Funciones I Par ordenado Es un conjunto formado por dos objetos matemáticos cualesquiera "a" "b" denotado por (a; b) que se consideran ordenados con el criterio de uno antecede al otro. Notación: (a; b) se lee: "par ordenado a; b" Igualando los componentes: + 9 = + 0 = 4 = = 4 Luego: + = + 4 = 0 Resuelve los siguientes problemas: da componente ra componente. Hallar "" e "", si ( + 6; 9) = (0; - 4) Ejemplos: (; 5); (-; -); (5; 0); (verde; rojo); (ho; mañana); (vida; muert; (subida; bajada) etc. Indicar " + " a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 9 Observaciones. Un par ordenado no es conmutativo Así: (a; b) (b; a). Igualdad de pares ordenados Si: (; ) = (a; b) entonces: = a = b Ejemplo: Hallar "" e "" si:. Hallar "", si ( + ; - ) = (0; ) a) 3 b) 3 c) 30 d) 9 8 3. Hallar " - ", si (; 3) + (; -) = (5; ) a) 4 b) 3 c) d) 0 ( + 3; 9) = (7; + 4) (+3; 9) = (7; +4) Ejemplo: + 3 = 7 + 4 = 9 = 4 = 5 4. Calcular el valor de " + " si se cumple: (; 4) + (7; 6) - (5; ) = ( - ; - ) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 8 Hallar " + " en la siguiente igualdad: ( + ; 6) + (7; 8) = (; + 0) ( + ; 6) + (7; 8) = (; + 0) Sumando los pares ordenados 5. Dado: Calcular "" (3 + ; ) = (; 4 - ) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 0 ( + + 7; 6 + 8) = (; + 0) ( + 9; 4) = (; + 0) 3 AÑO
A Producto Cartesiano Dados los conjuntos A B; A B es el producto cartesiano que esta formado por el conjunto de pares ordenados (a; b); tales que la primera componente pertenece a "A" la segunda componente a "B". Es decir: A B = {(a; b) / a A b B} En caso que: A = B se define por: Ejemplo: A = A Sea: A = {; ; 5} B = {p; q} Hallar: a) A B b) B A = {(a; b) / a A b A} a) A B = {(; p) (; q) (; p) (; q) (5; p) (5; q)} b) B A = {(p; ) (p; ) (p; 5) (q; ) (q; ) (q; 5)} Hallar el número de elementos del producto cartesiano A B Número de elementos de A: n(a) = 5 Número de elementos de B: n(b) = 3 Número de elementos de AB: n(ab) = n(a) n(b) = 5 3 = 5 Métodos para calcular el producto cartesiano Sea: A = {; ; 3} B = {a; b} Hallar A B graficar: A. Diagrama del árbol lógico 3 a (; a) b (; b) a (; a) b (; b) a (3; a) b (3; b) Podemos afirmar: Sea: A = {; ; 3} Hallar: A A A B B A Siguiendo el recorrido de las ramas se obtiene: A B = {(; a) (; b) (; a) (; b) (3; a) (3; b)} B. Diagrama sagital A B A A = {; ; 3} {; ; 3} a A A = {(; ) (; ) (; 3) (; ) (; ) (; 3) (3; ) (3; ) (3; 3)} 3 b Conclusiones:. El producto cartesiano no es conmutativo en el caso que: A B o sea: A B B A Siguiendo el recorrido de las flechas: A B = {(; a) (; b) (; a) (; b) (3; a) (3; b)} C. Diagrama cartesiano. n(a B) = n(a) n(b) Fórmula para calcular el número de elementos del producto cartesiano. Ejemplo: Sea: A = {; ; 3; 4; 9} B = {a; b; c} B b a (; b) (; b) (3; b) (; a) (; a) (3; a) 3 A AB
Del plano cartesiano se tiene: A B = {(; a) (; b) (; a) (; b) (3; a) (3; b)} Ejemplo: Dados los conjuntos: A = { / es par 3 < 9} B = { / es impar 6 < } Hallar el producto cartesiano A B A = {4; 6; 8} B = {7; 9; } Para nuestro ejemplo utilizo el diagrama del árbol 6. A = {/ IN; = + < 4} B = {/ IN; = 6 < < 0} 7. A = {/ IN; = 3 + < < 7} B = {/ ZZ ; = - 3 - < } Relación binaria Dados dos conjuntos no vacios A B. "R" es una relación de A en B, si "R" es un subconjunto del producto cartesiano A B cumple una regla de correspondencia. R: A B R A B 7 9 Sea: A = {; ; 3} B = {; ; 4} 4 8 6 7 9 7 9 Encontrar la siguiente relación: R = {(; ) A B / > } Regla de correspondencia Luego: A B = {(; ) (; ) (; 4) (; ) (; ) (; 4) (3; ) A B = {(4; 7) (4; 9) (4; ) (6; 7) (6; 9) (6; ) (8; 7) (8; 9) (8; )} Dados los siguientes conjuntos halla los productos cartesianos correspondientes graficándolos además, por todas las formas posibles. (3; ) (3; 4)} > : Indica que debemos buscar en A B los pares ordenados donde la primera componente es maor que la segunda. Luego la relación pedida es:. A = {/ IN < < 4} B = {/ IN 3 5} R = {(; ) (3; ) (3; )}. A = {/ es una vocal} B = {/ ZZ - } 3. A = {/ ZZ - } B = {/ IN < < 4} 4. A = {/ es un día de la semana} B = {/ ZZ 7 0} Dado A = {; ; 3} Hallar: R = {(; ) A A / + 4} A A = {(; ) (; ) (; 3) (; ) (; ) (; 3) (3; ) (3; ) (3; 3)} Luego la relación pedida es: R = {(; ) (; ) (; 3) (; ) (; ) (3; )} 5. A = {/ es par 0} B = {/ es impar 6 }
Dominio rango de una relación - Llamamos dominio de una relación, al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación. - Llamamos rango de una relación, al conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación. Ejemplo: Dada la relación: R = {(0; 3) (-; ) (-; )} Establecemos luego: Dominio de la relación: D (R) = {0; -; -} Rango de la relación: R (R) = {3; ; } Función Una función "f" de A en B, es un conjunto de pares ordenados donde no eisten dos pares ordenados con la misma primera componente. R = {(; 0) (; 6) (3; )} no es una función pues eiste pares ordenados con la misma primera componente R = {(3; 6) (5; -) (; 4)} es una función Epresado de otro modo: Una función "f" es una correspondencia entre dos conjuntos A B tales que a cada elemento A se le asocia un único elemento B tal que = f() Ejemplo: A 4 6 conjunto de partida f B 7 6 conjunto de llegada Es una función pues cumple con la definición, luego: f = {(; 7) (4; ) (6; 6)} A f B 0 3 7 9 0 No es función pues al elemento se le asocia dos elementos a la vez Propiedad f = { (; 0) (; ) (3; 0) (9; 7)} Si (a; b) f (a; c) f entonces b = c Hallar "a" para que el conjunto de pares ordenados: Sea una función f = {(;3) (-; -3) (; a+5)} Buscando dos pares ordenados que tienen la misma componente: (; 3) f (; a + 5) f Igualando las segundas componentes: Propiedad 3 = a + 5 luego a = - Si el par ordenado (a; b) "f" entonces podemos escribirlo así: b = f(a) diremos que "b" es imagen de "a" vía la función "f" Sea la función: Hallar: f = {(; 3) (3; 4) (7; 3) (-; 6) (4; )} f (7) f (3) f () K f( ) f (4)
(; 3) f 3 = f() (3; 4) f 4 = f(3) (7; 3) f 3 = f(7) (-; 6) f 6 = f(-) (4; ) f = f(4) Reemplazando en "K": K 3 4 3 6 K = 0 5 Dominio de una función Se designa "D f " se define como el conjunto: D f = { A /! ; tal que (; ) f} Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados. Dada la función: f = {(3; ) (4; -) (6; ) (/; -)} Entonces el dominio de la función es: D f = { 3; 4; 6; /} Rango de una función (o imagen) Se designa "R f " se define como el conjunto: R f = { B / ; tal que (; ) f} Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados Dada la función: f = {(6; 4) (7; 3) (9; 4) (-7; 3) (4; /)} Entonces el rango de la función es: R f = {4; 3; /} Regla de correspondencia La regla de correspondencia de una función es la relación que se establece entre la variable independiente ("") la variable dependiente ("") Calcular la regla de correspondencia del gráfico mostrado. Del gráfico f(5) = 5 = 5 f(4) = 6 = 4 f() = 4 = A f B 5 4 4 6 5 Entonces la regla de correspondencia es: f () = Determinar la regla de correspondencia de la función "f" tal que: f = {(; ) (; 5) (3; 8) (4; ) (5; 4) (6; 7)} f() = f() = 3() - f() = 5 f() = 3() - f(3) = 8 f(3) = 3(3) - f(4) = f(4) = 3(4) - f(5) = 4 f(5) = 3(5) - f(6) = 7 f(6) = 3(6) - Luego: f () = 3 -, es la regla de correspondencia. Gráfica de una función La gráfica de una función "f" está formada por un conjunto de puntos (; ) en el plano donde los pares ordenados correspondientes a estos puntos los obtenemos asignando a "" cualquier número real, lo que reemplazamos en la regla de correspondencia para obtener los respectivos valores de "", esto lo anotamos en una tabla como la siguiente: Graficar: = + Dando valores a "" obtenemos: -4-3 - - 3-3 - - 0 3 4
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano Luego la gráfica de: = f () = + será un trazo continuo de infinitos puntos generando una recta. Nivel I Problemas para la clase. Si se cumple: ( - ; 8) = (5 ; + 5) Indicar " + " -4-3 - Propiedad de las funciones 4 3 3 - Una gráfica cualquiera será función; si solo si, al trazar una paralela al eje "" corta a la gráfica en un sólo punto. - -3 f a) b) 36 c) 8 d) 4 6. Dados los conjuntos: A = {; 5} B = {4; 6} Calcular "A B" a) {(; 4) (; 6) (5; 4) (5; 6)} b) {(; 4) (5;6)} c) {(4; ) (4; 5) (6; ) (6; 5)} d) {(4; ) (6; 5)} {(; 4) (4; 5) (5; 4) (5; 6)} 3. Dado el conjunto: A = {; 3} Hallar A A señale la suma de los elementos de los pares ordenados. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 0 "f "; si es función 4. Dados los conjuntos: A = {; ; 3; 4} B = {a; b} "h" Hallar "A B" señale el número de elementos. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 9 5. Siendo: A ={/ IN < < 4} B ={/ IN 3 < < 5} Determinar "A B" señalar el número de elementos. "h" no es función pues la recta corta a la gráfica en más de un punto. a) 4 b) c) 6 d) 8 9 6. Dados: A = { ; } B = { ; } Hallar: M = {( ; ) A B / = } Señalar la suma de los elementos de los pares ordenados de "M". a) b) c) 3 d) 4 5
7. Sea: A = { ; ; 3 ; 4 ; 5} las relaciones en "A". 0. Cuál de las siguientes gráficas representa una función? F = {(; ) A A / < } G = {(; ) A / + = 5} Cuántos elementos tiene F G? a) 8 b) 9 c) 0 d) 8. Cuántas de las relaciones siguientes son funciones? R = {( ; ), (3 ; ), (4 ; )} R = {( ; 0), ( ; ), (3 ; 3)} R 3 = {(- ; 0), (- ; ), ( ; 3)} R 4 = {( ; 0), ( ; ), ( ; )} R = {(- ; ), ( ; ), ( ; )} 5 a) b) 3 c) 4 d) 5 9. Cuál de los diagramas sagitales no representa una función? c) d) Nivel II. Si: f g F = {( ; a+3), ( ; a - ), (4 ; b+3), (a ; 3b - )}; 4 5 3 4 3 6 5 6 h es función, calcular "ab" a) b) 4 c) 6 d) 8 0. Sea la función: f = {(; 5) (; 4) (3; -) (6; 9)} 3 Hallar: f (6) f () f () f (3) 4 5 a) 0 b) c) 6 d) 3 4 a) Solo f b) Solo g c) Solo h d) f g f h 3. Dada la función: f() = - 3a Además: f = {(; b) (4a; 6) (c; )} Hallar "a + b + c" a) - b) 0 c) 6 d) 9 30 4. Si se cumple: Hallar "" ( ; ) = (6 ; - ) a) 8 b) 6 c) 3 d) 64 8
5. Dada la función: F = {(5 ; 3), (m+3 ; ), (6 ; 3m-), (6 ; 8)} Señalar la suma de los elementos del dominio. a) 8 b) 5 c) 0 d) 30 6 6. Hallar el rango de la función: G = {( ; b), ( ; b - ), (b ; - ), (- ; 3)} a) {3} b) {- ; ; 3} c) {- ; 3} d) {- ; ; 3} {- ; ; - ; 3} 7. Hallar el dominio D f el rango R f de la función: F = {(b ; a-), (9 ; b+3), (a+ ; a-7), (a- ; a), (a+ ; 3)} Luego, indicar "D f R f ". a) {3} b) c) {} d) { ; -} { ; 3} 8. Calcular la función lineal que tenga: f () = 3 además f () = f (3). Hallar f (00) a) -00 b) -96 c) -9 d) -9-94 9. Sea la función: H = {(6 ; b), (3a ; 9), (c ; )} Con regla de correspondencia: H () = - a Hallar "a + b + c" a) 47 b) 7 c) 0 d) 6 9 0.Sea: Nivel III. Dada la función "H", tal que: H () = a +b. Hallar "a - b", conociendo la siguiente tabla para esta: 3 5 a) -3 b) - c) -4 d) - 6. Sea: A = { ; ; 3 ; 4 }; "F" una función definida en "A por A". F = {( ; 3), ( ; m), (m+ ; ), ( ; n - )} Calcular "F () - F () + F (4) " a) b) c) 3 d) 4 5 3. Sean las funciones: F = {( ; ) R /f () = 3+} G = {(4 ; n), (7 ; n+), (n+ ; 5)} Si: F (4) + G (G =9, hallar "a" (a) ) a) 4 b) 7 c) d) 5 9 4. Sea la función: f () = m + n, tal que: Calcular "f (7) " f (5) = 7 f () = 6 + f (0) a) b) 38 c) 3 d) 4 8 5. Si el par ordenado (3 ; 6) pertenece a la función: f () = + + m 5, Si : 4 Hallar el par ordenado de abcisa dos que pertenece a f (). f ( ), Si : 4 a) b) 8 c) 5 7, Si : 4 d) 4 3 Calcular "f (5) + f ( f (3) ) " a) b) 5 c) 4 d) 7 8 6. Si las funciones: f () = - + 3 g () = + - 7 Se intersecan en los puntos (m ; n) (p ; q). Hallar "mp + nq" a) 4 b) 0 c) - d) -8 6
7. Señale la suma de los elementos del rango de la función: f () = + 3; siendo: = { ; ; 3} a) b) 8 c) 4 d) 0 6 8. Sea la función F: A B Siendo: F = {(; ), (3;4), (6; 7), (8; 9), (0; 6)} Hallar: F() + F(3) - F(6) - F(8) - F(0) a) -5 b) -6 c) -4 d) -3-9. Encontrar la función lineal f() = a + b, tal que se cumple: f() = 3... () f(3) = f(4)... () a) f() = - + b) f() = - + 4 c) f() = - + 5 d) f() = -3-4 f() = - 0.Hallar la suma de los elementos del rango de la función F = {(; 5), (-; -3), (; a - b), (-; b - a), (a + b ; a)} a) 6 b) 5 c) 4 d) 8 7
Autoevaluación. Calcular " + ", si: ( - ; 3 + ) = (7; 0) a) b) 3 c) 4 d) 7 4. Hallar el valor de "a - b" si la siguiente relación es una función real: R = {(3; -7) (; a + b) (5; 7) (; 3-a) (; )} a) 0 b) c) d) 3 4. Cuántos elementos tiene A B, si: A = { IN / 99 < 0} B = { IN / 000 < 00} a) b) 4 c) 6 d) 000 008 5. Si A = { ZZ/ 4 7} B = { ZZ/ 5} C = { ZZ/ 0 4} D = { ZZ/ 3 6} Calcular (A B) (C D) Dar como respuesta el número de elementos del producto cartesiano. a) b) 4 c) 6 d) 8 0 3. Si: A = {/ IN < < 5} B = {/ IN } Indicar el número de elementos de A B a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 8 Claves. d. b 3. c 4. a 5. b
Funciones II Cálculo del Dominio Rango de Funciones Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función. Asi: D f = { A /! ; tal que (; ) "f"} También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función. Asi: R f = { B / ; tal que (; ) "f"}. Dominio Rango de la función lineal = f () = a + b / a IR b IR Como a cada valor de "" le corresponde un valor de "" entonces si a "" le asignamos valores reales obtendremos para "" también valores reales. Luego el Dominio Rango de la función lineal será: D f = IR R f = IR La función f () = - 5 por ser lineal, su dominio rango será: D f = IR R f = IR. Sean los conjuntos: A = {; ; 3; 4; 5} B = {4; 9; 6} La f un ci ón f ( ) es l in e al p ue s 5 3 La relación: f = {(; 4) (3; 9) (4; 6)} es una función f ( ), luego su Dominio Rango será f: A B con dominio D f = {; 3; 4} Rango R f = {4; 9; 6} 3 5 Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (D f ) una regla que permita asignar para cualquier D f pueda encontrarse su imagen f (). Dada la función: f () = + - 3 D f = IR R f = IR.. Dominio Rango de la función racional = f () = a + b c + d Donde {-; ; 4} Hallar el rango de la función Como {-; ; 4} D f = {-; ; 4} Ahora para cada "" obtenemos su imagen f() ó simplemente el rango de la función. = - f (-) = (-) + (-) - 3 = - - 3 f (-) = - = f () = () + - 3 = 8 + - 3 f () = 7 = 4 f (4) = (4) + 4-3 = 3 + 4-3 f (4) = 33 Finalmente la imagen o rango de la función será: R f = {-; 7; 33} El Dominio de la función (Todos los valores de "") es el conjunto de los números reales IR menos el conjunto de valores de "" que anulen al denominador. D f : IR - {c + d = 0} Hallar el dominio de la función: f () 4 8 El dominio de la función se obtendrá así: D f : IR - {4-8 = 0} Resolviendo la ecuación: = IR - {} 3 AÑO
Observación: el dominio de la función: f () lo podemos encontrar de la siguiente manera: IR 4-8 0 4 8 D f : IR - {} Hallar el Dominio de la siguiente función f () 4 6 3 9 IR - 0 3 + 9 0 3-9 -3 D f : IR - {-3; } 4 8 a b Para hallar el rango de la función racional: c d se despeja "" en función de "" 4 Hallar el rango de la función: f () 3 6 Como: = f () entonces 4 3 6 (3-6) = + 4 Efectuando la multiplicación: Despejando "" 3-6 = + 4 3 6 4 común: 6 4 3 Como: IR 3-0 3 el rango de la función será: 3 R f : IR 3 Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función f () 4 3 6 Dividiendo los términos lineales del numerador denominador. Así: R f : IR IR 3 3 Hallar el Dominio Rango de la función: f () 0 5 Cálculo del Dominio: 5 + 0 5-5 D f : IR 5 Cálculo del Rango: (Utilizo el método práctico) R : IR 0 f 5 IR - {} (3 - ) = 6 + 4
3. Dominio Rango de la función cuadrática = f () = a + b + c; a 0 El Dominio de la función está representado por todos los números reales es decir D f = IR Los valores de ""; es decir el rango de la función cuadrática se obtiene despejando "" en función de "" Ejemplo: Hallar el Dominio Rango de la función cuadrática: f () = + 3 + Cálculo del Dominio: IR Cálculo del Rango: = + 3 + Formando una ecuación de do grado + 3 + ( - ) = 0 Usando la fórmula general para despejar "" en función de "" a + b + c = 0 (a 0) Ejemplo: Calcular el rango de la función cuadrática f() = 3-5 + ; IR Como = f() entonces = 3-5 + la ecuación de do grado será: 3-5 + ( - ) = 0 Así como el problema anterior para encontrar el rango de la función, resolveremos: b 4ac 0 discriminante de la ecuación de do. grado a = 3 ; b = -5 ; c = - (-5) - 4(3)( - ) 0 5 - ( - ) 0 Despejando "" 5 - + 0 3 + 0 b b 4ac -3 a 3 3 b 4ac discriminante de la ecuación 9 4()( ) () Para que IR lo que esta dentro de la raíz cuadrada o sea la discriminante ( ) deberá ser una cantidad no negativa, es decir: Resolviendo: = 9-4()( - ) 0 9-8( - ) 0 +9-6 + 8 0-7 + 8 0 8 7 7 8 7 R f = 8 ; 3 R f ; 4. Dominio Rango de la función Raíz cuadrada = f() Al resolver la inecuación f () 0 obtendremos el Dominio de la función. El rango de la función se obtiene construendo la función a partir del dominio. Ejemplo: Hallar el Dominio Rango de la función: f() 5 Cálculo del Dominio: - 5 0 5 D f = [5; +
C ál cu lo d el R an go : Co ns tr u en do l a fu nc ió n f () 5, partiendo del Dominio. Dominio: 5 Resolviendo las inecuaciones: -4 6-4 6 Resto 5: - 5 5-5 - 5 0 Graficando: Dominio Etraemos : 5 0-4 6 como: 5 [-4 ; 6] 0 R f = [0; + Ejemplo: Hallar el Rango de la función: f () 6 Los valores enteros son: -4; -3; -; -; 0; ; ; 3; 4; 5; 6 Número de elementos = Ejemplo: Calcule el Dominio Rango de la función: Cálculo del Dominio: Cálculo del Rango: + 0 - D f = [-; + Dominio: - + 0 etraemos : 0 Restando 6: 6 0 6 como: 6 Luego: -6 R f = [-6; + Ejemplo: Calcular el Dominio de la función: f () 0 Cálculo del Dominio: - + 0-0 Multiplicando por (-): - 0 + 0-7 -3 ( - 3)( - 7) 0 3 7 D f : 3 7 ó [3; 7] Cálculo del Rango: f () 0 Completando cuadrados: f() 4 4 6 Indicar el número de elementos enteros. Cuando el radical es de índice par lo que esta dentro de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir: Luego: f () 0 5 4 - + 0-5 = -( - 0 +5) = -( - 5) + 4 0 6-0 f () ( 5) 4
0 Recordamos que para hallar el Rango de la función debemos partir del Dominio para construir la función f(): Restando 5: Al cuadrado: D f : 3 7 3-5 - 5 7-5 - - 5 Sumando 4: - 4 + 4 -( - 5) + 4 0 + 4 0 -( - 5) + 4 4 Etraemos : 0 - ( - 5) 4 4 ( - 5) 0 - ( - 5) 4 0 ( - 5) 4 Multiplicando por - : Como: f() - ( - 5) 4-4 -( - 5) 0 entonces: 0 R f = [0; ] Dominio Rango la función f () Lineal = a + b a 0 Racional f() = a + b c + d Cuadrática f() = a + b + c a 0 Raíz cuadrada = f() Dominio Dominio Dominio Dominio IR IR - {c + d = 0} IR Se resuelve la inecuación f() 0 Rango Rango Rango Rango IR IR a c Se resuelve la inecuación 0 Se debe construir la función a partir del dominio : discriminante
Nivel I Problemas para la clase 9. Hallar el rango de la función: G () = 3 + a) [3 ;+ [ b) [ ; + [ c) ] ; ] d) IR. Señale la suma de los elementos del rango de la función: f () = +, siendo: = {-; -; ; } a) 9 b) 0 c) 4 d) 6 8 0.Hallar el rango de la función: H ( ) a) [ ; + [ b) [0 ; + [ c) ] ; ] d) IR. Hallar el dominio de la función: f() = 4 - Nivel II a) IR - b) c) 4 d) IR + IR 3. Hallar el rango de la función: f() = 4 - a) IR - b) c) 4 d) IR + IR 4. Hallar el dominio de: F () 7 3 7 a) IR b) IR - {8} c) IR - {7} d) IR - {} IR - {-7} 5. Hallar el rango de: G () 5 3 6 a) IR - {5} b) IR - {-6} c) IR - {-5} d) IR - {} IR - {-7} 6. Hallar el dominio de la función:. Calcular el rango de la función: G () a) [- ; ] b) [0 ; + [ c) [ ; + [ d) ]- ; -] [- ; + [. Calcular el rango de: F () 5 3 a) [3 ; + [ b) IR - {3} c) IR - {} d) ]- ; ] 3. Hallar el dominio: = 00 + 00 a) 00 b) 00 c) [00; + [ d) [00; + [ IR 4. Hallar el dominio: h : R R; h () 4 F () 4 a) IR - {- ; } b) -; c) [- ; ] d) IR - {} a) IR + b) IR c) 4 ; IR d) [ _ 4 ; 5. Hallar el dominio: G : R R ; G () 7. Hallar el dominio de la función: F () 6 3 a) [6;+ [ b) [-6 ; + [ c) [0 ; + [ d) IR 8. Hallar el rango de la función: F () = + 3 + a) IR + b) IR - {} c) [0; d) ;0] IR - {0} 6. Hallar el dominio: 5 5 G : R R ; G ( ) 4 3 a) ; b) ; 4 4 a) [; + b) [3; + c) ; 5 d) ; ] [ ; 3] c) ; d) IR 4
7. Hallar el dominio: 4. Hallar " ", si el dominio de la función: F : R R ; F () 4 6 _ f () ( ) 4 a) [ ; 6] b) ; 6 c) IR - { ; 6} d) IR + IR 8. Hallar el rango: a) - ; 6] b) [6; + c) - ; -6] d) - ; 0] - ; -4] es: [ ; ] [ ; ] a) 0 ; b) 0 ; 4 4 a) IR b) [5; + c) [4; + d) ; 5] d) 0; 4 a) b) c) 3 d) f ( ) 3 6 a) IR b) IR - {} c) IR - {0} 5. Obtener el número de elementos enteros del dominio de: d) IR + IR - F() 3 3 9. Hallar el rango de la función: F() = - + - 5; IR 0.Hallar el rango de la función: Nivel III F () = - 4 + 9. Hallar el rango de: g () = + 7 + 5 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 7 6. Calcular el rango de la función: F () 4 _ ; 0 4 c) -; 0 7. Hallar el dominio rango de la función: a) IR b) IR - {} c) [5; + d) [-5; + IR - {5} 0 8. Hallar el dominio de la función: g () -5 6-3 a) IR b) IR - {} c) IR - { ; -} a) [-5 ; 6 ; 8 ; 0] d) [- ; ] b) -5 ; 6 ; [8 ; 0 3. Hallar el dominio de la función: c) [-5 ; 6 ; [-3 ; 0 d) -5 ; 6 ; [-3 ; 8] f () ( )( 5) 3 IR {-5 ; 6} ; [-3 ; 0 3 8. Hallar el rango de la función: a) - ; -5] [ ; + - {3} b) - ; -4 [4 ; + - {5} F () 5 64 c) - ; -5] 3 ; + d) - ; -5] [ ; + IR a) 0 ; b) ; c) [0; 5 5 5 d) 5 ; IR
9. Hallar el valor mínimo de la siguiente función: 3. Calcular el dominio de la función: F () = - 4 + 7 a) 0 b) c) 5 d) - -5 0.Dada la función: g() 4 8 5 a) IR - {-5; } b) IR - {5; } c) IR d) IR - {} IR - {-5} F() 3 Calcular "D f R f " a) -3; ] b) [-3 ; c) d) [-3 ; ] IR Autoevaluación. Si el conjunto de pares ordenados representa una función. Calcular "" F = {(; 4), (3; +), (5; 6), (3; 8) (; - )} a) 0 b) c) d) 3 4 4. Calcular el rango de la función: h() 8 4 a) IR - {4} b) IR - {} c) IR - {-} d) IR IR - {/} 5. Calcular el dominio de la función: f () 4 a) IR - { } b) IR - {-; } c) IR d) -; IR - {-} 5. Calcular el rango de la función: f () = 5 + + a) ; 4 5 4 b) ; c) IR 5 d) ; ] [-; + Claves. c. b 3. a 4. b 5. b
Funciones III Problemas resueltos Ejemplo: Graficar la siguiente función: F = {(; 3) (; 5) (3; 4) (5; )} Ubicando los pares ordenados en el plano cartesiano. Funciones especiales. Función Identidad: f = {(; ) IR / = } Significa que todos los pares ordenados de la función tienen componentes iguales. Así: f = {... (0; 0) (; ) (; ) (3; 3)... } La gráfica es una recta: 5 3 4 3 0 45 3 3 4 5 Del gráfico: D f = IR R f = IR Ejemplo: Si: f: IR IR graficar la función: f() = + Se trata de una relación en IR que los pares ordenados que se logren darán lugar a puntos que al graficarlos quedarán ubicados unos a continuación de otros constituendo una línea que en este caso es una línea recta, dando valores a "" mediante la regla de correspondencia = + llenamos la siguiente tabla. - - 0 3 4.... Función constante: f = {(; ) IR / = k ; k IR} Esto significa que todos los pares ordenados tienen segunda componente igual a "k". Así: f = {... (0; k) (; k) (; k)...} La gráfica en este caso será una recta horizontal paralela al eje. k -3-3 5 7 9... 0 3 Ubicando los puntos correspondientes a cada par ordenado en el plano cartesiano se obtiene: Del gráfico: D f = IR R f = {k} 9 8 7 6 5 4 3-4 -3 - - 3 4 - - -3 Graficar: f() = 3 En el plano cartesiano: = 3 ó f() = 3 Luego: D f = IR R = {3} 3 f 3 AÑO
F u n c i ó n l i n e a l : f = { ( ; ) / Graficar: f() = -6 En el plano cartesiano Calcular la función lineal que tenga las ecuaciones. f() = 3... () f() = f(3)... () Definamos la función lineal como: f() = a + b como: f() = 3 f() = a + b = 3... ( ) Además: -6 = -6 ó f() = -6 Luego: D f = IR R f = {-6} f() = f(3) a + b = (3a + b) Reduciendo: b = -4a... ( ) 3. IR = a + b} Es una función con dominio rango en todos los reales la regla de correspondencia es = f() = a + b, donde "a" "b" son constantes cualesquiera (a 0), su gráfica es una recta. Graficar la función: f() = 3 + 6 f() = 3 + 6 = 3 + 6 si: = 0 entonces: = 3(0) + 6 = 6 luego un punto de la recta es (0; 6) si: = 0 entonces: 0 = 3 + 6 = - luego el otro punto de la recta es (-; 0) Con estos dos puntos pertenecientes a la recta a podemos trazar su gráfica. De : a b 3 b 4a se tiene: a - 4a = 3 a = - b = 4 f() = - + 4 4. Función valor absoluto: f = {(; ) IR / = } Definiendo el valor absoluto de un número real "":, si : 0, si : 0 Esto significa que: f = {... (-; - ) (-; - ) (0; 0 ) (; ) (; )...} f = {...(-; ) (-; ) (0; 0) (; ) (; )...} La gráfica son dos rectas con un punto común formando la letra "V" (0; 6) (-; 0) 45 - - 0 Del gráfico: D f = IR R f = IR Del gráfico: D f = IR R f = IR + {0}
5. Función raíz cuadrada: f = {(; ) IR / = } Significa que: f = {(0; 0) (; ) (; ) (3; 3 )... } La gráfica es una semiparábola: b b 4ac 4a 4ac b 4a ó b 4ac 4a...() pero "b - 4ac" se llama discriminante lo podemos reemplazar por: D = b - 4ac 3 Luego en (): D 4a 0 3 Del gráfico: Df = IR + {0} Rf = IR + {0} 6. Función cuadrática: f = {(; ) IR / = a + b + c ; a, b, c IR ; a 0} Es una función con dominio en el conjunto de los números reales, su gráfica es una línea curva llamada parábola. La parábola es abierta hacia arriba, si: a>0 hacia abajo si: a<0. el vértice de la parábola, tiene las siguientes coordenadas: V b D ; a 4a Graficar la función f() = + 4 - Identificando: a = ; b = 4 c = - Calculamos la abscisa del vértice: b a 4 () a>0 vértice de la parábola Calculando la ordenada del vértice: D 4a a<0 b 4ac 4 4a = -3 4()( ) 4() Los puntos lo obtenemos cuando la ordenada "" es cero: 0 = a + b + c Resolviendo la ecuación se obtiene los valores de "" que son " " " ". Coordenadas del vértice de la parábola b La abscisa del vértice esta dada por: a Si reemplazamos este valor de "" en la regla de correspondencia: = a + b + c obtenemos la ordenada del vértice. Observación: Si = - lo reemplazamos en la regla de correspondencia = + 4 - obtendremos el valor de "": Así: = (-) + 4(-) - = -3 Luego el vértice de la parábola es V(-; -3) Como a = ("a" es positivo) la parábola se abre hacia arriba, la gráfica aproimada es: = a + b + c - b b a b c a a b b c 4a a -3
Graficar la función: f() = a (la parábola se abrehaciaarriba) 0 0 b 0 c 0 la abscisa del vértice será: b 0 0 0 a () = 0 lo reemplazamos en la regla de correspondencia para hallar la ordenada. = = (0) = 0 La gráfica será la parábola que se abre hacia arriba cuo vértice es (0; 0) la gráfica aproimada es: 3 4-5 8 Los puntos " " " " los obtenemos cuando la ordenada "" es cero. 0 = - 3 - + - Resolviendo: + = 0 - = 0 Finalmente la gráfica será: - 3 4 V (0; 0) -5 8 Graficar: f() = - 3 - Desplazamiento de funciones a. Desplazamiento horizontal (siendo: h > 0) Identificando los coeficientes: 3 a (la parábola se abre hacia arriba) b 3 c f(+h) f() f(-h) h: unidades hacia la izquierda h: unidades a la derecha Abscisa: b a Ordenada: 3 () 3 4 Graficar: f() = - 3 3 unidades a la derecha se tendrá: b 4ac 4a ( 3) 4()( ) 4() = = - 3 5 5 8 8 3
Graficar: f() = ( + ) unidades a la izquierda se tendrá: Graficando: = = (+) Graficar: f() = - Graficando: = unidades hacia abajo se tendrá = - - - b. Desplazamiento vertical (siendo: h > 0) Reflejo de funciones f() + h a. Reflejo en el eje "" "h" unidades hacia arriba -f() f() f() b. Reflejo en el eje "" f() f(-) f() - h "h" unidades hacia abajo c. Con valor absoluto Graficar: f() f() f() Graficando: = unidades hacia arriba se tendrá = +
r a f i c a r : g Problemas para la clase 4. G () = - + 3 Nivel I. Graficar: f () = 3 - a) b) a) b) c) d) c) d) 5. Graficar: = + 5. Graficar: f () = 6 6 5 a) b) c) d) -5 c) d) 6-6 6. Graficar: = - + 3 3. Graficar: f () = - 3 3 - a) - b) c) 3 d) 3 - c) d) -
7. Graficar: = - 0.Graficar: 3 - a) b) c) d) c) d) - 8. Graficar: = + 4 Nivel II -4. Graficar: 5 4 ; 0 ; 0 c) -4 4 d) a) b) c) d) 4 9. Graficar: 3. Hallar el área de la región formada por la función: g: R R; g () = - + 3; con los ejes de coordenadas cartesianas. a) 3 u b) 6 c) 9 c) -3 d) 3 d) 9 9 4 3. Hallar el área de la región formada por la función lineal: f: R R; f () = - - 5; los ejes de coordenadas. -3 a) 5 u b) 5 4 c) 0 d) 5 30
f S i : b < 0 ; l a g r á f i c a d e : F 4. Hallar el área de la región formada por las funciones: () = 8 ; g = el eje "". () 7. Graficar: f () = - a) 8 u b) 6 c) 3 d) 64 30 a) b) - 5. Sea la función: f() c) d) Graficar: f ( - ) - 8. = () + b + b ; es: a) b) c) d) - c) d) 6. Sea la función: Graficar: g () + g() - 9. Graficar: f (), 0,, si: si: si: > = < 0 0 - - c) d) c) d) 0 - - 0 -
8 u 0.Graficar: f () = + 3. Graficar: f () a) b) - c) d) c) d) - Nivel III. Graficar: f () = + - 4. Hallar el área del triángulo mostrado: f () = - +9 c) d) -. Graficar: f() = + + 36 a) b) 3 c) 7 d) 4 5 5. Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta de pendiente -3. -6 c) 6 6 d) a) u b) 3 c) 8 d) 4 6 L -6 6. Hallar el área de la región limitada por las rectas: f () = + 3 ; g () = -4 el eje "" a) 5 u b) 3 c) 49 3 d) 3 5
c u a d r á t i c a : g 7. Sea la función lineal: f : R R; f () = - 3; la función 9. Graficar: f = 3 () = 6 () + - 4; se interceptan en los puntos (a;b) (c;d). Indique " db " ac a) - b) -44 c) d) - -33 a) b) 8. Graficar: f ( ) c) d) a) - b) c) d) - 0.Graficar: f ( ) - c) - d) -
G r a f i c a r : f () Autoevaluación 4. Graficar: f ( ). Graficar: f () - - c) d) c) d) -. Graficar: f () = + 3 5. = + 0 + 5-5 c) d) c) 5 d) 5-5 3. Graficar: f () = -3 3 a) b) -3 c) 3 3 d) -3 Claves. e. c 3. b 4. c 5. e