CONCEPTOS PRELIMINARES

CONCEPTOS PRELIMINARES Matemáticas II En R un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos. Tanto el concepto de conjunto abierto como de intervalo abierto se generaliza en el plano y en el espacio. Un intervalo abierto en R se puede definir como (x 0 r,x 0 +r) = {x R x 0 r < x < x 0 +r} = {x R x x 0 < r} En otras palabras, se puede definir como el conjunto de puntos cuya distancia al centro x 0 es menor que r. En general se tiene: Definición.- Una bola en R n de centro x 0 R n y radio r > 0, es el conjunto B(x 0,r) = {x R n x x 0 < r} Ejemplo.- En el plano, una bola es una circunferencia En el espacio, es una esfera. Definición.- Un conjunto A R n se dice abierto si para todo punto a A existe un radio r > 0 tal que la bola centrada en a y de radio r está contenida en A B(a,r) A Universidad Antonio de Nebrija 1 TFInversa TFImplícita

Definición.- Una función f : A R n R m con A abierto de R n se dice de clase k, k 1, si existen todas las derivadas de orden k y son continuas en A. Se escribe f C k (A). COORDENADAS EN R 2 En R 2 trabajaremos esencialmente con dos tipos de coordenadas: Coordenadas cartesianas x,y R Coordenadas polares r R >0, θ [0,2π) y e 2 0 e 1 x p θ 0 r p Cambio de coodenadas polares a coodenadas cartesianas: { x = rcosθ y = r sen θ Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas polares: { r = x 2 +y 2 tanθ = y, teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x Universidad Antonio de Nebrija 2 TFInversa TFImplícita

COORDENADAS EN R 3 En R 3 trabajaremos esencialmente con tres tipos de coordenadas: Cartesianas x,y,z R e 3 p 0 z e 1 e 2 y x Cilíndricas r R >0, θ [0,2π), z R Esféricas ρ R >0, θ [0,2π), ( ϕ π 2, π ) 2 p p 0 z ρ ϕ 0 θ r θ Cambio de coodenadas cilíndricas a coodenadas cartesianas: x = rcosθ y = r sen θ z = z Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas cilíndricas: r = x 2 +y 2 tanθ = y, teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x z = z Universidad Antonio de Nebrija 3 TFInversa TFImplícita

Cambio de coodenadas esféricas a coodenadas cartesianas: x = ρcosθcosϕ y = ρ sen θcosϕ z = ρ sen ϕ Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas esféricas: ρ = x 2 +y 2 +z 2 tanθ = y, teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x z tanϕ = teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x 2 +y2, TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA Teorema de la función inversa.- Sean f : A R n R n con A abierto de R n y a A verificando 1. f C k (A) 2. El jacobiano Jf(a) 0 Entonces existen radios r 1,r 2 > 0 tales que la función f : B(a,r 1 ) R n B(f(a),r 2 ) R n tiene inversa f 1 : B(f(a),r 2 ) R n B(a,r 1 ) R n de clase C k (B(f(a),r 2 )) y además en B(a,r 1 ) se tiene (J(f 1 )) = (Jf) 1 Ejemplo.- La exponencial f(x) = e x es de clase C (R) y su matriz jacobiana es Jf = (e x ). Laexponencialnuncaseanula,asíqueeljacobianoesnonuloenR,entonces por el Teorema de la Función Inversa (TFInversa), existe f 1 definida localmente en R (sobre una bola alrededor de cada punto). Observación.- Si f C k (A) verifica el TFInversa en todo punto de A y f es inyectiva, entonces f tiene inversa (global) en A de clase C k. A una inversa global también se le puede llamar cambio de variable. Ejemplo.- La exponencial f(x) = e x también es inyectiva, por lo tanto existe f 1 definida en todo R. De hecho, la inversa de la exponencial es el logaritmo neperiano: f 1 (x) = logx Universidad Antonio de Nebrija 4 TFInversa TFImplícita

f x ex f 1 x log x Además, como (J(f 1 )) = (Jf) 1 y estamos trabajando con una función real de variable real, (f 1 ) (y) = 1 f (x) = 1 f (f 1 (y)). Es decir, (logy) = 1 = 1 e logy y. Ejemplo.- Vamos a ver si la función f(x,y) = (x 2,y) tiene inversa local y global. f es de clase C (R 2 ) y su matriz jacobiana es Jf = (2x,1) (0,0). Como el jacobiano es no nulo en R 2, entonces se verifica el TFInversa y existe f 1 definida localmente en R 2 (sobre una bola alrededor de cada punto). En cambio la función no es inyectiva: f(2,1) = (4,1) = f( 2,1). Por lo tanto la función es invertible localmente pero no globalmente. Observación.- Si f : A R R y a A verifican el TFInversa, entonces (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) para todo y B(f(a),r 2). Nótese que el TFInversa nos garantizará que podemos pasar de un tipo de coordenadas a otras. Ejemplo.- Si consideramos el cambio de coordenadas polares a coordenadas cartesianas f : R >0 [0,2π) R 2 donde f(r,θ) = (rcosθ,r sen θ), veamos en qué puntos se verifica el TFInversa. ( f1 ) f 1 ( ) cosθ r sen θ Jf(r,θ) = r r Entonces el jacobiano Jf(r,θ) = r > 0. = sen θ rcosθ En las coordenadas polares se tiene r R >0 para que se verifique el TFInversa y θ [0,2π) para que la función sea inyectiva. Por lo tanto, el cambio de coordenadas polares a cartesianas tiene inversa global, es un cambio de variable. El punto (0,0) (r = 0) no se puede representar con estas coordenadas si queremos garantizar la existencia de inversa. Universidad Antonio de Nebrija 5 TFInversa TFImplícita

El jacobiano además será un elemento importante en las integrales de Riemann que se verán en Cálculo II. Ejemplo.- Si consideramos el cambio de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas f : R >0 [0,2π) R R 3 donde f(r,θ,z) = (rcosθ,r sen θ,z), veamos en qué puntos se verifica el TFInversa. f 1 f 1 f 1 Jf(r,θ,z) = r r f 3 r f 3 z z f 3 z Entonces el jacobiano Jf(r,θ,z) = r > 0. cosθ r sen θ 0 = sen θ rcosθ 0 0 0 1 En las coordenadas cilíndricas se tiene r R >0 para que se verifique el TFInversa y θ [0,2π) para que la función sea inyectiva. Por lo tanto, el cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas tiene inversa global, es un cambio de variable. Los puntos (0,0,z) (r = 0) no se puede representar con estas coordenadas si queremos garantizar la existencia de inversa. Ejemplo.- Si consideramos el cambio de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas f : R >0 [0,2π) ( π 2, π ) 2 R 3 donde f(ρ,θ,ϕ) = (ρcosθcosϕ,ρ sen θcosϕ,ρ sen ϕ), veamos en qué puntos se verifica el TFInversa. Jf(ρ,θ,ϕ) = f 1 ρ ρ f 3 ρ f 1 f 3 f 1 ϕ ϕ f 3 ϕ cosθcosϕ ρ sen θcosϕ ρcosθ sen ϕ = sen θcosϕ ρcosθcosϕ ρ sen θ sen ϕ sen ϕ 0 ρcosϕ Entonces el jacobiano Jf(ρ,θ,ϕ) = ρ 2 cos 3 ϕcos 2 θ +ρ 2 sen 2 θ sen 2 ϕcosϕ +ρ 2 cos 2 θ sen 2 ϕcosϕ+ρ 2 cos 3 ϕ sen 2 θ = ρ 2 cos 3 ϕ(cos 2 θ +sen 2 θ)+ρ 2 sen 2 ϕcosϕ(sen 2 θ+cos 2 θ) = ρ 2 cos 3 ϕ+ρ 2 sen 2 ϕcosϕ = ρ 2 cosϕ(cos 2 ϕ+sen 2 ϕ) = ρ 2 cosϕ En las coordenadas esféricas se tiene ρ R >0 y ϕ ( π 2, π 2) para que el jacobianonoseanuleyseverifiqueeltfinversayθ [0,2π) paraquelafunción Universidad Antonio de Nebrija 6 TFInversa TFImplícita

sea inyectiva. Por lo tanto, el cambio de coordenadas esféricas a cartesianas tiene inversa global, es un cambio de variable. Los puntos (0,0,z) (ρ = 0 y ϕ = ±π/2) no se puede representar con estas coordenadas si queremos garantizar la existencia de inversa. TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA Una idea intuitiva de una curva es la trayectoria de un punto que se desplaza en el plano o en el espacio. (t) posición el instante t (t) posición el instante t Definición.- Una curva en R n es una aplicación: γ : I R R n t γ(t) = (x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)) A la aplicación γ se le llama parametrización de la curva y las ecuaciones: x 1 = x 1 (t) x 2 = x 2 (t) γ(t) =,t I. x n = x n (t) son las ecuaciones paramétricas de la curva. Nos referiremos indistintamente a la parametrización o a las ecuaciones paramétricas, pues en esencia son lo mismo. Denotamos por Γ la gráfica de la curva, es decir, el conjunto de puntos: Γ = {(x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)) t I} Universidad Antonio de Nebrija 7 TFInversa TFImplícita

Obsérvese que Γ = {(x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)) t I}, por lo tanto una curva se describe siempre a través de un parámetro t. Abusando de la notación, identificamos la curva γ con su gráfica Γ, de forma que a la gráfica de la parametrización también la llamamos curva, y dos parametrizaciones con la misma gráfica consideraremos que son la misma curva. Ejemplos.- 1.- El astroide es una curva de parametrización: { x(t) = cos 3 t y(t) = sen 3 t, t [0,2π] 2.- Una recta en R 3 de ecuaciones paramétricas: x(t) = 2+t y(t) = 1 t z(t) = 2t, t R 3.- La hélice circular de eje el eje z, radio a y paso b (el paso es la distancia entre dos vueltas consecutivas) es una curva en el espacio de parametrización: x(t) = acost y(t) = asent z(t) = bt, t R Si b>0 Si b<0 Universidad Antonio de Nebrija 8 TFInversa TFImplícita

Definición.- Sea Γ una curva en el plano tal que existe una función F(x,y) verificando Γ = {(x,y) R 2 F(x,y) = 0} entonces se dice que F(x,y) = 0 es una ecuación implícita de Γ en R 2. Ejemplo.- { x(t) = cos 1.- Para el astroide con parametrización 3 t y(t) = sen 3, t [0,2π] podemos t encontrar una ecuación implícita. Utilizando la relación sen 2 t + cos 2 t = 1 se tiene una ecuación implícita x 2 2 3 +y 3 = 1 De forma análoga podemos definir las ecuaciones implícitas de una curva en el espacio. Definición.-SeaΓunacurvaenelespaciotalqueexistedosfuncionesF 1 (x,y,z), F 2 (x,y,z) verificando Γ = {(x,y,z) R 3 F 1 (x,y,z) = 0, F 2 (x,y,z) = 0} entonces se dice que F 1 (x,y,z) = 0, F 2 (x,y,z) = 0 son unas ecuaciones implícitas de Γ en R 3. Ejemplo.- 2.- Vamos a encontrar unas ecuaciones implícitas de la recta parametrizada por x(t) = 2+t y(t) = 1 t, t R. z(t) = 2t Para ello despejaremos el parámetro t de las ecuaciones paramétricas. Se obtienen las ecuaciones implícitas: { 2x z 4 = 0 2y +z 2 = 0 3.- Vamos a encontrar unas ecuaciones implícitas de la hélice circular x(t) = acost y(t) = asent, t R. z(t) = bt Universidad Antonio de Nebrija 9 TFInversa TFImplícita

Usando la relación entre el seno y el coseno y despejando el parámetro t, se obtienen las ecauciones implícitas: x 2 +y 2 = a 2 y = xtan ( ) z b En general, si tenemos unas ecuaciones paramétricas para encontrar unas ecuaciones implícitas, se despeja el parámetro t. No siempre este proceso es inmediato. También podemos tener la curva descrita a través de sus ecuaciones implícitas y buscar unas ecuaciones paramétricas. Ejemplo.- Tomamos la circunferencia de radio 1 y centro (0, 0). Una ecuación implícita es: x 2 +y 2 1 = 0 Si intentamos buscar unas ecuaciones paramétricas, hacemos por ejemplo x = t, así que y = 1 x 2 o y = 1 x 2, con lo que sólo parametrizamos media circunferencia. Tenemos problemas en los puntos (1, 0) y ( 1, 0). Usando la relación entre el seno y el coseno, tenemos la parametrización { x(t) = cost, t [0,2π] y(t) = sent El siguiente teorema, el Teorema de la Función Implícita (TFImplícita), nos permite saber cuando existen unas ecuaciones paramétricas. Universidad Antonio de Nebrija 10 TFInversa TFImplícita

Teorema de la función implícita.- Sean F : A B R n R m R m con A R n y B R m abiertos y (a,b) A B verificando 1. F C k (A B) 2. F(a,b) = 0 ) 3. det( Fi x n+j (a,b) = i,j=1,...,m Entonces existen radios r 1,r 2 > 0 y una función F 1 F x n+1 (a,b) 1 x n+m (a,b)..... 0 F m F x n+1 (a,b) m x n+m (a,b) f : B(a,r 1 ) R n B(b,r 2 ) R m de clase C k (B(a,r 1 )) verificando que en B(a,r 1 ) se tiene F(x,f(x)) = 0 Si consideramos las ecuaciones implícitas {(x,y) A B F(x,y) = 0}, con F verificando el TFImplícita, se tiene que el conjunto está descrito por m ecuaciones implícitas y n parámetros. Ejemplo.- Considerando la circunferencia de radio 1 y centro (0, 0) definida por x 2 + y 2 1 = 0, tenemos que es una curva con un parámetro n = 1. Entonces la curva está descrita a través de la función F : R R R con F(x,y) = x 2 +y 2 1. ) F es una función de clase C (R 2 ) y det( Fi x = F n+j y = 2y. i,j=1,...,m Si y 0, se verifica el TFImplícita y existe parametrización, como vimos anteriormente. Si y > 0 la parametrización es x = t, y = 1 t 2 con t [0,1] y si y < 0 la parametrización es x = t, y = 1 t 2 con t [0,1]. En este ejemplo hemos podido encontrar una parametrización, pero no siempre es posible. Pero sin conocer explícitamente una parametrización se pueden obtener datos sobre las derivadas de dicha parametrización. Esta información será importante para calcular por ejemplo tangentes, el triedro de Frenet, etc. Ejemplo.- Sea la curva Γ = {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 = 1, x+2y z = 0}, decidiremossiy,z sepuedenexpresarcomofuncióndexcercadelpunto(0,0,1). Y si es así calcularemos las segundas derivadas de dichas funciones en el punto (0,0,1). Universidad Antonio de Nebrija 11 TFInversa TFImplícita

Es una curva y posee un único parámetro n = 1. En este ejemplo en particular nosestápidiendoqueelparámetroseax.entonceslacurvaestádescritaatravés de la función F : R R 2 R 2 con F(x,y,z) = (x 2 +y 2 +z 2 1,x+2y z). F es una función de clase C (R 3 ) y ) F 1 det( Fi x n+j (a,b) = y (0,0,1) F 1 z (0,0,1) i,j=1,...,m F 2 y (0,0,1) F 2 z (0,0,1) = 2y 2z 2 1 (x,y,z)=(0,0,1) = 0 2 2 1 = 4 0 Podemos afirmar que se verifica en TFImplícita cerca del punto (0,0,1) e y,z se pueden expresar como función de x cerca del punto (0,0,1). Sabemos que y = y(x) y z = z(x) con F(x,y(x),z(x)) = 0, y(0) = 0 y z(0) = 1, pero queremos conocer y (0) y z (0). Derivaremos cada una de las ecuaciones de la curva utilizando la regla de la cadena: F 1 x = (x2 +y(x) 2 z(x) 2 1) F 2 x x = 2x+2y(x)y (x) 2z(x)z (x) = 0 = (x+2y(x) z(x)) x = 1+2y (x) z (x) = 0 Veamos que ocurre en el punto (0,0,1), es decir, cuando el parámetro es 0: F 1 x (0) = 0+2y(0)y (0) 2z(0)z (0) = 2z (0) = 0 F 2 x (0) = 1+2y (0) z (0) = 0 Resolviendo el sistema tenemos que z (0) = 0 e y (0) = 1 2. Universidad Antonio de Nebrija 12 TFInversa TFImplícita