Bloque 4. Cálculo Tema 4 Aplicaciones de la derivada Ejercicios resueltos 4.4- Resolver los siguientes límites aplicando la regla de L Hôpital: ; a) sen e e lim ; b) lim ; c) lim e d) lim 0 0 sen 0 e) cos ln sen lim ; f ) lim ; g) lim cotag 0 0 ln tag 0 sen a) lim 0 0 Indeterminación de la forma. Para evitarla, derivamos 0 numerador y denominador y sustituimos por cero: sen cos lim lim 0 0 e e b) lim 0 sen 0 Indeterminación de la forma. Para evitarla, derivamos 0 numerador y denominador y sustituimos por cero: e e e e lim lim 0 sen 0 cos c) lim e Indeterminación de la forma 0. Para evitarla, operamos para llegar a la indeterminación 0 o 0 y aplicamos la regla de L Hôpital: e e lim lim lim lim e e Ejercicios resueltos
d) lim 0 0 Indeterminación de la forma 0. Para evitarla, operamos para llegar a la indeterminación 0 0 o y aplicamos la regla de L Hôpital: 0 0 0 0 lim k ln k ln lim lim ln lim ln Por lo tanto: ln ln k lim ln lim lim lim 0 0 0 0 0 0 ln k 0k e 0 lim cos e) lim 0 0 Indeterminación de la forma. Para evitarla, derivamos 0 numerador y denominador dos veces y sustituimos por cero: cos sen cos lim lim lim 0 0 0 ln sen f )lim 0 ln tag Indeterminación de la forma. Para evitarla, derivamos numerador y denominador y sustituimos por cero: cos ln sen cos lim lim sen tag sen lim lim 0 ln tag 0 0 sen 0 sen tg cos cos cos lim cos 0 g)lim cotag 0 Indeterminación de la forma. Para evitarla, operamos para llegar a la indeterminación 0 o 0 y aplicamos la regla de L Hôpital: Ejercicios resueltos
cos sen cos lim cotag lim lim 0 0 sen 0 sen cos cos sen sen lim lim 0 sencos 0 sencos sen cos 0 lim 0 0 cos cos sen 4.4- Una compañía farmacéutica va a lanzar al mercado un nuevo medicamento para uso veterinario. Los costes fijos de marketing, diseño del envase, representantes, etc. suponen 6.000. La fabricación de cada envase de medicamento tiene un coste de,5 por unidad. Si cada envase se vende a las distribuidoras a un precio de 4, cuántos envases debe vender la compañía para estar en el punto de equilibrio (cuál es el número de envases por debajo del cuál tendrán pérdidas y por encima beneficios)? / Costos totales = Ingresos? / 6.000 +,5 = 4? Resolviendo esta ecuación se deduce que = 4.000 Luego, el punto de equilibrio es 4.000 (nº de envases a partir del que tendrán beneficios) 4.4-3 Un productor de nueces estima, de la eperiencia de los años anteriores, que si se plantan 50 árboles por hectárea, cada árbol producirá en promedio 60 kilos de nueces cada año. Si por cada árbol adicional que se planta por hectárea la producción promedio por árbol desciende kilo, cuántos árboles debe plantar para maimizar la producción por hectárea? Cuál es esa producción máima? = nº de árboles adicionales P = producción por hectárea 50 60 3. 000 0 P Derivando P y resolviendo la ecuación que proporciona la primera derivada igual a cero obtenemos los puntos críticos: Ejercicios resueltos 3
P 3. 000 0 0 0 5 Luego = 5 proporciona el máimo, con un número de árboles de 50+5 = 55 y una producción por hectárea que obtenemos sustituyendo el valor = 5 en P: P( 5) 3. 05 La segunda derivada negativa asegura que el punto = 5 es máimo: P 3 000 0 0 0. 4.4-4 La compañía farmacéutica crece y dispone de un departamento de investigación de mercados y un departamento económico. El departamento de investigación de mercados recomienda a la Gerencia que fabrique y venda un nuevo fármaco prometedor con la siguiente ecuación de demanda: = f(p) = 6.000 30p donde es el número de unidades que los distribuidores comprarán cada mes a un precio de p por unidad. Observa que a medida que el precio sube, el número de unidades disminuye. Del departamento económico se obtuvo la siguiente ecuación de coste: C = g() = 7.000 + 60 donde 7.000 es el coste fijo (manufactura y gastos generales) y 60 es el costo variable por unidad (materia prima, ventas, transporte, almacenamiento, etc.) - Escribir la ecuación de ingresos (cantidad de dinero, I, que recibe la compañía por vender unidades a un precio de p por unidad). - Escribir la ecuación de rentabilidad (R) como la diferencia entre ingresos y costes. - Dibujar las gráficas de C e I (como función de p) en el mismo sistema de coordenadas. Cuáles son los puntos de equilibrio? Dónde los observamos gráficamente? Cuál es su valor? - A qué precio se presentará la máima rentabilidad? 6. 000 30 p In 6. 000 30 p p 6. 000 p 30 p C 7. 000 6043. 000. 800 p R InC R. p p.. p. p p. 6 000 30 43 000 800 7 800 30 43 000 Ejercicios resueltos 4
Los puntos de equilibrio se dan en la intersección de las dos gráficas. Hemos de resolver la ecuación Ingresos = Costes 6. 000 p30 p 43. 000. 800 p p 80, 80 La máima rentabilidad la obtendremos derivando R y resolviendo la ecuación que proporciona la primera derivada igual a cero: 7. 800 p30 p 43. 000 60 p7. 800 60 p7. 800 0 p30 Por tanto p = 30 es el valor que hace máima la rentabilidad. Comprobamos que es máimo con la segunda derivada: 7 800 30 43000 60 7 800 60 0. p p p. 4.4-5 En una eplotación ganadera se dispone de 0 km de alambrada para delimitar un terreno rectangular a lo largo de un río. Si no fuera necesario que eistiera alambrada a la orilla del río, cuál sería el perímetro del rectángulo que produciría el área máima? Cuál es ese área máima? Observación: Suponer que la orilla del río es recta y por tanto la superficie a delimitar es totalmente rectangular. Ejercicios resueltos 5
área a y perímetro y 0 y 0 Luego: área a y 0 0 Derivando el área y resolviendo la ecuación que proporciona la primera derivada igual a cero obtenemos los puntos críticos: 0 0 4 5 Luego = 5 proporciona el máimo. Sustituyendo, obtenemos el valor de y : y 0 La segunda derivada negativa asegura que el punto = 5 es máimo: 0 0 4 4 0 4.4-6 En una eplotación ganadera de vacuno se dispone de 400 m de alambre para construir una cerca rectangular. Si a cada animal hay que dejarle 0 m de espacio, cuántas vacas podremos meter dentro de la cerca? Debemos encontrar el área máima encerrada por la cerca de 400 m de perímetro. Si llamamos e y a los lados del rectángulo, A al área y P al perímetro, tenemos: y A y P y 400 Despejamos en la epresión del perímetro y en función de para encontrar una relación entre las dos variables y sustituimos en el área. Así, epresamos el área en función de y derivamos para obtener el máimo: Ejercicios resueltos 6
400 y y 00 A y ( 00 ) 00 A 00 ; A 0 00 0 00 = 00 es un punto crítico. Si la segunda derivada es menor que cero en este punto, será máimo: A 0, luego máimo Sustituimos el valor máimo de para obtener el correspondiente valor de y : y 00 00 00 00 Por tanto el área máima será: A y 0000 0. 000 m Si cada vaca ocupa 0 m, dividiendo obtendremos el número máimo de vacas que podemos encerrar en la cerca: 0.000 / 0 =.000 vacas 4.4-7 La concentración de oígeno en un estanque contaminado con un residuo orgánico viene dada por la ecuación: t t f ( t), 0 t t donde t representa el tiempo en semanas. Hallar los instantes en los que se alcanzan las concentraciones máima y mínima de oígeno (como etremos absolutos). Representar gráficamente la función f(t) Derivamos la función f(t) e igualamos a cero la derivada: tt tt t 3 3 t tt t t t t t t t f() t t f() t 0 0t, t t Como t no puede ser negativo, solo se acepta el valor t =. Hacemos la segunda derivada para decidir si se trata de un máimo o mínimo: Ejercicios resueltos 7
t t t t t t t t t t t 4t t 4 3 f() t t t4t 4t 6tt 3 3 3 3 3 4 Sustituyendo t = en la segunda derivada: f () 8 Como la segunda derivada es positiva para t =, se alcanza un mínimo. Observamos que la función es continua en el intervalo de definición dado. Puesto que en t = hay un mínimo, desde 0 hasta la función decrece y de hasta infinito la función crece. t t Calcularemos el límite cuando t tiende a infinito: lim t t Por tanto se trata de una función acotada superiormente por el valor, que solo lo alcanza si t = 0, por lo que este es el máimo de la función. Para estudiar la gráfica de la función, la dibujamos en varios rangos. Observamos bien la asíntota horizontal en f(t)=: Observamos bien el mínimo para t = : Ejercicios resueltos 8
4.4-8 El número de kilos de melocotones, P, que se producen en un campo frutal depende del número de kilos de insecticida con el que se fumigan los árboles, de acuerdo con la siguiente fórmula: P ( ) 00 300 Dibujar la gráfica de la función P() que representa el peso. Dominio de definición: DP ( ). Puesto que la función representa peso, sólo tiene sentido dibujar la gráfica para 0. Simetrías: 00 P( ) 300 P( ), P( ) luego no hay simetrías. Periodicidad: 00 P ( k ) 300 P ( ) k luego no es periódica. Asíntotas: 00 lim 300 hay una asíntota vertical en = 00 lim 300 00 lim 300 300 hay una asíntota horizontal en y = 300 P ( ) 300 00 lim lim 0 no hay asíntotas oblicuas Cortes con los ejes: 00 0 P( 0) 300 00 el punto (0, 00) es un corte con el eje OY 00 y 0 0 300 el punto 0 3 3, es un corte con el eje OX Máimos, mínimos y puntos de infleión: 00 00 P ( ) 300 P 0 ( ), no hay puntos críticos. Ejercicios resueltos 9
Crecimiento y decrecimiento: 00 P( ) 0, la función es siempre creciente Concavidad y conveidad: 00 P( ) 3 + - Con todos estos datos se dibuja fácilmente la gráfica: Asíntota vertical = Asíntota horizontal y = 300 (0, 00) corte con OY Eje OX Eje OY 0 3, corte con OX Sólo tiene sentido dibujar la función para 0 : Ejercicios resueltos 0