Ejercicios resuelos de lger Ejercicios de Meáics. Se N M. ) Clcul e pr que MN = NM. ) Clcul M M ) MN ; NM = = = ) M = I M = M M = I M = M... Se ve que si el eponene es pr es igul l ri unidd si es ipr es igul M por lo no M = M M = I.. Se se que. Eplicndo que propieddes de los deerinnes se uilin sin desrrollr clculr el vlor de. () () () () = () l Perur ª ª fil el deerinne ci de signo. () Los eleenos de l ª colun los descoponeos en dos sundos. () El prier deerinne iene dos coluns proporcionles por lo no es igul cero. () Los eleenos de l ª colun los descoponeos en dos sundos. () El prier deerinne iene dos coluns igules por lo no es igul cero el segundo deerinne iene l ª colun uliplicd por luego el deerinne qued uliplicdo por.
Ejercicios resuelos de lger. Sen ls rices: B I. ) Esudir si eise lgún vlor de R pr el cul se sisfg I B. ) Teniendo en cuen que / deerinr el vlor de / ) I I Igulndo por ejeplo los eleenos :. hor s copror que pr los resnes vlores de s rices son igules. ) / () () () / / / / / Propieddes plicds: () () () Erer el fcor coún ¼ de l ª fil de l ª fil. Se l ri ) Sin uilir l regl de Srrus clculr el deerinne de dich ri. [ punos] ) Esudir el rngo de en el cso en que =. [ puno] SOLUCIÓN. ) () () () () () Propieddes plicds: () () scr fcor coún en l prier colun en l prier fil. () F F F F () () Desrrollo por los eleenos de l prier colun
Ejercicios resuelos de lger ) Pr = l ri es: coo los res vecores fil son linelene dependienes el rngo de l ri es.. Sen ls rices = B = C = D = / donde son desconocidos. ) Clculr ls rices (B) + C D. ) Siendo que (B) + C = D plner un sise de ecuciones pr enconrrlos vlores de. ) Esudir l copiilidd del sise. Cuáns soluciones iene? c) Enconrr si es posile un solución. )(B) + C = ; / D ) Qued: c) Por Guss : ; Rngo = = rngo * < núero de incógnis el sise es copile indeerindo por lo no iene infinis soluciones. d) Soluciones: = = = = Pr cd vlor rel de se oiene un solución. Por ejeplo si = sle = = =.. Deuesr l iguldd siguiene: = ( c d e f d f )( ) ( ) = f e d c () f ) d)( )( ( = f e f d c e d c () () cd fil le resos l nerior () El deerinne de un ri ringulr es igul l produco de los eleenos de l digonl principl
Ejercicios resuelos de lger. Dds ls rices I ) Copror que de de ) Esudir si pr culquier ri M de orden se cuple que de c d M de M c) Enconrr l relción enre los eleenos de ls rices M cudrds de orden que sisfcen: de M I de M de I de de de ) Por or pre: Luego en efeco: de de c d c d c d c d c dc c d c dc c d ) M de M c c d d c dc c d c cd c cd cd cd d c cd d c de M d c de M d c c d luego en efeco: M I de M I d c d d c (*) c d c) de M d c de I de M de I d c (*) de M de M M Coo ls igulddes (*) hn de ser igules: d d c d c d d luego ls rices M que sisfcen l relción fijd son de l for: M c. Clculr el rngo de l i = uilindo dos éodos disinos. ) Por deerinnes: El rngo de un ri de diensión n es el orden del or enor no nulo. Coo l ri no es l ri cero su rngo es or o igul que. Pr deerinr si iene rngo se usc un enor (deerinne) de orden no nulo. Por ejeplo:
Ejercicios resuelos de lger Pr deerinr si iene rngo priendo del enor de orden disino de cero se esudirán odos los posiles enores de orden que lo conengn. Si odos ellos son nulos el rngo de es. Si por el conrrio lguno de ellos es disino de cero el rngo es. En ese cso: rngo pero. B) Por Guss: Rngo = rngo = rngo = rngo =. Hllr el rngo de l ri = según los vlores del práero. Indicr cundo eise l invers de (junio ) Coo l ri es cudrd clculos su deerinne: = + = = = Si de () rngo = Si = : = rngo = ( iene dos fils igules l ercer es proporcionl) Si = : = el rngo de es enor que res pues de () = coo rngo =. L ri iene invers cundo pues de ().. Hll el rngo de l ri = según los vlores del práero : Coo l ri no es l ri cero su rngo es or o igul que. Pr deerinr si iene rngo se usc un enor (deerinne) de orden no nulo. Por ejeplo: Pr deerinr si iene rngo priendo del enor de orden disino de cero se esudirán odos los posiles enores de orden que lo conengn. ( ) ( ) = = = ½
Ejercicios resuelos de lger ( ) ( ) = = /. os enores de orden se nuln l ve pr = por lo no: Si = rngo = si rngo = pues l enos uno de los enores de orden es disino de cero.. Esudi el rngo de l ri M según los vlores del práero. Eise lgún vlor de pr el que se rngo (M) =?. ) Por Guss Rngo M = rngo = rngo = rngo = = = Si = Rngo M = rngo = Si = Rngo M = rngo = Si rngo M =. No eise ningún vlor de pr el cul el rngo M = pues pr = = el rngo es dos pr el rngo es res. ) Por deerinnes: de M) de( Si de() por lo no rngo = Si = = de () = eise lgún enor de orden disino de cero por ejeplo por lo no rngo =. Si = = de () = eise lgún enor de orden disino de cero por ejeplo por lo no rngo =.. Hll el rngo de l siguiene ri según los vlores del práero ( punos). Tiene invers cundo =? ( punos).
Ejercicios resuelos de lger Rngo = rngo ; el rngo de l ri será igul l núero de fils no nuls. Si = l segund fil endré odos los eleenos igul. L ercer fil endré odos los eleenos nulos si = = ó =. Si - el rngo de será Si = rngo = rngo por lo no rngo = Si = rngo = rngo rngo = Tiene invers cundo =? Si = es disino de de por lo no rngo de es el deerinne de será disino de cero endrá invers. =.. Clculr l ri invers de =. ) Se clcul = ) Se clcul l ri djun de.. Enonces: dj.() = c) Se clcul l rspues de l djun: (dj.()) = d) L ri invers de es: dj.( ) = =
Ejercicios resuelos de lger. Hll un ri X que verifique X + B = C siendo: C B X + B = C X = C B - (X) = - (C B) ( - )X = - (C B) I X = - (C B) X = - (C B) Vos clculr l ri invers de - : = dj. () = [dj. ()] = - = C B = ; X = = / /. Hll los vlores del práero p pr los cules l ri = p p p no iene invers. Tiene invers pr p =?. En cso firivo clculrl. p p p = p p p p. Por lo no no iene invers pr p =. Pr los deás vlores h invers iene invers pr p =. =.. dj() = [dj. ()] = - =. Dds ls rices = B = C = D = hll: ) L ri invers de C. ) L ri X que verifique: B + CX = D.
Ejercicios resuelos de lger ) C = = l ri C iene invers dj ( C ) = ; (dj.( C )) = ) dj.(c C C = / / ) B + CX = D CX = D B C (CX) = C (D B) (C C)X = C (D B) X = C (D B) B = ; D B = = X = / / = Or for: B + CX = D + d c = d c d c = d c d c c c c d d d X =. Dds ls rices e I se pide: ) Hllr n pr odo enero posiivo n. [ puno] ) Clculr si eise l invers de l ri de l ri I +. [ punos] (junio ) ) = = = = En consecuenci pr n n es l ri nul. ) Coo = l ri no iene invers L ri I + = I = = iene invers. L ri jun dj (I + ) = [dj (I + )] = (I + ) = I I dj =
Ejercicios resuelos de lger. Hllr un ri X c de orden l que d siendo X B B X B X B X B Clculeos : dj () = Por no: dj () dj.( ) = X. ) Pror que c c c c ) Hllr l solución del sise de ecuciones de los vlores correspondienes cd un de ls incógnis es. que deás sisfce que l su () () c () ( ) ( ) (c ) (c ) c c c ) c c c () () c c c c Propieddes uilids: () C C C C () Desrrollo por los djunos de l prier fil () Scr fcor coún en s coluns () C C () Desrrollo por los djunos de l prier fil ) Se dee ñdir ls dos ecuciones dds l ecución : Pr resolverlo plicos l regl de Crer:
Ejercicios resuelos de lger Por no:. Resuelve el siguiene sise: Vos resolverlo por Guss: = =. + = = = ; + + = = = = =. =. Se consider el sise ) ( ) Discúse según los vlores del práero rel. ) Resuélvse pr =. ) Si rngo = = rngo * = núero de incógnis el sise es copile deerindo. Si = rngo = rngo * = el sise es incopile ) Pr = el sise será copile deerindo. = = + = = = = =. Esudir según los vlores del práero el sise. ) ( =. Vos clculr el rngo de : El rngo de es disino de cero pues. Menores de orden dos que conengn :. El rngo de será si = rngo = si.
Ejercicios resuelos de lger Si rngo = rngo = < núero de incógnis el sise es copile indeerindo. Si = rngo = Rngo = rngo el sise es incopile.. Discuir según los vlores de el sise:. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Hllreos los vlores de que nuln de () = = ) ( ) Si rngo = rngo = = núero de incógnis sise copile deerindo. ) Si = ( = rngo < ) rngo = * rngo =. Por lo no: rngo = rngo = sise incopile. c) Si = ( = rngo < ) rngo = * = rngo = rngo = rngo = < nº de incógnis sise copile indeerindo. d) Si = ( = rngo < ) rngo = * = rngo = rngo = rngo = sise incopile.
Ejercicios resuelos de lger. Discuir el siguiene sise de ecuciones lineles según los vlores del práero resolverlo: Si rngo = = núero de incógnis sise copile deerindo; solo die l solución rivil: = = =. Si =. enonces rngo = < nº de incógnis el sise es copile indeerindo.. Discuir el sise ) ( según los vlores del práero. Resolverlo en los csos en los que el sise se copile. Si rngo = rngo = (nº de incógnis) el sise será copile deerindo. Veos que vlores de nuln l deerinne de pr esos vlores no es posile que se deerindo. ) Si rngo = rngo = = núero de incógnis el sise es copile deerindo: ) Si = ( = rngo < ) = coo rngo = * rngo = Por lo no rngo = rngo = Sise Incopile. c) Si = ( = rngo < ) rngo =
Ejercicios resuelos de lger * coo l segund ercer fil son igules rngo = Rngo = = rngo < núero de incógnis el sise es copile indeerindo: Resolución del sise: Si = Si ( ) ; ; ( ) ( ). Un uoús de l Universidd rnspor en hor pun vijeros de res ipos: ) Vijeros que pgn el illee enero que vle p. ) Vijeros con ono de descueno del %. ) Esudines con ono de descueno del %. L recudción del uoús en ese vije fue de p. Clculr el núero de vijeros de cd clse siendo que el núero de esudines er el riple que el núero del reso de vijeros. Sen los vijeros que pgn illee copleo los que ienen un % de descueno los esudines que iene un % de descueno. Se cuple que: ( ) = = = =. Luis Jun Oscr son res igos. Luis le dice Jun: Si o e do l ercer pre del dinero que engo los res endreos l is cnidd. Clculr lo que iene cd uno de ellos siendo que enre los res reúnen euros. (Jun. ) Sen ls cniddes de dinero que ienen Luis Jun Oscr respecivene. Se cuple que: + + = (enre los res reúnen euros) (Si Luis d l ercer pre Jun los res ienen lo iso) Despejndo en l segund epresión se iene: ; Susiuendo en l prier ecución: = = =. Cundo el ño Beehoven escrie su prier Sinfoní su edd es die veces or que l del jovencio Frn Schuer. Ps el iepo es Schuer quien copone su célere Sinfoní Incople.
Ejercicios resuelos de lger Enonces l su de ls eddes de os úsicos es igul ños. Cinco ños después uere Beehoven en ese oeno Schuer iene los isos ños que ení Beehoven cundo copuso su prier Sinfoní. Deerinr el ño de nciieno de cd uno de esos dos coposiores (Jun. ) No: Solene se clificrán los resuldos oenidos eáicene no los derivdos de los conociienos hisórico-usicles del einndo. Llos l edd de Schuer en. Con los dos del prole se oiene l siguiene l: Se iene el sise = Luego en Schuer ení ños Beehoven. Hín ncido respecivene en en. u v w sen linelene. ) Deerin el vlor de pr que los vecores dependienes. Forn se de R pr =?. Y pr?. Ron l respues. ) Se l ri cus fils son los vecores u v w. Pr qué vlores de iene invers?. Clculrl si es posile pr =. ) Los vecores u v w Si = + =. los res vecores son linelene independienes. son linelene dependienes si rngou v w Pr = los vecores son linelene independienes coo diensión de R es vecores de R linelene independienes forn se forn se. Si los vecores son linelene dependienes no forn se ) Un ri cudrd iene invers si solo si su deerinne es disino de cero por lo no l ri endrá invers si. Pr = iene por lo no invers. = ; De () = dj () = = [dj ()] = <
Ejercicios resuelos de lger. ) Discue según los vlores del práero el sise de ecuciones lineles:. ) Resuelve el sise pr =.. ) = * Si rngo = rngo = (nº de incógnis) el sise será copile deerindo. Veos qué vlores de nuln l deerinne de pr esos vlores no es posile que se deerindo. ; = Si rngo = rngo = = núero de incógnis el sise es copile deerindo: Si = ( = rngo < ) = coo rngo = * ; rngo = Por lo no rngo = rngo = Sise Incopile. Si = ( = rngo < ) = rngo = * coo ercer colun es nul rngo = Rngo = = rngo < núero de incógnis el sise es copile indeerindo. ) Resolución del sise: Si = ( ) el sise es copile deerindo. ; ; / /
Ejercicios resuelos de lger. Consider ls rices: = X = O = c) Hll el vlor de R pr el que l ri no iene invers. d) Resuelve l ecución X = O pr = (Ron l respues) ) L ri no endrá invers cundo = = Por lo no no iene invers si = ) El sise es hoogéneo: Rngo <. = = rngo = < núero de incógnis Podeos eliinr l úli ecución que será coinción linel de ls ors dos. El sise quedrá de l for.. Siendo: B C ) Clcul l ri invers de ) Hll un ri X que verifique X + B = C. ) endrá invers si de () iene invers. (dj ()) = ) X + B = C X = C B (X) = - (C B) ( - ) X = - (C B) I X = - (C B) X = - (C B) =
Ejercicios resuelos de lger. Considerr l ri = siendo un práero rel. Se pide: ) Discuir si eise solución según los vlores del práero del sise de ecuciones lineles:. En cso firivo resolver el sise. ) Pr = considerr el sise de ecuciones lineles:. Discuir si eise solución. ) Uilireos el éodo de Guss pr discuir resolver el sise hoogéneo de ecuciones lineles. = = Si rngo = = Rngo * = núero de incógnis el sise es copile deerindo. L solución es: = = =. Si = rngo = = Rngo * < núero de incógnis el sise es copile indeerindo (iene infinis soluciones). Soluciones: = = + + = = = ) Rngo = Rngo * = el sise es incopile.. Discue el siguiene sise resuélvelo cundo se posile: Uilireos el éodo de Guss pr discuir resolver el sise de ecuciones lineles. Inercios l prier con l segund ecución:
Ejercicios resuelos de lger ) ª( ª ) ª( ª ª ª = = Si rngo = Rngo * = el sise es incopile Si = rngo = = Rngo * < núero de incógnis el sise es copile indeerindo (iene infinis soluciones). = = + = + =. Se l ri resolver por el éodo de Guss: ) El sise de ecuciones lineles hoogéneo cu ri de coeficienes es. ) El sise de ecuciones lineles hoogéneo cu ri de coeficienes es. ) = ; =. El sise que eneos que resolver es: ; ; ; el rngo de l ri de los coeficienes es < núero de incógnis el sise es copile indeerindo. = = + + = = = = ) =.El sise que eneos que resolver es: ; el rngo de l ri de los coeficienes es = núero de incógnis el sise es copile deerindo: = =