Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Nombre y Apellidos: Cálculo I Convocatoria de Diciembre de Diciembre de 008 DNI: (6.5 p.) ) Se considera la función f : R R definida por x e x x f(x) = ln(x) x si x < si x. ( p.) (a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f. Calcular la expresión de f (x) en los intervalos donde esté definida. ( p.) (b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus extremos relativos. (.5 p.) (c) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de f y sus puntos de inflexión. (.5 p.) (d) Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de f y representar de forma aproximada dicha gráfica. ( p.) (e) Calcular el valor del área de la región del plano encerrada entre el eje X y la porción de la gráfica de f situada sobre él en el intervalo [, e ]. ( p.) (f) Estudiar si las siguientes integrales impropias son convergentes: (i) f(x) dx ; (ii) f(x) x dx. ( p.) ) Sea g : R R una función de clase C tal que los polinomios de Taylor de grado de g centrados en 0 y son, respectivamente: p 0 (x) = + x x. p (x) = + (x ) + (x ). Razonar brevemente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (a) g tiene al menos una raíz en el intervalo (0, ). (b) g tiene al menos un punto fijo en el intervalo (0, ). (c) g es estrictamente creciente en el intervalo (0, ). (d) Al menos una de las rectas tangentes a la gráfica de g en el intervalo (0, ) es paralela al eje X. (.5 p.) 3) Estudiar para qué valores de x R convergen las siguientes series de potencias: (i) n= nx n n ; (ii) n= x n n n ; (iii) n= x n n.
SOLUCIONES PROBLEMA. (a) La función f es continua y derivable en (, ) (, ) ya que se puede escribir como producto, composición y cociente de funciones continuas. Veamos que f no es continua en x =. En efecto, se tiene: lim f(x) = f() = 0; x + x e x lim f(x) = lim x x x =, ya que lim x x e x =, lim x = 0, y f(x) > 0 para todo x (0, ). x Como f no es continua en x =, tampoco es derivable en este punto. La función f está definida en (, ) (, ). Usando las reglas de derivación: f (x) = (x x + ) e x ( x) si x < ln(x) x si x >. (b) Estudiamos el signo de f. En primer lugar, consideramos el caso x <, de tal forma que f (x) = (x x + ) e x ( x). Como e x > 0 y ( x) > 0, falta estudiar el signo de p(x) = x x +. Puesto que p (x) = x = 0 x = / y p (/) = > 0, se tiene que p alcanza un mínimo absoluto en x = /. Como p(/) = 3/4 > 0, se deduce que p(x) > 0, x R. En consecuencia, f (x) = (x x + ) e x ( x) > 0, x (, ), de modo que f es estrictamente creciente en (, ). Si x > entonces f (x) = ln(x) x = 0 ln(x) = x = e. Por otra parte, ln(x) > 0 si x (, e) y ln(x) < 0 si x > e. Por lo tanto, f es estrictamente creciente en (, e) y estrictamente decreciente en (e, ). La función f no tiene extremos relativos en (, ) ya que f es estrictamente creciente y lim f(x) =. x Como f es creciente en (, e) y decreciente en (e, ), f alcanza un mínimo relativo en x = y un máximo relativo en x = e. Los valores de estos extremos son f() = 0 y f(e) = /e. (c) Los intervalos de concavidad y convexidad se determinan analizando el signo de f.
Aplicando de nuevo las reglas de derivación a f, se obtiene: x(x x + 3) e x ( x) 3 si x < f (x) = 3 + ln(x) x 3 si x >. Para x <, f (x) = 0 x(x x + 3) = 0 x = 0, ya que el polinomio q(x) = x x + 3 no tiene raíces reales. Además, como q(0) = 3 > 0, se tiene que q(x) > 0, x R, y por tanto: f (x) = x(x x + 3) e x ( x) 3 < 0 si x < 0 ; f (x) > 0 si x (0, ). En consecuencia, f es cóncava en (, 0) y convexa en (0, ). Para x >, f (x) = 0 3 + ln(x) = 0 x = e 3/. Como f (e) = /e 3 < 0 y f (e ) = /e 8 > 0, se deduce que f es cóncava en (, e 3/ ) y convexa en (e 3/, ). Hay puntos de inflexión en x = 0, x = y x = e 3/. (d) Ya hemos visto que lim f(x) =, de modo que x = es una asíntota vertical a la x gráfica de f por la izquierda. Calculamos los límites de f en ± utilizando la regla de L Hôpital: lim f(x) = lim x e x x x x = lim ( x) e x x ln(x) /x lim f(x) = lim = lim x x x x = 0. = lim x (x ) e x = ; Por tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal a la gráfica de f en +. Para representar la gráfica de f, tenemos en cuenta los resultados anteriores y que f(x) = 0 sólo para x = 0 y x =. La forma aproximada de dicha gráfica es la siguiente: /e 0 e e 3/ 3
(e) En el intervalo [, e ], la función f está definida por f(x) = ln(x)/x. Como f es positiva en ese intervalo, el área es la integral de f entre y e. Calculamos una primitiva de ln(x)/x utilizando el cambio de variable ln(x) = u, de modo que du = (/x)dx y por tanto una primitiva es: F (x) = ln(x) x dx = u du = u = (ln(x)). Utilizando la regla de Barrow, se obtiene el área de la región pedida: A = e f(x) dx = F (e ) F () = (ln(e )) (ln()) = 0 =. (f) (i) La primera de las integrales impropias la estudiamos utilizando la primitiva calculada en el apartado anterior: f(x) dx = lim b b Por tanto, la integral impropia es divergente. (ii) La segunda integral impropia es (ln(b)) f(x) dx = lim (F (b) F ()) = lim b b f(x) x dx = ln(x) x 3 dx. Veamos que esta integral es convergente usando el criterio de comparación: ln(x)/x 3 ln(x) lim x /x = lim = lim x x x x = 0, donde en la segunda igualdad hemos usado la regla de L Hôpital. Como la integral dx es convergente, también lo es x ln(x) x dx. =. 4
PROBLEMA. Como el polinomio de Taylor de grado de g centrado en un punto x 0 viene dado por tenemos: p(x) = g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + g (x 0 ) (x x 0 ),! p 0 (x) = + x x = g(0) =, g (0) =, g (0) = ; p (x) = + (x ) + (x ) = g() =, g () =, g () =. Respondemos a cada una de las afirmaciones: (a) Como g es continua en [0, ], g(0) = > 0 y g() = < 0, el teorema de Bolzano asegura que existe al menos una raíz x 0 de g en el intervalo (0, ), es decir, existe x 0 (0, ) tal que g(x 0 ) = 0. (b) Consideremos la función h(x) = g(x) x. La función h es continua en el intervalo [0, ] y h(x) = 0 g(x) = x, es decir, los ceros de h son los puntos fijos de g. Ahora bien, h(0) = g(0) 0 = > 0 y h() = g() = < 0, por lo que de nuevo el teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un punto fijo de h en el intervalo (0, ). (c) Como g(0) = y g() =, se tiene que g(0) > g() y por tanto g no puede ser creciente en el intervalo (0, ). (d) Como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de g en un punto (x, g(x )) es g (x ), esta recta es paralela al eje X si g (x ) = 0. Por el apartado anterior sabemos que g es estrictamente decreciente en algún intervalo y por tanto existe un α (0, ) tal que g (α) < 0. Como g (0) = > 0 y g es continua, podemos deducir del teorema de Bolzano que existe al menos un punto x (0, α) en el que g (x ) = 0. PROBLEMA 3. (i) El término general de la primera serie de potencias es a n = n y por tanto su radio de n convergencia es: r = lim a n a n+ = lim n+ n n (n + ) = lim n n + =. Como la serie está centrada en x 0 = 0 y el radio de convergencia es r =, podemos afirmar que converge absolutamente para x (, ). Estudiamos directamente la convergencia para x = y x =. Para x =, la serie es n, que es divergente ya que lim n = 0. n= Para x =, la serie es ( ) n n, que no converge ya que su término general tampoco n= tiende a cero. En resumen, la serie converge para x (, ). 5
(ii) El término general de la segunda serie de potencias es a n = n y su radio de convergencia n es: a n n+ (n + ) (n + ) r = lim = lim a n+ n n = lim n = lim ( ) n + =. Como en el apartado anterior, la serie converge absolutamente para x (, ). Para x =, la serie es, que es convergente. n n= ( ) n Para x =, la serie es. Esta serie es absolutamente convergente ya que n= ( ) n n = n y la serie es convergente. n Por tanto, la serie n= n= n x n n converge para x [, ]. n (iii) El término general de la tercera serie de potencias es a n = n, así que su radio de convergencia es: a n n + n + r = lim = lim = lim =. a n+ n n Como la serie está centrada en x 0 = 0 y el radio de convergencia es r =, podemos afirmar que converge absolutamente para x (, ). Estudiamos directamente la convergencia para x = y x =. Para x =, la serie es /n α, con α = / <. Para x =, la serie es n= n= n, que es divergente ya que su término general es del tipo ( ) n n. Como la sucesión {/ n} es decreciente y lim / n = 0, la serie converge en virtud del criterio de Leibniz. Por tanto, la serie converge para x [, ). n 6