LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @ + 0 + g, + h, + @ @ 5 + + 5 a +@; +@; +@ b +@; @; @ @ c 4; ; 5 + 9 d 0; 0; 0 + e 0; 0; 0 + @ @ @ @ @

f +@; +@; 0 + 0 5 g +@; +@ + + h @; @ + + 5 @ 0 @ 0 Eponenciales y logarítmicas Recuerda cómo son las gráficas de algunas funciones eponenciales y logarítmicas: y log y y y log / A la vista de estas gráficas, asigna valor a los siguientes ites: a, @ b, @ c log, log, log @ d log /, log /, log / @ a 0, +@ @ b +@, 0 @ c log no eiste, log @, log +@ @ d log / no eiste, log / +@, log / @ @ 0 0 0 + 0 +

UNIDAD Con calculadora Tanteando con la calculadora, da el valor de los siguientes ites: a 0 b ln c + sen sen a 0 b ln 0 c + e 6 40,4 Página. Asigna ite finito o infinito a las siguientes sucesiones e identifica a las que no tienen ite: a a n n 0n b b n 5 n n +5 n c c n d d n n n + π e e n sen n f f n n g g n n hh n n 4 a a n n 0n 9,, 6, 96, 5, 44, 47,,, 0,, a n +@ b b n 5 n, 7,, 4, 70, 0, 4, 7,, b n @ n +5 9 0 4 c c n 6,,,,,,,,, c n n 4 5 6 7 n 4 9 6 5 6 49 64 00 d d n,,,,,,,,,, d n +@ n + 4 5 6 7 9 0 π e e n sen n,,, 0,,,, 0, e n no tiene ite 4 f f n n, 4,, 6,, 64,, 56, f n +@ g g n n, 4,, 6,, 64,, 56, g n @ h h n n, 4,, 6,, 64,, 56, h n no tiene ite

Página 5. Si u y v cuando, calcula el ite cuando de: a u + v b v /u c 5 u d v e u v f u v a [u + v] + b u c 5 u 5 5 d v no eiste e [u v ] 6 f u. Si u y v 0 cuando, calcula el ite cuando de: a u v b v u c v /u dlog v e u v f a [u v ] 0 b [v u] 0 c v 0 0 u u d log v @ si v 0 + no eiste si v 0 e [u v ] 0 0 f u Página 6. Halla los siguientes ites: a + b 5 a + @ b 5 @ 4

UNIDAD 4. Calcula estos ites: a + b log 0 a + +@ b log 0 @ Página 7 5. Indica cuáles de las siguientes epresiones son infinitos ±@ cuando : a 5 + b 0,5 c,5 d log e / + f g 4 h4 i 4 a 5 + +@ Sí b 0,5 0 No c,5 @ Sí d log +@ Sí e 0 No + f +@ Sí g 4 +@ Sí h 4 0 No i 4 @ Sí 6. a Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log 5,5 4 b Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: a log 5,5 4 log b 0 5,5 +@ 0 log 5,5 5

Página 7. Si, cuando, f +@, g 4, h @, u 0, asigna, siempre que puedas, ite cuando a las epresiones siguientes: a f h bf f c f + h d f e f h f u u g f /h h[ h] h i g h j u /h k f /u l h /u m g /u n + f ñ f h o + h p h h q a f h +@ @ +@ + @ +@ b f f +@ +@ +@ c f + h +@ + @ Indeterminado d f +@ +@ +@ e f h +@ @ @ f u u 0 0 Indeterminado g f +@ Indeterminado h @ h [ h ] h [+@] @ 0 i g h 4 @ 0 j u 0 h @ 0 k f +@ u 0 ±@ l h @ u 0 ±@ m g 4 u 0 ±@ n + f +@ ++@ +@ ñ f h +@ @ 0 6

UNIDAD o + h +@ + @ Indeterminado p h h @ @ No eiste q +@ @ 0 Página 9. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 7 página anterior. Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el ite: a f + h b f /h c f h d f h e f u f u h g [g /4] f h g f a f + h +@ + @. Indeterminado. b f +@. Indeterminado. h @ c f h +@ +@ +@ d f h +@ @ 0 e f u +@ 0. Indeterminado. f u h 0 @ ±@ g [ ] f +@. Indeterminado. h g f 4 +@ +@ g 4 Página. Sin operar, di el ite, cuando, de las siguientes epresiones: a + b c + d e 5 f log 5 4 7

a + +@ b @ c +@ d +@ e 5 +@ f log 5 4 +@ +. Calcula el ite, cuando, de las siguientes epresiones: + 5 4 +5 a b c + + d + + e + f + + a 4 6 + 5 0 4 4 + + 4 4 4 + + 7 0 @ 4 b 0 4 + c +@ d + + + + + + + + + + + + + + + e + + + + + + 4 +@ + + + + f + + + + + + + + 5 + + + 5 4 + + + 5 4 + + + 5 + 4 + + + + + + 4 + + 5 + 4 + 0 + + + + + +

UNIDAD Página. Halla los siguientes ites cuando : a + 5 b 5 + 5 5 c + 5 5 d + 5 e 5 + 5 f 5 a + [ + 5 ] /5 e /5 b 5 + 5 5 +@ +@ c + 5 5 d + [ + /5 ] 5 e 5 e 5 + 5 5 +@ +@ f 5 [ + ] 5 e 5 5 5 5 5 5 5 /5 5 4. Calcula estos ites cuando : a + b d + 5 a + e e 4 c + 5 f + 5 5 b 4 [ + ] e c + [ + 5 ] /5 e /5 d + 5 5 e [ + ] / e / 5 5/ f + 5 [ + 5/ ] e 5 5 9

Página 5. Resuelve, aplicando la regla anterior: + 5 5 a a Sea l 5 b 4 + 5 Como y 5 +@, l es del tipo +@. Aplicando la regla: l e b Sea l + 5 6 5 e 5 e 0 4 + Como y 4 +@, l es del tipo +@. + Aplicando la regla: l e + 5 + + + 4 e + + 4 + e + + Página 5. Sin operar, di el ite cuando @ de las siguientes epresiones: a + b + c d e f 5 5 g h 4 i + j a + +@ @ +@ + @ +@ @ b + +@ @ c +@ @ d @ @ 0

UNIDAD e @ @ f 5 no eiste g @ h 5 4 @ i @ j +@. Calcula el ite cuando @ de las siguientes epresiones: + 5 4 a b + + c + + d + + e + + f + @ @ @ @ @ g 5 + h a @ 4 5 + 6 0 4 4 + + 4 4 + 4 + 7 0 @ 4 b + @ + 0 4 + + c @ 5 + + 5 + + 4 + + 5 + + + + + + + + + + + + + 4 + + + 4 +

d + + @ + 4 + + @ e + @ + + + + f + + [ + / ] 6 e 6 @ g 5 + + 5 + e 5 @ h @ [ e ] e + + + + + + + 0 + e + e + + / Página. Si f y g, di el valor del ite cuando tiende a de las siguientes funciones: a f + g bf g c d f g e g f 4 f 5 g f g a f + g + 5 b f g 6 f c d f g 9 g e g f 4f 5g 0

UNIDAD. Si f l y g m, entonces [ f + g ] l + m. a Enuncia las restantes propiedades de los ites de las operaciones con funciones empleando la notación adecuada. Si f l y g m, entonces: a a [ f + g] l + m a [ f g] l m a [ f g] l m a f 4 l Si m? 0. a g m a a 5 Si f > 0, [ f g ] l m a n 6 Si n es impar, o si n es par y f 0 f a n l 7 Si a > 0 y f > 0, [log a f ] log a l a. Si p +@, q +@, r y s 0, di, en los casos en que sea posible, el valor del de las siguientes funciones: [Recuerda que las epresiones +@/+@, +@ +@, 0 +@, +@, 0/0 son indeterminaciones]. r p a p + q bp q c d p p s p e f g s p h s q q s i p r j r s r k s l m r p n r q r p ñ o a [p + q] +@ ++@ +@ b [p q] +@ +@. Indeterminado. r c 0 p +@ [ r r ] s p

p d p e s 0 0 q +@ p f +@. Indeterminado. q +@ g [s p] 0 +@. Indeterminado. h s s 0 0. Indeterminado. i p r +@ +@ j r s 0 r 0 k. Indeterminado. s 0 0 l s 0 m r p +@ +@ n r q @ 0 ñ p +@. Indeterminado. r r r o p @. Indeterminado. Página 9 4. Calcula los ites siguientes: + + 5 a b 6 7 a + + 5 + + 5 6 7 + 7 b 5 + 45 5 4 + 4 4 5 + + + 5 9 7 9 4

UNIDAD 5. Calcula los ites siguientes: + a b + 4 + + 6 a + 6 + 0 + 4 + 4 4 4 + 4 + b + + + f no eiste f +@ + Página 40 5 + + + 6. Calcula: + + 0 0 5 + + + + 5 + + + + + + + 5 + + + + 0 + + 4 5 + + 5 + 4 4 0 + + 7 + 0 7 + 0 0 + + 0 + + 7 + 0 0 5 0 + + 0 7. Calcula: 7 7 + 4 + 7 7 + [ 7 + 4 e + 7 + 4 7 ] 7 7 + 7 7 e e 7 + + 7 7 e e 7 + 7 5

Página 4. Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales tenga una raíz la ecuación siguiente: 4 4 +4 0 Busca los intervalos entre 4 y. Comprueba que f,5 < 0 y tenlo en cuenta. Consideramos la función f 4 4 + 4. Tenemos que f es continua en Á y que: f 4 > 0 f 7 < 0 Hay una raíz en 4,. f 0 < 0 f > 0 Hay una raíz en 0,. f > 0 f,5,75 < 0 Hay una raíz en ;,5. f,5,75 < 0 f > 0 Hay una raíz en,5;.. Comprueba que las funciones e + e y e e se cortan en algún punto. Consideramos la función diferencia: F e + e e e e + e e + e e F es una función continua. Además: f 0 > 0 f 0,6 < 0 signo de F0? signo de F. Por el teorema de Bolzano, eiste c é 0, tal que Fc 0; es decir, eiste c é 0, tal que las dos funciones se cortan en ese punto.. Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máimo y mínimo absoluto en el intervalo correspondiente: a en [, ] b en [, 4] c / en [, 5] d / en [0, ] e / + en [ 5, 0] a f es continua en [, ]. Por el teorema de Weierstrass, podemos asegurar que tiene un máimo y un mínimo absolutos en ese intervalo. 6

UNIDAD b f es continua en [, 4]. Por tanto, también tiene un máimo y un mínimo absolutos en ese intervalo. c f es continua en [, 5]. Por tanto, tiene un máimo y un mínimo absolutos en ese intervalo. d f no es continua en [0, ], pues es discontinua en. No podemos asegurar que tenga máimo y mínimo absolutos en ese intervalo. De hecho, no tiene ni máimo ni mínimo absolutos, puesto que: f @ y f +@ + e f es continua en [ 5, 0]. Por tanto, tiene máimo y mínimo absolutos en ese + intervalo. 7

Página 49 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Límites cuando ±@ Sabiendo que a n +@, b n @ y c n, di en cuáles de los siguientes casos hay indeterminación. En los casos en que no la haya, di cuál es el ite: a a n + b n b b n + c n c d e c n b n f c n a n g h c n a a n + b n a n + b n +@ + @ +@ +@ Indeterminación. b b n + c n b n + c n @ + @ a n c n c +@ +@ a n d +@ Indeterminación. b n @ e [c n ] b n @ 0 f [ c n ] a n 0 +@ Indeterminación. b n g @ ±@ puede ser +@ o @. c n 0 h [ ] b n @ Indeterminación. c n +@ a n c n b n a n b n c n b n Calcula los ites cuando @ de las siguientes funciones: + 5 0 5 a f b g + + 4 c h d i + + 7 + 5 a + 5 + 5 b 0 5 0 @ + @ +

UNIDAD c + 4 4 @ + + @ d + @ 7 + 5 7 5 5 Calcula los ites de las sucesiones siguientes: n + 6n 5n a b 7 n + n + + n c d n n n + n a + 6n n 5n b 7 +@ n + n n + + n n c 0 d 0 n n + 4 Calcula estos ites: a e b + c d + +7 e a e ln +@ b + 0 + + + 7 c 0 d +@ e ln + 5 Calcula los siguientes ites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a 0,5 + b + @ c @ @ d + @ a 0,5 + 0,5 + +@ @ 9

b + + 0 @ Sabemos que + > 0 para cualquier. c @ Comprobamos que d + @ + e + e + e e 6 6 Comprobamos que + < e 6 dando a algún valor. Por ejemplo, 0. e > dando a algún valor. Por ejemplo, 0. e e 6 /e e 6 6 Halla: a + 4 b + + @ a @ @ Indeterminación. @ La resolvemos multiplicando y dividiendo por + + 4 : @ + 4 + 4 @ + + 4 @ + + 4 + 4 + 4 + b + @ @ Indeterminación. @ La resolvemos multiplicando y dividiendo por + + + 4 + + 4 + + 4 + 4 + + + + + 0 + + + @ + : + + + 0

UNIDAD 7 Calcula el ite de las siguientes funciones cuando : 5 + + log a f b g log + c h d i + + 5 a + 5 + 4 4 + + log b + log log 5 4 +@ + +@ + c + d + Calcula los siguientes ites: 5 a b 4 + + c, d + a 0 @ + + b 4 + + 4 + c, +@ + 4 + 5 d +@ +@ 5 + + 4 4 + 4 4 + 4 + + 4 + + 4 + 0 +4 + 5 0 + + 4 + + 4 +

9 Calcula los siguientes ites: + a b + 4 d e a Sea l c f + 5 + Como y +@, se trata de un ite del tipo +@. Aplicando la fórmula: b Sea l l e e e + Como y +@, se trata de un ite del tipo +@. Aplicando la fórmula: c Sea l l e e e 6 + Como y + +@, se trata de un ite del tipo +@. + Aplicando la fórmula: d Sea l l e + + e + e 4 4 + Como y +@, se trata de un ite del tipo +@. + + + + 4 Aplicando la fórmula: + + @ + 6 4 + @ + + 4 + l e e + e 9 6 e /9

UNIDAD e Sea l Como y @, se trata de un ite del tipo +@. Aplicando la fórmula: f Sea l @ l 5 Como y 5 +@, se trata de un ite del tipo +@. + Aplicando la fórmula: @ + e @ e @ 5 5 l e 5 @ + e @ + +@ e 0 0 Halla f y f en los siguientes casos: e si Ì 0 a f ln si > 0 si? 0 b f si 0 a f ln @ f e 0 @ b f @ f +@ @ @ @ @

Página 50 Límites en un punto Sabiendo que: p +@ q @ r s 0 di, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes ites: s a b [s ] p p c [s q ] d [p q ] a s 0 0 p +@ b [s] p 0 +@ 0 c [s q] 0 @ Indeterminado. d [p q] +@ @ +@ ++@ +@ Calcula: + [ a b 0 a. 0 Hallamos los ites laterales: @; +@. No tiene ite. 0 0 + b [ ] + + 0 Hallamos los ites laterales: + + +@; +@. + Así, [ ] + @. 0 + 0 0 + ] 4

UNIDAD Calcula los siguientes ites: a b c 7 +6 + 4 + 5 + d h 0 +h h 7 +6 0 a Indeterminación. 0 Dividimos numerador y denominador por : * * Aplicamos la regla de Ruffini: 0 b Indeterminación. 0 0 0 + 4 + 5 + 0 c Indeterminación. 0 6 5 Simplificamos la fracción: + + + Dividimos numerador y denominador por + : + 4 + 5 + + + + + + 0 + +h + h + h d h h h 0 7 +6 + 7 6 6 6 0 h 0 hh + h + h h 0 6 h 0 5

4 Calcula: 4 a [ ] b 5 + 6 + 9 c d 0 a [ ] [ ] 4 4 + 5 4 + Hallamos los ites laterales: 5 + 6 4 + 5 4 +@; 4 + 5 @ + + 0[ ] 4 7 0 b + + + + + + + 9 + 9 9 c 0 0 + 9 + 0 + 9 + 0 + 9 + 0 + 9 + Hallamos los ites laterales: 0 + 9 + + + 9 + 9 + 0 @; +@ 0 + + 9 + + + + + d + + 0[ ] 0 + + + + + + + 0 0 + + + + 0 0 6

UNIDAD 5 Calcula: + a b + 0 + a Sea l. + + Como y +@, se trata de un ite del tipo +@. + Aplicando la fórmula: l e 0 + e b Sea l. 7 0 e + 0 e + 0 e + e Como y +@, se trata de un ite del 7 tipo +@. Aplicando la fórmula: l e 7 e 0 0 + + 0 + 4 e 7 e 7 e /5 0 + 7 7 Continuidad 6 Averigua si estas funciones son continuas en : si < si Ì a f b f 6 si Ó + si > a + f 4 f 6 4 f 6 4 + f es continua en, puesto que f f. b + f f + 5 + f no es continua en, puesto que no eiste f. 7

s7 Estudia la continuidad de estas funciones: e si < a f ln si Ó / si < b f si Ó a En? f es continua; puesto que e y ln son continuas para < y Ó, respectivamente. En : f e e? f ln 0 + No es continua en, pues no eiste f. b El dominio de la función es D Á {0}. Si? 0 y? La función es continua. En 0 es discontinua, puesto que f no está definida para 0. Además, f @ y f +@. 0 0 + Hay una asíntota vertical en 0. En : f f + + f es continua en, pues f f. f Halla los puntos de discontinuidad de la función y 9 y di si en alguno de ellos la discontinuidad es evitable. + + 6 6 y 9 + + + + Calculamos los valores que anulan el denominador: + 0 La función es discontinua en y en, pues no está definida para esos valores.

UNIDAD En : @; +@ + + + Hay una asíntota vertical en ; la discontinuidad no es evitable. En : + + 6 Luego en, la discontinuidad es evitable, porque la función tiene ite en ese punto. + PARA RESOLVER 9 a Calcula el ite de la función f cuando 0,,,, @: f b Representa gráficamente los resultados. a f 5 + 6 5 + 6 f 0 6 f Hallamos los ites laterales: f @; f +@ + f 0 f 0; f 0 @ b 9

s0 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas: + si Ì a f k si > + k si Ì 0 b f si > 0 e k si Ì 0 c f + k si > 0 a Si?, la función es continua. En : f + f k k + + f + Para que sea continua, ha de ser: k k 5 b Si? 0, la función es continua. En 0: f + k k 0 0 0 + f f0 0 + k k 0 + Para que sea continua, ha de ser: k c Si? 0, la función es continua. En 0: f e k e 0 0 0 f +k k 0 + 0 + f0 e k 0 Para que sea continua, ha de ser: k k / Página 5 s Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: 4 si? si? a f b f k si k si 0

UNIDAD 4 a Si?, la función es continua, porque lo es. Para que sea continua en, debe verificarse que Calculamos f: f f. 4 f + + + 4 f k 0 * Indeterminación del tipo. Simplificamos la fracción. 0 Para que sea continua en, ha de ser k 4. Para este valor, f es continua en Á. b Si Ó 0 y?, la función es continua, porque lo es. Para que sea continua en, debe verificarse que f f. Calculamos f: 0 Indeterminación. 0 La resolvemos multiplicando y dividiendo por + : f k + + +. Para este valor, f es con- Para que sea continua en, ha de ser k tinua en [0, +@. + si < Estudia la continuidad de esta función: f si Ì < + si > Si? y? la función es continua. Si : f + + f f + + + + + * La función es continua en.

Si No es continua, pues no está definida en ; no eiste f. Además: f + f + + La discontinuidad es de salto finito. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra 5. No obstante, si se le encargan más de 0 unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada unidades cobra: 5 si 0 < Ì 0 C a + 500 si > 0 a Halla a de modo que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? El precio de una unidad es C /. a C 5 50 0 0 C a + 500 0 + 0 + C 0 50 Para que sea continua, ha de ser: 00a + 500 00a + 500 50 00a + 500 500 00a 000 a 0 C a b + 500 0 + 500 0 4,47 s4 En el laboratorio de Biología de la universidad, han determinado que el tamaño T de los ejemplares de una cierta bacteria medido en micras varía con el tiempo t, siguiendo la ley: t + a si t < horas T t + t 5 si t > horas t El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se mantenga continuo en t. a Decide la cuestión. b Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente.

UNIDAD a Para que la función sea continua en t, debe cumplirse que Tt T. Calculamos el ite: t t + T t t + a + a + t 5 t 5 T t t t t 5 9 t 4 t t + t 5 + 6 Para que T t pueda ser continua, tendría que cumplirse que: + a + a a 4 4 Pero, si a, quedaría T t t + si t <. 4 4 Esto daría lugar a que T t no eistiera para t Ì 7,75 horas. 4 Por tanto, no hay ningún valor de a para el que el crecimiento se mantenga continuo. + t 5 b T t,7 micras. t t +@ t t + t + t + t +@ t + t 5 t 5 + t t 5 + t t 5 + t + t + t t t 5 + t t 5 + 5 Dada f, justifica que f y f. + @ f si 0 + si > 0 + f + f @ @ +

6 Calcula el ite de las siguientes funciones cuando y cuando @, definiéndolas previamente por intervalos: a f b f + c f a Definimos f por intervalos: + + 0 Si < 0: + + Si 0 Ì Ì : + Si > : Luego: f si Ì 0 + si 0 < Ì si > f ; f @ b + / Si Ì : + + + + + Si > : + + + si Ì Luego: f si > @ f +@ f + + +@ @ + c Si < 0: + + Si > 0: + 4

UNIDAD + si < 0 f no está definida en 0. Luego: f + si > 0 @ + f + + f @ 7 Estudia la continuidad en 0 de la función: y + Qué tipo de discontinuidad tiene? En 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como: si < 0 y, entonces: + si > 0 ; + 0 0 + Por tanto, hay una discontinuidad de salto finito en 0. s Se define la función f del modo siguiente: ln si > f + a + b si Ì Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. Para que la gráfica de f pase por el origen de coordenadas, ha de ser f 0 0, es decir: f 0 b 0 Para que la función sea continua para?, es una función continua, tenemos que: f + a + a f ln + + f + a Han de ser iguales, es decir: + a a Por tanto, si a y b 0, la función es continua; y su gráfica pasa por el origen de coordenadas. 5

CUESTIONES TEÓRICAS 9 Si una función no está definida en, puede ocurrir que f 5? Puede ser continua la función en? Sí, puede ser que f 5, por ejemplo: + + f es tal que 5; y f no está definida en. Sin embargo, f no puede ser continua en pues no eiste f. 0 De una función continua, f, sabemos que f <0 si < y f > 0 si >. Podemos saber el valor de f? f 0 s Sea la función f +. Podemos asegurar que dicha función toma todos los valores del intervalo [, 5]? En caso afirmativo, enuncia el teorema que lo justifica. f es continua en [0, ] y f 0, f 5. Por tanto, por el teorema de los valores intermedios, la función toma, en el intervalo [0, ], todos los valores del intervalo [, 5]. s Da una interpretación geométrica del teorema de Bolzano y utilízalo para demostrar que las gráficas de f + y g + cos se cortan en algún punto. Mira el ejercicio resuelto. Interpretación geométrica: Si una función f es continua en un intervalo cerrado, y en sus etremos toma valores de distinto signo, entonces, con seguridad, corta al eje X en ese intervalo. Para las dos funciones dadas, f + y g + cos, consideramos la función diferencia: f g + cos Como f y g son continuas, también lo es f g. Además: f 0 g0 4 f 0 g0 < 0 f g 9,4 f g > 0 Por tanto, eiste un número c é 0, tal que f c gc 0 aplicando el teorema de Bolzano, es decir, f c gc. 6

UNIDAD Página 5 s Considera la función: 4 f El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando. Cómo elegir el valor de f para que la función f sea continua en ese punto? f 4 + + 4 Para que f sea continua en, debemos elegir f 4. 4 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, ] y que + para 0 < Ì es g. Cuánto vale g 0? Si g es continua en 0, debe verificar que g g0. Hallamos el ite: 0 + + + g + 0 + 0 + 0 + 0 + Por tanto, g0. s5 Dada la función: f 4 si 0 Ì Ì 4 e si < Ì observamos que f está definida en [0, ] y que verifica f 0 < 0 y f e > 0, pero no eiste ningún c é 0, tal que f c 0. Contradice el teorema de Bolzano? Razona la respuesta. Según el teorema de Bolzano, si f es una función continua en el intervalo [a, b] y signo de fa? signo de fb, entonces eiste un c é a, b tal que fc 0. Veamos si se cumplen las hipótesis. Estudiamos la continuidad en : / / + 4 f 4 / f e e /4 / + f no es continua en. 7 Como f? f, no eiste / / f. / + Por tanto, f no es continua en el intervalo [0, ]; luego no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en dicho intervalo. 7

s6 Se sabe que f es continua en [a, b] y que f a y f b 5. Es posible asegurar que para algún c del intervalo [a, b] cumple que f c 7? Razona la respuesta y pon ejemplos. No lo podemos asegurar. Por ejemplo: f + cumple que f 0 y f 5. Sin embargo, no eiste c é [0, ] tal que f c 7, ya que: f c c + 7 c 4 c è [0, ]. s7 Halla razonadamente dos funciones que no sean continuas en un punto 0 de su dominio y tales que la función suma sea continua en dicho punto. Por ejemplo: + si? f no es continua en ; si si? g no es continua en ; 4 si pero la función suma, f + g, sí es continua en. s Tiene alguna raíz real la siguiente ecuación?: sen + + 0 Si la respuesta es afirmativa, determina un intervalo de amplitud menor que en el que se encuentre la raíz. Consideramos la función f sen + +. Tenemos que: f es continua en [, 0]. f,4 < 0 f 0 > 0 signo de f? signo de f 0 Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que eiste c é, 0 tal que f c 0; es decir, la ecuación sen + + 0 tiene al menos una raíz en el intervalo, 0. s9 Demuestra que la ecuación 5 + + 0 tiene, al menos, una solución real. Consideramos la función f 5 + +. Tenemos que: f es continua en [, 0]. f < 0 f 0 > 0 signo de f? signo de f 0 Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que eiste c é, 0 tal que f c 0; es decir, la ecuación 5 + + 0 tiene al menos una raíz en el intervalo, 0.

UNIDAD s40 Una ecuación polinómica de grado es seguro que tiene alguna raíz real. Demuestra que es así, y di si ocurre lo mismo con las de grado 4. Si f a + b + c + d es un polinomio de grado, tenemos que: Si a > 0, f +@, y f @. Si a < 0, f @, entonces f +@. @ @ Como f pasa de +@ a @ o viceversa, podemos encontrar un número k tal que signo de f k? signo de f k. Además, f es continua. Por el teorema de Bolzano, sabemos que f tiene al menos una raíz c en el intervalo k, k. Dicha raíz es la solución de la ecuación a + b + c + d 0. Si f es un polinomio de grado 4, no ocurre lo mismo. Por ejemplo, 4 + 0 no tiene ninguna raíz real; puesto que 4 + > 0 para cualquier valor de. s4 Si el término independiente de un polinomio en es igual a 5 y el valor que toma el polinomio para es 7, razona que hay algún punto en el intervalo 0, en el que el polinomio toma el valor. Si f es un polinomio, entonces es una función continua. El término independiente es igual a 5; es decir, f 0 5; y, además, f 7. Por tanto, aplicando el teorema de los valores intermedios, como 5 < < 7, podemos asegurar que eiste c é 0, tal que f c. s4 La función y tg toma valores de distinto signo en los etremos del π π intervalo, y, sin embargo, no se anula en él. Contradice esto el 4 4 teorema de Bolzano? [ ] π π 4 Por tanto, no podemos aplicar el teorema de Bolzano para dicho intervalo. La función y tg no es continua en, que está en el intervalo [, ]. s4 Considera la función f. Determina su dominio. Dibuja su gráfica y razona si se puede asignar un valor a f 0 para que la función sea continua en todo Á. Definimos f por intervalos: si < 0 f Dominio Á {0} si > 0 π 4 9

Como f? f, no podemos asignar ningún valor a 0 0 + f0 para que la función sea continua en todo Á pues en 0 no lo es. Tiene una discontinuidad de salto finito. Gráfica: Y X s44 Si eiste el ite de una función f cuando a, y si f es positivo cuando < a, podemos asegurar que tal ite es positivo? Y que no es negativo? Justifica razonadamente las respuestas. Si f > 0 cuando < a, entonces, si eiste f, ha de ser f Ó 0. a a Por tanto, podemos asegurar que el ite no es negativo podría ser positivo o cero. s45 a Comprueba que [ln + ln ] 0. b Calcula [ln + ln ]. a [ln + ln ] [ ln ] ln 0 b [ln + ln ] [ ln ] [ ln ] [ ln + ] ln e + + + s46 De dos funciones f y g se sabe que son continuas en el intervalo [a, b], que f a > g a y que f b < g b. Puede demostrarse que eiste algún punto c de dicho intervalo en el que se corten las gráficas de las dos funciones? Consideramos la función f g. Si f y g son continuas en [a, b], entonces f g es continua en [a, b]. Si f a > ga, entonces f a ga > 0. 40

UNIDAD Si f b < gb, entonces f b gb < 0. Es decir, signo [ f a ga]? signo [ f b gb]. Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que eiste c é a, b tal que f c gc 0, es decir, tal que f c gc. Las gráficas de f y g se cortan en c. s47 Si f es continua en [, 9], f 5 y f 9 > 0, podemos asegurar que la función g f + tiene al menos un cero en el intervalo [, 9]? Si f es continua en [, 9], entonces g f + también será continua en [, 9] pues es suma de dos funciones continuas. Si f 5, entonces g f + 5 + < 0. Si f 9 > 0, entonces g9 f 9 + > 0. Es decir, signo de g? signo de g9. Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que eiste c é, 9 tal que gc 0; es decir, la función g tiene al menos un cero en el intervalo [, 9]. 4 Escribe una definición para cada una de estas epresiones y haz una representación de f: a f b f @ c f +@ @ d f @ e f +@ f f 4 + a Dado e > 0, eiste h tal que, si < h, entonces f < e. b Dado k, podemos encontrar h tal que, si > h, entonces f < k. c Dado k, podemos encontrar d tal que, si d < <, entonces f > k. d Dado k, podemos encontrar d tal que, si < < + d, entonces f < k. e Dado k, podemos encontrar d tal que, si d < < + d, entonces f > k. f Dado e > 0, eiste d > 0 tal que, si d < < + d, entonces f 4 < e. Y 4 X 4

Página 5 PARA PROFUNDIZAR 49 Estudia el comportamiento de cada una de estas funciones cuando tiende a +@: a f cos sen b g + E [] c h d j a Como Ì sen Ì, entonces: sen +@ cos ± b Como Ì cos Ì, entonces: 0 + + c Como < E [] <, E [] E [] < < < < d Como Ì sen Ì, + sen E [] sen ± + + + 0 50 En una circunferencia de radio, tomamos un ángulo AOP de radianes. Observa que: PQ sen, TA tg y arco PA Como PQ < PA < TA sen < < tg A partir de esa desigualdad, prueba que: 0 sen + sen ì O P Q T A Tenemos que sen < < tg. Dividiendo entre sen, queda: sen < < > > cos sen cos Tomando ites cuando 0, queda: sen sen ; es decir:. 0 0 4

UNIDAD sen 5 Sabiendo que, calcula: sen a b c sen 0 sen tg d e f 0 a 0 sen 0 sen sen sen z b Si hacemos z, tenemos z 0 sen sen sen c 0 sen sen sen d 0 0 tg 0 0 0 0 sen / cos 0 e 0 cos f cos cos + cos cos 0 0 + cos 0 + cos sen 0 + cos 0 0 0 0 0 sen 0 z 0 cos sen 0 0 0 + cos 5 Supongamos que f es continua en [0, ] y que 0 < f < para todo de [0, ]. Prueba que eiste un número c de 0, tal que f c c. Haz una gráfica para que el resultado sea evidente. Aplica el teorema de Bolzano a la función g f. Consideramos la función g f. Tenemos que: g es continua en [0, ], pues es la diferencia de dos funciones continuas en [0, ]. g0 f 0 > 0, pues f > 0 para todo de [0, ]. g f < 0, pues f < para todo de [0, ]. sen cos 4

Por el teorema de Bolzano, sabemos que eiste c é 0, tal que gc 0, es decir, f c c 0, o bien f c c. y fc c f 0 c Página 5 AUTOEVALUACIÓN. Calcula los siguientes ites: a 0 6 5 + b c / d + 4 + a 0 6 5 + @, porque el minuendo es de grado, y el sustraendo, de grado. 0 b 0 log + +@ @ c / Como es del tipo +@, podemos aplicar la regla: / e e d + 4 + @ @ Resolvemos la indeterminación multiplicando y dividiendo por + + 4 +: + 4 + + + 4 + + 4 + 4 + + 4 + + + 4 + + + 4 + e 4 + + 4 + 4 + 4 4 e @ e log + 44

UNIDAD e si < 0. Dada la función f : si Ó 0 a Estudia su continuidad. b Halla f y f. @ a Si? 0, f es continua, porque e y son funciones continuas en Á. Estudiamos la continuidad en 0: 0 0 + e e 0 0 f f f es continua en Á. b f @ @ f e 0 @ 9. a Estudia la continuidad de f y justifica qué tipo de discontinuidad tiene. + b Halla sus ites cuando y @. c Representa la información obtenida en a y b. a La función es discontinua en los puntos en los que no está definida. En este caso, en los puntos que anulan su denominador. + 0 0 Estudiamos el tipo de discontinuidad: 9 9 ±@ + 0 0 Si 0, f @ Si 0 +, f +@ 9 0 + + 0 + En 0, tiene una discontinuidad de salto infinito. En, tiene una discontinuidad evitable. 9 b + @ 9 + 45

c Y X + 4. Halla a para que. a + + a + 4 a a 6 a 5. Halla a y b para que esta función sea continua y represéntala: 0 + a + b si < 0 a si 0 Ì < f a + b si Ì Para que f sea continua en 0, debe cumplirse: a + b b 0 a a b a f0 a Para que sea f continua en, debe ser: + f a + b a a a + b a + b a a + b De y obtenemos: a a a a b Si a y b, la función es continua en 0 y en. Para valores de < 0 y 0 Ì <, f está definida por medio de funciones polinómicas, que son continuas. Para valores de Ó, la función a + b es también continua. 46

UNIDAD Por tanto, si a y b, f es continua en todos sus puntos. Representación: si < 0 si 0 Ì < f si Ì Y X π 6. Dada la función f sen, demuestra que eiste un c é 0, 4 tal que 4 fc fc +. π + π Construimos la función g f + f sen sen. 4 4 Demostrar que fc + fc para algún c é 0, 4, es lo mismo que demostrar que eiste c é 0, 4 tal que gc 0. π0 + π 0 π g0 sen sen sen sen 0 > 0 4 4 4 5π g4 sen sen π < 0 4 La función g es continua en [0, 4] y signo de g0? signo de g4. Según el teorema de Bolzano, eistirá un c é 0, 4 tal que gc 0; es decir, eiste un c é 0, 4 tal que fc + fc. 7. Sea la función f + e. Demuestra que eiste algún número real c tal que c + e c 4. f + e es una función continua en Á. Calculamos algunos valores de f: f0 0 + e 0 f5 5 + e 5 5,007 Por el teorema de los valores intermedios, f toma todos los valores del intervalo [; 5,007]. Por tanto, eistirá un 0 < c < 5 tal que fc 4. Es decir, c + e c 4 47

. Epresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación gráfica de cada caso: a Podemos conseguir que f sea mayor que cualquier número K, por grande que sea, dando a valores tan grandes como sea necesario. b Si pretendemos que los valores de g estén tan próimos a como queramos, tendremos que dar a valores suficientemente grandes. a f +@ Y Y X o bien X b g Y Y o bien X X 4