CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CAPÍTULO I

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery (1996). Es por esta razó que es ta importate la estadística e la vida cotidiaa, ya que las técicas estadísticas se utiliza e casi todos los aspectos. Se diseña ecuestas para recabar iformació previa a u día de eleccioes, se seleccioa al azar cosumidores para obteer iformació co el fi de predecir la preferecia de u producto, el igeiero muestrea las características de calidad de u producto, el ecoomista cosidera varios ídices de la situació ecoómica durate cierto periodo y utiliza la iformació para predecir la situació ecoómica futura. Es por eso que las técicas estadísticas desempeña ua fució importate e el logro del objetivo de cada uo de estos problemas prácticos. Es por eso que e este Capítulo se hace ua recopilació de los temas más importates detro de la probabilidad y estadística, para dar u paorama más amplio del tema e esta tesis. 1.1 Probabilidad La probabilidad se desarrolló e u pricipio e relació co los juegos de azar y lleva ua relació etre las posibilidades y las probabilidades. Este cocepto clásico solo se aplica cuado los evetos so igualmete probables. Freud (1994). Es muy útil saber y cuatificar la posibilidad de que se presete algú resultado de u eperimeto aleatorio. Esta cuatificació se hace asigado u úmero etre el itervalo [0,1]. U hecho ta secillo como puede ser coocer la posibilidad de lluvia de u determiado día.

1.1.1 Eveto y Espacios Muestrales U eveto se ecuetra asociado co el espacio de muestreo de u eperimeto Hies (1986). Este espacio muestral es el cojuto de los posibles resultados de u eperimeto aleatorio y se deota co la letra S. Geeralmete, u espacio muestral se clasifica de acuerdo al úmero de elemetos co que cueta. Éstos puede ser discretos cuado cotiee u úmero fiito o umerablemete ifiito de elemetos, mietras que los cotiuos cotiee u úmero ifiito o cotable de elemetos. Eiste dos tipos de eperimetos que so: determiísticos, los cuales se efectúa bajo codicioes que determia el resultado del mismo y los o determiísticos o aleatorios, llamados así por que o se puede predecir su resultado atediedo las codicioes bajo las cuales se lleva a cabo y además proporcioa diferetes resultados aú cuado se repita siempre de la misma maera. E esta tesis se describirá los segudos. 1.1. Aiomas de Probabilidad Estos aiomas debe de satisfacer las posibilidades de cualquier eperimeto aleatorio. Los aiomas y sus cosecuecias restrige las asigacioes de probabilidad de ua maera que permite iterpretar éstas como frecuecias relativas si icosistecias. Motgomery (1996). Los aiomas de probabilidad so: 1. P(S) 1. 0 P(E) 1 3. P (E 1 E ) P(E 1 ) + P(E ), cuado ambos evetos so mutuamete ecluyetes. Dode: S es el espacio muestral. E es u eveto. P(E) la probabilidad del eveto E. 3

A partir de estos aiomas se implica alguos otros resultados como so: P( ) 0, es decir, la probabilidad de u cojuto vacío es cero. P(E ) 1 P(E), de igual forma, la probabilidad del complemeto de E (E ) es 1 meos la probabilidad del eveto E. 1.1.3 Regla de la Adició Esta regla se aplica a dos evetos mutuamete ecluyetes, pero se geeraliza a que se aplique a más de dos evetos mutuamete ecluyetes, es decir que igú elemeto de u cojuto perteezca a otro. Si k evetos so mutuamete ecluyetes, la probabilidad de que uo de éstos ocurra es igual a la suma de las probabilidades de cada uo de ellos. P(A 1 A... A k ) P(A 1 ) + P(A ) +... + P(A k ) Esta regla tambié se puede geeralizar de la siguiete maera segú Freud (1994). P(A 1 A ) P(A 1 ) + P(A ) - P(A 1 A ) 1.1.4 Regla de la Multiplicació La probabilidad de que dos evetos idepedietes ocurra es simplemete el producto de las probabilidades respectivas. P(A B) P(A) * P(B) 4

E ocasioes esta regla es usada para verificar si dos evetos so idepedietes. Esta regla será de gra utilidad, ya que posteriormete se usará para calcular la Fució de Máima Verosimilitud de la distribució Hockey Stick. Dos evetos so idepedietes cuado la ocurrecia del eveto A o se afecta por la ocurrecia del eveto B. Cuado esto sucede, se puede afirmar que el eveto A es idepediete del eveto B, y esta relació se puede epresar por la siguiete defiició: P ( A/ B) P( A) o P ( B / A) P( B) 1. Fució de Desidad E el estudio de las variables aleatorias, geeralmete lo más iteresate es la probabilidad que toma los diversos valores detro de su amplitud, los cuales so descritos por la Fució de Desidad. Las variables aleatorias se clasifica de dos formas: variables aleatorias discretas las cuales toma u úmero fiito o cotablemete ifiito, tatos valores como úmeros eteros eista y variables aleatorias cotiuas, que so las que se usa cuado se maeja catidades de medida e ua escala cotiua, por ejemplo: el tiempo, el peso, la distacia, etc. Ua distribució de probabilidad es ua correspodecia que asiga probabilidades a ua variable aleatoria. Freud (1994). Siempre que es posible, se trata de epresar las distribucioes de probabilidad por medio de fórmulas que permita calcular las probabilidades asociadas co los diversos valores de ua variable aleatoria. Los valores de ua distribució de probabilidad debe ser úmeros que se ecuetre e u itervalo de [0,1]. Además, la suma de todos los valores de ua distribució de probabilidad debe ser equivalete a 1. 5

1.3 Fució de Distribució Acumulativa La Fució de Distribució Acumulativa sirve para calcular la probabilidad detro de u itervalo y se defie como: F ( ) P ( X ) f ( ) d X X La Fució de Distribució cueta co las siguietes propiedades: 1. Lim ( ) 0 F X. Lim ( ) 1 F X b 3. P ( a < b ) f ( ) d F ( b) F ( a ) <, dode f () es la Fució a X de Desidad correspodiete a la Fució de Distribució F (). df X ( ) f X ( ) 4. d, dode f() es la Fució de Desidad correspodiete a la Fució de Distribució F(). 1.4 Fució de Máima Verosimilitud La Fució de Máima Verosimilitud ormalmete se ve represetada por la letra L. Uo de los métodos para obteer u estimador putual de u parámetro es por medio del Estimador de Máima Verosimilitud. U estimador es ua fució umérica de u dato. 6

Eiste muchos camios para especificar la forma de u estimador para u parámetro particular de ua distribució dada. Law y Kelto (000). U estimador de u parámetro de la població cosiste e u solo valor de u estadístico y se le cooce como estimador putual del parámetro. Dada ua muestra aleatoria de ua f() co distribució de probabilidad f(,θ), dode θ es u parámetro descoocido. Sea,..., 1, los valores observados e ua muestra aleatoria de tamaño. La Fució de Máima Verosimilitud de la muestra es: (1.1) ( θ ) Π f ( ; ) L i 1 i θ Dode: f( i ; θ) es la Fució de Desidad. θ es u parámetro o u cojuto de parámetros para la distribució dada. Esto es, L(θ) es la verosimilitud de la muestra que es la Probabilidad de observar la muestra. Por lo tato el Estimador de Máima Verosimilitud es u estimador que maimiza la probabilidad de ocurrecia de los valores muestrales. Ver Motgomery (1996). Para el caso de ua variable aleatoria cotiua, la cual se describirá e esta tesis. Se tiee que, la Fució de Máima Verosimilitud esta dada por: L ( θ ) f ( X ) f ( X )... f ( X ) θ 1 θ θ 7

Se dice que θˆ de θ es defiido como el valor de θ que maimice L ( θ ) sobre todos los valores permisibles de θ. Law y Kelto (000). Por lo tato la fució que maimiza la Fució de Máima Verosimilitud esta dada por: L ( ) Ma θˆ ( θ ) L θ Dado que el logaritmo atural de ua fució es ua fució cotiua creciete que se maimiza e el mismo puto que la fució origial, es posible utilizar la siguiete igualdad para facilidad de cálculo: (1.) l l L Sustituyedo e la ecuació 1. la ecuació de la Fució de Máima Verosimilitud, la ecuació 1.1, se obtiee la siguiete igualdad: l l i 1 f ( i ) Ua de las formas para calcular los estimadores de alguas distribucioes es, ua vez obteida la epresió l, se deriva co respecto a cada uo de los estimadores correspodietes a cada distribució. Posteriormete igualado a cero las derivadas y por ultimo despejado el estimador deseado. La probabilidad de u puto 1 e ese mismo puto es cero y formalmete se obtiee itegrado la Fució de Desidad del puto 1 a ese mismo puto y como se observa e la siguiete igualdad: 8

P [X 1 1 ] 0 1 1 f ( )d E la Figura 1.1 se aprecia de maera gráfica lo ateriormete dicho ya que se esta itegrado u diferecial que es ua parte ta pequeña y que al ser itegrado el mismo puto 1 esta probabilidad es cero. f ( 1 ) d ( 1 ) X 1 Figura 1.1 Diferecial de u puto 1. Si embargo, cabe mecioar que se ha buscado ua iterpretació a esta probabilidad y a cotiuació se muestra la maera de como se hace Bladt (1993): f ( d P [X 1 1 X 1 + d] 1 1 ) Al ecotrar esta iterpretació de la f() se ecuetra dos vetajas: 1. La defiició de probabilidad es sumamete clara de la siguiete forma: ( d P [a < 1 < b] 1 a b f 1 ). Por otro lado, permite defiir claramete el pricipio de verosimilitud, por que se puede iterpretar claramete bajo cualquier distribució, ya sea cotiua o discreta, que la fució de verosimilitud es la probabilidad de observar la muestra 9

y los Estimadores de Máima Verosimilitud so aquellos valores de los parámetros que maimice dicha probabilidad. La técica del Estimador de Máima Verosimilitud es por lo tato equivalete a maimizar ua ecuació de alguas variables. E geeral, los cálculos que más se acerca es obteer la derivada parcial co respecto a cada uo de los parámetros descoocidos, esto produce u sistema de ecuacioes que tiee los estimadores de máima verosimilitud como solució. Tobias (1986). Si ua distribució tiee más de u parámetro, se puede defiir el Estimador de Máima Verosimilitud para cada uo de los parámetros e u camio atural. Ejemplo 1.1 Ecuetre el Estimador de Máima Verosimilitud de λ de la distribució epoecial. Si se tiee ua muestra aleatoria X 1, X,... X, de ua distribució epoecial co ua tasa de llegada de λ. Solució: f ( ) λe λ > 0 0 d. o. m. Reemplazado la Fució de Desidad de la distribució Epoecial e la ecuació 1.1 la cual es la Fució de Máima Verosimilitud, es posible escribir la siguiete ecuació: L ( λ ) i 1 λ e λ i Aplicado la ecuació 1. para facilitar los cálculos se tiee lo siguiete: l l L( λ) 10

l λ e i 1 i 1 l λ i λ [ λ e i ] i 1 [ l λ λ ] i l λ λ i 1 i Como siguiete paso se procede a derivar la ecuació aterior co respecto a λ ya que es el parámetro de la distribució Epoecial y es el cual se quiere estimar: dl dλ λ i 1 i Luego la derivada obteida ateriormete es igualada a cero para maimizar la fució y se procede como último paso a despejar λ el cual es el parámetro que se desea estimar. λ i 1 i 0 λ i 1 i Fializado se usa ua muestra aleatoria para estimar el parámetro de la població a la cual se hacer referecia co la muestra que se obtuvo. Ejemplo 1.. La distribució Gama tiee dos parámetros (α y β), y la Fució de Máima Verosimilitud es defiida como: 11

L ( α, β ) β α ( X ) i 1 i α 1 [ Γ( α )] 1 ep β i 1 X i Los Estimadores de Máima Verosimilitud αˆ y βˆ de los valores descoocidos de α y β está defiidos para ser los valores de α y β que jutamete maimiza L(α, β). Para ecotrar αˆ y βˆ se procede obteiedo l (α, β) l L(α, β) y posteriormete se resuelve u sistema de ecuacioes dl / dα 0 y dl / dβ 0 simultáeamete para α y β. 1.5 La Distribució Epoecial La distribució Epoecial obtiee su ombre de la fució epoecial que aparece e la Fució de Desidad. Esta distribució tiee como parámetro λ el cual es de escala y sus uidades geeralmete so úmero de ocurrecias etre uidad de tiempo. La Figura 1. muestra la gráfica de la distribució Epoecial para distitos valores de λ. f(t).0 1.6 λ 0.5 λ.0 λ 10.0 1. 0.8 0.4 0 4 6 8 10 1 t Figura 1. Fució de desidad de ua variable aleatoria epoecial para diferetes valores de λ. 1

La distribució Epoecial es ampliamete usada e el campo de la Igeiería de cofiabilidad como u modelo del tiempo de falla de u compoete o sistema. E estas aplicacioes, el parámetro λ es llamado tasa de fallas del sistema y la media de la distribució 1/λ el cual es llamado tiempo medio de falla. Motgomery (001). La distribució Epoecial (λ) es u caso especial de la distribució Weibull ya que 1 1 ~ Weibull( 1, c) Ep y de la distribució Gamma por que t ~ Γ( 1, β ) Ep t co c β parámetros de forma y de escala respectivamete de m 1 y α 1 y λ e ambos casos. Law y Kelto, (000). Y se escribe de la siguiete maera: t ~ Ep( λ) Supógase que X es ua variable aleatoria cotiua co Fució de Desidad ( ) < < f,. La media o el valor esperado de ua variable aleatoria cotiúa esta deotada por µ o por E(X) y es: µ ( X ) f ( ) E d Aplicado la ecuació aterior y sustituyedo la Fució de Desidad de la distribució Epoecial se tiee que la media es: µ 1 λ La variaza de ua variable aleatoria se calcula poderado el cuadrado de cada desviació co respecto a la media, co la probabilidad asociada co la desviació. La variaza de ua variable aleatoria esta deotada por σ o V(X) y es: 13

σ ( µ ) f ( d V ( X ) ) Aplicado la ecuació aterior y sustituyedo la Fució de Desidad de la distribució Epoecial se tiee que la variaza es: σ 1 λ La Fució de Desidad es la que trata de epresar las distribucioes de probabilidad por medio de fórmulas que estas a su vez permite calcular las probabilidades asociadas co las variables aleatorias. La Fució de Desidad para la distribució Epoecial esta dada por: f (t) λ e o λ t t 0 d. o. m. Dode: λ es el coeficiete de itesidad o úmero de fallas esperadas por uidad de tiempo. t es la variable aleatoria la cual mide el tiempo de falla y debe ser mayor o igual a cero. La Fució de Distribució Acumulativa por lo tato se calcula itegrado la Fució de Desidad de la distribució de la siguiete maera: { } 0 F ( t ) P t, t 0 t λ λ e t dt 0 1 e λt t 0 14

La Figura 1.3 muestra la Fució de Distribució Acumulativa de la distribució Epoecial. F(t) 0 t Figura 1.3 Gráfica de la fució de distribució epoecial acumulativa. Dada la Fució de Distribució Acumulativa y co la igualdad R( t) 1 F( t) que se verá co más detalle e el Capítulo II, es fácil decir que la fució de cofiabilidad esta dada por: R (t) e λt, t > 0 1, t 0 Para esta distribució la tasa de fallas esta defiida como el cociete de la Fució de Desidad y la Fució de Cofiabilidad. La tasa de fallas tiee como uidades el úmero de fallas por uidad de tiempo. No es ua probabilidad y puede teer valores mayores que uo, si embargo siempre será positiva. Se dará más iformació e el Capítulo II. La tasa de fallas para la distribució Epoecial es: h ( t) f ( t) R( t) λe e λ λt λt 15

Eiste ua propiedad característica de la distribució epoecial; es la úica distribució co ua tasa de fallas costate dado que la tasa de fallas de la distribució se reduce solo a λ para todo el tiempo, y la Figura 1.4 lo muestra. h(t) λ 0 t tiempo Figura 1.4 Tasa de fallas h(t) de la distribució epoecial. La distribució Epoecial tiee ua propiedad muy importate que es la de la pérdida de memoria. Esta propiedad cosiste e que u compoete o sistema o recuerda que tato ha estado operado y etoces la probabilidad codicioal de que falle e la siguiete hora es la misma que si fuera uevo. 1.6 La Distribució Weibull La familia Weibull es ua de las distribucioes de vida que provee bueos modelos e muchos casos empíricos. Esta distribució puede ser usada como u modelo de fallas causadas por procesos de degradació como fatiga, corrosió, difusió y abrasió mecáica como fallas de cojietes y material de potecia. La Figura 1.5 muestra ua gráfica de la Fució de Desidad de la distribució para diferetes valores del parámetro de forma. f(t) 4 m 10 3 m 0.5 1 m 1 m 4 m 16

Figura 1.5 Fució de desidad de la distribució Weibull para distitos valores de m. La distribució Weibull cueta co dos parámetros, los cuales so: m el cual que es coocido como el parámetro de forma y c como u parámetro de escala, tambié llamado característica de vida. Ambos debe ser mayores que cero y esta distribució es ua distribució de vida defiida solo por tiempos positivos t. Tobias (1986). Y se escribe de la siguiete forma: t ~ Weibull( m, c) Al igual que e la distribució Epoecial X es ua variable aleatoria cotiua co Fució de Desidad ( ) < < f,. La media o el valor esperado de ua variable aleatoria cotiúa se deota por µ o por E(X) y es: µ ( X ) f ( ) E d Si se aplica la ecuació aterior y se sustituye la Fució de Desidad de la distribució Weibull se tiee que la media es: 1 µ c Γ 1 + m De igual forma como se mecioó e la distribució Epoecial, la variaza de ua variable aleatoria se calcula poderado el cuadrado de cada desviació co respecto a la media, co la probabilidad asociada co la desviació. La variaza de ua variable aleatoria se deota por σ o V(X) y es: 17

σ ( µ ) f ( d V ( X ) ) Aplicado la ecuació aterior y sustituyedo la Fució de Desidad de la distribució Weibull se tiee que la variaza es: 1 σ c Γ 1 + c Γ 1 + m m La Fució de Desidad es la que trata de epresar las distribucioes de probabilidad por medio de fórmulas que éstas a su vez permite calcular las probabilidades asociadas co las variables aleatorias. La Fució de Desidad para distribució Weibull esta dada por: f (t) mt c 0 m 1 m e t c m t > 0 d. o. m. Dode: m es el parámetro de forma. c es el parámetro de escala. t es la variable aleatoria la cual mide el tempo de falla y debe ser mayor que uo. La Fució de Distribució Acumulativa de la distribució Weibull por lo tato se puede calcular itegrado la fució de desidad obteiedo la siguiete ecuació: F (t) 1 e 0 t c m t > 0 d. o. m. 18

Dada la Fució de Distribució Acumulativa y coociedo la igualdad R( t) 1 F( t) que se verá co más detalle e el Capítulo II, es fácil obteer la fució de cofiabilidad R(t): R (t) e t c m, t > 0 0, d. o. m. La tasa de fallas esta defiida como el resultado de la Fució de Desidad etre la Fució de Cofiabilidad. La tasa de fallas tiee como uidades el úmero de fallas por uidad de tiempo. No es ua probabilidad y puede teer valores mayores que uo, si embargo siempre será positiva. Se dará más iformació sobre esta e el Capítulo II. La tasa de fallas para la distribució Weibull es: h ( t) f ( t) R( t) mt c mt c m 1 m e m e t c m 1 t c m m La distribució Weibull se emplea a meudo para modelar el tiempo hasta presetarse ua falla e muchos sistemas físicos diferetes, ya que los parámetros de esta distribució proporcioa mucha fleibilidad para modelar sistemas e los que el úmero de fallas aumeta co el tiempo, que dismiuye co el tiempo o que permaece costate. La Figura 1.6 muestra ua gráfica de la tasa de fallas de la distribució Weibull para distitos valores del parámetro m. h(u) 9 m 10 m 4 8 7 19

Figura 1.6 Tasa de fallas de la distribució Weibull para distitos valores de m. 1.7 Itervalos de cofiaza El itervalo de cofiaza es u método que utiliza las medicioes de la muestra para calcular dos úmeros que forma los etremos del itervalo. El itervalo de cofiaza e su caso ideal debe de teer dos propiedades: que cotega al parámetro objetivo y además que sea lo más estrecho posible. El itervalo se ecuetra e fució de las medicioes de la muestra y es por esa razó que varía de maera aleatoria e uo o e ambos de sus etremos. Medehall (199). Ua estimació por itervalos de u parámetro descoocido θ es u itervalo de la forma l θ u, dode los putos etremos l y u depede del valor umérico del estadístico θˆ para ua muestra e particular, y de la distribució de muestreo deθˆ. Puesto que muestras diferetes produce valores distitos de θˆ y, e cosecuecia, valores diferetes de los putos etremos l y u, estos putos so valores de variables aleatorias, por ejemplo L y U, respectivamete. De la distribució de muestreo de θˆ es posible 0

determiar los valores aleatorios de L y U tales que la siguiete proposició de probabilidad es verdadera: P ( L θ U ) 1 α Dode: 0 < α < 1 sigifica que se tiee ua probabilidad de 1 - α de seleccioar ua muestra que produzca u itervalo que cotiee el valor verdadero de θ. Ver Hollad y Sielke (1993). Si,..., 1, es ua realizació de la muestra aleatoria X, X,..., X 1 y se calcula l como ua realizació de L y u ua realizació de U, etoces, el itervalo resultate l θ u se cooce como itervalo de cofiaza del 100(1 - α) por cieto para el parámetro descoocido θ. Las catidades l y u recibe el ombre de limites de cofiaza iferior y superior, respectivamete, y 1 - α es el coeficiete de cofiaza. La iterpretació de u itervalo de cofiaza es que, si se recopila u úmero ifiito de muestras aleatorias y se calcula u itervalo de cofiaza del 100(1 - α ) por cieto para θ, para cada ua de las muestras, etoces el 100( 1 - α ) por cieto de esos itervalos cotiee el valor verdadero de θ. 1.8 Método Bootstrap Bradley Efro (1979) desarrolló el método Bootstrap. Desde etoces, se ha covertido rápidamete e ua popular y poderosa herramieta estadística usada para problemas difíciles e el aálisis estadístico. Este método es computacioalmete iteso, si embargo, las moderas computadoras so más que suficietes para los requerimietos computacioales requeridos para este método. 1

El método Bootstrap es ua forma de hacer iferecia de los datos origiales mediate el uso de ua gra catidad de métodos, los cuales so llamados procedimietos de remuestreo. El procedimieto Bootstrap se puede defiir como B muestras Bootstrap geeradas de u cojuto de datos origiales, cada muestra Bootstrap tiee elemetos geerados co muestreo co reemplazo veces. Las replicas Bootstrap so obteidas para calcular el valor del estimador de la replica. Ver Devore (1987). Las estadísticas so co frecuecia las salidas del aálisis de los datos. La estimació Bootstrap del error estádar o requiere de cálculos teóricos. U pequeño úmero de réplicas B 5 da solamete resultados iformativos, replicas de B 50 es a meudo suficiete para dar como resultado u bue estimador del error estádar, si embargo se requiere ua B de mayor tamaño para los itervalos de cofiaza Bootstrap, ua B 1000 es ecesaria para u itervalo de cofiaza estable. Ver Thomas (00). Eiste varios métodos de muestreo para hacer iferecia a los parámetros de ua població y e esta tesis se usará para este propósito el Bootstrap paramétrico. El método de Bootstrap paramétrico se usa cuado se es coocida la forma fucioal de la població bajo estudio, es decir, su distribució estadística, pero al meos uo de los parámetros defiidos es descoocido. Este método se aplica a las siguietes situacioes: Cuado es coocida la distribució de la població la cual se esta estudiado. Cuado se tiee ua muestra dispoible de la població. Cuado los parámetros descoocidos para completar la distribució, se puede estimar de la sola muestra actual. Població o proceso a estudio Muestra actual de la població o proceso e estudio (Usada para estimar los parámetros del modelo). Muestreo co reemplazo de los datos. Tomado B muestras de tamaño.

Figura 1.7 Diagrama del método de Bootstrap paramétrico. Supoga que se tiee ua muestra X 1, X,, X, de ua distribució, co ua distribució de desidad f(/θ), dode θ es u vector de parámetros. Se puede estimar θ coθˆ, que es el Estimador de Máima Verosimilitud del muestreo. * * * X1,X,...,X ~ f ( X / ˆ) θ Si se toma B muestras, se puede estimar la variaza de θ* usado: Var * B B ˆ 1 ( θ ) B 1 i 1 θˆ * i θˆ * Dode: ˆi* θ * es el estimador de la observació i-ésima y de la muestra tomada. Ver Cassella y Berger (00). ˆ θ es el promedio del estimador 3