Cpít ulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Dfiniions Pvis: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llmo tmién n posiión nóni o stán. Es quél ángulo tigonométio uo véti oini on l oign l sistm tsino su lo iniil oini on l j "" positivo. Cuno un ángulo, stá n posiión noml, l lo finl pu st n uno los unts, n uo so s i qu ést ptn tl unt. Lo Finl Véti Lo Iniil (-) Véti Lo Iniil Lo Finl Dl gáfio : * : s un ángulo n posiión noml * IIC ; 0 * : s un ángulo n posiión noml * IIIC ; 0 Dfiniión ls Rzons Tigonométis: P tmin l vlo ls R.T. un ángulo n posiión noml, tommos un punto P( 0 ; 0 ) lo finl. ptnint su P( ; ) o o ' o o S fin: Sn o Cos o Tn o o Cot o o S o Cs o * * o o ' : s nomin ángulo fni
Signo ls R.T. n los unts Dpnino l unt l qu ptnz un ángulo n posiión noml, sus R.T. pun s positivs o ngtivs. Es sí omo s otin l uo junto. Sno Cosnt Tngnt Cotngnt Tos son positivs Cosno Snt Rzons Tigonométis Ángulos Cuntls ins (gos) Sn Cos Tn Cot S Cs 0 0 0 0 N. D. N. D. 90º 0 N. D. 0 N. D. 80º 0-0 N. D. - N. D. 70º - 0 N. D. 0 N. D. - Not: N.D. no finio Ángulos Cotminls: Son qullos ángulos tigonométios qu posn l mismo véti, l mismo lo iniil finl. Ejmplo: i) Lo ii) iniil Lo finl Véti P( ; ) o o S tin qu : * : son otminls * : son otminls (stán n P. N.) Popis: Si son otminls s umpl qu: I. II. - = 0ºn ; n Z R.T. () = R.T.( )
EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Dl siguint gáfio, lul: E 0Sn Cot ) 0 ) ) ) ) (;-) 0. Po l punto P( ; ) ps l lo finl un ángulo n posiión noml u mi s " ". Clul: Cos. ) -/ ) -/ ) -/ ) -/ ) -/ 07. Clul: ( ) S0º ( ) Cos80 E Cs 70 ) ) ) ) - ) - 08. Si: IVC Cs Sn 0 Clul: E = Sn + Cos ) ) / ) / ) / ) / 09. Si: Cos 0, IIC Clul: E Tn S ) ) ) ) ) 0. Si: Sn IIIC. Clul: E (Tn S) 0. Si: f()=sn+cos+tn. Clul: f( ) ) - ) - ) - ) ) 0. Ini l signo psión: I. Sn00ºTn0º II. Cos0ºTn00º III. Sn0ºCos0º ) +, +, + ),, ), +, + ) +,, ) +,, + 0. A qué unt ptn " ", si: Tn 0 Cos 0. ) IC ) II ) IIIC ) IV ) IC IIC 0. D l figu, lul: " Tn" ) 0 ) ) ) - ) -.Un íz l uión: 0 s un vlo "Tn ", si: IIIC. Clul: E 0(Sn Cos) ) - ) - ) - ) - ) -. Si: f()=sn+cos+tn. Clul: f( ) ) 0 ) ) ) - ) -. Si: son mis ángulos otminls s umpl qu: Tn <0 Cos =-Cos. A qué unt ptn " "? (-;) 7 ) IC ) IIC ) IIIC ) IVC ) IC IIC ) ) - ) - ) - ) -
. Clul: E Sn Tn, pti l figu most: (;7) ) -/7 ) -/7 ) -/7 ) -/7 ) -7/ 0. Dl gáfio, lul: " Tn ". (-;-8) ) ) ) ) 7 ) 9. Po l punto P( ; 7 ) ps po l finl un ángulo n posiión noml u mi s " ". Clul: 7 Cs. ) ) ) ) - ) -. Clul: E Sn Cos ) 0 ) ) ) ) 7. Si: IV Tn( Cos), tmin l signo : E Sn Cos ) + ) - ) + ó - ) - + ) Tos son ots 8. Con u l gáfio mosto, lul: Cos( ) Sn( ) E Sn( ) ) / ) / ) / ) / ) /. D uo l gáfio lul: (;-) K Cos Cos (-;7) (-;-) ) ) ) ) ). Si l punto Q(8; ) ptn l lo finl un ángulo nónino " ". Clul: R Cs Cot ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0,. Simplifi: ( ) Sn ( ) Cos L Sn Cos ) / ) / ) / ) / ) / ) ) ) ) ) 9. D l figu, lul: "Tn " 7º. Sñl los signos : M Sn0º Cos0º Tn00º Tn0º R Tn0º Cos7º Tnº Cos8º Sn8º ) () No s pu pis. ) ; ) ; () ) () ; () ) () ;
. Sñl Vo (V) o Flso (F) sgún ospon n: I. Si: Sn 0 Cos 0, ntons IV. II. Si: Tn 0 S 0, ntons IIIC. III. Si: Cs 0 Cot 0, ntons IIC. ) VVF ) VVV ) VFV ) FFV ) FVV. Sino qu: Sn 0 Tn S 0 A qué unt ptn l ángulo nónio? ) IC ) IIC ) IIIC ) IVC ) No s pu pis. 7. Sñl l unt l qu ptn " " si: Cos Tn ) IC ) IIC ) IIIC ) IVC ) No s pu pis 8. Sñl Vo (V) o Flso, sgún ospon n: I. Si: 90º ; 80º, ntons IIC. II. Si: IIC, ntons 90º ; 80º. III. Si: IIIC, s positivo mno qu un vult, ntons 80º ; 70º. ) VVF ) VFV ) VFF ) FVV ) VVV 9. Sino qu: IIC Clul: ) ) Tn Q Sn Cos ) ) ) 0. Si l lo finl un ángulo nónio " " ps po los puntos P(m+n; n) Q(n;mn), Clul: K Cot Tn ) ) ) ) 8 ) ) ) () ) o () ) () ) No s pu pis.. Dl gáfio, lul : E Tn º ) 0 ) ) ) ). Tomno, sino qu: Ctg = - 0, qu IVC. Cuál s l vlo Cs? ), ), ) 0,7 ),8 ),8. Los unts n los qu l Cosno Tngnt tinn l mismo signo son: ) º º ) º º ) º º ) º º ) º º. S tinn os ángulos otminls tls qu l mo s l mno omo s. Su sum stá ompni nt 80º 00º. Cuál s l mi l mo? ) 0º ) 70º ) 80º ) 0º ) 000º. Sino: Sn Cos Cos Clul: 8 70 0 K Sn Cos ) ) ) ) ) 7. El vlo numéio l psión: Sn80º+Cos80º+Sn70º+Cos70º- S80º-Cs70º s: ) ) ) ) ) 8. Sino qu " " s un ángulo positivo mno qu un vult ptnint l IIIC sñl l signo : Q Sn Cos Tn
8. Ini los signos ls siguints psions n l on F. G. H. S8ºTn 8º Sn0º F Cs º Ctg8º Sn 0º Ctg º Cosº G Cs9ºTnº H 9. Si: Sn9º Ctg0º Cs8º Tgº S98º ), +, ),, + ),, ) +,, ) +, +, + f( ) Cos() Sn () Cos Clul: ) ) ) ) f f ) 0. Dtmin l signo S n uno los unts (I, II, III, IV). S = Ctg + Sn - Cs I II III IV ) + + + + ) + + + ) + + ) + + ) + +. Dtmin l signo : Sn QS QCtg Q ) ; si Q ptn l IC. ) + ; si Q ptn l IIC. ) + ; si Q ptn l IIIC. ) + ; si Q ptn l IVC. ) ; si Q ptn l IIC.. Do: p q Cos ; p > q > 0 p q Clul Tg, on n l sguno unt. pq ) q p pq ) q p pq pq ) ) q p q p q p ) q p. Sino qu: CosQ 70º < Q < 0º Clul l vlo l psión: SQ CsQ CtgQ ) 0, ) 0,0 ),0 ),00 ),0. Si s un ángulo l t unt, tl qu: Ctg 8 Clul: ( 8S) ) 8 ) ) 8 ) 8 8 ). Si l ángulo s positivo, ptn l uto unt s tl qu: 0. Entons, hll l signo ls siguints psions tigonométis. I. II. III. Tn Sn Co s Cot S Cos Sn Tn S 8 ) ) () () () ) () ) () () () ) () (). Hll l signo ls psions tigonométis, n l on o: Sn Cos ; Sn Cot ; Sn 0 Cot 7 0 ) () ) () () ) () ) () () ) ()
7. Si s un ángulo n l pimo unt Sn 0,. Cuál s l vlo Cs Ctg? ) ) 9 9 ) ) 9 9 ). Ini l ltntiv ot p l signo ls siguints psions: I. Sn(º) Cos(º) II. Sn Cos III. Tn S(º ) 8. Si Tg,, sino un ángulo n l III unt, l vlo l psión: ) ) ) ) M (S Cs) s : ) 9. Clul l Cosno l ángulo l sguno unt, tl qu ) ) 0. Si ) ) Sn. ) Tn stá n l sguno unt. Hll : (Cos Sn) K Ctg ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 0 0. En l figu junt, hll: 0 0 V Sn Cos Tn - 7 0 ) + ; ; + ) + ; + ; ) ; ; + ) + ; ; ) + ; + ; +. S un ángulo l t unt. Ini l ltntiv ot l simplifi: E Sn Cos ) Sn ) Sn ) Cos ) Sn ) Cos. Si: Sn = 0,, uál s l vlo Cos, sino qu s un ángulo l sguno unt? ) Cos = 0,8 ) Cos = 0, ) Cos = 0,7 ) Cos = 0,9 ) Cos = 0,8. Si " " " " son ángulos untls, positivos mnos qu un vult, tls qu: Cot Cos Clul: Cos Sn K Sn Cos ) ) ) ) ). Si son ángulos positivos, qu no son guos; Cos 0 ; Tn 0 ; ( 0º ) Sn: = Sn( ) = Sn = Sn Entons, son positivs. ) ) 9 7 99 ) ). ). ),. ). ). ) 9 7 ) 7
7. Si: Tn Clul l vlo : E Sn Cos ) ) ) ) ) ; IC 8. Hll toos los vlos qu pu tom l ángulo l pim unt, uo ángulo ol stá n l sguno unt, su ángulo tipl stá n l t unt su uáupl n l uto unt; po infio 9. Si: IIC Clul: Cos Sn (Sn) Tg Sn ) ) ) 9 ) ) 0. S tin os ángulos qu s ifnin n un múltiplo 0º. S s qu l uáupl l mno s l sum l ángulo mno más l tipl l mo los ángulos, omo s. Hll l mno los ángulos, si s s qu stá ompnio nt 080º 0º. ) 80º ) 0º ) 00º ) 0º ) 0º ) ) ) Fltn tos ) ) 8 8
9 Clvs Clvs 0. 0. 0. 0. 0. 0. 07. 08. 09. 0....... 7. 8. 9. 0....... 7. 8. 9. 0....... 7. 8. 9. 0....... 7. 8. 9. 0....... 7. 8. 9. 0.