Materia: Matemática de 5to Tema: Factorización y Resolución de ecuaciones 1) Factorización Marco Teórico Decimos que un polinomio está factorizado completamente cuando no podemos factorizarlo más. He aquí algunas sugerencias que se deben seguir para asegurarse de que se toma por completo: Factorizar primero todos los monomios comunes. Identificar los productos especiales, tales como diferencia de cuadrados o el cuadrado de un binomio. Factorizar de acuerdo con fórmulas. Si no hay productos especiales, factorizar usando otros métodos. Analizar cada factor y ver si alguno de ellos se puede factorizar más. Ejemplo A Factorizar completamente los siguientes polinomios. a) b) c) Solución a) Factoriza el monomio común. En este caso 6 se puede dividir de cada término: No hay productos especiales. Incorporamos binomios: como un producto de dos Los dos números que se multiplican a 6 y se suman a -5 son -2 y -3, por lo que:
Si nos fijamos en cada factor vemos que podemos factorizar no más. La respuesta es. b) factorizar monomios comunes: Reconocemos. como una diferencia de cuadrados. Incorporamos como Si nos fijamos en cada factor vemos que podemos factorizar no más. La respuesta es. c) factorizar monomios comunes: Reconocemos como un cuadrado perfecto igual a. Si nos fijamos en cada factor vemos que podemos factorizar no más. La respuesta es. Ejemplo B Factorizar completamente los siguientes polinomios: a) b) Solución a) Factoriza el monomio común. En este caso, el factor a cabo -2 en lugar de 2. (Siempre es más fácil de factorizar el número negativo para que el término más alto grado sea positivo.) Reconocemos la expresión entre paréntesis como una diferencia de cuadrados. Incorporamos y obtenemos:
Si nos fijamos en cada factor, vemos que el primer paréntesis es una diferencia de cuadrados. Incorporamos y obtenemos: Si nos fijamos en cada factor ahora vemos que no podemos factorizar más. La respuesta es. b) Factoriza el monomio común: Reconocemos. como un cuadrado perfecto y nosotros tomamos como Nos fijamos en cada término y reconocemos que el término entre paréntesis es una diferencia de cuadrados. Nos factor y lo conseguimos., que podemos volver a escribir como Si nos fijamos en cada factor ahora vemos que podemos factorizar no más. La respuesta final es. Factorizar un binomio común El primer paso en el proceso de factorización es a menudo factorizar los monomios comunes de un polinomio. Pero a veces los polinomios tienen términos comunes que son binomios. Por ejemplo, considera la siguiente expresión: Dado que el término aparece en los dos términos del polinomio, podemos factorizar. Escribimos este término frente a un par de paréntesis que contienen los términos que quedan: Esta expresión está completamente factorizado. Veamos algunos ejemplos más.
Ejemplo C Factorizar los binomios comunes. a) b) Solución a) tiene un binomio común. Cuando nosotros tomamos el binomio común que tenemos. b) tiene un binomio común. Cuando nosotros tomamos el binomio común que tenemos. Palabras Clave Decimos que un polinomio está factorizado completamente cuando nosotros tomamos la medida de lo que podemos y no podemos factorizar más. Ejercicios Resueltos Factoriza completamente:. Solución: Primero, nota que cada término tiene como factor. Comienza por factorizar : A continuación, factorizar el trinomio en el paréntesis. Desde encontrar :. Encontrar los factores de 12 que se suman a -7. Dado que 12 es positiva y - 7 es negativo, los dos factores deben ser negativos:
Reescribe el trinomio usando, y luego el factor de la agrupación: La respuesta factorizada final es: Ejercicios Factor completamente. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
2) Resolución de Ecuaciones Marco Teórico Ahora, vamos a aplicar la factorización para resolver una ecuación cuadrática. Se añade un paso adicional al final de lo que ya se ha estado haciendo. Vamos a través de un ejemplo. Ejemplo A Resolver por factorización. Solución: La única diferencia entre este problema y los anteriores es la adición de la igualdad. Ahora que esto está presente, tenemos que resolver. Todavía podemos factorizar el camino hemos hecho siempre. Porque, determinar los dos factores de 18 que se suman a -9. Ahora, tenemos dos factores que, cuando se multiplica, resulta cero. Recordemos que cuando dos números se multiplican entre sí y uno de ellos es cero, el producto es siempre cero. Propiedad Cero producto: Si, a continuación, o. Esto significa que O. Por lo tanto, o. Siempre habrá el mismo número de soluciones como factores. Comprueba tu respuesta:
Ejemplo B Resolver por factorización. Solución: A primera vista, esto podría no parecer factorizable. Sin embargo, antes de que nos factor, debemos combinar los términos semejantes. Además, la propiedad del producto Zero-nos dice que con el fin de resolver para los factores, uno de los lados de la ecuación debe ser cero. Ahora, el factor. El producto es de -90. Cuáles son los dos factores de -90 que se suman a 1? 10 y -9. Ampliar el plazo y factor. Por último, establezca cada factor igual a cero y resolver. Revisa tu trabajo:
Ejemplo C Resolver por factorización. Solución: He aquí un ejemplo de una ecuación de segundo grado sin término constante. La única cosa que podemos hacer es sacar el MCD. Ajusta los dos factores iguales a cero y resolver. Comprueba:
Ejercicios Resueltos Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización. 1. 2. 3. 4. Respuestas 1.. Los factores de 36, que también se suman a -12 y -6 son -6. Ampliar el plazo y factor. Los factores son los mismos. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto, los factores serán los mismos. En este caso, las soluciones para también será la misma. Resuelve para. Cuando los dos factores son la misma, que llamamos la solución para doble, ya que es la solución dos veces. una raíz 2. Aquí, tenemos que tener todo en el mismo lado del signo igual para factorizar. Debido a que no hay un número delante de, tenemos que encontrar los factores de - 6 que se suman a -5.
Resolver cada factor para, obtenemos que u. 3. Aquí no hay un término constante. Calcula el MCD de factor. Resuelve cada factor para la. 4. Este problema es un poco más complicado que el # 2. Combina todos los términos como en el mismo lado del signo igual modo que un lado es igual a cero. factor.. Los factores de -60 que se suman a 17 son 20 y -3. Ampliar el plazo y Resuelve cada factor para la.
Palabras Clave Solución La respuesta a una ecuación. Con las ecuaciones cuadráticas, las soluciones también pueden ser llamados ceros o raíces. raíz doble: Una solución que se repite dos veces. Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización, si es posible. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Desafío Resolver estas ecuaciones cuadráticas por factorización. Todos son factorizables. 13. 14. 15.