Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 1 - Soluciones 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizone Finio Considere un problema de ahorro-consumo sobre un horizone finio donde el consumidor maximiza sujeo a u(c) = [ c 1 σ 1 σ, σ > 0, σ 1 log c, σ = 1 a +1 = (1 + r )a c ] y a T +1 0 con a 0 > 0 dado. 1 1. Planee el problema de opimización para ese consumidor. El problema de opimización es el siguiene: max {c,a +1 } T =0 T =0 β c 1 σ 1 σ sujeo a a +1 = (1 + r )a c, a T +1 0, a 0 > 0 dado. 2. Encuenre las condiciones necesarias para la opimización ineremporal usando un Lagrangeano. Escribimos el Lagrangeano: ( ) L {c, a +1, λ } T =0, µ T = T =0 { c β 1 σ } 1 σ λ [a +1 (1 + r )a + c ] + β T µ T a T +1 1 La función de uilidad de arriba es una función con elasicidad de susiución consane, llamada ambién función isoelásica. La elasicidad de susiución enre canidades de consumo en cualesquiera dos punos en el iempo es consane e igual a 1. La elasicidad de la uilidad marginal es igual a σ. Pero hay una σ inerpreación alernaiva para σ. Tal como veremos más adelane en el curso, las funciones de uilidad pueden además ser usadas para describir aciudes hacia el riesgo. De esa manera, σ puede ser llamado coeficiene de aversión relaiva al riesgo, definido como - u (c). Luego, a esa función ambién se la llama u (c) función de uilidad con aversión relaiva al riesgo consane (o CRRA por su sigla en inglés). 1
Las condiciones necesarias (y suficienes) son: L c = λ = 0, = 0,..., T (1) L a+1 = λ + βλ +1 (1 + r +1 ), = 0,..., T 1 (2) L at +1 = λ T + µ T = 0, = T (3) L λ = a +1 (1 + r )a + c = 0, = 0,..., T (4) λ 0, µ T 0, = 0,..., T (5) µ T a T +1 = 0 (6) En primer lugar, noemos que, de la condición (3), enemos que µ T > 0 ya que λ > 0, en paricular para = T. Ello implica, en la condición (6), que a T +1 = 0 (TVC), (7) i.e., resula la condición de ransversalidad de nuesro problema, del mismo modo que lo obenido cuando vimos en clase el problema simple de crecimieno ópimo con capial y sin bonos. De la condición (1), enemos que = λ y +1 = λ +1. Luego, combinando esas igualdades con la condición para los bonos, (2), enemos la Euler condiion para el consumidor: = β +1 (1 + r +1) (8) Noen que, si la función de uilidad insanánea fuera logarímica (σ = 1), endríamos que la dinámica del consumo sería simplemene: c +1 c = β(1 + r +1 ). Por oro lado (e independienemene de que la uilidad fuera logarímica), si la asa de inerés fuera consane, y además se cumple que β(1 + r) = 1, enemos un pah de consumo consane: c = c +1. Esas dos propiedades las analizaremos más en dealle cuando esudiemos las carac- 2
erísicas de los ciclos y la volailidad de las variables de decisión de los agenes. 3. Brinde una explicación económica para el muliplicador Lagrangeano sobre la resricción presupuesaria. El muliplicador Lagrangeano λ puede verse como el valor marginal, al momeno, de los asses. Es decir, en cuáno aumenaría el valor para el consumidor (en érminos de uilidad) si se le aumenara en una unidad el mono de sus acivos. 4. Brinde una inerpreación económica para las condiciones necesarias de opimización. En clase hemos hablado acerca de la condición de Euler (8): simplemene muesra la decisión ópima del consumidor respeco a la dinámica del consumo, y al radeoff enre consumo y ahorro. En segundo lugar, el consumidor debe cumplir con su resricción de presupueso, la cual, a su vez, noen que puede ambién ser inerpreada como la ley de movimieno de los asses, al igual que hablábamos en clase de la ley de movimieno del capial o la ecuación de la inversión. Finalmene, de la No-Ponzi- Game (NPG) condiion (a T +1 0), y de los supuesos sobre la función de uilidad (en paricular, lim c o u (c) = ), resula la TVC: a T +1 = 0. 5. Explique la diferencia enre el problema de arriba y uno en el cual la ley de movimieno de los acivos es a +1 = (a c )(1 + r ). Jusamene, en el íem anerior hablábamos de la ley de movimieno de los acivos. En ese caso, dicha ecuación es diferene; y, en realidad, lo que esá cambiando aquí es el precio relaivo de una unidad de consumo. Cuando anes, en el problema original, el coso por consumir era 1, ahora dicho coso asciende a (1 + r) : a +1 + c (1 + r ) = a (1 + r ) Eso lleva a la siguiene condición de opimalidad respeco al consumo: = λ (1 + r ). (9) Por su pare, la condición con respeco a los bonos no cambia. Luego, combinando (9) con (2) enemos: (1 + r ) = β +1 (1 + r +1 ) (1 + r +1), 3
lo cual implica que la condición de Euler resula simplemene: = β +1 (1 + r ). (10) La misma difiere de la ecuación de Euler original en que la asa de inerés del lado derecho de la ecuación es la acual, en lugar de la correspondiene al próximo periodo. Y, de hecho, eso se debe a que, al como se ha planeado el problema en ese caso, el deflacor de un bien de consumo deja de ser 1 para ser (1+r). Eso iene implicancias para el coro plazo (ejemplo, para analizar los efecos de evenuales shocks), pero pierde imporancia cuando analizamos el largo plazo, y en paricular cuando T. 6. Cuál es una solución al problema de arriba? Es decir, provea de una definición de la asignación ópima de los recursos, en el iempo, para ese consumidor. Una asignación ópima para ese consumidor es una secuencia {c, a +1 } T =o, al que se cumplan (i) La ecuación de Euler para odo (condición 8); (ii) La resricción de presupueso para odo (condición 4); (iii) La condición de ransversalidad, T V C (condición 7). Alernaivamene, podemos caracerizar la regla de decisión del consumidor con respeco a sus variables de elección (c y a +1 ), para cada, como funciones de la variable de esado de nuesra economía: a. Es decir, podemos resumir la solución a nuesra problema a ravés de las siguienes expresiones: c = c(a ) (11) a +1 = a(a ) (12) T V C (13) 7. Brinde e inerpree las condiciones suficienes para ese problema. Habíamos hablado anes de las condiciones necesarias para la solución del consumidor de nuesra economía, y mencionamos algo acerca de la suficiencia de dichas condiciones. Teniendo en cuena que los supuesos sobre la función de uilidad son los sandard visos en clase (los que aseguran la exisencia de un máximo inerior), que, por oro lado, el conjuno que represena la resricción presupuesaria es convexo, y que además se cumple µ T a T +1 = u (c T )a T +1 = 0, 4
con u (c T ) > 0, luego enemos la siguiene condición suficiene: a T +1 = 0. Todo lo anerior implica que la solución al problema del consumidor es única. 2 Equilibrio Compeiivo en Forma Secuencial Considere la descripción del equilibrio compeiivo en forma secuencial para el modelo neoclásico de crecimieno, al como lo planeamos en clase. Luego, considere la descripción del equilibrio compeiivo en forma secuencial, al como lo planean Sokey y Lucas (1989) en páginas 28 a 29. Pruebe que el precio de los bonos, q, al como los auores lo definen en el Ejercicio 2.10, resula, en equilibrio, igual a la inversa de la asa brua de inerés, al como la definimos en clase. Es decir, pruebe que q 1 = 1 + ra,+1. Explique brevemene. Para simplificar la prueba, removemos el capial y el rabajo de esa economía, y converimos el ingreso del consumidor en doaciones exógenas y. El problema podría ser planeado de la siguiene manera: max {c,a +1 } =0 β u(c ) =0 sujeo a c + q a +1 = y + a, a 0 = 0 dado. NP G condiion: lim q a +1 = 0. Luego, el Lagrangeano podría escribirse como: L = β {u(c ) λ [q a +1 + c a y ]} =0 Cenrándonos en las condiciones de primer orden que necesiamos para probar el enunciado de arriba (i.e., dejando de lado las condiciones de holgura, la TVC resulane, ec.), enemos lo siguiene: L c = u (c ) = λ L a+1 = λ q + βλ +1 = 0. 5
Combinando simplemene esas 2 ecuaciones, e inroduciendo los aseriscos (de modo de denoar las variables en el equilibrio compeiivo), obenemos la misma ecuación para el precio de los bonos que en el Ejercicio 2.10 en Sokey y Lucas: q = βλ +1 λ = βu (c +1 ) u (c ). (14) Por oro lado, en clase vimos que el equilibrio compeiivo implicaba que se saisfacía la siguiene condición para el problema del consumidor: β λ = β +1 λ +1[1 + r a,+1]. Luego, en equilibrio, debe cumplirse que λ λ +1 = β(1 + r a,+1). (15) Finalmene, combinando (14) con (15), enemos que q = βλ +1 λ = 1 1 + ra,+1, lo cual muesra que el precio de una securiy, al como lo planean Sokey-Lucas, es equivalene, en equilibrio, a la inversa de la asa de inerés (brua). Eso resula simplemene de planear el problema de manera al que el reorno bruo de la inversión en una unidad de acivo, con vencimieno en un periodo, es an sólo 1/q = 1 + r (noen como fue planeada la resricción presupuesaria en nuesro problema). 6