I.E. Juan Raón Jénez Tea V: Trabajo, Potenca y Energía La energía e una propedad que etá relaconada con lo cabo o proceo de tranforacón en la naturaleza. Sn energía nngún proceo fíco, quíco o bológco ería poble. La fora de energía aocada a la tranforacone de tpo ecánco e denona energía ecánca y u tranferenca de un cuerpo a otro recbe el nobre de trabajo. Abo concepto perten etudar el oento de lo cuerpo de fora á enclla que uando térno de fuerza y conttuyen, por ello, eleento clae en la decrpcón de lo tea fíco. 5..- Trabajo: S al aplcar una fuerza a un cuerpo e orgna un deplazaento del o, dreo que e ha realzado un trabajo. Todo cuerpo ateral tende a oere en la dreccón de la fuerza aplcada. S e oblga al cuerpo a egur una trayectora que fora certo ángulo con la dreccón de la fuerza, parte del efecto de éta e perde en encer la retenca del cuerpo a egur eta dreccón; por lo que para calcular el trabajo realzado heo de conderar la fuerza que efectaente deplaza al cuerpo. En la fgura oberao que la fuerza que realza trabajo e la que actúa en la dreccón del deplazaento. La fuerza que actúa perpendcularente no realza trabajo, por no er ella la cauante del oento del agón del tren. Según eto, el trabajo realzado por una fuerza erá tanto ayor cuanto ayor ea el alor de la fuerza efecta que lo realza y ayor ea el deplazaento experentado por u punto de aplcacón. Mateátcaente: F S Coα Expreón que concde con el producto ecalar de lo ectore fuerza y deplazaento: F S F S Coα S co α 0, e decr, la fuerza y el deplazaento on de dreccone perpendculare, entonce el trabajo e nulo. S co α, hecho que e produce cuando concden la dreccón y el entdo de la fuerza con lo del deplazaento, el trabajo e áxo. S co α > 0 el trabajo e denona otor o útl, en cao contraro e denona trabajo retente. 5...- Trabajo realzado por una fuerza arable S la fuerza no e contante y el deplazaento no e rectlíneo, paao a notacón dferencal (pequeño deplazaento upueto rectlíneo donde la fuerza e toa coo cte). El trabajo eleental realzado endrá dado por: d F ds F d Coα Y el trabajo total erá: F ds S expreao F y ds en funcón de u coponente rectangulare: F F ˆ x + F ˆ y j + Fzkˆ ds dxˆ + dxj ˆ + dzkˆ Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 37
I.E. Juan Raón Jénez El alor del trabajo eleental erá: Y el trabajo total: d Fx dx + Fydy + F dz ( F dx + F dy F dz) x y + z z 5...- Trabajo realzado por un tea de fuerza: S obre un cuerpo hay actuando un tea de fuerza concurrente que le oblgan a efectuar un recorrdo en la dreccón de u reultante. El trabajo realzado por cada una de la W F coα coponente endrá dado por: W F co β El alor de la reultante R del tea ería: + R F Coα F Coβ Y el trabajo realzado por ella: ( F Coα + F Co ) S β Que e la ua de lo trabajo realzado por cada una de la fuerza coponente. El trabajo realzado por la reultante de un tea de fuerza e la ua algebraca de lo trabajo que realza cada una de la fuerza coponente del tea. Ejeplo.- La reultante de la fuerza que actúan obre un cuerpo, que e upone aplcada en el centro de aa, ene dada por la expreón: F 6x ˆ + yj ˆ + 4zkˆ etando la fuerza edda en Newton. Qué trabajo realza ea fuerza reultante al traladar el centro de aa dede el orgen de coordenada (0,0,0) al punto (,,)?. Ee trabajo endrá dado por la expreón: (,,) F x dx + Fydy + Fzdz) 6x dx + ydy + 4zdz + + (0,0,0) ( 5J 0 0 0 La undad de trabajo en el tea nternaconal e el Julo (J). Que e N 5..- Potenca Se denona potenca a una nuea agntud que correponde al trabajo realzado por un er (áquna, anal, perona) en la undad de tepo. Mateátcaente: W P t S el trabajo realzado no e cte. En relacón al tepo epleado, defnreo la potenca ntantánea coo: W dw P l t 0 t dt Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 38
I.E. Juan Raón Jénez Y recordando que d F ds, e tene: F ds ds P F F V dt dt Expreón que no perte conocer la potenca, en un ntante dado, en dcho ntante e conocen la fuerza aplcada al cuerpo y la elocdad del o. En el S.I. la undad de potenca e el Vato (W) J/, aunque tabén e utlzan otro tpo de undade. Caballo de apor (C.V.) CV735,75W. Otra undade relaconada con el trabajo y la potenca on: El Kloato-hora: kwh36 0 5 J. El Caballo de apor-hora: CVh6,5 0 5 J Ejeplo.- Un autoól de aa tonelada llea una elocdad cte. De 08 k/h a lo largo de una carretera que preenta una pendente del %. Qué potenca dearrolla el otor?. El otor del coche al lear éte una elocdad cte de 08k/h 30/, deberá una fuerza haca arrba, paralela a la carretera, e gual a la coponente del peo del coche en ea a dreccón. F g enα 000kg 0 / 0,0 00N Y coo F y V on paralela: P F V 00N 30 / 6000W 5.3.- Energía Todo lo cuerpo poeen una certa capacdad de efectuar un trabajo, a la que en fíca e le da el nobre de energía. De hecho, no abeo que e la energía, úncaente podeo deducr u extenca a partr de lo efecto que produce, que en ete cao e la realzacón de un trabajo. Eta energía, o capacdad que tenen el cuerpo para realzar un trabajo, puede poeerla el cuerpo en rtud de u elocdad, de u etado o de u propedade; y aí hablao de dera fora de energía, tale coo ecánca, térca, eléctrca, quíca, nuclear,. Coo la energía e dentfca con el trabajo, e de en la a undade que éte, e decr, julo. 5...- Energía cnétca. Teorea de la fuerza a. Se denona energía cnétca a la energía que poee un cuerpo en rtud de u oento. E c Supongao un cuerpo de aa, ncalente en repoo, al que e le aplca una fuerza F para que al cabo de un tepo t adquera una elocdad V. El trabajo eleental realzado por ea fuerza en un tepo nfnteal, en el que el ól recorró un epaco ds, endrá dado por: d F ds a d d Y coo a y d dt, e tene: dt d d dt d dt El trabajo total realzado en el nteralo tt -t erá: Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 39
I.E. Juan Raón Jénez W d S, coo heo dcho ante, el cuerpo partó del repoo, entonce 0, y por lo tanto: La expreón Repreenta el llaado teorea de la fuerza a, cuyo enuncado e coo gue: El trabajo realzado por una fuerza al actuar obre un cuerpo durante un certo nteralo de tepo e gual a la aracón de energía cnétca que experenta el cuerpo en ee tepo. Ejeplo 3: Un proyectl de 400 g de aa atraea una pared de 0,5 de groor. Su elocdad en el oento de penetrar en la pared era de 400 /, y al alr de 00 /. Calcular: a) El trabajo realzado por el proyectl, b) La retenca de la pared. a) Aplcando el teorea de la fuerza a: 0,4kg 00 ( / ) 0,4kg 400 ( / ) 3 0 4 W 3 0 4 F, de aquí F 6 0 N 0,5 b) Coo 4 J 5...- Energía cnétca de un tea. Se defne coo energía cnétca de un tea de punto aterale a la ua de la energía cnétca de todo lo punto del tea: Ec El trabajo realzado por toda la fuerza exterore e nterore que actúan obre un tea durante un certo nteralo de tepo e gual a la aracón de energía cnétca que experenta el tea en ee tepo (teorea de la fuerza a aplcado a un tea de partícula) E I + W W Ec Ec Y el trabajo total: Sendo q r r, la dtanca entre lo punto. W I F dq 5..3.- Energía potencal gratatora. Con eta energía e degna la energía que poee un cuerpo en rtud de u pocón dentro de un capo gratatoro, que, para el cao de lo cuerpo tuado obre la uperfce terretre, concde con el trabajo necearo para elearlo a la altura en que e encuentran, pueto que el uelo e condera orgen de potencale. Supongao un cuerpo de aa que pretendeo llearlo dede la pocón a la a lo largo de la cura A, obre la que e uee n rozaento. S adto que la elocdad de deplazaento e cte, obre el cuerpo habrá que ejercer una fuerza Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 40
I.E. Juan Raón Jénez que en cada punto anule a la coponente del peo en la dreccón de la tangente a la trayectora: F g enα Dcha fuerza en un deplazaento nfnteal d realzará un trabajo eleental: El trabajo total realzado por la fuerza aplcada erá: d g enα d g enα d La expreón en α d correponde a la coponente ertcal dz del deplazaento y en conecuenca la expreón anteror e tranfora en: g dz g z g z g( z z) g h Veo, pue, que el trabajo realzado concde con el que e obtendría al elear ertcalente el cuerpo dede el punto al punto, endo ndependente de la trayectora eguda para conegur la eleacón. 5..4.- Energía potencal elátca: E edente que etrao un uelle o lo copro con una fuerza F, realzao un trabajo que peranece alacenado en el reorte en fora de energía, la cual e pone de anfeto al oltarlo para que recupere u etado prto. Eta energía e denona potencal elátca y e defne coo la energía que poee un cuerpo en rtud de u etado de tenón. El trabajo total correpondente a la deforacón experental erá: Para calcular u alor, que endrá eddo por el trabajo realzado en la deforacón, heo de conderar que la fuerza aplcada e una fuerza arable, relaconada con la deforacón egún la conocda ley de Hooke: F K x k x dx K x El trabajo eleental realzado por eta fuerza a lo largo de un deplazaento nfnteal dx endrá dado por: d F dx k x dx Ejeplo 4.- Un uelle ujeto por u extreo uperor oporta un cuerpo de aa 0,0 kg, etando abo en repoo. Se obera que al aplcar una fuerza de N en el reorte e alarga 8c y que al oltarlo nca un oento bratoro arónco. Deducr la energía de ete oento y el perodo de bracón. Según la ley de Hooke, la contante elátca k del uelle endrá dada por : La energía e calcula edante la expreón: Y el perodo de oclacón lo calculao edante: E K x 5N / (8 0 ) 8 0 T 0 kg π π 0, k 5N / 56 K F N 5N x 0,08 / J Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 4
I.E. Juan Raón Jénez 5.3.- Prncpo de Coneracón de la Energía Mecánca: En cualquer proceo fíco hay do etado, un etado ncal y otro fnal. En auenca de fuerza no conerata, no habrá dpacón de energía y por tanto la energía del etado ncal erá la a que la del etado fnal, e decr: E 0 E ncal E fnal 0 E ncal E fnal Cuando en un proceo fíco nterenen fuerza no conerata, coo por ejeplo el rozaento, hay dpacón de energía y por tanto, la energía ncal del tea y la fnal no concden. En eto cao, la aracón de energía concde con el trabajo de la fuerza no conerata: E W FNC E fnal Encal WFNC E fnal Encal F r coβ Ejeplo 5.- Un cuerpo de aa 0kg e túa en lo alto de un plano nclnado de 30 obre la horzontal. LA longtud del plano e 0 y el coefcente de rozaento ale 0,. a) Con qué elocdad llega el cuerpo al fnal del plano? Cuánto ale u energía cnétca en ee ntante? b) Cuánto alía la energía potencal del cuerpo al etar en lo alto del plano? c) Cuánto ale el trabajo realzado por la fuerza de rozaento?. a) La aceleracón con que e delza el cuerpo por el plano e: a g enα µ g coα a 0 / Y la elocdad con la que llega al fnal del plano e: 0,5 0, 0 / 0,8666 3,7 / La energía cnétca aldrá: b) La energía potencal del cuerpo en lo alto del plano erá: a,37 / 0 8,09 / E c 0kg 8,09 ( / ) 37, 4J E p g h 0kg 0 / 5 500J c) El trabajo de rozaento erá la dferenca entre la energía potencal gratatora en lo alto del plano y la cnétca en el punto á bajo: W r 500J 37, 4J 5.4.- Choque La palabra choque o colón upone el encuentro de do o á cuerpo, de lo que al eno alguno de ello etá en oento. El choque de do cuerpo puede uponer para ello do tuacone líte: que depué del choque recobren u fora prta (choque elátco) o que la deforacón experentada por ello ea peranente y abo cuerpo gan undo, ncrutado el uno con el otro (choque perfectaente nelátco). 5.4..- choque perfectaente nelátco Se dce que el choque e perfectaente nelátco cuando, depué de efectuado, lo cuerpo e deforan, antenen la deforacón y contnúan undo oéndoe la a elocdad. E el cao por ejeplo de un proyectl que ncde obre un bloque de adera colocado obre un uelo horzontal; el proyectl e ncruta en el bloque y abo e ueen obre el uelo con la a elocdad. Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 4
I.E. Juan Raón Jénez Ete tpo de problea ya lo heo reuelto con anterordad utlzando la coneracón del oento lneal. El oento lneal ante del choque e gual al oento lneal depué. P ante P depue De aquí obteneo: bala bala ( bala M bloque ) bloque + Una aplcacón ntereante de ete fenóeno la conttuye el llaado péndulo balítco, detnado a conocer elocdade de proyectle. Conte en un bloque de adera que puede oclar cuando e alcanzado por un proyectl. Conocda la altura h a la que e elea el tea bloque-proyectl depué del choque, puede deducre u elocdad, y a partr de éta hallar el alor de : gh ( + M ) gh La energía cnétca del proyectl e, generalente ucho ayor que la energía cnétca del conjunto depué del choque, pue una gran parte de la energía e perde en realzar el trabajo de deforacón. Por eo ete tpo de choque no e puede reoler edante el prncpo de coneracón de la energía ecánca. Ejeplo 6.- Un proyectl de aa 0gr. Que e uee con una elocdad, e ncruta en un bloque de adera de aa 3,990 kg. Incalente en repoo. Coo conecuenca del pacto el conjunto bloque-proyectl acende una altura de 5 c. Calcular a) la elocdad del conjunto bloque-proyectl en el ntante del choque, b) la elocdad del proyectl ante del choque, c) razonar e coneran depué del pacto el oento lneal y la energía cnétca del proyectl. a) La energía cnétca del conjunto bloque-proyectl e tranfora en energía potencal gratatora, cupléndoe que: De donde: ' gh 0 / 5 0 / ( + M ) ( + M ) gh b) Aplcando el prncpo de coneracón del oento lneal, e tene: ( + M ) 4kg / 400 / 0 kg c) En ete cao de choque nelátco, que uponeo perfecto, e conera el oento lneal, pero no la energía cnétca del proyectl, que una gran parte e tranfora en trabajo de deforacón y calor. En efecto: Energía cnétca del proyectl ante del choque: E c 800J Energía cnétca del conjunto bloque-proyectl en el ntante del pacto: E c ( + M ) 4kg / J Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 43
I.E. Juan Raón Jénez 5.4..- Choque Elátco Se produce cuando lo cuerpo, una ez que chocan, recobran u fora prta y e ueen ndependenteente el un del otro. Heo de conderar do tpo de choque elátco: el central y el oblcuo. El prero tene lugar cuando lo cuerpo que chocan e ueen en la dreccón de la recta que une u centro de graedad; el egundo e produce cuando la dreccón de la recta que une u centro de graedad no concde con la dreccón de u repecta elocdade. 5.4...- Choque Central Sean do efera de aa y, anada de la elocdade y. Depué del choque aba adqueren la elocdade y. Al er el choque elátco (exento de deforacone) e conera el oento lneal, y tabén la energía ecánca del tea. En conecuenca: + + + ' + ' De la prera expreón e deduce que: Y de la egunda: ( ) ( ) Ddendo ebro a ebro eta ecuacone: ( ) ( + ) ( ) ( + ) + + Que no deuetra que en cada cuerpo la ua de u repecta elocdade ante y depué del choque peranece cte. Reolendo el tea forado por la ecuacone: + + + ' + Podeo deducr la elocdade fnale ( y ) ( ) + + ' de lo cuerpo depué del choque: S la aa de la efera on guale ( ) entonce E decr lo cuerpo ntercaban u elocdade depué del choque. ( ) + + S la aa de la efera on guale ( ) y una de ella etá ncalente en repoo ( 0 ), al ntercabar u elocdade, la que poeía elocdad e queda en repoo y la otra adquere la elocdad de éta ( 0 ). Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 44
I.E. Juan Raón Jénez S una de la efera tene una aa práctcaente nula con repecto a la otra (coo por ejeplo al chocar una pelota de goa contra una pared) e obtene que: ( ). E decr, el cuerpo de aa á pequeña, depué del choque rebota con una elocdad gual y de entdo contraro a la elocdad ncal, entra que el cuerpo de aa grande contnúa en repoo. 5.4...- Choque Oblcuo En ete cao, la elocdad de la efera puede decoponere en do coponente: una n noral al plano, y otra t paralela a él. En defnta, coo e deduce de la fgura, el odulo de concde con el de ' y el ángulo α que foraba con la noral al plano ha de er gual al ángulo β que fora ' con dcha noral. 5.4..3.- Coefcente de Rettucón Una entra, u otra erdad a eda de la fíca, e que en la práctca lo choque no on perfectaente elátco n perfectaente nelátco. En todo lo choque exte una perdda de energía en fora de calor. S uponeo una pelota que choca con una pared, coo ante del choque la pelota tene una energía cnétca y depué del choque e ha perddo un poco de eta energía en fora de calor, la pelota perde un poco de elocdad, de anera que la elocdad ante del choque no e la a que depué. A eta aracón de la elocdad e a lo que e llaa coefcente de rettucón, que ene dado por la expreón: k S e tratae del cao general de choque entre do efera, el coefcente de rettucón ene dado por: k Cuando el choque e perfectaente elátco, k; y e perfectaente nelátco, k0. Ejeplo 7.- Do bloque perfectaente elátco, uno de aa 00 gr y el otro de aa 0 gr. Que e ueen con elocdade repecta de 0, / y 0, /, delzándoe n rozaento por una uperfce horzontal, chocan centralente. Deducr u elocdade fnale: a) ante del choque lo cuerpo e ueen en el o entdo, b) S e ueen en entdo contraro. a) S e ueen en el o entdo, la elocdade on del o gno: (0, 0,0) kg 0, + 0,0kg 0, 0, 67 (0, + 0,0) kg (0,0 0,) kg 0, + 0, kg 0, 0, 67 (0, + 0,0) kg Lo bloque e oerían en la a dreccón y entdo que ncalente. b) S lo cuerpo e ueen con elocdade opueta, entonce: (0, 0,0) kg 0, 0,0kg 0, 0, (0, + 0,0) kg (0,0 0,) kg ( 0,) + 0, kg 0, 0, 4 (0, + 0,0) kg Depué del choque el prer bloque contnua oéndoe en el o entdo que al prncpo, entra que el egundo bloque caba de entdo de oento. Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 45
I.E. Juan Raón Jénez 5.6.- Ejercco.- Una fuerza de 490N tra de un bloque, ncalente en repoo que pea 0 kg, tuado en un plano nclnado 30º obre la horzontal. La fuerza actúa haca arrba y paralelaente al plano, y de eta fora el cuerpo recorre 0. Se abe que el coefcente de rozaento e 0,. Calcular: a) el trabajo realzado por la fuerza y u dtrbucón, b) la elocdad adqurda por el cuerpo al fnal del recorrdo, c) la cantdad de helo a 0ºC que e podía fundr con el calor deprenddo en el rozaento. (Calor fuón helo 80 cal/g)..- Un cuerpo de kg e uee a lo largo de una trayectora cuyo punto enen deternado por la x 3t 3 ecuacone paraétrca y 3t expreada en etro. Deducr: a) la ecuacón de la elocdad y u z t ódulo, b) el oento lneal del cuerpo, c) el trabajo realzado por la fuerza que actúa obre ee cuerpo entre lo ntante t y t egundo. 3.- Para abatecer de agua a una cudad e conuen daraente 00 3. El líqudo e eleado a depóto tuado a 80 por enca del nel del agua en lo pozo. Qué trabajo e conue al cabo de un año?. 4.- Dede un altura de 30 e lanza ertcalente haca abajo un proyectl con una elocdad de 00/. Qué elocdad poeerá cuando e encuentre a 0 del uelo?. 5.- Un autoól de 45 kg arranca obre una pta horzontal en la que e upone una fuerza de rozaento contante de alor 50N. Calcular: a) la aceleracón que preca el coche para alcanzar la elocdad de 0 k/h en un recorrdo de 800. b) el trabajo realzado por el otor del coche dede el oento de la alda hata el ntante de alcanzar lo 0 k/h. c) La potenca eda del otor del coche en ee tepo. 6.- Un autoól de aa tonelada llea una elocdad cte de 08 k/h a lo largo de una carretera que preenta una pendente del % (entendéndoe de denel por cada 00 de recorrdo). Qué potenca dearrolla el otor?. 7.- Un proyectl de 400 gr. Atraea una pared de 0,5 de groor. Su elocdad en el ntante de penetrar en la pared era de 400 /, y al alr de 00 /. Calcular: a) el trabajo realzado por el proyectl, b) la retenca de la pared. 8.- Un cuerpo de 0 kg e túa en lo alto de un plano nclnado 30º obre la horzontal. La longtud del plano e de 0. y el coefcente de rozaento e de 0,. a) Con qué elocdad llega el cuerpo al fnal del plano?, b) Cuánto aldrá la energía potencal del cuerpo al etar tuado en lo alto del plano? C) Cuánto ale el trabajo realzado por la fuerza de rozaento?. 9.- Un uelle ujeto por u extreo uperor, oporta un cuerpo de aa 0,0 kg, etando abo en repoo. Se obera que al aplcar una fuerza de N el reorte e alarga 8c y que al oltarlo nca un oento bratoro arónco. Deducr la energía de ete oento y el perodo de oclacón. 0.- Do péndulo A y B de aa 90gr. Y 50 gr repectaente, cuelgan ertcalente de do hlo de aa deprecable cuya longtud e de 0,. El péndulo A e elea hata una pocón tal que el hlo fore un ángulo de 45º con la ertcal y dede allí e le uelta para que choque con el péndulo B, que etá en repoo coo e ndca en la fgura. S en coefcente de rettucón e 0,8. Qué altura alcanzará cada péndulo depué del prer choque?..- Un otor de 6 C.V. elea u ontacarga de 500 kg a 50 de altura en 5 eg. Calcúlee la potenca dearrollada y el rendento del otor..- Un ful dpara proyectle de aa gr con una elocdad de alda de 400 /. La fuerza arable con la que lo gae procedente de la exploón de la carga de proyeccón actúan obre la bae del proyectl ene dada por: F 30 640x Donde F ene dada en N y x en etro. Deducr la longtud del cañón del ful. Fíca º Bachllerato Raúl.G.M. 00 Págna 46