Educgu.com NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIÓN Se llm númeo complejo un p odendo de númeos eles (,b). Los númeos eles y b se llmn componentes del númeo complejo. A l componente se le desgn pte el y l componente b se le desgn pte mgn. El númeo complejo se nc como tl po l necesdd que tenemos de ñd cetos númeos los y conocdos. Est necesdd es l de consde que como no exste l íz cudd de un númeo negtvo tenemos que busc un fom de expes dcho númeo. Po este motvo l íz cudd de -1 se le llm. AFIJO Y MÓDULO DE UN COMPLEJO Escogendo unos ejes ctesnos vmos epesent un númeo complejo (,b) como un vecto del plno, cuyo ogen se el punto (0,0), el ogen de coodends, y cuyo extemo se el punto N de coodends (,b). El vecto sí epesentdo defne un númeo complejo, y dch epesentcón se le llm fjo de un númeo complejo. b φ (,b) (0,0) Como se ve en el dbujo es el módulo del vecto. Aplcndo en el vecto epesentdo en l fgu l descomposcón del vecto tendemos:.cosφ b.senφ NÚMEROS COMPLEJOS (Pl Folgues Russell) 1
Educgu.com Est descomposcón ndc el pso de coodends ctesns poles y vceves. tnϕ + b b ϕ ctn b El númeo complejo z se puede po tnto expes de ls sguentes foms: Ctesn: (, b) Bnómc: + b. Pol: φ Tgonométc: (cos φ+ sen φ) Vmos ps fom pol el númeo complejo -. P ello lo pmeo clculímos el módulo del númeo complejo, y después el gumento, tenendo en cuent p el gumento el cudnte en el que se encuent el númeo complejo que estemos ttndo. + ( ) 18 b ϕ ctg ctg 15º Como se puede ve l ho de busc el gumento (ángulo) hy que tene en cuent el cudnte donde est studo el númeo complejo, y que l busc el cocente b/ en l clculdo, est no tene en cuent todos los cudntes, es dec s d negtvo l clculdo supone que es del º cudnte unque tmbén pued se del º, y s d postvo tene en cuent que es del 1 e cudnte unque tmbén pued se del º. Po tnto p evt eoes podemos hce el cocente b/ como s no tuve sgno (unque s lo teng), clcul el ángulo que nos dí en el pme cudnte y después pslo l cudnte coespondente, tenendo en cuent el sgno de ls ptes eles e mgns. P sbe el cudnte l que petenece un númeo complejo se tene en cuent su fjo (epesentcón gáfc): 1 e cudnte.- pte el postv, pte mgn postv. º cudnte.- pte el negtv, pte mgn postv. e cudnte.- pte el negtv, pte mgn negtv. º cudnte.- pte el postv, pte mgn negtv. NÚMEROS COMPLEJOS (Pl Folgues Russell)
Educgu.com OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA SUMA Y RESTA P sum y est númeos complejos de fom bnómc bst con sum o est l pte el con l el y l mgn con l mgn. (+5) + (-) [(+) + (5+(-))] 7+ (+5) - (-) [(-) + (5-(-))] -1+7 MULTIPLICACIÓN P multplc númeos complejos de fom bnómc se tbj como p multplc culque bnomo. (+5). (-).+.(-)+(5).+(5).(-) 6-+15-10 6-+15-10(-1) 6-+15+1016+11 Como se puede compob se susttuye l expesón po -1 y que 1. DIVISIÓN P dvd númeos complejos de l fom bnómc se multplcn numedo y denomndo po el conjugdo del denomndo. + 5 ( + 5) ( + ) + + 5 ( )( + ) ( ) + 19 19 + 1 1 1 + 5 6+ + 15 + 10 9 6+ 19 + 9 10 ( 1) ( 1) 6+ 19 10 9+ POTENCIACIÓN P hce l potenc de un númeo complejo tenemos que consde que es multplc lo msmo vs veces (según cul se el exponente), po ese motvo cundo el númeo complejo está elevdo l cuddo o l cubo podemos esolvelo como el cuddo o el cubo de un bnomo, peo cundo es un potenc elevd solo seí elzble utlzndo el bnomo de Newton. Como esto esult muy tbjoso, es pefeble esolve est potenc psndo pevmente fom pol, esto nos smplfcá mucho el tbjo. Antes de explc como se elz l potenccón de númeos complejos vmos ve ls potencs del númeo complejo. NÚMEROS COMPLEJOS (Pl Folgues Russell)
Educgu.com 5 n 1... 1. c+ ( 1 ). ( 1)( 1). 1.... 10 15.+ 1.1 1 c... 1 1. ( 1). 1. ( ) Donde c es el cocente y el esto. RADICACIÓN L dccón de fom bnómc es muy complcd y equee muchs opecones, de tods foms vmos hce un ejemplo de cómo se podí esolve. 5 + b elevmos los dos membos l cuddo. ( 5 ) ( + b) 5 5 5 5 + b + + b + b + b + b ( b) ( b ) + b 5 b b Re solvemos el sstem. S,9 b 0, S,9 b 0, ( 1) Igulmos l pte el con l el y l mgn con l mgn,9 + 0, Po tn to l íz tendá dos solucones :,9 0, Como se puede ve es muy lbooso ún tenendo en cuent que hcmos l íz más sencll, que es l cudd, po ese motvo se soluconán ls dccones con l fom pol. NÚMEROS COMPLEJOS (Pl Folgues Russell)
Educgu.com OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR SUMA Y RESTA Nunc se hcen en fom pol. MULTIPLICACIÓN P multplc númeos complejos en fom pol, multplcmos los módulos y summos los gumentos. ϕ ϑ ' DIVISIÓN ( ' ) ϕ +ϑ ( 5) 75 0 55 0+ 5 15 P dvd númeos complejos en fom pol, dvdmos los módulos y estmos los gumentos. 5 0 5 5 0 5 5 15 POTENCIACIÓN L potenccón no dej de se un multplccón sucesv, po tnto elevmos el módulo l potenc y multplcmos el gumento po dch potenc. 8 8 8 ( 50 ) () 5 () 5 90650 0 8 0 NÚMEROS COMPLEJOS (Pl Folgues Russell) 5