Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica de f(x) es la de la de la figura, esboza las gráficas de: a) y = 2f(x) b) y = 2 f(x) c) y = 1 d) y = f(x + 1) e) y = f(x) f(x) f) y = f( x ) g) y = f(2x) h) y = f(x/3) i) y = f( x) j) y = f(2 x). 1 3. Representa las funciones f 1 (x) = sen 2 x, f 2 (x) = sen x y f 3 (x) = sen x. 4. Representa las funciones f(x) = 1 x y g(x) = 2x+1 x. 5. Esboza las gráficas de las funciones y = 5 sen 2t; y = 1 + 2 sen t. 6. Esboza las gráficas de las funciones y = e x 4 ; y = e x2. 1

7. Encuentra fórmulas tipo seno que pudieran responder a las siguientes gráficas: i) ii) iii) Ejercicios de reserva 8. Encuentra todos los números reales x que verifican la desigualdad x 1 x + 3 < 2. 9. Esboza las gráficas de las funciones y = sen x 2, y = 5 sen t 2, y = 2x + 5 x 1, y = e2x, y = e x/2, y = e 3x. 8. Considera, para distintos valores de b, la función f definida por x 2 4 si x < 2 f(x) = b(x 2) si x 2 a) Representa la gráfica de f para los valores de b =,, 2. b) Para qué valores de b es f continua? Para qué valores de b es f derivable? 9. Se considera la función f(x) = x 2 + 1 a) Para cada a R, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)). Para qué valores de a la recta tangente pasa por el origen? b) Determina la recta tangente a la gráfica de f(x) que es paralela a y = 4x. 1. Si f(x) = ax 2 + bx + c, qué puedes decir sobre a, b y c en cada uno de los casos siguientes? 2

a) (1, 1) está en la gráfica de f. b) (1, 1) es el vértice de la gráfica de f. c) El punto de corte de la gráfica de f con el eje y es (, 6). Encuentra una función que satisfaga las tres condiciones anteriores. 11. Determina todas las funciones f de la forma f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d con a y que verifican f () = f (1) =. Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica f() = f(1)? Justifica las respuestas. 12. Supón que cada una de las gráficas siguientes responde a un polinomio. Contesta, para cada una de ellas, a las cuestiones siguientes: a) Cuál es el menor grado posible de dicho polinomio? b) Qué signo tiene el coeficiente principal? 13. Sea f : R R una función derivable en R; sean a y b dos raíces de la derivada f tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f (x). Razonar debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades: a) Entre a y b no existe ninguna raíz de f(x). b) Entre a y b existe una sola raíz de f(x). c) Entre a y b existen dos o más raíces de f(x). 14. Cuántos puntos x del intervalo [, 1] satisfacen la igualdad x = cos x? Justifica la respuesta y enuncia los teoremas que utilices. 15. Una de las siguientes gráficas es parte de la gráfica de la función f(x) = sen 2x + 2e x. Decide cuál y justifica tu respuesta. i) ii) iii) 3

16. Las gráficas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una función derivable f, su función derivada f y una primitiva F de f. Identifica cada gráfica con la función justificando la respuesta..4 i) ii) iii).5.6.2.4.2.4.6.8.2.5.5 2 2.5 3.2.2.4.6.8.2.4 2 1 2 3 4 5 6 3.5 2 1 2 3 4 5 6.4 2 1 2 3 4 5 6 17. La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [, 7] R. 2 1 2 2 4 6 8 Sea F : [, 7] R la función definida por F (x) = x f(t)dt. a) Calcula F (4), F (5), F (6) y F (7). b) Dibuja la gráfica de F explicando cómo lo haces. 18. De una función continua f : [, 1] R se sabe que para cada x en dicho intervalo se tiene f(x) 1 + x 2. De los números 3, 2,, 2 5 y 2 75, cuáles pueden ser el valor de la integral 1 f(x)dx? Justifica la respuesta. 19. Tres estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integral π sen4 xdx. Antonio dice que es igual a π, Beatriz dice que vale 3π y Carlos que vale (3π 8 9 ). Uno de ellos está en lo cierto. Quién es? No intentes calcular esta integral. Elimina, justificadamente, las dos respuestas erróneas. 2. Sea f : [ a, a] R con a > una función continua tal que a Responde a las siguientes preguntas: a) Es necesariamente f(x) = para todo x [ a, a]? a f(x) dx =. 4

b) Es necesariamente a f(x) dx =? a c) Cuánto vale a (f(x) + 2x)dx? a 21. a) Representa la función f para los valores b =,, 1, 2. f(x) = 1 x 1 si x < x 2 + bx 1 si x b) Estudia, según los valores de b, la derivabilidad de la función f. Calcula 3 f(x)dx cuando f es derivable. 22. Considera la función f : R R definida por f(x) = x + 2 x 2. Determina los puntos donde f es derivable y halla sus máximos y mínimos locales. Calcula 2f(x) dx. 3 23. De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 6 cm, calcula las dimensiones del de mayor área. 24. Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes para formar con la primera un cuadrado y con la segunda un círculo. Hallar la longitud de cada parte resultante para que la suma de las áreas de las dos figuras sea: a) máxima; b) mínima. 25. Para cada r 1 se define la función f r : [, ) [, ) mediante f r (x) = x r. a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f r en el punto (1, 1). b) Calcula el área A(r) de la región limitada por la gráfica de f r, su tangente en el punto (1, 1) y el eje OX. c) Para qué valor de r 1 es el área A(r) máxima? Ejercicios de reserva 26. Justifica que el polinomio P (x) = x 3 + x + 1 tiene una raíz en el intervalo [, ]. Posee alguna raíz más? 27. El caudal de agua que sale de un depósito de 2 litros es variable y viene dado por la ecuación C(t) = 5, 1t (t en minutos, C en litros/minuto). a) Dibuja la gráfica del caudal en función del tiempo. b) Calcula el área bajo la curva en el intervalo [, 5]. Interpretar el resultado. 5

c) Dibuja la función que determina el volumen de agua del depósito en función del tiempo. 28. Supón que cada una de las gráficas siguientes responde a un polinomio. Cuál es el menor grado posible de dicho polinomio? Qué signo tiene el coeficiente principal? 29. La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s por la gráfica. 3 2 1 1 2 3 4 5 6 a) Calcula la función espacio recorrido. b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido-tiempo. c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido. 3. De todas las primitivas de la función f : R R dada por f(x) = 1 + x x, determina aquella cuya gráfica pasa por el punto (1, ). 31. Sea f una función continua tal que para cualquiera que sea x > se cumple que f(t) dt = x f(t) dt. Prueba que en ese caso f( x) = f(x) para todo x x >. 32. a) Esboza la gráfica de la función dada por f(x) = 1 x 2 4 b) Qué signo tiene 1 f(x) dx? Justifica tu respuesta. 6

c) Calcula el valor de la integral del apartado b) descomponiendo el integrando en fracciones simples. 33. Supón que f y g son funciones derivables para las que se verifican las dos condiciones siguientes: 1) f() = y g() = 1 2) f (x) = g(x) y g (x) = f(x). a) Sea h(x) = f 2 (x) + g 2 (x). Calcula h (x) y utiliza el resultado que obtengas para demostrar que f 2 (x) + g 2 (x) = 1 para todo x. b) Supón que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen las condiciones 1) y 2) y sea k(x) = [F (x) f(x)] 2 + [G(x) g(x)] 2. Calcula k (x) y utiliza el resultado que obtengas para deducir qué relación existe entre f(x) y F (x) y entre g(x) y G(x). c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1) y 2). Puede haber otras? Justifica tu respuesta. 34. Demuestra que la ecuación cos x + x sen x x 2 = tiene exactamente dos raíces reales. 35. Dada la función f : R R definida por (x 1) + cos(x 1) si x 1 f(x) = sen(x 1) x 1 si x > 1 a) Determina los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f es derivable. b) Cumple f en [, 2] las condiciones del teorema de Rolle? 36. Considera la función f : R R definida por f(x) = 5 + (x 1) 4 (x + 2) 3. a) Demuestra que la ecuación f (x) = tiene al menos una solución en el intervalo ( 2, 1). b) Demuestra que la ecuación f(x) = tiene exactamente una solución menor que 2. c) Demuestra que f(x) = no tiene ninguna solución mayor que 2. 37. Para cada una de las dos condiciones siguientes, encuentra todos los polinomios P, de grado 2, que las satisfacen para todo x, a) P (x) = P ( x). 7

b) P (2x) = 2P (x). 38. Halla el punto de la parábola x 2 = 4y de abscisa no negativa que menos diste de (, 3 2 ). 39. Calcula las dimensiones del trapecio de perímetro máximo que se puede inscribir en una semicircunferencia de radio r si una base del trapecio ocupa todo el diámetro de la semicircunferencia. 4. El número de bacterias de cierto cultivo en un instante t viene dado por la fórmula N = 1(25 + t e t/2 ) para t 1. a) En qué instantes de ese intervalo, t 1, hay un número máximo y un número mínimo de bacterias? b) En qué instante es más lento el crecimiento o decrecimiento del número de bacterias? Números complejos 26. Resuelve las siguientes cuestiones. a) Determina los números complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado. b) Encuentra los números complejos cuyo conjugado coincide con su inverso. c) Halla los números complejos que son iguales al cuadrado de su conjugado. d) Encuentra los números complejos cuyo cuadrado coincide con el cuadrado de su conjugado. e) Encuentra los números complejos z tales que la suma (respectivamente, la diferencia) de z y su conjugado es nula. f ) Halla los números complejos cuyos inversos son iguales a sus opuestos. g) Determina los números complejos cuyo cuadrado sea: imaginario puro real positivo real negativo 27. Si z es un número complejo, prueba que z, 1,, z, están alineados. Decide z z cuáles están en la misma semirrecta que z de las dos que determina el origen. Escribe z, 1/z, z y 1/z en forma módulo-argumental. 28. Sea z C \ {1} y tal que z = 1. Prueba que z + z es real y que 1+z 1 z imaginario puro. es 8

29. a) Considera z, w C distintos, no nulos y no alineados con, y el cuadrilátero K que tiene como vértices, z, w, z + w. Justifica que K es un paralelogramo. Calcula las longitudes de los lados de K. Comprueba que las diagonales de K miden z + w y z w. b) Identidad del paralelogramo. Prueba que para todos z, w C se verifica que 2( z 2 + w 2 ) = z + w 2 + z w 2. Interpreta este resultado a la vista del apartado anterior. 3. Calcula las raíces cúbicas de la unidad y represéntalas gráficamente. Calcula el producto de las dos raíces distintas de 1 y el cuadrado de cada una de ellas. 31. Determina las tres raíces cúbicas de 64 y sus seis raíces sextas. 32. Sean z = 1 i y w = 1+ 3i. Determina los números p, q N tales que z p, w q R. 33. Determina, en cada caso, los números reales x, y que cumplen a) x+iy = x+iy, b) x + iy = (( 2 i 2)/2) 8n+3, con n 1, c) x + iy = 1 k= ik. 34. a) Sean n 2 y P (z) = z n + z n 2 + z n 3 +... + z 2 + z + 1. Demuestra que las raíces n-ésimas de la unidad distintas de 1 son las soluciones de la ecuación P (z) =. [Sugerencia: usa que 1 es solución de z n 1 = ]. b) Prueba que si w = cos(2π/5) + i sen(2π/5), entonces w satisface la ecuación z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =. 35. a) Justifica que si w es raíz de un polinomio P con coeficientes reales, entonces w también lo es. b) Calcula las soluciones de la ecuación z 7 + z 5 z 2 1 =. [Observa que i es solución]. c) Razona por qué al menos una de las raíces de la ecuación 2z 3 3z 2 4z +1 = debe ser real. 36. En el conjunto C de los números complejos se define la relación definida por a < c a + bi c + di (o, equivalentemente, c + di a + bi) si o bien a = c y b d a) Analiza si es una relación de orden C y si es total o parcial. Comprueba que i i. b) Recuerda que si x, y son números reales positivos, entonces x + y y x y son también positivos. Para la relación introducida en C, comprueba que se cumple que z + w si z, w. Se verifica que el producto z w cuando z, w? 9

37. Comprueba las siguientes afirmaciones, para la transformación T : T : C \ {} C, dada por T (z) = z z = 1 2 z a) T (T (z)) = z, para todo z ; T (z) = z si z = 1 y T (z) < 1 z > 1. b) Si z = x + iy está en la recta y = x, entonces T (z) también. c) Si z = x + iy está en la recta x = 1, entonces T (z) está en la circunferencia de centro 1/2 y radio 1/2. d) Si z está en la circunferencia z 2 = 2, entonces T (z) está en la recta x = 1/4. e) Si z está en la circunferencia z 2 = 1, entonces T (z) está en una circunferencia: en cuál? Ejercicios de reserva 38. Dadas f(z) = z 3 2iz 2 (1 i)z 2i y g(z) = 2z 3 + (1 + i)z 2 (3 + 2i)z 7 + 16i calcula f(i), f(1 i), g(1+i), g(2 i) y g(2i). [Solución: f(i) = 2i, f(1 i) = 6 2i, g(1 + i) = 4 + 17i, g(2 i) = 4 8i y g(2i) = 7 1i]. 39. a) Halla el valor de E = (1 + 3i) n (1 3i) n, siendo n un número natural. b) Halla los valores de n naturales para los que (1 + i) n es un número real positivo. 4. a) Prueba que si el número complejo z es solución de la ecuación ax 2 +bx+c =, siendo a, b y c números reales, también es solución su conjugado z. b) Razona por qué al menos una de las raíces de la ecuación 2z 3 3z 2 4z+1 = debe ser real. 41. Determina los conjuntos C 1 = {z C : z 3i = 2}, C 2 = {z C : z 3ie iπ/4 = 2} y C 3 = {z C : e iπ/3 z 3i = 2}. 42. Se consideran un número real r (, 1) y w C tal que w < 1. a) Describe el conjunto {e it + re it : t [, 2π]}. b) Describe el conjunto {e it + we it : t [, 2π]}. [Sugerencia: si w = w e iθ, escribe e it + we it = e i(θ/2) (e i(t θ/2) + w e i(t θ/2) ) ]. 1