90 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava o cóncava. Encontrar cualesquiera puntos de infleión de la gráfica de una función. Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar etremos s de una función. Concavidad Ya se ha visto que localizar los intervalos en los que una función ƒ es creciente o decreciente auda a describir su gráfica. En esta sección, se verá cómo el localizar los intervalos en los que ƒ es creciente o decreciente puede utilizarse para determinar dónde la gráfica de ƒ se curva o se curva. DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD Sea ƒ derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de ƒ es cóncava sobre I si ƒ es creciente en el intervalo cóncava en I si ƒ es decreciente en el intervalo. La siguiente interpretación gráfica de concavidad es útil. (Ver el apéndice A para una prueba de estos resultados.) f() = 3 3. Sea ƒ derivable sobre un intervalo abierto I. Si la gráfica de ƒ es cóncava en I, entonces la gráfica de ƒ ace sobre todas sus rectas tangentes en I. (Ver la figura 3.4a.). Sea ƒ derivable en un intervalo abierto I. Si la gráfica de ƒ es cóncava en I, entonces la gráfica de ƒ ace debajo de todas sus rectas tangentes en I. (Ver la figura 3.4b.) m 0 m, f es creciente. m 0, f es decreciente. (, 0) f () = f es decreciente (, 0) (0, ) f es creciente La concavidad de f se relaciona con la monotonía de la derivada Figura 3.5 a) La gráfica de f se encuentra sobre sus b) La gráfica de f se encuentra debajo de sus rectas tangentes rectas tangentes Figura 3.4 Para determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica de una función ƒ es cóncava o, se necesita determinar los intervalos sobre los cuales ƒ sea creciente o decreciente. Por ejemplo, la gráfica de 3 ( ) 3 es cóncava en el intervalo abierto (, 0) debido a que ƒ() es ahí decreciente. (Ver la figura 3.5.) De manera similar, la gráfica de ƒ es cóncava en el intervalo (0, ) debido a que ƒ es creciente en (0, ).
SECCIÓN 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada 9 El siguiente teorema muestra cómo utilizar la segunda derivada de una función ƒ para determinar intervalos sobre los cuales la gráfica de ƒ es cóncava o hacia abajo. Una prueba de este teorema sigue directamente del teorema 3.5 de la definición de concavidad. TEOREMA 3.7 CRITERIO DE CONCAVIDAD Sea ƒ una función cua segunda derivada eiste en un intervalo abierto I.. Si ƒ() 0 para todo en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava en I.. Si ƒ() 0 para todo en I, entonces la gráfica de ƒ es cóncava en I. NOTA Un tercer caso del teorema 3.7 podría ser que si f () 0 para todo en I, entonces f es lineal. Notar, sin embargo, que la concavidad no se define para una recta. En otras palabras una recta no es ni cóncava ni cóncava. Para aplicar el teorema 3.7, se localizan los valores de para los cuales ƒ() 0 o ƒ no eiste. Segundo, se usan los valores de para determinar los intervalos de prueba. Por último, se prueba el signo de ƒ() en cada uno de los intervalos de prueba. EJEMPLO Determinación de la concavidad Determinar los intervalos abiertos en los cuales la gráfica de ( ) 3 f() 3 es cóncava o. Solución Se empieza observando que ƒ es continua en toda la recta real. A continuación, se encuentra la segunda derivada de ƒ. 3 f () 0 f () 0 f () 0 f 3 f 3 3 f 3 3 3 4 3 3 3 Reescribir la función original. Primera derivada. Segunda derivada. A partir del signo de f se puede determinar la concavidad de la gráfica de f Figura 3. Como ƒ() 0 cuando ƒ se define en toda la recta real, se debe probar ƒ en los intervalos (, ), (, ) (, ). Los resultados se muestran en la tabla en la figura 3.. Intervalo Valor de prueba Signo de f () < < f > 0 < < 0 f0 < 0 < < f > 0 Conclusión La función dada en el ejemplo es continua en toda la recta real. Si ha valores de en los cuales la función no es continua, dichos valores deben usarse junto con los puntos en los cuales ƒ() 0 o ƒ() no eiste para formar los intervalos de prueba.
9 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada EJEMPLO Determinación de la concavidad 4 4 Figura 3.7 4 4 f() = 4 Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica de f ( ) es cóncava o. 4 Solución Al derivar dos veces se obtiene lo siguiente f 4 f 4 4 0 4 f 4 0 0 4 4 4 03 4 4 3 Escribir la función original. Primera derivada. Segunda derivada. No ha puntos en los cuales ƒ() 0, pero en la función ƒ no es continua, por lo que se prueba la concavidad en los intervalos (, ), (, ) (, ), como se ilustra en la tabla. La gráfica de ƒ se muestra en la figura 3.7. hacia arriba Intervalo < < < < < < Valor de prueba 3 0 3 Signo de f () f3 > 0 f0 < 0 f3 > 0 Conclusión Puntos de infleión La gráfica en la figura 3. tiene dos puntos en los cuales cambia la concavidad. Si la recta tangente a la gráfica eiste en un punto de este tipo, ese punto es un punto de infleión. Se muestran tres tipos de puntos de infleión en la figura 3.8. DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN Sea ƒ una función que es continua en un intervalo abierto sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de ƒ tiene una recta tangente en este punto (c, ƒ(c)), entonces este punto es un punto de infleión de la gráfica de ƒ si la concavidad de ƒ cambia de cóncava a cóncava (o de cóncava a cóncava ) en ese punto. hacia arriba La concavidad de f cambia en un punto de infleión. Notar que la gráfica cruza su recta tangente en un punto de infleión Figura 3.8 NOTA La definición de punto de infleión dada en este libro requiere que la recta tangente eista en el punto de infleión. Algunos libros no requieren esto. Por ejemplo, en este libro no se considera que la función f 3,, < 0 0 tenga un punto de infleión en el origen, aun cuando la concavidad de la gráfica cambia de cóncava a cóncava.
SECCIÓN 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada 93 Para localizar los posibles puntos de infleión, se pueden determinar los valores de para los cuales ƒ() 0 o ƒ() no eiste. Esto es similar al procedimiento para localizar los etremos s de ƒ. TEOREMA 3.8 PUNTO DE INFLEXIÓN 8 f() 4 4 3 Si (c, ƒ(c)) es un punto de infleión de la gráfica de ƒ, entonces ƒ(c) 0 o ƒ no eiste en c. 9 3 9 Puntos de infleión EJEMPLO 3 Determinación de los puntos de infleión Determinar los puntos de infleión analizar la concavidad de la gráfica de ƒ() 4 4 3. 8 Solución La derivación doble produce lo siguiente. 7 Pueden ocurrir puntos de infleión donde f () 0 o f no eiste Figura 3.9 f 4 4 3 f 4 3 f 4 Escribir la función original. Encontrar la primera derivada. Encontrar la segunda derivada. Haciendo ƒ() 0 es posible determinar que los puntos de infleión posibles ocurren en 0. Al probar los intervalos determinados por estos valores de, se puede concluir que ambos producen puntos de infleión. Un resumen de esta prueba se presenta en la tabla, la gráfica de ƒ se ilustra en la figura 3.9. f() = 4 Intervalo < < 0 0 < < < < Valor de prueba 3 Signo de f () f > 0 f < 0 f3 > 0 Conclusión f () 0, pero (0, 0) no es un punto de infleión Figura 3.30 El recíproco del teorema 3.8 por lo general no es cierto. Esto es, es posible que la segunda derivada sea 0 en un punto que no es un punto de infleión. Por ejemplo, la gráfica de ƒ() 4 se muestra en la figura 3.30. La segunda derivada es 0 cuando 0, pero el punto (0, 0) no es un punto de infleión porque la gráfica de ƒ es cóncava en ambos intervalos < 0 0. E X P L O R A C I Ó N Considerar una función cúbica general de la forma ( ) a 3 b c d. Se sabe que el valor de d tiene relación con la localización de la gráfica, pero no con el valor de la primera derivada en los valores dados de. Gráficamente, esto es cierto debido a que los cambios en el valor de d desplazan a la gráfica o hacia abajo, pero no cambian su forma básica. Utilizar una herramienta de graficación para representar varias funciones cúbicas con diferentes valores de c. Después proporcionar una eplicación gráfica de por qué los cambios en c no afectan los valores de la segunda derivada.
94 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada f (c) 0 f Criterio de la segunda derivada Además de un método para analizar la concavidad, es posible utilizar la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máimos mínimos s. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ƒ es cóncava en un intervalo abierto que contiene a c ƒ(c) 0, ƒ(c) debe ser un mínimo de ƒ. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a c ƒ(c) 0, ƒ(c) debe ser un máimo de ƒ (ver la figura 3.3). c TEOREMA 3.9 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Si f (c) 0 ƒ(c) 0, f (c) es un mínimo f (c) 0 c Si f (c) 0 ƒ(c) 0, f (c) es un máimo Figura 3.3 f Sea ƒ una función tal que ƒ(c) 0 la segunda derivada de ƒ eiste en un intervalo abierto que contiene a c.. Si ƒ(c) 0, entonces ƒ tiene un mínimo en (c, ƒ(c)).. Si ƒ(c) 0, entonces ƒ tiene un máimo en (c, ƒ(c)). Si ƒ(c) 0, entonces el criterio falla. Esto es, ƒ quizá tenga un máimo, un mínimo o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada. DEMOSTRACIÓN Si ƒ(c) 0 ƒ(c) 0, eiste un intervalo abierto I que contiene a c para el cual ( ) ( c) ( ) c c 0 para todo c en I. Si c, entonces c 0 ƒ() < 0. Además, si > c, entonces c 0 ƒ() 0. De tal modo, ƒ() cambia de negativa a positiva en c, el criterio de la primera derivada implica que ƒ(c) es un mínimo. Una demostración del segundo caso se deja al lector. f() 3 5 5 3 Máimo (, ) EJEMPLO 4 Empleo del critero de la segunda derivada Encontrar los etremos s correspondientes a ƒ() 3 5 5 3. Solución Empezando con la determinación de los puntos críticos de ƒ. f 5 4 5 5 0, 0, Igualar f() a cero. Puntos críticos. Empleando f 0 3 30 30 3 se puede aplicar el criterio de la segunda derivada como se indica a continuación. (0, 0), Mínimo (0, 0) no es ni un mínimo ni un máimo Figura 3.3 Punto Signo de f (), f > 0, f < 0 0, 0 f0 0 Conclusión Mínimo Máimo Falla de la prueba Como el criterio de la segunda derivada no decide en (0, 0), es posible utilizar el criterio de la primera derivada observar que ƒ aumenta hacia la izquierda hacia la derecha de 0. De tal modo, (0, 0) no es ni un mínimo ni un máimo (aun cuando la gráfica tiene una recta tangente horizontal en este punto). La gráfica de ƒ se muestra en la figura 3.3.