asíntotas verticales La unción no tiene asíntotas verticales IV Comportamiento en el ininito + y +, luego no hay asíntotas horizontales ( ) + ( ) + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + + + + 0 + + + / + La recta y es asíntota oblicua en Como la unción es par, la recta y es la asíntota oblicua en + V Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos La derivada en (, ) U (, + ) es ( ),que es negativa en (, ) y positiva en (, + ) Por tanto, la unción es decreciente en (, ) y creciente en (, + ) VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada en (, ) U (, + ) es ( ), ( ) que es siempre negativa, luego la unción es cóncava hacia abajo b) ( ) I Dominio Resolviendo la inecuación 0, D() [, ] II Corte con los ejes ( ) 0, si + 0, cuyas soluciones son + y Corta el eje en el punto A(0, ) III Asíntotas No tiene asíntotas IV Crecimiento, decrecimiento Etremos s La derivada es ( ) +, que se anula si A su izquierda es positiva y a su derecha es negativa Así pues, la unción es decreciente en [, ) y creciente en (, ] Tiene un mínimo (que también es absoluto) en el punto B(, ) V Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada es ( ), que es siempre ( ) positiva, y, por tanto, la unción es cóncava hacia arriba 9

80 Representa las siguientes unciones a) ( ) e b) a) ( ) e ( ) + e b) I Dominio: R II Cortes con los ejes La gráica corta a los ejes en el punto (0, 0) III Asíntotas verticales La unción no tiene asíntotas verticales IV Comportamiento en el ininito e 0, luego hay una asíntota horizontal y 0 por la izquierda V Monotonia Máimos y mínimos ( ) e ( + ),que es negativa en (, ) y positiva en (, + ) Por tanto, la unción es decreciente en (, ) y creciente en (, + ) Tiene un mínimo (también es absoluto) en B(, ) e VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada es ( ) e ( + ), que en el intervalo (, ) es negativa, luego la unción en ese intervalo es cóncava hacia abajo, mientras que en el intervalo (, + ) es positiva, luego la unción es cóncava hacia arriba en ese intervalo Tiene un punto de inleión en, e ( ) + e I Dominio: R II Cortes con los ejes La gráica corta los ejes en el punto A(0, ) III Asíntotas verticales La unción no tiene asíntotas verticales IV Comportamiento en el ininito + e 0, luego hay una asíntota horizontal y 0 por la izquierda, y + + e, luego hay una asíntota horizontal y por la derecha e V Monotonia Máimos y mínimos ( ), siempre es ( e + ) positiva; por tanto, la unción es siempre creciente VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada es e ( e ) ( ), que en el intervalo (, 0) es positiva, luego la ( e + ) unción en ese intervalo es cóncava hacia arriba, mientras que en el intervalo (0, + ) es negativa, luego la unción es cóncava hacia abajo en este intervalo Tiene un punto de inleión en (0, ) 8 Cuando un cable se cuelga de dos postes, la curva que orma se llama catenaria La ecuación de una e + e catenaria es ( ) Represéntala gráicamente 8 I Dominio: R II Cortes con los ejes La gráica corta los ejes en el punto A (0, ) III Asíntotas verticales La unción no tiene asíntotas verticales IV Comportamiento en el ininito e + 8 e + e e + y + + 8 V Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos La derivada es e e ( ), que en el intervalo (, 0) es negativa, por tanto la unción es decreciente en ese intervalo y en el intervalo (0, + ) es positiva, luego la unción crece VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada es ( ) e + e, que es siempre positiva, luego la unción es siempre cóncava hacia arriba 95

8 Representa la unción ( ) ln( ) I Dominio: (0, + ) II Cortes con los ejes: ( ) ln( ) 0 0, La gráica corta con el eje horizontal en el punto (,0), III No tiene asíntotas verticales IV Comportamiento en el ininito ln( ) + + V Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos: La derivada es ( ) ln( ) +, es positiva en ( e, ) +, luego la unción es creciente en ese intervalo y es negativa en (0, decreciente en ese intervalo El punto e, e es un mínimo absoluto VI Curvatura y puntos de inleión: La segunda derivada es ( ) ln +, es positiva en ( e, ) +, luego la unción es cóncava hacia arriba en ese intervalo y al ser negativa en ( 0, e ), la unción es cóncava hacia abajo en ese intervalo Hay un punto de inleión e, e e ),luego la unción es ln 8 Representa la unción ( ) I Dominio: (0, + ) ln II Cortes con los ejes: ( ) 0 ln 0 La gráica corta el eje horizontal en el punto (, 0) ln III Asíntotas verticales, luego 0 es una asíntota vertical por la derecha + 0 ln IV Comportamiento en el ininito 0, luego y 0 es una asíntota horizontal por la derecha + ln V Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos La derivada es ( ), que es positiva en (0, e), por tanto la unción es creciente en ese intervalo y es negativa en (e, + ), la unción será decreciente en ese intervalo Hay un máimo en (e, (e)) e, e ln( ) VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada es ( ), que es positiva en ( e e, + ) luego la unción es cóncava hacia arriba en ese intervalo y es negativa en (0, e e ) luego la unción es cóncava hacia abajo en ese intervalo Tiene un punto de inleión en e e, e e 96

8 Representa la graica de ( ) sen I Dominio: R {k π,k Z} II Cortes con los ejes La gráica no corta a los ejes en ningún punto III Asíntotas verticales La unción tiene asíntotas verticales en aquellos puntos donde se anula el denominador, es decir, las asíntotas verticales son de la orma k π con k Z IV El período de la unción () es π cos V Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos La derivada es ( ) Como la unción es sen π π periódica de período π, la estudiaremos solo en el intervalo (0, π ), ( ) 0, En En π 0, π,π, () es negativa; por tanto, () es decreciente en estos intervalos π, π π π,, () es positiva; por tanto, () es creciente π π El máimo absoluto está en el punto, y el mínimo, en VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada es cos ( ) + sen sen En el intervalo (0, π), ( ) > 0, luego () es cóncava hacia arriba en ese intervalo y ( ) < 0 en (π, π) luego () es cóncava hacia abajo π 85 Representa la gráica de ( ) sen I Dominio: R II La gráica corta el eje en los puntos (kπ, 0) con k Z III La unción no tiene asíntotas verticales ni horizontales IV El período de la unción () es π V Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos k + La unción tiene máimos en los puntos de la orma, π y mínimos en los puntos de la orma (kπ, 0) donde k Z π 86 Las unciones de oerta () y demanda (D) en unción del precio de un producto son: (p) p 0 y D(p) 800 p a) Encuentra el punto de equilibrio y da el precio y el número de unidades correspondientes b) Dibuja la gráica de las unciones de oerta y demanda c) Dónde corta la gráica de la oerta el eje de abscisas? Eplica qué signiicado económico tiene ese punto 800 a) El punto de equilibrio se establece cuando (p) D(p), es decir, p 0 p 0p 800 0 p p 0 y p 5 (este último resultado no tendría signiicado en este problema) Luego el precio del producto sería p 0 y (0) 0 0 70 y D(0) b) (p) p 0 D(p) (p) D (p) 800 p 800 70 0 p 50 50 p c) La gráica (p) corta al eje de abscisas en el punto 5; esto quiere decir que si el precio del producto es menor que 5, no hay oerta; si el precio es 5, la oerta es nula, y si es mayor que 5, la oerta es positiva 97

87 (PAU) El tipo de interés anual, I(t) en %, orecido por una entidad inanciera depende del tiempo, t, en 90t años, que se esté dispuesto a mantener la inversión a través de la epresión It () t + 9 a) Calcula razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de interés b) Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justiica la respuesta a) Para optimizar el tipo de interés hay que buscar el máimo de la unción l(t) 90(9 t ) l'(t) 0 t y t (en este problema, t no tiene sentido) Para t, la unción l(t) ( t + 9) tiene un máimo, luego al inversor le conviene pactar años 90t b) + 0, luego el tipo de interés no podría llegar a ser nunca negativo porque a muy largo plazo el t t + 9 límite tiende a 0 y l(t) es positiva para todo t > 0 EJERCICIS 88 Calcula el dominio de las siguientes unciones Dominio y recorrido a) + ( ) + c) ( ) ln( 8) e) + ( ) e g) ( ) + 6 b) ( ) d) ( ) + ) ( ) h) sen ( ) a) El denominador se hace cero si + 0 ( + ) 0 0 Así pues, D() R {0} b) El radicando es positivo o cero si 0 Así pues, D (), c) El logaritmo neperiano sólo está deinido para valores positivos 8 > 0 ( + )( ) > 0 Así pues, D ( ) (, ) (, + ) + d) El radicando es positivo o cero si 0 Estudiemos el signo: Así pues, D ( ) (, ] (, + ) (, ) (, ) (, + ) e) D() R {}, ya que anula el denominador del eponente Signo de + 0 D () + ) D() R {k π }, k 0, ±, ±, ya que el seno se anula para los valores k π, con k entero g) El denominador se anula si o El numerador se anula si + 6 0 ( + )( ) 0, es decir, si 0,, Estudiemos el signo de : (, ) (, ) (, 0) 0 (0, ) (, ) (, + ) Signo de D () 0 + D ( ) 0 D ( ) D () D () 0 + Así pues, D ( ) [, ) (, 0] [, + ) h) El denominador se anula si ; así pues, D() R {} 98

Cortes con los ejes, signo, simetrías y periodicidad 89 Halla los cortes con los ejes de las unciones: a) ( ) ln b) ( ) 0 a) D ( ) (0,+ ) Corte con : ( ) 0 ln 0 0 D ( ),ln 0 El único punto de corte con el eje es (, 0) No corta el eje porque 0 no pertenece al dominio b) Corte con, () 0 si 0 o si 0 +, es decir, si o si 8 Los puntos de corte con el eje son A(, 0) y B(8, 0) Corte con : C(0, (0)) C(0, 8) 80 Estudia el signo de la unción ( ) ( 6)( + )( + ) La unción se anula si o Estudiemos su signo: (, ) (, ) (, + ) Signo de + 0 0 + Así pues, es positiva en (, ) (, + ), negativa en (, ) y nula en y en Ramas ininitas Asíntotas 8 (PAU) Dada la unción real de variable real deinida por a) Especiica su dominio de deinición b) Estudia su continuidad c) Calcula sus asíntotas si las hubiera ( ) : + a) El denominador se anula si o ; así pues, D() R {, } b) La unción es continua si es distinto de y de, es decir, es continua en su dominio: (, ) (, ) (, + ) c) Asíntotas verticales: ( ) ; por tanto, no hay asíntota vertical en + ( )( ) ( ) + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical de la gráica de la unción Asíntotas horizontales:, + + + La recta y es una asíntota horizontal de la gráica de la unción por ambos lados 99

8 Halla todas las asíntotas de las siguientes unciones, estudia el comportamiento de la unción con respecto a sus asíntotas e interpreta gráicamente: 6 a) ( ) c) ( ) e) ( ) ( ) + b) ( ) d) ( ) ) ( ) ( ) ( ) a) Asíntotas verticales: + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical ( ) Además, + + ( ) Asíntotas horizontales: 0 ( ), 0 ( ) + La recta y 0 es una asíntota horizontal de la gráica de la unción por ambos lados b) Asíntotas verticales: ( ) + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical Además, + + ( ) Asíntotas horizontales:, ( ) + ( ) La recta y es una asíntota horizontal de la gráica de la unción por ambos lados c) Asíntotas verticales: ; por tanto, la recta es una asíntota vertical Además, + + Asíntotas horizontales: +, + No tiene asíntotas horizontales + No tiene asíntotas oblicuas porque no cumple la condición de los grados d) Asíntotas verticales: ( ) + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical Además, + + ( ) Asíntotas horizontales:, + ( ) + ( ) Asíntotas oblicuas: Si dividimos, ( ) + + ( ) + + La recta y + es una asíntota oblicua 00

e) 6 ( + )( ) ( ) ( + )( ) Asíntotas verticales: ( ) + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical Además, + ( ) ( ) ; por tanto, la recta 0 es 0 una asíntota vertical Además, ( ) + ( ) 5 0 + No hay asíntota vertical en Asíntotas horizontales: ( ) 0, ( ) 0 La recta y 0 es una asíntota + horizontal de la gráica de la unción por ambos lados Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas ) Asíntotas verticales: ( ) + ; por tanto, la recta 0 es una asíntota vertical 0 Además, ( ) + 0 + Asíntotas horizontales: + +, + La recta y es una asíntota horizontal de la gráica de la unción Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas Las derivadas Monotonía y curvatura e 8 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la unción ( ) ( ) e La derivada es ( ), que se anula si Estudiemos su signo sin olvidarnos de 0, que no 5 pertenece al dominio: (,0) 0 (0, ) (, + ) Signo de ' + D () 0 + Comportamiento de Creciente Decreciente Mínimo Creciente Por tanto, la unción es creciente en (, ) (, + ) 0 y decreciente en (0, ) e Tiene un mínimo en el punto A, 56 0

8 Estudia la curvatura de las siguientes unciones a) ( ) + b) ( ) e a) '() 6 6, ''() 6 La segunda derivada se anula si A su izquierda es negativa, y a su b) derecha, positiva Por tanto, la unción es cóncava hacia abajo en, y cóncava hacia arriba en, + El punto A, A, es el punto de inleión ( ) ( + ) e, ( ) ( + ) e La segunda derivada se anula si A su izquierda es negativa, y a su, y cóncava hacia arriba en derecha, positiva Por tanto, la unción es cóncava hacia abajo en ( ) + El punto A, es el punto de inleión e (, ) Estudio completo de unciones Representación gráica 85 Representa una unción que cumpla las siguientes condiciones: Las rectas,, y son sus únicas asíntotas Su derivada no se anula nunca y es negativa en todos los puntos en que está deinida a) Cuántas veces se anula una unción con estas propiedades? b) Puede la derivada segunda no anularse nunca? a) La unción se anula una sola vez, entre y b) La derivada segunda se anula una vez, entre y 86 (PAU) La curva y () de la igura tiene como dominio el conjunto de todos los números reales a) Determina los puntos donde la unción vale 0 Determina los valores de para los que la unción es positiva b) Di en qué puntos se anula la derivada y en qué puntos ( ) < 0 c) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa d) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa e) Determina a sabiendo que () a( + )( ) a) En y en, la unción vale cero: ( ) () 0 La unción es positiva en ( ), b) La derivada se anula en los puntos con tangente horizontal, 0 y : '(0) '() 0 La derivada es negativa si la unción decrece, es decir, en (, 0 ) (, + ) c) En, la tangente es horizontal y pasa por el punto A(, ()) A(, 0) La recta tangente es y 0 6 d) En, la pendiente de la recta tangente es Como la recta pasa por el punto B(, ( )) B(, 0), la ecuación de la tangente es y e) Como en la gráica no se aprecia con eactitud la ordenada de los puntos, salvo en y en, utilizaremos su derivada La derivada de () a( + )( ) es '() a (( ) +( + )( )) Como ( ), entonces: '( ) a (( ) +( + )( )) 9a, de donde a 0

Estudio de unciones polinómicas 87 (PAU) Se considera la unción () + 60 a) Halla sus máimos y mínimos b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento a) Su derivada es '() 6 + 60 6( 7 + 0) 6( )( 5), que se anula si o si 5 Estudiemos su signo: (,) (, 5) 5 ( 5, + ) Signo de + 0 0 + Comportamiento de Creciente Máimo Tiene un máimo en el punto A(, ()) A(, 0) Tiene un mínimo en el punto B(5, (5)) B(5, 7) b) La unción es creciente en (, ) ( 5, + ) Decreciente y decreciente en (, 5) Mínimo Creciente 88 Sea una unción tal que '( ) ( )( )( 5) btén las abscisas de los etremos s de, decidiendo qué son La derivada se anula para, y 5, que son las abscisas de los puntos susceptibles de ser máimos o mínimos s Estudiemos cómo varía el signo de la derivada en los intervalos deinidos por dichos valores para dilucidar: (,) (, ) (, 5) 5 ( 5, + ) Signo de 0 + 0 0 + Comportamiento de Decreciente Mínimo Creciente Máimo Decreciente Mínimo Creciente Así pues, en y en 5, la unción presenta mínimos s En hay un máimo + si 0 89 (PAU) Considera la unción: G ( ) + si > 0 a) Dibuja la gráica b) Estudia la continuidad c) Determina los etremos s a) El primer tramo es una semirrecta creciente que pasa por los puntos A(, 0) y B(0, ) El segundo tramo corresponde a una parábola cóncava hacia arriba, que corta al eje en los puntos C(, 0) y D(, 0) Su vértice es el punto V, Además, ( ) ( + ) La gráica es: 0 + 0 + G () b) bservando la gráica podemos asegurar que la unción es continua Como intervienen una semirrecta y un trozo de parábola, solo queda estudiar qué ocurre en el punto de solapamiento, 0: ( ) ( + ), ( ) ( + ), (0) 0 0 0 + 0 + Podemos airmar que la unción es continua en 0 y, por tanto, es continua en todo R c) Tiene dos etremos s, un máimo en el punto de solapamiento B(0, ) y un mínimo en el vértice de la parábola V, 0

Estudio de unciones racionales 80 (PAU) Dada la unción real de variable real deinida por ( ), se pide: + a) Calcula su dominio y asíntotas b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Haz su representación gráica aproimada a) Dominio D() R { } El denominador se anula si Asíntotas verticales: + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical de la gráica de la unción + Además, + + Asíntotas horizontales:, La recta y es una asíntota horizontal de la gráica de la unción por ambos + + + lados b) La derivada es ( ), que no se anula nunca y es siempre positiva; por tanto, la unción es creciente ( + ) en todo su dominio: (, ) (, + ) c) La gráica es: No tiene etremos s 8 (PAU) Estudia y representa la unción ( ) ( ) I Dominio D() R {} El denominador se anula si II Corte con los ejes Corta los ejes e en el punto (0, 0) III Asíntotas verticales + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical de la gráica de la ( ) unción Además, + + ( ) IV Límites en el ininito, La recta y es una asíntota horizontal de la ( ) + ( ) gráica de la unción por ambos lados V Inormación de la primera derivada ( ) La derivada se anula si 0 Estudiemos su signo: ( ) (,0) 0 (0, ) (, + ) Signo de 0 + D ( ) Comportamiento de Decreciente Mínimo Creciente Decreciente La unción es decreciente en (,0) (, + ) y creciente en (0, ) Tiene un mínimo en (0, (0)) (0, 0) 0

8( + ) VI Inormación etraída de la segunda derivada ( ) La segunda derivada se anula si ( ) (, ) (, ) (, + ) Signo de 0 + D () + Comportamiento de Cóncava hacia abajo Punto de inleión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba La unción es cóncava hacia abajo en (, ) y cóncava hacia arriba en, ) (, + ) El punto A(, ( )) A, 9 es un punto de inleión VII Gráica de la unción ( 8 (PAU) Se considera la unción ( ) Se pide: a) Dominio de la unción, puntos de corte con los ejes y simetrías b) Asíntotas y regiones de eistencia de la gráica c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos s, si los hay d) Representación gráica aproimada a) Dominio D() R {, } El denominador se anula si o si Corte con los ejes Corta los ejes e en el punto (0, 0) Simetrías ( ) ( ) Es simétrica respecto del origen ( ) b) Asíntotas verticales: ; por tanto, la recta es una asíntota vertical de la gráica de la unción ( + )( ) Además, +, ; por tanto, la recta es una asíntota vertical + ( + )( ) ( + )( ) Asíntotas horizontales: 0, 0 La recta y 0 es una asíntota horizontal de la unción por ambos lados + Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas Estudiemos el signo de la unción ( ) : ( + )( ) (, ) (, 0) 0 (0, ) (, + ) Signo de D () + 0 D () + ( + ) c) La derivada de la unción es ( ) Esta derivada no se anula nunca y, además, es siempre ( ) negativa donde está deinida; por tanto, la unción no tiene etremos s y es decreciente en todo su dominio: (, ) (,) (, + ) d) Gráica de la unción: 05

+ + 8 (PAU) Considera la unción () + Halla el dominio de deinición, los puntos de corte con los ejes, las posibles asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles máimos y mínimos Haz luego un esquema sencillo de la gráica de dicha unción I Dominio D() R El denominador no se anula nunca + + ( + ) II Corte con los ejes La unción ( ) + + corta al eje en el punto A(, 0) y al eje en el punto B(0, ) III Asíntotas verticales: No tiene + + + + Asíntotas horizontales:, + + + La recta y es una asíntota horizontal de la gráica de la unción Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas ( + )( ) IV Crecimiento, decrecimiento y etremos s ( ), que se anula si o si ( + ) (, ),, + Signo de ' 0 + 0 Comportamiento de Decreciente La unción es decreciente en (, ), + Mínimo Creciente Máimo Decreciente y creciente en (, ) Tiene un mínimo (que es absoluto) en el punto A(, 0) y un máimo (que también es absoluto) en C, C,5 + 8 (PAU) Sea la unción ( ) a) Halla, si eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráica de b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos s de c) Estudia su curvatura y sus posibles puntos de inleión a) Dominio D() R {0} El denominador se anula si 0 Corte con los ejes La unción no se anula nunca, ya que + > 0 Así pues, no corta el eje Tampoco corta el eje, ya que 0 no está en el domino de la unción + Asíntotas verticales: ; por tanto, la recta 0 es una 0 + asíntota vertical de la gráica de la unción Además, + 0 + + + Asíntotas horizontales:, + Así pues, no tiene asíntotas horizontales + No tiene asíntotas oblicuas, ya que el grado del numerador no es una unidad mayor que el del denominador ( ) b) La derivada es ( ) Se anula si o si Estudiemos su signo: (, ) (, 0) 0 (0, ) (, + ) Signo de + 0 D ( ) + Máimo Mínimo Comportamiento de Creciente Decreciente Decreciente Creciente Tiene un máimo en el punto A(, ( )) A(, ) y un mínimo en B(, ()) B(, ) 6( + ) c) La segunda derivada es ( ) y no se anula nunca, por lo que no tiene puntos de inleión (, 0) 0 ( 0, + ) Signo de D ( ) + Comportamiento de Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 06

85 Esboza la gráica de las siguientes unciones Estudio de unciones con radicales a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) a) La gráica de la unción () se representa a partir de la gráica de la unción g ( ) sin más que relejarla mediante una simetría respecto al eje y después desplazarla verticalmente una unidad hacia arriba Así pues, D ( ) [0,+ ) La unción es continua en su dominio Es siempre decreciente Corta los ejes en los puntos A(0, ) y B(, 0) g b) La gráica de la unción () se representa a partir de la gráica de la unción g ( ) Primero dibujamos su simétrica respecto del eje y luego la trasladamos horizontalmente una unidad hacia la derecha Así pues, D ( ) (,] La unción es continua en su dominio Es siempre decreciente Corta los ejes en los puntos A(0, ) y B(, 0) g c) Primero dibujamos la gráica de g ( ) A continuación dibujamos su simétrica respecto del eje y luego la desplazamos verticalmente una unidad hacia arriba Así pues, D() R La unción es continua en su dominio g Es siempre decreciente Corta los ejes en los puntos A(0, ) y B(, 0) d) I Dominio Resolviendo la inecuación 0, D() [, ] II Cortes con los ejes: Corta los ejes en los puntos A(, 0), B(, 0) y C(0, ) La unción es simétrica respecto al eje III Asíntotas verticales: La unción no tiene asíntotas verticales IV Comportamiento en el ininito: No tiene sentido estudiarlo V Crecimiento y decrecimiento: Máimos y mínimos La derivada en (, ) es ( ), que se anula en 0 A su izquierda es positiva, y a su derecha, negativa Así pues, la unción es creciente en (, 0) y decreciente en (0, ) El punto C(0, ) es un máimo y también absoluto VI Curvatura y puntos de inleión La segunda derivada en (, ) es siempre negativa, luego la unción es cóncava hacia abajo ( ) ( ), que es 07

86 Representa las unciones: a) ( ) b) ( ) a) La gráica de la unción () se representa a partir de la gráica de la unción g ( ), sin más que trasladarla horizontalmente una unidad hacia la derecha Así pues, D ( ) [, + ) La unción es continua en su dominio Es siempre creciente Corta el eje en el punto A(, 0) g b) D( ) (, ) La recta es una asíntota vertical, y la recta y 0 es una asíntota horizontal Estudio de unciones eponenciales ( ) e 87 Dibuja la gráica de la unción ( ) + e Para ello, calcula sus asíntotas; demuestra que es simétrica respecto al origen; demuestra que es siempre decreciente; estudia su curvatura y halla su punto de inleión Asíntotas verticales: No tiene porque es continua en todo R e Asíntotas horizontales: ; así pues, la recta y es una asíntota horizontal cuando + e tiende a menos ininito e e e e e ; así pues, la recta y es una asíntota horizontal + + + e e + + + e e e cuando tiende a más ininito e ( ) e e e ( ) e + + e + e + e La unción es simétrica respecto al origen e (+ e ) ( e ) e e (+ e + e ) e La derivada es ( ), que es siempre negativa; (+ e ) (+ e ) (+ e ) por tanto, es siempre decreciente e ( e ) La segunda derivada es ( ) y se anula si 0 (+ e ) A la izquierda de 0 es negativa y a su derecha es positiva Así pues, la unción es cóncava hacia abajo en (,0) y cóncava hacia arriba en ( 0,+ ) Tiene un punto de inleión en (0, (0)) (0, 0) La gráica es la que se muestra 08

88 Sea la unción ( ) e, se pide: π a) Halla su dominio b) Demuestra que es siempre positiva c) Demuestra que es simétrica respecto al eje d) Realiza un estudio completo de sus posibles asíntotas e) Encuentra su máimo y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento ) Encuentra sus puntos de inleión y estudia su curvatura g) Dibuja su gráica a) Dom() R b) La unción es siempre positiva porque se trata de una eponencial c) La unción es par porque ( ) (); por tanto, es simétrica respecto al eje d) No tiene asíntotas verticales ni oblicuas, pero sí horizontales, ya que: ( ) 0, es decir, la recta y 0 es una asíntota horizontal tanto en más ininito como en menos ininito, + ya que es simétrica respecto al eje e) Su derivada es ( ) e ( ) e, que se anula para 0 Para valores negativos de π π es positiva, y para valores positivos, negativa Así pues, es creciente en (,0) y decreciente en ( 0,+ ) Tiene un máimo (que es también absoluto) en el punto (0, (0)) 0, π ( ) ) Su derivada segunda es ( ) e, que se anula para y π (, ) (, ) (, + ) Signo de '' + 0 0 + Comportamiento de Cóncava hacia arriba Punto de inleión Cóncava hacia abajo Punto de inleión Cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (,) Tiene dos puntos de inleión en, y en, π e π e g) La gráica de la unción es la que se muestra Esta unción es la distribución normal de media 0 y desviación típica, N(0, ), también llamada normal estándar Su gráica se conoce con el nombre de campana de Gauss La unción es cóncava hacia arriba en (, ) (, + ) 89 (PAU) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máimos y los mínimos, de la unción () e El dominio de la unción es todo R La derivada es ( ) ( ) e La derivada se anula si 0 o si Estudiemos su signo: (,0) 0 (0, ) (, + ) Signo de ' 0 + 0 Comportamiento de Decreciente Mínimo Creciente La unción es decreciente en (,0) (, + ) y creciente en (0, ) Máimo Decreciente Tiene un mínimo (que también es absoluto) en el punto (0, (0)) (0, 0) Tiene un máimo en el punto A(, ()) A, e 09

Estudio de unciones logarítmicas 850 Representa la unción ( ) ln( + ) Para representar esta unción trasladamos una unidad hacia la izquierda la unción g() ln y después la desplazamos verticalmente hacia abajo una unidad La unción es continua y creciente en su dominio, D ( ) (, + ) Como ( ) ln( + ) 0 ln( + ) + e e, la unción corta el eje en el punto A(e, 0) Corta el eje en el punto B(0, (0)) B(0, ) g 85 Haz un estudio completo y representa la unción ( ) ln La gráica de la unción () se representa a partir de la gráica de la unción g() ln sin más que relejar su parte negativa mediante una simetría respecto al eje Así pues, D ( ) (0,+ ) La unción es continua en su dominio Es decreciente en (0, ) y creciente en (, + ) Tiene un mínimo absoluto en el punto A(, 0), pero no es un punto con tangente horizontal La unción es cóncava hacia arriba en (0, ) y cóncava hacia abajo en (, + ) g Síntesis 85 Asocia cada unción de la izquierda con su correspondiente gráica de la derecha ( ) + ( ) e ( ) ( ) 5 ª gráica: ( ) ª gráica: ( ) e sen ª gráica: ( ) 5 + ª gráica: ( ) 5ª gráica: ( ) e ( ) e sen 0

Aplicaciones de la representación gráica a las Ciencias Sociales 85 (PAU) Cierta entidad inanciera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(), en euros, viene dada en unción de la cantidad que se invierta,, en euros (para 0 ), por medio de la siguiente epresión: R() 0, + 50 + 50 a) Deduce razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan b) Qué rentabilidad obtendría? a) Debemos hallar el máimo de R() siendo 0 La derivada es R'() 0, + 50, que se anula si 50 Para este valor se consigue el máimo rendimiento, ya que la gráica de R() es una parábola cóncava hacia abajo Es decir, si se invierten 50 euros, se obtiene el rendimiento máimo b) R(50) 6500 Se obtiene una rentabilidad de 6500 euros 85 (PAU) La puntuación obtenida por un estudiante en un eamen depende del tiempo que haya dedicado a su preparación (, epresado en horas) en los siguientes términos: si 0 5 G ( ) si 5 < 0, + a) Estudia el crecimiento de esta unción Si un estudiante ha dedicado menos de 5 horas a preparar el eamen, justiica que no aprobará, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos b) Justiica que la puntuación nunca puede ser superior a 0 puntos a) La unción es continua, ya que (5) 5 5 5 0, + Por otra parte, el primer tramo de la unción es creciente, ya que se trata de una recta de pendiente positiva 6 La derivada del segundo tramo, ( ), es ( ), que es siempre positiva Así pues, 0, + (0, + ) en este tramo la unción también es creciente Como G() es continua, concluimos que es creciente en todo su dominio 5 Si < 5, G ( ) < 5, es decir, nunca llegará a 5 si estudia menos de 5 horas b) Veamos si es posible: como G() es creciente, estudiaremos el límite en el ininito 0 + 0, + 0, Es decir, por muchas horas de preparación, jamás se conseguirá una nota de 0 855 (PAU) Un invernadero está destinado al cultivo de tomates Se sabe que las tomateras solo producen rutos si la temperatura dentro del invernadero está entre 5 ºC y 0 ºC En la siguiente gráica se muestra la producción de tomates en kilogramos, según la temperatura que se mantiene en el invernadero kg a) Si la temperatura está entre 5 ºC y 9 ºC, di qué variación eperimenta la producción al aumentar la temperatura ºC 900 Calcula dicha variación cuando la temperatura está entre 0 ºC y 9 ºC b) Deine una unción a trozos que eprese la producción según la temperatura c) Halla las temperaturas para las que se obtiene el 75% de la producción máima 5 0 0 Cº a) La variación la da la pendiente de la recta En el primer caso, entre 5º y 9º, la recta tiene igual pendiente 900 0 que la recta que une los puntos de abscisas 5º y 0º: m 60 Entre 0º y 9º, la recta tiene 0 5 0 900 igual pendiente que la recta que une los puntos de abscisas 0º y 0º: m 90 0 0 60 900 si 5 0 b) Como ya conocemos las pendientes de las rectas, resulta: ( ) 90 + 600 si 0 0 c) La producción máima es de 900 kg, y su 75% es 675 Si 5 0, 60 900 675, lo que implica que 6,5º Si 0 0, 90 + 600 675, lo que implica que,5º Así pues, a 6,5º y a,5º se consigue el 75% de la producción máima

856 (PAU) La producción de cierta hortaliza en un invernadero, Q() en kg, depende de la temperatura,, en ºC, según la epresión: Q() ( + ) ( ) a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero b) Qué producción de hortaliza se obtendría? a) La unción es Q() + 0 + 6 + y su derivada es Q'() + 60 + 6 ( + )( ), que se anula si o Estudiemos su signo: (, ) (, ) (,+ ) Signo de ' 0 + 0 Mínimo Máimo Comportamiento de Decreciente Creciente Decreciente Como es natural, suponemos que la temperatura debe ser superior a 0º y, por tanto, la temperatura que asegura la máima producción es de º b) Q() 5 Es decir, se producirían 5 kg de hortalizas 857 (PAU) En un trabajo de investigación sobre el rendimiento (en una escala de 0 a 00) durante horas de uncionamiento de cierta válvula, unos ingenieros industriales han comprobado que dicho rendimiento se comporta de acuerdo con la siguiente unción: (0 t)( t + 0) Rt () ; 0 t a) Cuánto debe estar uncionando la válvula para conseguir su máimo rendimiento? Justiica la respuesta b) Representa y comenta la unción a) La gráica de la unción es una parábola cóncava hacia abajo que tiene su máimo en su vértice Así pues, este será el máimo si su abscisa pertenece al dominio (0 t)( t + 0) t + 0t + 00 La unción rendimiento es R ( t) ; su derivada es t + 0 t + 0 R () t, que se anula si t 0 Como t 0 pertenece al dominio, podemos airmar que el máimo rendimiento se alcanza a las 0 horas de uncionamiento de la válvula b) El vértice de la parábola es el punto V(0, R(0)) V(0, 00) La gráica es la que se muestra R (t ) R 0 0 t La máquina empieza con un rendimiento del 75% (el punto de corte con es A(0, 75)) y va aumentando hasta conseguir el 00% de rendimiento a las 0 horas A partir de ahí va disminuyendo hasta llegar a un rendimiento del 5% (R() 5)

PRBLEMAS 858 El rendimiento ísico ante determinado esuerzo muscular (evaluado en una escala de 0 a 00) de cierto deportista de élite durante un tiempo de 60 minutos viene dado a través de la unción a) Representa dicha unción b) Interpreta la gráica obtenida R(t) tt ( 0) si 0 t< 5 75 si 5 t < 0 5t 00 si 0 t 60 6 a) El primer tramo es una parábola cóncava hacia abajo; el segundo es una recta horizontal, y el último es una recta decreciente Es importante calcular los puntos de los etremos de los intervalos y, en su caso, el límite También calculamos el vértice de la parábola: V(0, 00) La gráica es la que se muestra R (t ) R 0 0 t b) El rendimiento ísico va aumentando hasta llegar a su máimo, que se alcanza en el vértice de la parábola, V(0, 00) Así, a los 0 minutos se consigue el 00% de rendimiento Después decrece hasta llegar a los 5 minutos, que se mantiene estable en un 75% hasta llegar a los 0 minutos, y a partir de aquí decrece paulatinamente hasta llegar al 50%, al inal del esuerzo, a los 60 minutos 859 (PAU) Un importador de caviar estima que si vende el kilogramo de caviar a euros, entonces su beneicio por Kilogramo viene dado por la unción B ( ) 60 600 a) Indica entre qué precios obtiene beneicios el importador b) Calcula a qué precio debe vender el kilo de caviar para obtener un beneicio máimo c) Calcula el beneicio máimo por kilo a) La unción B( ) 60 600 corta el eje en los puntos A(70, 0) y B(90, 0) Como la unción beneicio es una parábola cóncava hacia abajo, será positiva entre 70 y 90 Así pues, se obtienen beneicios si el precio de venta del kilo de caviar está comprendido entre 70 y 90 euros b) La unción beneicio es una parábola cóncava hacia abajo, por lo que el máimo se encuentra en su vértice, cuya abscisa es el valor que anula la derivada, B ( ) 60 0 80 Si vende el kilo de caviar a 80 euros, obtiene el beneicio máimo c) B(80) 00 Es decir, el beneicio máimo por kilo es de 00 euros

50 00 860 (PAU) Las ganancias de una empresa, en miles de euros, se ajustan a la unción ( ), + 5 donde representa los años de vida de la empresa, cuando > 0 a) Representa gráicamente la unción y () para (, + ), indicando: dominio, corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento b) A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? c) A medida que transcurre el tiempo, están itados sus beneicios? En caso airmativo, cuál es su límite? 5 a) Dominio D() R El denominador se anula si 5 Corte con los ejes Corta el eje en el punto A(0, (0)) A(0, 0) y el eje en el punto B(, 0) Asíntotas verticales: 50 00 5 + ; por tanto, la recta es una asíntota vertical de la gráica de la unción + 5 5 Además, 5 + 50 00 + 5 50 00 50 00 Asíntotas horizontales: 5, 5 + 5 + + 5 La recta y 5 es una asíntota horizontal de la gráica de la unción 50 Crecimiento y decrecimiento La derivada es ( ), que no se ( + 5) anula nunca y es siempre positiva; por tanto, la unción es creciente en 5 5 todo su dominio:,, + No tiene etremos s 0 0 b) La empresa deja de tener pérdidas a partir del segundo año; a partir de, la unción es positiva 50 00 c) Los beneicios están itados por 5 000 euros, ya que 5 + + 5 86 (PAU) La capacidad de concentración de una atleta de sato de altura en una competición de horas de duración viene dada por la unción : 0,] R dada por t () 00( t t), donde t mide el tiempo en horas a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentración aumenta y los intervalos en los que disminuye Cuándo es nula? b) Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca? c) Representa gráicamente la unción de capacidad de concentración a) (t) 00 ( t) 00t 600t + 900, se anula si t Así pues, en 0,, (t) > 0, por lo que la capacidad de concentración, t), aumenta, mientras que en,, (t) < 0, la capacidad de concentración disminuye (t) 0 si t 0 o si t, o sea, al comenzar y al terminar la competición b) El instante en el que la capacidad de concentración es máima, que es en t, máimo de en [0, ] c) (t ) 00 t

PRFUNDIZACIÓN 86 La curva de la igura representa la unción () a + b + c btén los números reales a, b, c, d, e d + e Como (0) 0, c 0 como la recta es una asíntota vertical, el denominador se anula para y por a + b a + b a + b tanto, d e Así pues, ( ) a + a + b +, con lo que la recta d d d d y ( a + a + b) es asíntota oblicua, que, al observar el dibujo, vemos que debe ser la recta y, por lo d a a + b que y, es decir, b 0 y d a La unción será, por tanto, d d evidentemente, a no puede ser 0 a ( ), pues, a a 86 Dibuja la gráica de la unción () ln obteniendo previamente sus elementos más signiicativos y comprueba que alcanza el máimo absoluto en el punto de abscisa e A la vista de la gráica, qué es mayor: e o lnπ π? Deduce que e e π >π La gráica de corta el eje de ordenadas si () 0, es decir, si ln 0, o sea, si Por otra parte, solo está deinida en (0, + ) y ( ) y ( ) 0 + + 0 ln Como () ln 0 solo si e, ya podemos esbozar su gráica Así pues, la unción es decreciente en (e, + ), o sea, (e) > (π), es decir, lne lnπ > π lne > e lnπ ln e π > ln π e, y como la unción logaritmo es creciente, concluimos que e π > π e e π Nota: Una etensión curiosa de este resultado es decidir qué es mayor, a b o b a si 0 < a < b El mismo argumento que hemos utilizado lleva a airmar que si 0 < a < b e, entonces a b < b a, y si e a < b, entonces a b > b a 5

86 Sea : R R continua, cociente de polinomios, y tal que admite como asíntota a la recta y Algunas de las siguientes airmaciones son verdaderas y otras alsas Justiica cómo es cada una a) ( ) + + b) ( ) c) Eiste a 0 tal que para todo a se veriica que () 5 d) Eiste b 0 tal que para todo b se veriica que () 5 e) ( ( ) ) + 0 a) Verdadera: ( ( ) ( )) 0 ( ) ( ) + + ( + + ( b) Verdadera: ( ) ( )) 0 ( ) ) c) Verdadera, ya que ( ) + + ( + d) Falsa, ya que ) + e) Falsa: ( ( ) ( )) 0 ( ( ) + ) 0 ( ( ) ) + + + 865 Sea una unción deinida en R, decreciente en (, 0), creciente en (0, + ) con (0) Cuáles de las siguientes epresiones podrían ser una órmula para? a) () + d) () ln ( + ) + b) () + + e) () e c) () + En primer lugar se observa que todas estas unciones cumplen que (0) Estudiemos su monotonía si 0 a) Para estudiar su monotonía, deinimos la unción a trozos: ( ) + < + si 0 si < 0 Su derivada para distinto de cero es ( ) si > 0 Por tanto, es decreciente en (, 0) y creciente en (0, + ) Sí es una órmula para + si < 0 + b) (0) Para estudiar su monotonía, deinimos la unción a trozos: ( ) + si 0 + ( ) si < 0 ( ) Su derivada para distinto de cero es ( ) + si > 0 ( + ) Si > 0, la derivada se anula si + 0, Estudiando el signo de la derivada se observa que si ( 0, ), la derivada es negativa, y, por tanto, la unción es decreciente Así pues, no es creciente en (0, + ) c) La derivada de la unción es ( ), que es negativa si < 0 y positiva si > 0 Por tanto, es + decreciente en (, 0) y creciente en (0, + ) Sí es una órmula para d) La derivada es ( ), que es negativa si < 0 y positiva si > 0 Por tanto, es decreciente en + (, 0) y creciente en (0, + ) Sí es una órmula para e) La derivada es ( ) e, que se anula si 0 Esta derivada es negativa si < 0 y positiva si > 0 Por tanto, es decreciente en (, 0) y creciente en (0, + ) Sí es una órmula para 6

ln 866 Considera la unción : R {0} R dada por () + + Cuáles de las airmaciones siguientes son verdaderas? a) ( ) + b) Para todo > 0, es () 0 c) El eje de ordenadas es eje de simetría de la gráica de d) La gráica de admite como asíntota la recta y + e) La gráica de admite como asíntota la recta y + ln ln a) Verdadera Si > 0, la unción está deinida por ( ) + + ( ) + + + + + Para valores muy grandes de, todos los sumandos de la epresión ( ) son positivos b) Falsa Por ejemplo, si,,7 ln ln c) Verdadera ( ) + + + + ( ) ln ln d) Verdadera ( ( ) ( + )) + + ( + ) 0 + + + La recta y + es una asíntota ln( ) ln ( ) ln ln e) Verdadera ( ( ) ( + )) + + + 0 + ( ) + 867 Sea la unción deinida por () + + + a) Calcula el dominio de y ( ) y ( ) + b) Prueba que la recta de ecuación y + es asíntota a la gráica de en + c) Es derivable en 0? en? d) Estudia los posibles máimos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de e) Dibuja las asíntotas y luego la gráica de a) Como + 0 ( + ) 0, o 0, entonces, D ( ) (, ] [0, + ) + + + + + ( ) ( ) ( + )( ) + + + + + + ( ) ( + ) 0 b) Debemos probar que ( ) + ( ) ( )( ) + ( + ) + + ( + ) + + + ( + ) + + + + ( + ) + + c) La derivada de () para distinto de 0 y de es ( ) + + + + 0 + + + + + ( ) + +, + ( ) + + + 0 0 + + Así pues, () no es derivable en 0, ni en d) La gráica de tiene una asíntota horizontal, y, cuando tiende a menos ininito ya hemos visto que y + es una asíntota oblicua de la gráica de en + Es decreciente en 0, + e) (, ] y creciente en [ ) 7

868 Sea la unción deinida en (, ] [, + ) por () airmaciones son verdaderas? a) es decreciente en (, ] ( ) b) ( ) + c) ( ) Cuáles de las siguientes d) La recta de ecuación y + es asíntota en a la gráica de e) La recta de ecuación y es asíntota en + a la gráica de a) Verdadera La derivada de () es ( ) Para valores de del intervalo (, ], esta derivada es negativa; así pues, es decreciente en (, ] ( ) + b) Falsa + c) Verdadera ( ) ( ) ( )( ) + + + ( ( ) + ) + + + + + + + + + + d) Falsa ( ( ) ( + )) + + + 0 Como era + de esperar, esta recta no es asíntota, ya que por el apartado anterior deducimos que la recta y + es una asíntota oblicua en menos ininito e) Verdadera ( ( ) ( )) + + + ( + ) + ( ) ( ) + + 0 + ( ) ( ) + ( ) + ( ) Elige la única respuesta correcta en cada caso: RELACINA CNTESTA 8 La gráica de la unción () ( )( ) podría ser: A) B) C) D) E) La respuesta correcta es la E 8

8 Si () es una unción polinómica de º grado, su gráica: A) Tiene que presentar tres puntos con tangente horizontal B) Tiene que tener al menos dos puntos máimos o mínimos s C) Es seguro que presenta algún punto con tangente horizontal D) Cortará al menos una vez el eje horizontal E) Pueden no coincidir ( ) y ( ) + A) Es alsa Por ejemplo, () solo tiene un punto con tangente horizontal: (0, 0) B) Es alsa Sirve el mismo contraejemplo que en A, ya que la unción () solo tiene un mínimo: (0, 0) C) Es verdadera Como '() es un polinomio de grado tres y signo ( ) signo ( ), la unción pasa + de ser creciente a decreciente al menos una vez y, por tanto, tendrá al menos un etremo D) Es alsa Un contraejemplo es () + E) Es alsa por ser un polinomio de grado par + + 8 El número de asíntotas de la unción ( ) es: ( )( )( ) A) B) C) D) E) 5 La respuesta correcta es la E Las asíntotas de la unción son,,, e y 0 Señala en cada caso las respuestas correctas: 8 Si a > 0 y b > ac, la gráica de la unción () a + b + c podría ser: A) B) C) D) E) Podemos descartar las gráicas C y E porque son parábolas con las ramas hacia abajo y la condición a > 0 no se cumpliría Las posibles gráicas de la unción () son la A y la D En la gráica B se tiene que b 0, entonces, para que la condición b > ac se cumpla, se debe tener que c < 0 85 Si la gráica de una unción polinómica de er grado y () presenta un máimo en el punto de abscisa y un mínimo en el punto de abscisa, entonces: A) Eisten números a para los que la ecuación () a no tiene soluciones reales B) No hay ningún número a para el que la ecuación () a tenga solo dos raíces reales C) Si () < a < (), la ecuación () a tiene eactamente tres raíces reales D) Si signo () signo (), la ecuación () 0 tiene tres raíces reales E) La gráica de y () presenta un punto de inleión en Para resolver este problema es útil trazar la gráica de una unción que veriique las hipótesis A) Es alsa Como una unción polinómica de er grado es una unción continua y o bien ( ) + y ( ) o ( ) y ( ) +, el recorrido de la unción es todo R + + y la ecuación () a siempre tiene al menos una solución real B) Es alsa Como (, ()) es máimo de la unción, entonces la ecuación () () tiene dos soluciones reales ( doble y otra distinta) Lo mismo ocurre con la ecuación () () C) Es verdadera Si () < a < (), la ecuación () a tiene tres soluciones, una menor que, otra entre y, y la tercera mayor que, como se ve en la gráica D) Es verdadera Si signo () signo (), entonces () < 0 < (), y estamos en las hipótesis de C E) Es verdadera Los polinomios de er grado son simétricos respecto de su punto de inleión y, por tanto, la abscisa del punto de inleión está entre las abscisas de sus etremos s 9

86 Sea () e P(), donde P() es un polinomio de tercer grado Entonces: A) La gráica de y () no tiene asíntotas horizontales B) La gráica de y () corta al menos tres veces el eje horizontal C) Solo hay dos puntos, como mucho, con tangente horizontal D) La gráica de no puede tener asíntotas oblicuas E) En la gráica de puede haber simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas A) Es alsa y 0 es una asíntota horizontal en, ya que e P() 0 cualquiera que sea P() B) Es alsa La unción vale 0 si P() 0 y un polinomio de grado no siempre tiene tres raíces reales C) Es alsa '() e [P() + P'()] y, como P() + P'() es un polinomio de tercer grado, puede anularse hasta tres veces e P( ) D) Es verdadera En tiene una asíntota horizontal, y en +, como + cualquiera que sea P(), no tiene asíntota oblicua E) Es alsa Ver apartado D 87 Considera la unción () sen[g()], siendo g() un polinomio de º grado Entonces: A) La gráica de puede cortar 5 veces el eje horizontal B) El máimo número de puntos de la gráica de con tangente horizontal es 5 C) Si g() > π para todo real, entonces la gráica de no corta el eje horizontal en ningún punto ( ) D) Si g ( ) 0, entonces g ( ) E) La gráica de es periódica de período π A) Es cierta Como g() es continua en R, sen(g()) cortará ininitas veces el eje horizontal (siempre que g() kπ) B) Es alsa Habrá ininitos puntos con tangente horizontal (siempre que g() π + kπ) C) Es alsa Por ejemplo, si g(a) π, sen(g(a)) 0 ( ) ( ) D) Es cierta ( ) cos( g ( )) g ( ) cos( g ( )) cos( g ( )), siendo g ( ) 0 g ( ) g ( ) π E) Es alsa, ya que, por ejemplo, el período de la unción h() sen(p) es T, p π π pues h( ) sen( p) sen( p + π ) senp + h + p p Elige la relación correcta entre las dos airmaciones dadas: 88 Sea una unción deinida en R a) La gráica de presenta alguna asíntota horizontal b) La gráica de presenta alguna asíntota oblicua A) b a, pero a / b B) a b, pero b / a C) a b D) a y b se ecluyen entre sí E) Nada de lo anterior E) Nada de lo anterior Hay gráicas de unciones que solo tienen asíntota horizontal; otras que solo tienen asíntota oblicua, y otras que tienen una asíntota oblicua en más ininito y una asíntota horizontal en menos ininito, como se ve en el ejemplo 0

Señala el dato innecesario para contestar: 89 Para encontrar las abscisas de los posibles máimos y mínimos s de la unción a + b + c + d ( ) e nos dan estos datos: a) Valor de a b) Valor de b c) Valor de c d) Valor de d A) Puede einarse el dato a B) Puede einarse el dato b C) Puede einarse el dato c D) Puede einarse el dato d E) No puede einarse ninguno D) Puede einarse el dato d Las abscisas de los etremos s son aquellas que anulan la derivada: a + b + c+ d ( ) ( + + ) Dicha derivada será cero si a b c e del valor de d a + b + c 0, es decir, no depende Analiza si la inormación suministrada es suiciente para contestar a la cuestión: 80 Para probar que la gráica de y + a + b + c, donde a, b y c son reales, corta una sola vez al eje horizontal nos dicen que: a) a 0 b) b > 0 A) Cada inormación, a y b, es suiciente por sí sola B) a es suiciente por sí sola, pero b no C) b es suiciente por sí sola, pero a no D) Son necesarias las dos E) Faltan más datos A) Son necesarios ambos datos (a 0 y b > 0) La unción es y + b + c, y sabemos que al menos corta una vez el eje, ya que es un polinomio de grado Su derivada es y' + b, que es siempre positiva, ya que b > 0; por tanto, la unción es siempre creciente y solo corta una vez el eje