Capítulo 3 Funciones reales de variable real: límites y continuidad 3.. Funciones reales de variable real 3... ntroducción Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f) y el rango B = Rang(f), y en una regla que asigna a cada elemento A un único elemento y B. Esta correspondencia se denota como y = f() o f(). Se define la imagen de f como el conjunto m(f) = f(a) = {f() : A}. Si A R y B R son subconjuntos de números reales, se dice que f : A R R es una función real de una variable real. Definición 3... La función f : A B, donde A R y B R, se dice que es:. nyectiva 2 A f( ) f( 2 ). 2. Sobreyectiva y B A/f() = y. 3. Biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva. 4. Creciente 2 A f( ) f( 2 ). 5. Decreciente 2 A f( ) f( 2 ).
2CAPíTULO 3. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL: LíMTES Y CONTNUDAD 6. Estrictamente creciente < 2 A f( ) < f( 2 ). 7. Estrictamente decreciente < 2 A f( ) > f( 2 ). 8. Monótona si y sólo si es creciente o decreciente. 9. Estrictamente monótona si y sólo si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. 0. Acotada superiormente M > 0 / f() M A.. Acotada inferiormente m > 0 / m f() A. 2. Acotada si y sólo si es acotada superior e inferiormente. Definición 3..2. Dadas dos funciones f : A B y g : C D de tal forma que B C se define la función compuesta g f : A D como (g f)() := g(f()), A. Definición 3..3. Dada f : A B se dice que f : B A es la función inversa de f si f (f()) =, A y f(f (y)) = y, y B. Proposición 3... Dada f : A B eiste su función inversa f : B A si y sólo si f es biyectiva. 3..2. Límite de una función real de variable real Definición 3..4 (Definición de límite). Sean f : (a, b) R R y 0 (a, b). Se dice que el límite de f() cuando tiende a 0 es igual a l R (se escribe lím f() = l ó f() l cuando tiende a 0 ) si ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < 0 < δ f() l < ε. En otras palabras, f() está tan próimo del límite l como nosotros queramos siempre que 0 esté suficientemente próimo a 0. En la definición de lím f() = l no importa f( 0 ) (el valor de f en 0 ), sólo importan los valores de f en los puntos próimos a 0, pero con 0.
3.. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL 3 Definición 3..5 (Definición de límites laterales). Se definen los límites laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente, como lím f() = l ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < 0 < δ f() l < ε. 0 lím f() = l ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < 0 < δ f() l < ε. + 0 Proposición 3..2. Eiste lím f() = l si y sólo si eisten ambos límites laterales y lím f() = 0 lím f() = l. + 0 Por tanto si no eiste alguno de los límites laterales o eisten pero son distintos no eiste lím f(). Definición 3..6. Sean f : (a, b) R R y 0 (a, b). Se dice que lím f() = + M > 0 δ = δ(m) > 0 / 0 < 0 < δ f() > M. Definición 3..7. Sean f : (a, + ) R R y l R. Se dice que lím f() = l ε > 0 M = M(ε) > 0 / M f() l < ε. + Ejercicio 3... Escribir las definiciones de lím f() =, ±, lím f() = l y lím f() = ±. +± Definición 3..8. Si lím f() = ±, 0 lím f() = + 0 lím f() = ± se dice que la recta vertical = 0 es una asíntota 0 vertical de la gráfica de f por la izquierda. De modo análogo, si lím f() = ± se dice que la + 0 recta vertical = 0 es una asíntota vertical de la gráfica de f por la derecha. Por otro lado, si y 0 R es el límite de f en ± entonces la recta horizontal y = y 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Las reglas aritméticas para el cálculo de límites de funciones son las siguientes. Proposición 3..3. Sean f, g : (a, b) R R y 0 (a, b). Si lím f() = l y lím g() = l 2 entonces:. lím (f() ± g()) = l ± l 2.
4CAPíTULO 3. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL: LíMTES Y CONTNUDAD 2. lím cf() = c l, c R. 3. lím (f() g()) = l l 2. f() 4. lím g() = l, siempre que l 2 0. l 2 3.2. Continuidad de funciones de una variable real Definición 3.2. (Función continua). Sean f : (a, b) R R y 0 (a, b). Se dice que f es continua en 0 si ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < δ f() f( 0 ) < ε. Diremos que f es continua en (a, b) si es continua en cada punto 0 (a, b). ntuitivamente la condición anterior nos dice f() está arbitrariamente próimo a f( 0 ) siempre que esté suficientemente próimo a 0. La relación fundamental entre límites y continuidad se epresa en el siguiente teorema. Teorema 3.2.. f es continua en 0 lím f() = f( 0 ). Las funciones continuas poseen las siguientes propiedades. Proposición 3.2.. Sean f, g : (a, b) R R y 0 (a, b). Si f y g son funciones continuas en 0 entonces:. f ± g es una función continua en 0. 2. f g es una función continua en 0. 3. f g es una función continua en 0, siempre que g( 0 ) 0. Proposición 3.2.2. Sean f : (a, b) R R, g : (c, d) R R, 0 (a, b) y f((a, b)) (c, d). Si f es continua en 0 y g es continua en f( 0 ) entonces la función compuesta g f es continua en 0. Las discontinuidades de una función f : (a, b) R en el punto 0 pueden clasificarse en los siguientes tipos:
3.2. CONTNUDAD DE FUNCONES DE UNA VARABLE REAL 5. Discontinuidad evitable: eiste lím f() R, pero lím f() f( 0 ). Este tipo de discontinuidad se llama evitable porque redefiniendo f( 0 ) = lím f() se evita la discontinuidad (cambiando el valor de la función en un único punto la función se hace continua). 2. Discontinuidad esencial de primera especie: puede ser de dos tipos. a) De salto: eisten los límites laterales, pero lím f() lím f(). Se dice que que el 0 + 0 salto es finito si los dos límites laterales son finitos, mientras que si alguno de ellos es infinito se dice que el salto es infinito. b) De tipo infinito: si lím f() = ±. 3. Discontinuidad esencial de segunda especie: al menos uno de los límites laterales lím f() 0 ó lím f() no eiste. + 0 Observación 3.2.. Todas las funciones elementales (potencias, eponenciales, logaritmos, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas) son continuas en su dominio, así como aquellas funciones que se obtienen combinando las anteriores mediante sumas, productos, cocientes (con denominador distinto de cero) y composiciones. El siguiente resultado es de gran importancia en el cálculo de límites porque nos dice que si f es continua entonces podemos intercambiar la función con el límite. Teorema 3.2.2 (Continuidad y cálculo de límites). Sean f : (a, b) R R, 0 (a, b) y { n } (a, b) tal que { n } 0. Entonces ( ) lím f( n) = f lím n = f( 0 ). n n 3.2.. Algunos teoremas fundamentales sobre funciones continuas Teorema 3.2.3 (Teorema de Bolzano). Sea f : [a, b] R R una función continua tal que f(a)f(b) < 0. Entonces eiste (a, b) tal que f() = 0.
6CAPíTULO 3. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL: LíMTES Y CONTNUDAD f() a b Como consecuencia inmediata del teorema de Bolzano se obtiene el siguiente resultado. Corolario 3.2. (Teorema del valor intermedio para funciones continuas). Sea f : [a, b] R R una función continua tal que f(a) < c < f(b) (o bien f(a) > c > f(b)). Entonces eiste (a, b) tal que f() = c. Otro teorema importante sobre funciones continuas es el siguiente. Teorema 3.2.4 (Teorema de Weierstrass). Sea f : [a, b] R R una función continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Entonces f alcanza sus valores máimo y mínimo en el intervalo [a, b], es decir, eisten 0, [a, b] tales que f( 0 ) f() f( ), [a, b]. Ejercicio 3.2.. Encontrar ejemplos de funciones f : A R R que no alcancen sus valores máimo y mínimo y que además cumplen las siguientes condiciones:. A es un intervalo acotado y f es continua. 2. A es un intervalo cerrado y f es continua. 3. A es un intervalo cerrado y acotado y f es continua salvo en un punto de A. 4. f es continua y acotada. En cada caso, que hipótesis del Teorema de Weierstrass no se cumple?
FUNCONES ELEMENTALES Función SENO: y = sen Periódica, de periodo 2 lt: sen = sen ( + 2 lt) Función ARCO SENO: y,:, Are sen (_!<y~!)- 22 - O + Es una función impar: sen = - sen (-) Are sen f -- O +~ 2 2 -, ;L f f f f O - - - - 6 4 3 2 sen O.!.,'2 3 \ O '7( 2 2 2 \ Are sen +Zn n y= are seri = <=> = sen v T-Are sen +2 nt _!: 2 Función COSENO: y = cos Periódica, de periodo 2lT: cos = cos ( + 2lTl Es una función par: cos = cos (-l Función ARCO COSENO: y = Are eos - (O..; v <7') - O + i,7 n lt f f O - ~ -- - 6 4 3 2 f Are ros f \ - 2 \ O eos \ 3 \ /2 \ ~ \ O \ - 2 2 2 ( \ Are cos + 2n n y =are eos = -Are cos + 2n T <=> = eos y - Función TANGENTE: y = tg Periódica, de periodo lt: tg = tg ( + ltl Es una función impar: tg = -tg (-l y Función ARCO TANGENTE: y = Are tg (-~ <'y,<: )- f f f n X O - - - 6 4 3-2 3 2 tg O!! 3! +0) 2 3 - / / -f /2 Are tg -O) O +0) T O +2!: 2 2 ----------------- y=aretg~aretg+nt -<=> =tgy.:...'-
Función EXPONENCAL: -v = a" a > ~~... O +~ vi 'j ~ Función POTENCAL: y = '" (y = m = e m Lag", X > O y me R*) O +00 m<o v a" ' O +00 "m +00 \ \ O 0<a< -'-00 O +00, a " ~oo \ \ O m m>o O +00 m O +00 (y = '" también está definida para < O si m es racional de la forma m = -p- 2q+l O Funciones HPERBOLlCAS:. - Función LOGARTMO:: y= log. (si a = e: y = Log ) vi COSENO HPERBOLlCO: Ch =!!~ 2 2 2 Ch - Sh = - SENO HPERBOLlCO: Sh = e -e 2 a>.o +00 log. -,00.'/ O +00 O' ~ TA'GENGENTE HPERBOLlCA: Th = Sh = ~ CH e2"+ v = Ci" (es una función par] O +00 2" y Ch"! +00 ~ 0<a< 09." O, +00 ;/'00'\ O \ -00 o v = Sh (esuna función impar) O +00 Sh O +00 _