UNIDAD III NÚMEROS FRACCIONARIOS

UNIDAD III NÚMEROS FRACCIONARIOS COMPETENCIAS E INDICADORES DE DESEMPEÑO Identifica los números fraccionarios y realiza operaciones con ellos. Identifica los porcentajes, decimales y fraccionarios y realiza conversiones. Un número fraccionario es el que sirve para contar partes o fragmentos iguales en que se ha dividido la unidad. Se escribe utilizando dos números naturales, llamados numerador y denominador, separamos con una raya horizontal. El numerador indica las partes que contamos. El denominador indica el nombre de las partes iguales en que se divide la unidad. El número fraccionario y la unidad Los números fraccionarios cuyo numerador es menor que el denominador expresan cantidades menores que la unidad. Los que tienen el numerador mayor que el denominador expresan cantidades mayores que la unidad. Cuando el numerador y el denominador son iguales, el número fraccionario representa la unidad. 1

Fraccionarios menores que el denominador Ejemplos: 1/4 de leche = una parte de cuatro partes de leche. 2/3 de refresco = dos partes de tres partes de refresco. 3/5 = tres partes de cinco. 1/6 de harina y así sucesivamente. En estos ejemplos he tenido que poner el símbolo ( / ) que normalmente se representa con ( ) que sería en horizontal. Fraccionarios iguales que el denominador Ejemplos: 1/1 de leche = una parte de una parte de leche. 2/2 de refresco = dos partes de dos partes de refresco. 3/3 = tres partes de tres. 4/4 de harina = cuatro partes de cuatro de harina. Fraccionarios mayores que el denominador Ejemplos: 3/2 de leche = tres partes de dos partes de leche. 4/3 de refresco = cuatro partes de tres de refresco. 5/4 = cinco partes de cuatro partes. 2/1 = dos partes de una parte. 2

Suma de Fracciones A Suma y resta de fracciones Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción. Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman) b d bd (se multiplican los denominadores) Ejemplo: El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo? 1 1 1(3) 4(1) 3 + 4 7 + = + = = 4 3 (4) (3) 12 12 Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo. A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo? 3

Solución: Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones: a. Si a = c entonces ad = cb b d b. Si a < c entonces ad < cb b d c. Si a > c entonces ad > cb b d Volviendo a Cheo, 7/12 es menor o mayor que 1/2? 7? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1 12 2 12 2 De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo. Veamos otro ejemplo: A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. En total qué parte de la herencia la tocó a Maria? Solución 1 2 1(5) 3(2) 5 + 6 11 + = + = = 3 5 15 15 15 15 A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre. Suma de Fracciones B Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogéneas (1/4, 3/4, 5/4) 4

2. Fracciones heterogéneas (1/3, 2/5, 3/7) Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Ejemplo de suma de fracciones homogéneas Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual. 2 3 5 + = 7 7 7 Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas 1 1 + 4 2 Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes. Para sumar fracciones heterogéneas 1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador. 1 1 + 4 2 5

Paso 1: 1 1 + 4 2 1 + 1 = <Se multiplicaron los denominadores 4 2 = 8> 4 2 8 Paso 2 : 1 + 1 = (2 1) + (4 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8 Paso 3: 2 + 4 = 6 <Se suman los productos para obtener el numerador> 8 8 Paso 4: 6 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible> 8 2 4 Resta de Fracciones En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar. Ejemplo 1: Resta de Fracciones Homogéneas Ejemplo 2: 5 9 4 + = 9 9 9 2 1 (2 x 2) (3 x 1) 4-3 1 - = - = = 3 2 6 6 6 6 6

Multiplicación y División de Fracciones En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma: Ejemplo: Factorización Prima y simplificación División de Fracciones 2 3 6 x = 3 4 12 En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco. Ejemplo: Ejemplo: 3 4 3 3 9 = x = 5 3 5 4 20 3 1 3 2 6 = x = 7 2 7 1 7 7

NÚMEROS DECIMALES Decimales Diezmilésimos Un decimal es un número fraccionario y se indica por medio de dígitos después de un punto llamado punto decimal. Los décimos tienen un lugar después del punto decimal. El decimal 0.8 se dice ocho décimos o cero punto ocho. Es igual a la fracción 8/10. Los centésimos tienen dos dígitos después del punto decimal. El decimal 0.36 se dice treinta y seis centésimos o cero punto treinta y seis. Es igual a la fracción 36/100. Los milésimos siguen un patrón similar. Tienen tres dígitos después del punto decimal. El decimal 0.749 se dice setecientos cuarenta y nueve milésimos o cero punto setecientos cuarenta y nueve. Los diezmilésimos tienen cuatro dígitos después del punto decimal. Puede haber ceros después del punto decimal. El decimal 0.064 se dice sesenta y cuatro milésimos o cero punto cero sesenta y cuatro. Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o bien en notación decimal. Ejemplo: 3 / 10 = 0,3 Fracción Notación decimal Valores posicionales de los decimales Los números decimales tales como 0.6495, tienen cuatro dígitos después del punto decimal. Cada dígito tiene un valor posicional diferente. El primer dígito después del punto decimal se llama décimo. Hay seis décimos en el número 0.6495. 8

El segundo dígito indica cuantos centésimos hay en el número. El número 0.6495 tiene cuatro centésimos. El tercer dígito es el lugar de los milésimos. El cuarto dígito es el lugar de los diezmilésimos, que en el ejemplo es cinco. Por lo tanto, hay seis décimos, cuatro centésimos, nueve milésimos, y cinco diezmilésimos en el número 0.6495. Redondear decimales al décimo más próximo Redondear decimales es muy similar a redondear otros números. Si los centésimos y milésimos son iguales o menores a cuarenta y nueve, se dejan de lado y el lugar de los décimos no cambia. Por ejemplo, redondear 0.843 al décimo más cercano sería 0.8. Si el lugar de los centésimos y los milésimos es cincuenta o más, el lugar de los décimos se incrementa en uno. El decimal 0.866 redondeado al décimo más próximo es 0.9 Redondear decimales al centésimo más cercano Redondear decimales es muy similar a redondear otros números. Si el lugar de los milésimos de un decimal es cuatro o menos, se deja de lado y el lugar de los centésimos no cambia. Al redondear 0.843 al centésimo más cercano nos dará 0.84 9

Si el lugar de los milésimos es entre cinco y nueve, el lugar de los centésimos se aumenta en uno. El decimal 0.846 redondeado al centésimo más próximo sería 0.85. Comparar números decimales Si hay dos números decimales podemos compararlos. Un número es o mayor o menor o igual al otro número. OBSERVA Y ANALIZA Comparar 0.7 y 0.07 es más claro que comparar 7/10 con 7/100. La fracción 7/10 es equivalente a 70/100 que es a simple vista más grande que 7/100. Un número decimal es un número fraccionario. Por lo tanto cuando se comparan decimales comienza con los décimos y luego con los centésimos, etc. Si un decimal tiene un valor mayor en los décimos entonces este es mayor que un decimal con un valor inferior en los décimos. Si los décimos son iguales, compara los centésimos, luego los milésimos, etc. Hasta que un decimal sea más grande o no haya más lugares para comparar. Si todos los valores posicionales decimales son iguales entonces los números decimales son iguales. 10

Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Adición y sustracción: Para sumar o restar números decimales escritos con notación decimal se siguen los siguientes pasos: 1. Se anotan los números en forma vertical, es decir, se anotan hacia abajo, de modo que las comas queden en la misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba. 2. Suma cada columna comenzando por la de la derecha. Ejemplo: Suma: 3.721 + 2.08 3,721 + 2,08 2. Si los números que se ordenaron no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se agregan a la derecha todos los ceros necesarios para que tengan igual cantidad. 3, 721 + 2, 080 3. Se suma o resta en forma normal, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega al resultado. 3, 721 2, 867 + 2, 080 1, 344 5, 801 1, 523 11

Restar decimales Como restar decimales que tienen distintas cantidades de lugares decimales Escribe el número del que se va a restar. Escribe el número que se va a restar debajo del primer número de manera tal que los puntos decimales de ambos números queden alineados. Agrega ceros hacia la derecha del punto decimal del número con menor cantidad de decimales de tal manera que ambos números tengan la misma cantidad de decimales. Resta el número inferior del superior. Ejemplo: Resta: 11.48-3.2756 11.4800 3.2756 8.2044 Multiplicación de un número decimal por un número natural: los pasos son los siguientes 1. Se resuelve la multiplicación sin considerar la coma Ejemplo: 1,322 x 2 2644 3. Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después de la coma (hacia la derecha) están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca la coma. 12

Ejemplo: 1,322 x 2 2,644 Los espacios decimales ocupados son tres (los espacios decimales son los números que están detrás de la coma). En el resultado, se cuentan tres espacios desde el 4 al 6, y se coloca la coma. Multiplicar milésimos por décimos Como multiplicar un decimal de tres dígitos por un decimal de un dígito. Veamos: 0.527 x 0.7 Coloca un decimal sobre el otro de tal manera que queden alineados por la derecha. Traza una línea debajo del número inferior. Momentáneamente deja de lado los puntos decimales y multiplica los números como si multiplicaras un número de tres dígitos por un número de un dígito. 0. 5 2 7 0. 7 Multiplica los dos números de la derecha. (7 x 7 = 49). Este número es mayor que 10 entonces coloca un cuatro sobre la columna del medio y coloca el nueve debajo de la línea en la columna de la derecha. 4 0. 5 2 7 0. 7 9 13

Multiplica el dígito del centro del número superior (2) por el dígito de la derecha del número inferior (7). La respuesta (2 x 7=14) se suma al cuatro colocado sobre la columna del centro, esto nos da como resultado 18. El valor posicional de las unidades (0) de 18 se coloca debajo de la línea y el valor posicional de las decenas (1) del 18 se coloca sobre el cinco. 1 4 0. 5 2 7 0. 7 8 9 El cinco del número superior se multiplica por el siete del multiplicador (5 x 7=35). El dos que nos habíamos llevado antes se suma y se coloca 37 debajo de la línea. Al comienzo no tuvimos en cuenta los lugares decimales. Ahora tenemos que contar los lugares decimales y colocar el punto decimal en el lugar correcto. Tenemos tres lugares decimales en 0.527 y uno en el decimal 0.7 entonces movemos el lugar decimal cuatro lugares hacia la izquierda, el resultado final es 0.3689. Multiplicar milésimos por milésimos 1 4 0. 5 2 7 0. 7 0. 3 6 8 9 Multiplicar dos decimales de tres dígitos es muy similar a los procedimientos anteriores. Coloca un decimal arriba del otro de manera que queden alineados por la derecha. Traza una línea debajo del número inferior. Momentáneamente no tengas en cuenta los puntos decimales y multiplica los números como si multiplicaras un número de tres dígitos por un número de tres dígitos. Al comienzo dejamos de lado los puntos decimales. En la respuesta contamos los lugares decimales y movimos el lugar decimal a su lugar correcto. Tenemos tres lugares decimales en ambos números entonces movemos el decimal seis lugares hacia la derecha para obtener un resultado final. 14

División de decimales por números enteros El procedimiento para dividir decimales es muy similar a la división de números enteros. Como dividir un número decimal de cuatro dígitos por un número de dos dígitos. Veamos: 0.4569 12 Coloca el divisor (12) antes del signo divisor y coloca el dividendo (0.4569) debajo del signo. 1 7 ) 0. 4 5 6 9 Procede con la división como lo harías normalmente excepto que tienes que poner el punto decimal en el resultado o cociente exactamente sobre el lugar en donde tiene lugar en el dividendo. 0. 2 6 8 7 1 7 ) 0. 4 5 6 9 Resto 7 Dividir decimales por decimales El procedimiento para dividir decimales es muy similar a la división de números enteros. Convierte el divisor en un número entero multiplicando ambos el divisor y el dividendo por el mismo número (tales como 10, 100, 1000, 10000, etc.). Una forma fácil de hacer esto es moviendo el punto decimal hacia el extremo de la derecha del divisor y moviendo el punto decimal del dividendo la misma cantidad de lugares. Coloca el divisor antes del signo divisor y coloca el dividendo debajo. 15

Multiplica ambos el divisor y el dividendo por 100 de manera tal que divisor ya no sea un decimal sino un número entero. En otras palabras mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha en ambos el divisor y el dividendo. Procede con la división como lo harías normalmente excepto que no olvides poner el punto decimal en el resultado o cociente exactamente donde tiene lugar en el dividendo. Por ejemplo: PORCENTAJES, FRACCIONES Y DECIMALES Encontrar el porcentaje de un número Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos: Multiplica el número por el porcentaje (ej. 87 x 25 = 2175) Divide el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda) (ej. 2175/100=21.75) Redondea a la precisión deseada (ej. 21.75 redondeado al número entero más próximo=22) Determinar un porcentaje Observa que fácil es: 58 que porcentaje es de 97? Divide el primer número por el Segundo 58 97 = 0.5979 Multiplica el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) 0.5979*100 = 59.79 59.79 redondeado al número entero más próximo = 60 Redondea con la precisión deseada Termina tu respuesta con el signo % ej. 58 es el 60% de 97 16

Relación entre porcentaje y fraccionarios Convertir una fracción a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir una fracción a un porcentaje. Observa que fácil es: Convierte 2/8 a un porcentaje. Divide el numerador de la fracción por el denominador 2 8 = 0.25 Multiplica por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) 0.25*100=25 Redondea con la precisión deseada Termina tu respuesta con el signo %. 25% 17

Convertir un porcentaje a una fracción Sigue los siguientes pasos para convertir un porcentaje a una fracción: Observa que fácil es:. Convierte 97% a una fracción Elimina el signo porcentual Haz una fracción con el porcentaje como el numerador y 100 como el denominador. 97/100 De ser necesario reduce la fracción Convertir un decimal a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje: Por ejemplo: Convierte 0.56 a un porcentaje. Multiplica el decimal por 100 (0.56 * 100 = 56) Agrega el signo porcentual a tu respuesta (56%) Convertir un porcentaje a un decimal Por ejemplo: Convierte 78% a un decimal. Divide el porcentaje por 100 (ej. 78 100 = 0.78) Convertir una fracción a un decimal 18

Sigue los siguientes pasos para convertir una fracción a un decimal: Por ejemplo: Convierte 7/12 a un decimal. Divide el numerador de la fracción por el denominador (7 12= 0.583333) Redondea el resultado a la precisión deseada. Fracciones y decimales equivalentes Los decimales son un tipo de número fraccionario. El decimal 0.7 representa la fracción 7/10. El decimal 0.75 representa la fracción 75/100. Las fracciones decimales siempre tienen un denominador basado en una potencia de 10. Sabemos que 5/10 es equivalente a ½ ya que ½ por 5/5 es 5/10. Por lo tanto el decimal 0.5 es equivalente a ½ o 2/4, etc. Algunos decimales equivalentes y fracciones comunes: 0.1 y 1/10 0.2 y 1/5 0.5 y 1/2 0.25 y 1/4 0.50 y 1/2 0.75 y 3/4 1.0 y 1/1 o 2/2 o 1 Comparar decimales y fracciones Un número decimal y un número fraccionario se pueden comparar. Un número es o más grande, o menor que o igual al otro número. Al comparar números fraccionarios con números decimales, convierte la fracción a un número decimal por medio de la división y luego compara los números decimales. Para comparar números decimales, comienza con décimos y luego centésimos, etc. Si un decimal tiene un número más alto en el lugar de los décimos, entonces es más grande y el decimal con menos décimos es más pequeño. Si los décimos son iguales, compara los centésimos, luego los milésimos, etc. hasta que un decimal sea más grande o que no haya más lugares para comparar. Es muy fácil estimar un decimal desde una fracción. Si este decimal estimado es obviamente mucho más grande o más pequeño que el decimal comparado, entonces no es necesario convertir la fracción a decimal. 19

Notación de mayor a menor: Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel que tenga el primer número mayor después de la coma; y si este es igual, será mayor aquel que tenga el siguiente número más grande. Ordenando de mayor a menor: 4,90000000123 4,78000008 4,69 4,67 4,64759 4,5678 4,45 4,32 4,0000786789 4,0000000000000234 Ver: Operaciones con decimales y Convertir Decimal a fracción 20