5.5 LÍNES TRIGONOMÉTRIS Sea (O, ) una circunferencia con centro en el origen de coordenadas O(0, 0) radio la unidad. Si se construe un ángulo con vértice en el origen sentido positivo podemos obtener las razones trigonométricas de ese ángulo llamadas funciones o líneas trigonométricas. Se determinan los triángulos O O ' tales que: el segmento tiene longitud b, el O longitud a, el ' ' tiene longitud b O O ' por construcción tienen longitud, es decir, (a,b), (a, 0 ), (,b ), (, 0). O a b b on estos datos obtenemos : Figura sen b O o sea el seno es la ordenada del punto. O O cos O a O el coseno es la abscisa del punto. ' ' ' ' tg ' ' b' es la ordenada del punto O' Observación: Escojamos otro punto P cualquiera, a una distancia 0 sobre el lado terminal de. P' con coordenadas ',' determina un triángulo OP ' Q' semejante al OPQ, P(,) P (, ) P' Q' PQ donde:,es decir: OP' OP ' sen. O Q(,0) Q (,0) Del mismo modo se obtiene: ' ' cos, tan. ' Figura Por tanto, el valor de cualquier línea trigonométrica de un ángulo depende solamente de la magnitud del ángulo no del punto que se haa tomado sobre el lado terminal. En particular obtenemos las identidades: cos( ) cos, sen( ) sen. Por esta razón, se las llama funciones periódicas, en este caso, son de período. 5
Una ecuación del círculo unitario con centro en el origen es. Ya que cos e sen se sigue que: sen cos que es una de las relaciones fundamentales de la trigonometría. Ejemplo : Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal cuo lado terminal pasa por cada uno de los siguiente puntos : a) P (,4) ; b) Qué conceptos teóricos utiliza? P, ; c) P (-, -4) ; d) P 4 (, -) Solución b) ; sen ; cos ; tan Queda para el lector completar. En las siguientes figuras se muestran gráficamente la solución. P P O P 4 P 5.5. Signo de las líneas trigonométricas El signo de las líneas trigonométricas de cualquier ángulo, depende de los signos de las coordenadas de un punto cualquiera del lado terminal a que 0. sí, en el primer cuadrante, ambas coordenadas son positivas, por lo tanto seno coseno son positivos como consecuencia todas las demás. Tenemos entonces el siguiente cuadro: I II III IV sen + + - - cos + - - + tan + - + - Queda para el lector hacer figuras similares a la figura para los cuadrantes restantes. 6
5.6 SITUIONES PROLEMÁTIS : Un cohete dista 00 m de la puerta desde ella se observa el etremo del cohete formando un ángulo de 5º por encima de la horizontal. alcular la altura que está el cohete. Si hacemos un esquema tenemos un triángulo rectángulo PQ P h tg 5º h 00 tg5º 00 h 00 0. 679949 5.58989 Q 00 m El cohete está a aproimadamente a 5.60 m : Sabiendo que la torre Eiffel mide 00 m de altura cuánto ha que alejarse para que su etremo se vea, desde el suelo, 6º por encima de la horizontal. Solución Haciendo un esquema 00 tg 6º tg6º 00 m 00m 00 4. 98 m tg 6º 0. 765 Debe alejarse de la torre casi cuatro cuadras. 00 m : veces, necesitamos usar triángulos superpuestos, sobre todo, si ha regiones inaccesibles. Desde un patio vemos el etremo superior de una antena de televisión levantando la vista un ángulo de 40. Si nos alejamos en la línea recta 0 m, solo ha que levantar la vista 0º para ver la punta de la antena. uál es la altura de la antena?. Solución D 0 m quí se tienen dos triángulos, cada uno de ellos con datos insuficientes para resolver el problema. Utilizando ambos, en el triángulo tenemos: tg 40 º no se conoce ni de estos datos, pero como la tangente tg 40 º 0. 89 0. 89 0. 89 En el triángulo 0 0 D tenemos: tg0º 0. 577 0. 577 0 En consecuencia tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en las cuales se despeja 0. 89 0. 577 0 igualando obtenemos: 0. 89 0. 5770 0. 89 0. 577 0 0. 577 7
agrupando las variables en un solo miembro, resulta: 0 89 0. 577 7... 0 89 0. 577 7. 7. 7. 0. 89 0. 577 0. 6 66.06870 m 66.069 m 0. 89 0. 89 66. 069 55. 8 m La altura de la antena es aproimadamente 55.8 m 8
5.7 Práctico: Resolución de Triángulos Rectángulos Ejercicio : Se sabe que la diagonal del cuadrado mide 7 cm. uál es la longitud del lado?. Ejercicio : alcular el perímetro el área del triángulo isósceles en el que se sabe que:, 4 cm h 5 cm es la altura correspondiente al vértice d D Ejercicio : Se sabe que el área del rombo es, o sea la mitad del producto de las diagonales. Obtener el área del rombo de 40 cm de perímetro la diagonal menor d cm. Ejercicio 4: En un triángulo equilátero la altura mide cm. uánto miden los lados? Ejercicio 5: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 cm uno de los catetos mide el triple que el otro. a) uánto miden los catetos? b) alcular el área. Ejercicio 6: Determinar en cada caso las medidas de las diagonales de los rectángulos de base b altura h a) b = 8 cm h = 6 cm b) b = 4 cm h = 8 cm Ejercicio 7: alcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuo lado L mide: a) L= m b) L= 0,6 m c) L= 5 dm Ejercicio 8: D El área del cuadrilátero DE es de 7 cm. El área del triángulo DE es del área del cuadrado D. E alcular la longitud de los lados del triángulo. Ejercicio 9: Pasar de grados seagesimales a radianes: a) 6º b) 45º c) 5º d) 60º e) 00º f) 40º Ejercicio 0: Pasar de radianes a grados seagesimales: a) b) 5 c) 6 d) 5 6 e) 4 Ejercicio : Si sen encuentre el valor eacto de: a) cos 90º cos b) f) 5 Ejercicio : Si tg 4 encuentre el valor eacto de sen cos Ejercicio : a) Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen 0. 6. alcular cos tg 7 b) Sabiendo que es un ángulo agudo tal que cos. alcular sen tg 7 9
Ejercicio 4: Resolver el triángulo rectángulo, usando la información dada: I) b 5 5º II) a 6 45º III) b 4 º c b IV) a 5 0º v) c 0 40º a VI) c 9 5º VII) a b 8 VIII) a c 5 IX) b 4 c 6 Ejercicio 5: Sea un triángulo rectángulo en, tal que 4cm cm. Si,, son los ángulos, calcular: cos, sen, tg, cos, sen tg. Ejercicio 6: En un triángulo de lados 4 cm, 6 cm 8 cm, calcular la altura sobre el lado maor. Ejercicio 7: En el cuadrilátero D, el lado tiene el doble de la longitud del lado D. Sabiendo además que los lados D D son iguales, siendo su medida cm, calcular el perímetro el área del cuadrilátero. Ejercicio 8: Un tramo de carretera forma un ángulo de 5 con la horizontal. l recorrer 00 m por la carretera, uántos metros se ha ascendido en vertical? Ejercicio 9: De un rombo se conoce una diagonal, 4 cm, el lado, cm. Encontrar la medida de la otra diagonal. Ejercicio 0: Encontrar la altura de un trapecio isósceles cuos lados paralelos miden 4 cm 9 cm los otros 6,5 cm.. Ejercicio : Un camino recto con inclinación uniforme lleva desde un hotel a 640 metros hasta un mirador situado a 66 metros. Si la longitud del camino es de 465 metros. uál es la pendiente del camino?. Ejercicio : Para determinar la altura de una torre de transmisión de televisión, un agrimensor camina alejándose 00 metros de la base de la torre. Luego mide el ángulo de elevación encuentra que es de 40º. Si el teodolito está a metros del piso cuando la observación se realiza, cuál es la altura de la torre?. c b 00 m m 40 0 a 0
Ejercicio : Encuentre la distancia inaccesible, del estanque, sabiendo que 5 metros el ángulo 40º. Ejercicio 4: Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos observaciones de la cima desde dos puntos separados una distancia de 000 metros en línea recta hacia la montaña. La primera observación tiene como resultado un ángulo de elevación de 47º, la segunda tiene un ángulo de elevación de 5º. Si el teodolito está dos metros del piso, cuál es la altura de la montaña?. b h 0 0 5 47 000 m E a m Ejercicio 5: En el siguiente dibujo, T representa una torre, el pie de la torre, puntos alineados con, siendo = 50 m, el ángulo T = 60º el ángulo T = 0 º. uál es la altura de la torre? T Ejercicio 6: En un viaje por una carretera horizontal recta nos dirigimos hacia el punto más alto de una montaña. En un instante dado medimos el ángulo de elevación es, de 0º, Recorremos kilómetros al medir éste es de 45 º. uál es la altura de la montaña respecto de la carretera donde hemos hecho las mediciones? Ejercicio 7: Una estatua está colocada sobre una columna de 5 metros. Desde un punto del suelo situado en la misma horizontal que el pie de la columna, vemos la columna bajo un ángulo de 45º, la estatua bajo un ángulo de 5º más, uál es la altura de la estatua?
Ejercicio 8: Se sabe que el aro de baloncesto esta a, metros del piso. Los ojos de un jugador de baloncesto están a,98 metros del piso. Si el jugador se encuentra en la línea de tiro libre a 5 metros del centro del aro de la canasta. uál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?. Ejercicio 9: Un cierto día de primavera, un edificio de 00 m de altura proectó una sombra de 6,50 m de largo. uál era el ángulo de elevación del sol? Ejercicio 0: En un rectángulo, uno de los lados mide 5 cm su área es de 50 cm. uánto mide la diagonal?. Ejercicio : En un cuadrado, cuo perímetro es de 8 cm se han marcado los puntos medios de los lados. alcular el perímetro el área del cuadrado que se obtiene al unir esos puntos. Ejercicio : Se inscribe un cuadrado en una circunferencia de radio r 8 cm a) uánto miden el lado la diagonal de ese cuadrado?. b) alcular aproimadamente el área de la porción del círculo que no está ocupada por el cuadrado?. c) Si se quisiera el valor eacto del área pedida en la parte anterior cómo se epresaría?. Ejercicio : En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 4 5. uánto mide su hipotenusa?. uál es su perímetro?. Ejercicio 4: Encontrar el valor eacto de cada una de las tres funciones trigonométricas de un ángulo positivo si 4, es un punto en su lado terminal. Ejercicio 5: Dado sen cos 0, encontrar el valor eacto de cada una de las otras dos funciones trigonométricas. Ejercicio 6: Utilice la periodicidad de las funciones para encontrar el valor eacto de cada una de las siguientes epresiones. I. sen 405º II. cos 40 º III. IV.. tg cos 4